ChIII : Bài 2 : Tích phân

Chương III
Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008
click
(Bài này ở chế độ : on click nên chủ động – xử lý thời gian cho phù hợp)
Bài 2

I - KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong :
Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1 , trục hoành và
2 đường thẳng x = 1 , x = t ( 1 ≤ t ≤ 5) . Hình vẽ
O x
y
1
1
3
t 5

y

=

2

x

+

1
S(t)
1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5
O x
y
1
1
3
t 5

y

=

2

x

+

1
S
2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t ∈ [1 ; 5]
3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 với t ∈ [1 ; 5] và diện tích
S = S(5) - S(1)
11
click

Giải : 1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5
Diện tích S là :

( ) ( )
3 11
. 5 1 28
2
S dvdt
+
= − =
2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t ∈ [1 ; 5]
O x
y
1
1
3
t 5

y

=

2

x

+

1
S(t)
2t + 1
Diện tích S(t) là :

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1
. 1 2 . 1
2
t
S t t t t dvdt
+ +
= − = + −
3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1 với t ∈ [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1)
Chứng minh :
Xét S’(t) = (t
2
+ t - 2 ) ’ = 2 t + 1 = f(t)
Vậy có :
( ) ( )
f t dt S t C
= +
∫
Xét diện tích : S(5) = 7.4 và S(1) = 3.0 = 0 Vậy S = S(5) - S(1) = 28
click

Cho hàm số y = f(x) liên tục , không đổi dấu trên đoạn [a ; b] . Hình phẳng giới hạn bởi :
Đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành , và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang
cong
O
y
a

f(a)
b

y

=

f
(
x
)
f(b)
x
Bây giờ xét một đường cong kín bất kỳ Hình D thì ta chia hình đó (hình vẽ)
Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục tọa độ , chia D thành
những hình thang cong .Dẫn đến tính diện tích các hình thang cong .
click

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x
2
, trục hoành và
các đường thẳng x = 0 ; x = 1
Giải : Với mỗi x ∈ [0 ; 1]
O
y
x1
1

y

=

x
2

x
S(x)
Gọi S(x) là diện tích của phần hình thang cong đã cho nằm

giữa 2 đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ 0 và x . Ta chứng minh : S’(x) = x
2
x∈[0;1]
O
y
x
1
1 y = x
2

x
Thật vậy với h > 0 , x + h < 1 và kí hiệu : S
MNPQ
và S
MNEF
là diện tích các hình chữ nhật MNPQ
và MNEF . Ta có S
MNPQ
≤ S(x+h) - S(x) ≤ S
MNEF

hay hx
2
≤ S(x+h) - S(x) ≤ h(x+h)
2
x+h
M N
Q P
EF
Vậy có :
( ) ( )
2 2
0 2
S x h S x
x xh h
h
+ −
≤ − ≤ +
Và với h < 0 ; x +h > 0 . Tính toán tương tự cũng có
( ) ( )
2 2
2 0
S x h S x
xh h x
h
+ −
+ ≤ − ≤
Tóm lại với mọi h ≠ 0 thì :
( ) ( )
2 2

2
S x h S x
x x h h
h
+ −
− ≤ +
Suy ra :
( )
( ) ( )
( )
2
0
' lim 0;1
h
S x h S x
S x x x
h
→
+ −
= = ∈
Cũng có S’(0) = 0 ; S’(1) = 1
click

Do đó S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
trên đoạn [0 ; 1] .
Mặt khác trên đọan đó F(x) =
3
3
x

Cũng là một nguyên hàm của f(x) = x
2
nên
( )
3
3
x
S x C C R
= + ∈
Với giả thiết S(0) = 0 nên suy ra C = 0 . Vậy :
( )
3
3
x
S x
=
Thay x = 1 vào ta có : diện tích cần tìm là : S(1) =
1
3
Bây giờ xét một đường cong bất kỳ , biễu diễn bằng (hình vẽ)
O
y
a
f(a)
b

y

=

f
(
x
)
f(b)
xx
S(x)
Kí hiệu : S(x) là diện tích hình thang cong .
Ta chứng minh được : S(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên [a ; b]
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì có hằng số C
Sao cho : S(x) = F(x) + C
Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = - F(a)
Vậy S(x) = F(x) – F(a)
Thay x = b vào có : S(b) = F(b) – F(a)
click