Giải đề TS Toán 10 - 1 (9)

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 1
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
Cho biểu thức A =
2 2 1 2 2
1 :
2
2 2 2 4
a a
a
a a a a a
   
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
+ + + +
   
với điều kiện biểu thức có nghĩa
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của A khi a =
2009 2 2008−
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x : x
2
– 2mx + 2m – 2 = 0
a) Chứng minh rằng pt có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Giả sử x
1
; x
2

là hai nghiệm của pt. Tìm m để biểu thức y = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. Cho hàm số
2
1
2
y x= −
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B nằm trên (P) và có hoành độ lần lượt
là – 1 ; 2 .
Bài 4.
Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm
chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn, đường kính này cắt AB tại D.
Tia CP cắt đường tròn tại M, các dây AB và QM cắt nhau tại K.
a) Chứng minh CM.CP = CA.CB
b) Chứng tỏ rằng MC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM.
c) Giả sử A, B, C cố định. Chứng minh đường thẳng QM luôn đi qua một điểm cố định khi đường
(O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm A, B
Giải
Bài 1. a) Ta có A =
2 2 2 1 2 2
:
2
2 ( 2) 2( 2)
a a a

a
a a a a
   
+ −
−
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
+ + + +
   
=
( )
2
2
1 2 2
:
2
2 ( 2)( 2)
a
a
a
a a a
−
 
−
 ÷
 ÷
+
+ + +
 

=
( )
2
2
2 2 2
:
2
( 2)( 2)
a
a a
a
a a
−
+ −
+
+ +
=
( ) ( )
2 2
2 2
:
2
( 2)( 2)
a a
a
a a
− −
+
+ +
=

( )
( )
2
2
2
( 2)( 2)
.
2
2
a
a a
a
a
−
+ +
+
−
=
2a +
b) Ta có a =
2009 2 2008−
=
( )
2
2008 1−
⇒
2a +
=
2008 1−
+ 2 =

2008 1+
Bài 2.
a) Ta có : ∆’ = m
2
– 2m + 2 = m
2
– 2m + 1 + 1 =(m – 1)
2
+ 1 > 0, ∀m
chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m
b) y = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= 4m
2
– 2(2m – 2) = 4m
2

– 4m + 4 = 4(m
2
– m + 1)
= 4[(m
2
– 2.
1
2
m +
1
4
+
3
4
) = 4(m -
1
2
)
2
+ 3 ≥ 3 , ∀m
y đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi và chỉ khi m =
1
2
Bài 3. a) Vẽ đồ thị hàm số
2
1
2
y x= −
Lập bảng giá trị :
x

2−
−1 0 1 2
y
2−
1
2
−
0
1
2
−
2−
vẽ đồ thị hàm số
f(x)=-(1/2)x^2
x(t )=-2 , y(t )=t
x(t )=t , y(t)=-2
x(t )=2 , y(t )=t
x(t )=-1 , y(t )=t
x(t )=t , y(t)=-1/2
f(x)=-(1/2)*x-1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x

f(x)
b) giả sử pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b
Ta có A( – 1 ;
1
2
−
) và B(2 ; – 2), nên tọa độ của chúng thỏa pt đường thẳng :
1
1.
2
2 2.
a b
a b

− = − +



− = +

⇔
1
2
1
a
b

= −




= −

Vậy pt đường thẳng AB :
1
1
2
y x= − −
A
B
1
1
2
y x= − −
2
1
2
y x= −
Bài 4.
Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm
chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn, đường kính này cắt AB tại D.
Tia CP cắt đường tròn tại M, các dây AB và QM cắt nhau tại K.
a) Chứng minh CM.CP = CA.CB
b) Chứng tỏ rằng MC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM.
c) Giả sử A, B, C cố định. Chứng minh đường thẳng QM luôn đi qua một điểm cố định khi đường
(O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm A, B
Giải :
a) Chứng minh : CM.CP = CA.CB
Ta có :
∆CMB ∼ ∆CAP

(Góc C chung,
·
·
CBM CPA=
cùng chắn cung AM)
Suy ra :
CB CM
CP CA
=
⇒ CM.CP = CA.CB
b) Theo gt : PQ vuông góc dây cung AB⇒
»
»
QA QB=
nên
·
·
AMQ BMQ=
Do đó : MQ là phân giác của góc
·
AMB
Mặt khác MQ ⊥ MP (
·
PMQ
= 1v chắn nửa đường tròn)
C, M P thẳng hàng nên MQ ⊥ MC
Vậy MC là phân giác của góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM
c) Khi (O) thay đổi nhưng luôn qua hai điểm A, B , suy ra O chạy trên đường thẳng PQ
với
»

»
QA QB=
do đó MQ luôn là phân giác trong của ∆AMB
Suy ra MQ cắt AB tại K thuộc AB , theo tính chất phân giác , ta có :
KA MA CA
KB MB CB
= =
mà A, B, C cố định nên
CA
CB
không đổi ⇒ K cố định
Vậy MQ luôn đi qua điểm K cố định
K
M
P
Q
D
C
B
A
O