SỬA CHỮA SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1

UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH

SỬA CHỮA SAI LẦM CỦA HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8140111

Phú Thọ, 2018


2

UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH

SỬA CHỮA SAI LẦM CỦA HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: TS. Đỗ Thị Trinh

Phú Thọ, 2018


i
LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là Hoàng Thị Ngọc Ánh, học viên cao học chuyên ngành: Lý
luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán, Trường Đại học Hùng Vương,
khóa học 2017 - 2018. Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên
cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của
TS. Đỗ Thị Trinh
Các số liệu có nguồn gốc rõ ràng, tuân thủ đúng nguyên tắc và kết quả
trình bày trong luận văn được thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung
thực, chưa từng được ai công bố trước đây.
Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Phú Thọ, ngày..... tháng..... năm 2018
Tác giả luận văn

Hoàng Thị Ngọc Ánh


ii
LỜI CẢM ƠN
Đề tài " Sửa chữa sai lầm của học sinh trong dạy học giải toán xác
suất lớp 11 trung học phổ" là một nội dung nhỏ trong chương trình dạy học
bộ môn Toán ở bậc trung học phổ thông, nhưng là kết quả của một quá trình
nghiên cứu của bản thân tác giả sau một thời gian học tập và nghiên cứu

chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán. Để có được kết
quả này, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân, trong quá trình tiến hành
nghiên cứu hoàn thiện đề tài, tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ, sự
hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học
Trường Đại học Hùng Vương và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ
cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường.
Đặc biệt, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới TS. Đỗ Thị Trinh Cô giáo đã trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu và hoàn thiện bản luận văn này.
Dù đã cố gắng nhiều, song vì những lý do khách quan và chủ quan,
luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý,
chỉ dẫn và giúp đỡ của quý thầy cô giáo, và các bạn đồng nghiệp.
Xin trân trọng cảm ơn!
Phú Thọ, tháng

năm 2018

Tác giả

Hoàng Thị Ngọc Ánh


iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC TỪ VIÊT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ ........... vi
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu ............................................................. 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ...................................................................................... 3
3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 3

4. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 4
5. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 4
6. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 4
7. Cấu trúc của luận văn .................................................................................... 4
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................... 5
1.1. Dạy học giải bài tập toán ở trường Trung học phổ thông .......................... 5
1.1.1. Chức năng của bài toán ........................................................................... 5
1.1.2. Vai trò của việc giải bài tập toán............................................................. 7
1.1.3. Hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh .............................................. 8
1.1.4. Dạy học giải bài tập toán ở Trường trung học phổ thông ..................... 10
1.1.5. Quan niệm về sai lầm của học sinh trong khi giải toán ....................... 17
1.2. Dạy học giải toán Xác suất ở trường Trung học phổ thông ..................... 23
1.2.1. Nội dung của chương xác suất ............................................................. 23
1.2.2. Vai trò và ý nghĩa của nội dung chương xác suất ................................. 25
1.3. Thực trạng việc dạy và học giải toán xác suất ở trường Trung học phổ
thông ................................................................................................................ 29
1.3.1. Điều tra từ giáo viên .............................................................................. 30
1.3.2. Điều tra từ học sinh .............................................................................. 30


iv
1.4. Những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán xác
suất................................................................................................................... 31
1.4.1. Khó khăn do học sinh còn thiếu khả năng trực giác xác suất .............. 31
1.4.2. Sai lầm do chưa nắm vững mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của
ngôn ngữ tổ hợp - xác suất .............................................................................. 33
1.4.3. Khó khăn khi nhận thức các suy luận có lý trong sự phân biệt với suy
luận diễn dịch .................................................................................................. 34
1.4.4. Khó khăn khi nhận dạng và thể hiện các khái niệm về tổ hợp - xác suất
......................................................................................................................... 35

1.4.5. Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp
riêng ................................................................................................................. 37
1.4.6. Sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi tương đương.......................... 38
1.5. Kết luận chương I ..................................................................................... 39
CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP SƯ PHẠM KHẮC PHỤC VÀ SỬA CHỮA
SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN XÁC SUẤT ............................................ 41
2.1. Định hướng xây dựng một số biện pháp khắc phục sai lầm và sửa chữa
sai lầm trong giải toán Xác suất cho học sinh trung học phổ thông ............... 41
2.2. Một số biện pháp sư phạm khắc phục sai lầm và sửa chữa sai lầm thường
gặp cho học sinh khi giải toán xác suất ........................................................... 42
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh hiểu bản chất và ý nghĩa của
những khái niệm, quy tắc và các kí hiệu trong sách giáo khoa từ đó vận dụng
vào giải toán Xác suất ..................................................................................... 42
2.2.2. Biện pháp 2: Tạo ra các tình huống phù hợp với trình độ nhận thức của
học sinh nhằm phát huy tính tích cực của học sinh trong giải toán Xác suất . 50
2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh một số thuật giải của dạng toán
Xác suất ........................................................................................................... 54


v
2.2.4. Biện pháp 4: Chú trọng phát triển khả năng trực giác xác suất cho học
sinh .................................................................................................................. 60
2.2.5. Biện pháp 5: Bồi dưỡng tư duy toán học và sử dụng chính xác ngôn
ngữ toán học cho học sinh khi giải toán Tổ hợp - Xác suất............................ 67
2.2.6. Biện pháp 6: Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với những khó
khăn và sai lầm, từ đó có các phản ví dụ cần thiết để học sinh điều ứng sơ đồ
nhận thức đã có ............................................................................................... 74
2.3. Kết luận chương 2 .................................................................................... 79
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................ 80
3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 80

3.2. Nội dung thực nghiệm.............................................................................. 80
3.3.Tổ chức thực nghiệm sư phạm .................................................................. 80
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ......................................................................... 80
3.3.2. Tiến trình thực nghiệm .......................................................................... 81
3.4. Kết quả thực nghiệm ............................................................................... 82
3.4.1. Đánh giá về mặt định tính ..................................................................... 82
3.4.2. Kết quả về mặt định lượng .................................................................... 83
3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................... 84
KẾT LUẬN .................................................................................................... 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 87


vi
DANH MỤC CÁC TỪ VIÊT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

THPT

Trung học phổ thông

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập

PPDH

Phương pháp dạy học

PPCT

Phân phối chương trình

HTDH

Hình thức dạy học

DH

Dạy học

PP

Phương pháp

TN

Thực nghiệm

ĐC

Đối chứng

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

CNTT

Công nghệ thông tin


1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu
Ngày nay, trí tuệ con người được xem là yếu tố hàng đầu thể hiện quyền
lực và sức mạnh của một quốc gia, nhiều nước trên thế giới đều đã ý thức
được rằng giáo dục không chỉ là phúc lợi xã hội, mà thực sự là đòn bẩy quan
trọng để phát triển kinh tế, phát triển xã hội. Các nước chậm tiến muốn phát
triển nhanh phải hết sức quan tâm đến giáo dục và đầu tư cho giáo dục chính
là đầu tư cho phát triển. Chỉ có một chiến lược phát triển con người đúng đắn
mới giúp các nước thuộc thế giới thứ ba thoát khỏi sự nô lệ mới về kinh tế và
công nghệ. Tổng Bí thư Đỗ Mười cũng đã từng nói nhân dịp khai giảng năm
học 1995 - 1996: “Con người là nguồn lực quý báu nhất, đồng thời là mục
tiêu cao cả nhất. Tất cả do con người và vì hạnh phúc của con người, trong đó
trí tuệ là nguồn tài nguyên lớn nhất của quốc gia. Vì vậy, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng và trọng dụng nhân tài là vấn đề có tầm chiến lược, là yếu tố quyết
định tương lai của đất nước”. Do vậy, giáo dục giữ một vai trò hết sức quan
trọng đối với sự phát triển xã hội của mỗi quốc gia.
Từ nhận thức đó, Đảng và Nhà nước ta đã khẳng định: Giáo dục và đào

tạo là quốc sách hàng đầu, là những chính sách trọng tâm, có vai trò chính yếu
của Nhà nước, được ưu tiên trước nhất, thậm chí đi trước một bước so với các
chính sách phát triển kinh tế - xã hội khác. Để thể hiện quan điểm đó, Đảng
và Nhà nước đã đưa ra nhiều chủ trương, chính sách nhằm tạo điều kiện thuận
lợi cho việc phát triển sự nghiệp giáo dục của nước ta.
Nghị Quyết TW 3, khoá 7 năm 1993 khẳng định: “Khoa học và công
nghệ, giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu; đầu tư cho giáo dục là đầu
tư cho phát triển”.
Nghị quyết TW 2, khoá VIII: “Phát triển giáo dục và đào tạo là quốc
sách hàng đầu”.


2
Nghị quyết Trung ương 8, khoá XI: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách
hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho
giáo dục là đầu tư cho phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chương
trình, kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội”.
Nghị quyết 29 của Đảng cộng sản Việt Nam khóa XI đã nêu rõ: “ Phát
triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng
nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang
phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người học. Học đi đôi với hành; lí
luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và
giáo dục xã hội”.
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực
cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị
cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Môn toán luôn là môn học quan trọng nhất của tất cả các cấp học, từ lớp

mẫu giáo, cấp tiểu học, cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông và cấp độ
đại học. Ở từng giai đoạn, môn toán sẽ luôn bổ sung cho nhau ở một cấp độ
cao hơn, như từ thấp đến cao. Và quan trọng hơn nữa cũng là môn hỗ trợ cho
môn vật lý, hóa học, sinh học và các môn học khác.
Môn Toán giữ vai trò, vị trí và ý nghĩa quan trọng trong nhà trường phổ
thông:
- Thứ nhất, môn Toán giữ vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục
tiêu chung của giáo dục phổ thông.
- Thứ hai, môn Toán trung học phổ thông tiếp nối chương trình Trung
học cơ sở, cung cấp vốn văn hóa toán học phổ thông một cách có hệ thống và
tương đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp tư duy.


3
- Thứ ba, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn
học khác.
- Thứ tư, trong thời kì phát triển mới của đất nước, môn Toán càng có ý
nghĩa quan trọng hơn nữa.
Xác suất thống kê là một ngành của Toán học, nghiên cứu về các hiện
tượng ngẫu nhiên mang tính quy luật. Do đó ngành Toán học này rất cần thiết
đối với đời sống con người, nhằm khám phá ra các quy luật của tự nhiên và xã
hội. Mặt khác, các vấn đề thuộc phương pháp và kĩ thuật tính toán về Lí
thuyết và Xác suất áp dụng rất nhiều trong khi giải quyết những bài toán thực
tiễn phức tạp của đời sống.
Chủ đề Xác suất trong chương trình giải tích bậc THPT là chủ đề hoàn
toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm
mới. Vì vậy việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựng những khó
khăn nhất định và những sai lầm khi giải toán xác suất.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi xin lựa chọn đề tài nghiên cứu “Sửa
chữa sai lầm của học sinh trong dạy học giải toán xác suất lớp 11 trung

học phổ thông”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Xác định được những khó khăn, sai lầm và nguyên nhân dẫn đến những
sai lầm thường gặp trong giải toán xác suất của học sinh Trung học phổ
thông. Từ đó, đề xuất một số giải pháp sửa chữa những sai lầm đó cho học
sinh, góp phần nâng cao chất lượng học tập môn toán của học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Sửa chữa sai lầm của học sinh trong dạy học
giải toán xác suất lớp 11 trung học phổ thông
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học xác suất lớp 11 ở trường
Trung học phổ thông.


4
4. Phạm vi nghiên cứu
- Dạy học xác suất (Đại số và giải tích 11 cơ bản) ở một số trường
THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định được những khó khăn và sai lầm mà học sinh hay mắc phải
và đề xuất được các biện pháp sửa chữa những sai lầm đó trong dạy học xác
suất thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở trường
Trung học phổ thông.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về những về những khó khăn và sai lầm thường gặp khi
giải toán
- Tìm hiểu mục tiêu, nội dung dạy học xác suất
- Tìm hiểu về thực trạng của việc giải toán xác suất
- Tìm hiểu về những khó khăn, sai lầm thường gặp của học sinh khi giải
toán xác suất
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm giúp học sinh phát hiện, sửa chữa và

hạn chế dẫn những sai lầm khi giải toán về xác suất
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện pháp sửa chữa
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội
dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm khắc phục sai lầm và sửa chữa sai
lầm trong giải toán xác suất.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.


5
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Dạy học giải bài tập toán ở trường Trung học phổ thông
1.1.1. Chức năng của bài toán
Theo từ điển Toán học: Toán học là một ngành nghiên cứu trừu tượng về
những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.
Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định
nghĩa và phạm vi của toán học. Các nhà toán học đã tìm kiếm các mô thức và
sử dụng chúng để tạo ra những giả thuyết mới. Họ đã lý giải tính đúng đắn
hay sai lầm của các giả thuyết bằng các chứng minh toán học. Khi những cấu
trúc toán học là mô hình tốt cho hiện thực, lúc đó suy luận toán học có thể
cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hay những tiên đoán về tự nhiên. Thông qua
việc sử dụng những phương pháp trừu tượng và lôgic, toán học đã phát triển
từ việc đếm, tính toán, đo lường, và nghiên cứu có hệ thống những hình dạng
và chuyển động của các đối tượng vật lý. Con người đã ứng dụng toán học
trong đời sống từ xa xưa. Và việc tìm lời giải cho những bài toán có thể mất
hàng năm hay thậm chí hàng thế kỷ.
Bài toán là: “ Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa
biết cần, tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phương pháp cần khám

phá, mà theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết ” [21]
Theo Polya: "Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý
thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng
không thể đạt được ngay”.[24]
Còn Rubinstein cho rằng: “Bài toán là sự phát biểu vấn đề bằng
lời”.[23]
Do đó dạy học Toán là một dạng hoạt động của toán học, đối với người
học giải bài tập toán là một hoạt động chủ yếu. Ở trường phổ thông các bài
toán có vai trò vô cùng quan trọng, nó là một phương tiện và không thể thay


6
thế được trong việc giúp cho học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực
tư duy, hình thành những kĩ năng, kĩ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học
ở trường phổ thông đó. Vì vậy, giải bài tập toán của HS có vai trò quyết định
đến chất lượng của việc dạy học bộ môn toán trong nhà trường phổ thông.
Mỗi bài tập toán đều chứa đựng một cách tường minh hay không tường
minh những chức năng khác nhau. Những chức năng này đều hướng tới việc
thực hiện các mục đích dạy học. Trong môn toán, các bài tập mang các chức
năng sau [19]
* Chức năng dạy học:
Bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ
năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
* Chức năng giáo dục:
Bài toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng,
hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
* Chức năng phát triển:
Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt rèn
luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.

* Chức năng kiểm tra:
Bài tập toán còn nhằm đánh giá mức độ về kết quả dạy và học, đánh giá
khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Trên thực tế, các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ hay tách
rời nhau mà khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập
cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện các chức năng đó được tiến hành một
cách tường minh và công khai. Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ
thông phải phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các
chức năng có thể có của một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng


7
ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực
hiện những dụng ý của tác giả bằng trình độ, năng lực sư phạm và trình độ
nghệ thuật dạy học sư phạm của mình.
1.1.2. Vai trò của việc giải bài tập toán
Polya cho rằng “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn
so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra
cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường
chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất
định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó là
phải nắm vững môn học. Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? đó là biết
giải toán” [20].
Giải bài tập toán là quá trình tìm cách khắc phục sự không phù hợp hay
mâu thuẫn giữa các điều kiện và các yêu cầu của bài toán biến đổi chúng để
cuối cùng đi đến sự thống nhất. Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành
động phức tạp, vì bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan
hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề
hay có thể hiểu giải bài tập toán tức là tìm kiếm một cách có ý thức phương
tiện thích hợp để đạt tới mục đích của bài toán. Đó là quá trình tìm tòi

sáng

tạo huy động kiến thức, kĩ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải
quyết bài toán đã cho.
Theo Nguyễn Bá Kim vai trò của bài tập toán được thể hiện trên ba bình
diện sau[8]:
- Về mặt mục tiêu dạy học: bài tập toán thể hiện những chức năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn Toán như:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng Toán
học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học;
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình


8
thành các phẩm chất trí tuệ;
+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt
nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri
thức đã học ở phần lý thuyết.
- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt
động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ
chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
1.1.3. Hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh
Hình thành kĩ năng là hình thành cho học sinh khả năng nắm vững các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài
toán, trong nhiệm vụ.

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để thực hiện
các yêu cầu đặt ra. Trong quá trình phân tích, tư duy sự vật thì chủ thể
thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra thành nhiều khía cạnh, những
thuộc tính mới. Từ đó những tri thức được chủ thể ghi nhớ và biểu hiện bằng
các từ. Quá trình tư duy được diễn ra nhờ các thao tác phân tích – tổng
hợp, trừu tượng hóa – khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình
về một mặt nào đó của đối tượng. Ở đây mỗi bước, sẽ khám phá ra những
khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định
bước tiếp theo sau của tư duy. Vì các khía cạnh mới của đối tượng đều được
phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự diễn đạt lại
bài toán nhiều lần.
Quá trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế


9
thừa. Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp
những kết quả của giai đoạn trước, được thể hiện trong các khái niệm. Khi
hoàn thành việc nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư
duy sẽ ghi nhớ bản chất của đối tượng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt
động sau này. Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm chinh
phục đỉnh cao mới và nó làm cho con người luôn không tìm ra giới hạn của
tri thức nhân loại, như S. L. Rubinstein đã khẳng định: “Trong quá trình tư
duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mối liên hệ
ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới,
những phẩm chất này được ghi lại trong những khái niệm mới. Như vậy, từ
đối tượng dường như khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như
mỗi lần quay lại một khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính
mới”[23].
Theo quan điểm này, các kĩ năng được hình thành trên cơ sở lĩnh hội
các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau về đối tượng đang được

nghiên cứu. Con đường chính của sự hình thành các kĩ năng - đó là học
sinh phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận
dụng vào đối tượng.
Có thể dạy các kĩ năng giải toán cho người học bằng những hướng
khác nhau. Ví dụ như:
- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra
những bài toán để vận dụng đó vào giải toán. Tuy nhiên, bản thân người học
cũng phải tìm tòi ra cách giải có thể bằng thử nghiệm và sai lầm (thử các
phương pháp và tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc
định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ
thuật hoạt động. Đôi khi người ta gọi hướng dạy học này là dạy học nêu
vấn đề.


10
- Dạy cho học sinh biết những dấu hiệu nào đó, từ đó có thể đoán
nhận được một cách dứt khoát kiểu bài toán và những thao tác cần thiết để
giải bài toán. Người ta gọi con đường này là dạy học angorit hóa hay dạy
học trên cơ sở định hướng đầy đủ.
- Dạy cho học sinh những hoạt động tâm lí cần thiết đối với việc vận
dụng tri thức. Trong trường hợp này nhà giáo dục không những chỉ cho
c á c e m cách tìm ra các mốc định hướng chọn lọc các dấu hiệu và các thao
tác mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong việc cải biến, sử dụng
kiến thức đã thu được để giải các bài toán đưa ra. Con đường này đã được
các nhà Tâm lí học Xô viết nghiên cứu, chẳng hạn như: P. Ja. Galperin, N.
F. Talyzyna và những người khác. Họ cho rằng, để dạy được những điều nêu
trên người dạy cần dẫn dắt người học một cách có hệ thống trải qua tất cả
những giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định hướng vào các dấu hiệu đã
được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên cứu.
Khi tiến hành hình thành kĩ năng cho học sinh , giáo viên cần:

- Giúp học sinh biết cách tìm và nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các đối
tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa bài toán mô hình khái quát và các
kiến thức tương ứng.
Để hình thành một kĩ năng cần được tiến hành thông qua các hoạt động
luyện tập, củng cố, vận dụng thông qua việc thực hiện các thao tác, hành động và
diễn ra theo một quy trình trong một khoảng thời gian nhất định.
1.1.4. Dạy học giải bài tập toán ở Trường trung học phổ thông
Môn toán luôn là môn học quan trọng của tất cả các cấp học, từ lớp mẫu
giáo, cấp tiểu học, cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông và cấp độ


11
đại học. Ở từng giai đoạn, môn toán sẽ luôn bổ sung cho nhau ở một cấp độ
cao hơn, từ thấp đến cao. Và quan trọng hơn nữa cũng là môn hỗ trợ cho môn
vật lý, hóa học, sinh học và các môn học khác.
Trong trường phổ thông, môn Toán luôn giữ vị trí, vai trò và ý nghĩa
quan trọng bởi:
- Thứ nhất, là môn học giữ vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục
tiêu chung của giáo dục phổ thông.
- Thứ hai, là môn Toán trung học phổ thông tiếp nối chương trình Trung
học cơ sở, cung cấp vốn văn hóa toán học phổ thông một cách có hệ thống và
tương đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp tư duy.
- Thứ ba, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn
học khác.
- Thứ tư, trong thời kì phát triển mới của đất nước, môn Toán càng có ý
nghĩa quan trọng hơn nữa.
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí

tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa,...Rèn luyện
những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính
xác, tính kỉ luật, khoa học, sáng tạo.
Thông qua giải bài tập toán, học sinh phải thực hiện những hoạt động
nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay
phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ
phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ trung và những hoạt động
ngôn ngữ.
Dạy học giải bài tập toán không chỉ là giáo viên hướng dẫn học sinh
trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ và chính xác mà giáo viên còn phải
biết cách hướng dẫn học sinh thực hành giải bài tập theo yêu cầu của
phương pháp tìm tòi lời giải. K hông chỉ đơn thuần cung cấp lời giải bài


12
toán cho học sinh mà là giúp học sinh làm thế nào đề giải được bài toán.
Để giúp tăng hứng thú học tập cho học sinh, phát triển tư duy, rèn luyện
kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo cho họ, giáo viên phải hình thành
cho học sinh một quy trình chung và các phương pháp tìm tòi lời giải một
bài toán.
1.1.4.1. Vấn đề lựa chọn các bài tập toán
Bài tập toán giúp học sinh củng cố, hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện
kỹ năng, hình thành kiến thức và là một hình thức giúp học sinh vận dụng
những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, những vấn đề mới hay vào
thực tế. Vì thế, lựa chọn bài tập toán là rất quan trọng
Hệ thống bài tập được lựa chọn cần phải thoả mãn một số yêu cầu sau:
- Bài toán phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để học sinh
từng bước hiểu được một cách vững chắc và có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng
các kiến thức đó và đồng thời cũng tăng khả năng thích thú của người học
trong học toán và giải toán.

- Các bài tập phải có liên hệ mật thiết với nhau nhằm hoàn chỉnh hệ
thống kiến thức của học sinh, giúp các em nắm vững kiến thức.
- Hệ thống bài tập phải giúp cho học sinh hiểu được phương pháp
giải từng bài toán cụ thể. Vì vậy, học sinh cần được bắt đầu từ những bài
tập đơn giản, sau đó tăng dần độ khó, việc giải bài tập sáng tạo được coi là
kết thúc việc giải hệ thống những bài tập đã được lựa chọn.
Việc giải toán cần phải được tiến hành có kế hoạch. Các bài toán
được chọn lọc có hệ thông nhằm những mục đích giáo dục xác định và thích
hợp với năng lực học tập của người học. Để phân loại bài toán có thể quy ước
như sau:


13

Bài toán

Có vấn đề

Không có vấn đề
Loại I

Đơn
Loại II

Phức
Loại III
Sơ đồ: Phân loại các loại toán

Những bài toán không có tính chất vấn đề rất cần thiết cho việc củng
cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng còn các bài toán có tính chất vấn đề lại có

tác dụng nhiều trong việc phát t r i ể n v à h ì n h t h à n h tư duy, tuy
nhiên nó lại không phù hợp với tất cả học sinh. Vì vậy, giáo viên cần
khéo léo kết hợp hai dạng toán này trong việc ra bài tập cho học sinh làm, đi
từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Cần chú trọng đưa ra các bài toán
loại I và loại II cho tất cả các em và đồng thời khuyến khích tất cả các em
nói chung, các em khá giỏi nói riêng khi giải bài toán loại III.
1.1.4.2. Dạy học phương pháp giải bài tập toán
Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ
năng quan trọng, vì thế cần rèn luyện cho các em thao tác tư duy - một
thành phần không thể thiếu trong giải Toán.
Để giải bài toán ta có thể thực hiện theo các quy trình như sau :
“ Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh


14
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2. Tìm cách giải
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù
với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng
hình, toán quỹ tích,…
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có
liên quan,…

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải
hợp lí nhất.
Bước 3. Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.” [8]
1.1.4.3. Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Muốn cho học sinh giải được một bài toán cụ thể nào đó thì trước hết
giáo viên phải giải được bài toán đó tuy nhiên như vậy là chưa đủ giáo
viên cần phải biết định hướng, hướng dẫn học sinh giải bài toán đó. Để việc
hướng dẫn giải bài toán một cách đúng đắn thì giáo viên phải phân tích
được phương pháp giải bài tập cụ thể bằng cách vận dụng những hiểu biết về
tư duy giải bài tập toán để xem xét việc giải bài tập cụ thể này. Mặt khác


15
phải xuất phát từ mục đích sư phạm cụ thể của công việc cho học sinh giải
bài tập để xác định kiểu hướng dẫn phù hợp.
Phương pháp hướng dẫn học sinh giải một bài toán cụ thể nào đó là vận
dụng những hiểu biết khoa học về tư duy giải bài tập toán vào việc phân tích
phương pháp giải bài tập cụ thể và vận dụng những hiểu biết về đặc điểm
các bài toán hướng dẫn giải bài tập tuỳ thuộc theo những mục đích sư phạm
khác nhau.
Một số kiểu hướng dẫn giải bài tập tuỳ theo mục đích sư phạm như sau:
- Hướng dẫn theo mẫu: Sự hành động theo một mẫu đã có thường gọi
là hướng dẫn theo mẫu hay hướng dẫn Angôrit. Hướng dẫn theo mẫu là
hướng dẫn, chỉ rõ cho học sinh những hành động cụ thể cần thực hiện và
trình tự thực hiện các hành động đó để đi đến kết quả cần tìm. Hoạt động

này được coi là hoạt động sơ cấp được học sinh hiểu một cách đơn giản và
trong kiểu hướng dẫn này không đòi hỏi học sinh phải tìm tòi xác định các
hoạt động cần thực hiện để giải quyết vấn đề đặt ra mà chỉ đòi hỏi học sinh
chấp hành các hoạt động giáo dục được chỉ ra.
Kiểu hướng dẫn Angorit đòi hỏi giáo viên phải phân tích một cách khoa
học việc giải bài toán để xác định một trình tự chính xác chặt chẽ của
các hoạt động cần thực hiện để giải quyết được bài tập và phải đảm bảo các
hoạt động đó là sơ cấp đối với học sinh.
Kiểu hướng dẫn này thường được áp dụng khi cần dạy cho học sinh
phương pháp giải bài tập điển hình nào đó. Người ta xây dựng các Angôrit
giải cho từng loại bài tập cơ bản điển hình và luyện tập cho học sinh kỹ
năng giải bài tập đó dựa trên việc làm cho học sinh nắm được Angôrit giải.
- Hướng dẫn tìm tòi: Hướng dẫn tìm tòi là kiểu hướng dẫn mang tính
chất gợi ý cho học sinh suy nghĩ, tìm tòi phát hiện cách giải quyết, không
phải là giáo viên hướng dẫn cho học sinh chấp hành theo mẫu đã có mà là


16
giáo viên gợi mở để học sinh giải quyết. Kiểu hướng dẫn tìm tòi được áp
dụng khi cần giúp đỡ học sinh vượt qua khó khăn để giải được bài tập
đồng thời vẫn đảm bảo yêu cầu phát triển tư duy của học sinh là tự giải
quyết bài toán.
- Kiểu hướng dẫn khái quát chương trình hoá: Nó cũng là kiểu hướng
dẫn cho học sinh tự tìm tòi giải quyết tuy nhiên nét đặc trưng của kiểu
hướng dẫn này là giáo viên định hướng tư duy cho học sinh theo đường
lối, khái quát của việc giải quyết vấn đề. Sự định hướng ban đầu đòi hỏi sự
tự lực tìm tòi giải quyết của học sinh, nếu học sinh không đáp ứng được sự
yêu cầu thì g i á o v i ê n c ầ n giúp đỡ cho học sinh bằng cách gợi ý thêm
cho học sinh thu hẹp phạm vi tìm tòi giải quyết sao cho vừa sức của học
sinh. Nhưng nếu học sinh vẫn không đủ năng lực tự lực giải quyết thì giáo

viên cần hướng dẫn theo mẫu để đảm bảo cho học sinh hoàn thành được một
bước sau đó yêu cầu học sinh tự lực tìm tòi bước tiếp theo, cứ như thế cho
đến khi giải quyết xong vấn đề đặt ra. Kiểu hướng dẫn này được áp dụng khi
có điều kiện, tiến trình hoạt động giải bài tập của học sinh. Nhằm giúp học
sinh tự giải quyết được bài tập đã cho đồng thời dạy cho học sinh cách suy
diễn trong quá trình giải bài tập.
Kiểu hướng dẫn này có ưu điểm là kết hợp được các yêu cầu: Rèn
luyện tư duy của học sinh trong quá trình giải toán và đảm bảo cho học sinh
giải được bài tập đã cho. Tuy nhiên sự hướng dẫn đòi hỏi phải theo sát tiến
trình hoạt động giải bài tập của học sinh không thể chỉ dựa vào những lời
hướng dẫn soạn sẵn mà phải kết hợp được việc định hướng với việc kiểm tra
kết quả hoạt động của học sinh để điều chỉnh sự giúp đỡ thích ứng với trình
độ của học sinh.
“ Dạy học giải Toán là một hoạt động trí tuệ khó khăn, phức tạp. Nó
đòi hỏi sự nỗ lực của cả người dạy lẫn người học bởi một lẽ: Người thầy


17
muốn có được phương pháp hướng dẫn để người học dễ hiểu, đòi hỏi người
thầy phải tư duy tích cực trước nội dung bài toán, đối tượng người học cụ thể
thì mới có phương pháp hướng dẫn phù hợp nhất và làm cho HS dễ đi đến
lời giải nhanh nhất, độc đáo nhất. Còn học sinh, để tìm ra và hiểu được thực
chất lời giải bài toán, không chỉ cần sự tác động bởi phương pháp gợi mở
của người thầy mà còn đòi hỏi chính bản thân mình phải có kiến thức
vững chắc đồng thời phải có khả năng vận dụng linh hoạt sáng tạo trong giải
quyết vấn đề bài toán đặt ra.
Dạy học giải Toán không chỉ làm cho học sinh nhớ mẫu rồi áp dụng
mà còn giúp cho học sinh ngày càng phát triển năng lực vận dụng linh
hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong bài
toán cũng như thực tiễn cuộc sống. Để đạt được yêu cầu, phương pháp tốt

nhất là phải tạo cho người học có tư duy độc lập, tích cực, chủ động trong
việc tìm ra lời giải của bài toán. Giáo viên không bao giờ chỉ ra lời giải cho
học sinh một cách thụ động. Chính vì thế, trong giờ dạy học giải toán, học
sinh phải được hoạt động một cách tích cực chủ động; còn giáo viên phải
biết tổ chức điều khiển bằng nhiều cách khác nhau như: hoạt động thảo luận
nhóm, tập trình bày các ý kiến riêng của nhóm, của cá nhân hoặc dùng hệ
thống các câu hỏi vấn đáp gợi mở, vấn đáp củng cố để đi đến cách giải tốt
nhất hoặc kết luận cần thiết cho mỗi giờ dạy học giải Toán hoặc mỗi bài toán
cụ thể.” [19]
1.1.5. Quan niệm về sai lầm của học sinh trong khi giải toán
1.1.5.1. Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết hành vi
Thuyết hành vi quan niệm rằng: Sai lầm của học sinh là một hiện tượng
tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh, nếu gặp thì
cần khắc phục. Trong dạy học, một số nhà giáo dục người Đức mà tiêu biểu
là Aphơgut Lai cũng cho rằng "Việc chú ý đến các sai lầm của HS trong giờ