GT 12 - Chương II - Bài 3 : Lôgarit

Chương II : Bài 3
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008
click

I - KHÁI NiỆM LÔGARIT
Tìm x để :
1 1
) 2 8 ) 2 ) 3 81 ) 5
4 125
x x x x
a b c d= = = =
3
) 2 8 2 2 3
x x
a x= ⇔ = ⇔ =
2
2
1 1
) 2 2 2 2
4 2
x x
b x
−
 
= ⇔ = = ⇔ = −
 ÷
 
4

) 3 81 3 3 4
x x
c x= ⇔ = ⇔ =
3
3
1 1
) 5 5 5 3
125 5
x x
d x
−
 
= ⇔ = = ⇔ = −
 ÷
 
Cho số a dương , phương trình :
a b
α
=
Đưa đến bài toán ngược nhau
•
Biết α tính b ( Tính lũy thừa với số mũ thực)
•
Biết b tính α ( Dẫn đến khái niệm mới là : lấy lôgarit của 1 số )
1. Định nghĩa :
Cho 2 số dương a và b , với a ≠ 1 . Số α thõa mãn đẳng thức a
α
= b , được gọi là
lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là log
a

b.
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
Ví dụ 1 :
a) Tính :
1 3
2
1
log 4 ; log
27
1
2
) log 4 2a = −
b) Có các số x , y nào để 3
x
= 0 và 2
y
= -3
Vì sao ?
3
1
; log 3
27
= −
b) Không có x , y nào ?
Chú ý : Không có lôgarit của số âm và số 0

click

2. Tính chất : Cho 2 số dương a và b , a ≠ 1 . Ta có các tính chất sau đây :
( )
log
log 1 0 log 1
log
a
a a
b
a
a
a b a
α
α
= =
= =
Hãy chứng minh các công thức trên
Ví dụ 2 :
Tính :
3
2.log 5
1
2
) 3 ; ) log 8a b
( )
3 3
2
2.log 5 log 5
2

) 3 3 5 25a = = =
3
1 1
2 2
1
) log 8 log 3
2
b
−
 
= = −
 ÷
 
Làm bài tại lớp : Tính :
5
2
1
log
1
3
log
7
1
) 4 ; )
25
c d
 
 ÷
 
1

KQ : ) ) 9
49
c d
II - QUY TẮC TÍNH LÔGARIT
Cho b
1
= 2
3
; b
2
= 2
5
. Tính : log
2
b
1
+ log
2
b
2
; log
2
(b
1
b
2
) . Và so sánh các kết quả
3 5
2 1 2 2 2 2
log log log 2 log 2 3 5 8b b+ = + = + =

( )
( )
3 5 8
2 1 2 2 2
log log 2 .2 log 2 8b b = = =
Vậy ta có : log
2
b
1
+ log
2
b
2
= log
2
(b
1
b
2
)
KQ : 2
click

1. Lôgarit của một tích :
Định lý 1 : Cho 3 số dương a ; b
1
; b
2
với a ≠ 1 . Ta có :
( )

1 2 1 2
log log log
a a a
b b b b= +
Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit
Chứng minh :
Đặt m = log
a
b
1
; n = log
a
b
2
Ta có m + n = log
a
b
1
+ log
a
b
2
(1)
Mặt khác b
1
= a
m
; b
2
= a

n
nên b
1
b
2
= a
m
. a
n
= a
m + n
do đó m + n = log
a
(b
1
b
2
) (2)
Từ (1) và (2) có log
a
(b
1
b
2
) = log
a
b
1
+ log
a

b
2

Ví dụ 3 :
Tính :
6 6
log 9 log 4+
( )
2
6 6 6 6
log 9 log 4 log 9.4 log 6 2+ = = =
Chú ý : Định lý 1 còn mở rộng cho tích n số dương b
1
, b
2
, … , b
n
> 0 với a ≠ 1
( )
1 2 1 2
log ... log log ... log
a n a a a n
b b b b b b= + + +
Ví dụ minh họa : Tính :
1 1 1
2 2 2
1 3
log 2 log log
3 8
+ +

click

2. Lôgarit của một thương :
Cho b
1
= 2
5
; b
2
= 2
3
. Tính : log
2
b
1
- log
2
b
2
; log
2
(b
1
/ b
2
) . Và so sánh các kết quả
Định lý 2 : Cho 3 số dương a ; b
1
; b
2

với a ≠ 1 . Ta có :
1
1 2
2
log log log
a a a
b
b b
b
 
= −
 ÷
 
Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit
Đặc biệt a > 0 , b > 0 với a ≠ 1 . Ta có :
1
log log
a a
b
b
 
= −
 ÷
 
Chứng minh định lý 2 tương tự định lý 1 .
Ví dụ 4 :
Tính :
7 7
log 49 log 343−
7 7 7 7

49 1
log 49 log 343 log log
343 7
− = =
7
log 7 1= − = −
click