Tiểu luận: Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán pptx

Tiểu luận
Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS
thơng qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm
của học sinh khi giải toán

1


1. Đặt vấn đề:
ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh,
có thể xem giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Dạy học giải
tốn có vai trị đặc biệt trong dạy học Tốn ở trường phổ thơng. Các bài tốn là
phương tiện có hiệu quả khơng thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển tư duy hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải toán
là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học tốn. Do đó, tổ chức có hiệu
quả việc dạy học giải tốn co vai trị quyết định đối với chất lượng giờ dạy học
Toán.
Tuy nhiên, thực tiễn ở các trường phổ thông cho thấy chất lượng dạy học
Tốn cịn chưa tốt, thể hiện ở năng lực giải tốn của học sinh cịn hạn chế do học
sinh vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phương pháp tốn học. Trong đó, một
trong những ngun nhân quan trọng là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng
mức việc phát hiện, tìm ra nguyên nhân và sửa chữa các sai lầm cho học sinh
ngay trong các giờ học Tốn để từ đó có nhu cầu về nhận thức sai lầm, tìm ra
nguyên nhân và những biện pháp hạn chế, sửa chữa kịp thời các sai lầm này,
nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy
học toán trong các trường phổ thơng.
Với lí do đó, qua việc quản lý và giảng dạy, chúng tôi đề cập tới “Rèn
luyện năng lực giải tốn cho học sinh thơng qua việc phân tích và sửa chữa các
sai lầm của học sinh khi giải toán”, nhằm nghiên cứu các sai lầm phổ biến của
học sinh phổ thơng khi giải tốn, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm để
hạn chế và sửa chữa các sai lầm nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh,

góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn ở trường phổ thơng.
Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, G.Polia cho rằng:
“Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình, A.A.Stoliar
phát biểu: “Khơng được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của
học sinh”, cịn theo J.A.Komenxkee thì: “Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể
làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên khơng chú ý ngay đến sai lầm đó, và
hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa, khắc phục sai lầm”.

2


Nguyên tắc sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải tốn thì cần phải tạo
động cơ học tập sửa chữa các sai lầm. Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm là
một nhu cầu và cần phải tham gia như một chủ thể một cách tự nguyện, say mê,
hào hứng. Tạo cho học sinh có động cơ hồn thiện tri thức. Cần lấy hoạt động
học tập của học sinh để làm cơ sở cho quá trình lĩnh hội tri thức. Hơn nữa các
nguyên tắc phải tập trung vào phong trào hoạt động, rèn luyện các kỹ năng học
tập của học sinh.
Việc sử dụng các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai
lầm của học sinh khi giải tốn, giáo viên cần phải lưu ý, có 3 phương châm đó
là: tính kịp thời, tính chính xác và tính giáo dục.
Ba phương châm hỗ trợ, bổ sung cho nhau làm cho các biện pháp thực
hiện đúng mục đích và kết quả.
2. Nội dung:
2.1. Những sai lầm thường gặp trong giải toán đại số:
Khi xem xét các sai lầm của học sinh, có thể sắp xếp theo từng chủ đề
kiến thức hoặc từ phương diện hoạt động toán học. Trong bài viết này, chúng tôi
đề cập tới những sai lầm chủ yếu của học sinh khi giải toán, theo một số chủ đề
kiến thức tìm ra nguyên nhân và cách khắc phục sai lầm của học sinh.
2.1.1. Sai lầm khi biến đổi biểu thức:

Những sai lầm khi biến đổi biểu thức thường mắc khi sử dụng các đẳng
thức khơng phải là hằng đẳng thức, đó là các “á hằng đẳng” đúng với điều kiện
nào đó. Đơi khi sai lầm xuất hiện do hiểu nhầm cơng thức.
Thí dụ 1: Rút gọn:
P = (1  x)2  (1  x)2
Lời giải sai lầm: ? Ta có: P = 1 + x + 1 – x = 2
Phân tích sai lầm: ! Nhớ rằng:

a 2 = a với a ≥ 0. Do đó phải sử dụng hằng

đẳng thức a 2  a
Lời giải đúng là:

P = 1 x  1 x
2x nếu x >1

P =

2 nếu -1 ≤ x ≤ 1
-2x nếu x < -1
3


Thí dụ 2: Rút gọn:
Q = x x  2  x3  2 x 2
? Ta có: Q =

x 2 ( x  2)  x 3  2 x 2

= x3  2 x 2  x 3  2 x 2  0

! Có thể thay x = -1 vào biểu thức Q thì thay Q = (-1).
( 1)  2  (1)3  2(1)2  1  1  2 . Chứng tỏ kết quả rút gọn trên là sai ! Vì

sao? HS nên nhớ rằng chi có a b  a 2b nếu a ≥ 0. Lời giải trên chỉ đúng khi x
≥ 0.
2.1.2. Sai lầm khi giải phương trình, bất phương trình:
Những sai lầm khi giải phương trình thường mắc khi HS vi phạm quy tắc
biến đổi phương trình, bất phương trình tương đương. Đặt thừa hay thiếu các
điều kiện đều dẫn đến những sai lầm, thậm chí sai đến mức khơng giải được
nữa! Một số sai lầm còn do hậu quả của việc biến đổi công thức không đúng,
như đã chỉ ra ở mục 2.1 .
Thí dụ 2: Giải phương trình:
 x 3  3x  2  x  1  2

? Điều kiện căn thức có nghĩa:
 x3  3 x  2  0

x 1  0

 x  1 2  x  2   0


 x  1




 x3  3x  2  0

 x  1

x  2  0
 
 x  1

 x  2
 
 x  1

Vậy không tồn tại giá trị của x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên
phương trình vơ nghiệm.
! Có thể chỉ ra với x = 1 thì cả hai căn thức đều có nghĩa và x = 1 chính là
nghiệm của phương trình. HS đã sai khi giải bất phương trình (x – 1)2(x + 2) ≤ 0
 x + 2 ≤ 0.

Thí dụ 3: Giải phương trình:
x2 1  x  1  x  1

? Điều kiện để căn thức có nghĩa:

4


 x2  1  0

x 1  0


( x  1)( x  1)  0
 

x 1  0

x 1  0

x 1  0

x  1
 
 x  1

 x 1

Khi đó phương trình có dạng:
( x  1)( x  1)  x  1  x  1

Vì x ≥ 1 nên

x  1  0 , chia hai vế cho

Vì với x ≥ 1 thì

x  1  x  1 nên

x  1 ta có:

x  1 1  x  1

x 1  1  x  1

Vậy phương trình vơ nghiệm.

 x2  1  0
! Sai lầm khi giải hệ:  x  1  0 nhiều HS tưởng rằng:


A.B≥0



A≥0

A≥0
B≥0

ở lời giải trên thiếu x = -1 và đó chính là nghiệm duy nhất của phương

trình. HS đã qn rằng

 A.B  0

A  0

 A  0

  Bconghia
 A  0

 B  0




Lời giải đúng là: Điều kiện căn thức có nghĩa:
 x2  1  0

x 1  0

 x  1

   x  1
 x  1


 x  1
x  1

 

Thay x = -1 thoả mãn phương trình
Với x ≥ 1 làm như lời giải trên.
Tóm lại: Phương trình có nghiệm x = -1.
Thí dụ 4: Giải và biện luận phương trình:
a 5

2a  5
 0 (*) theo tham số a.
x2

? Điều kiện: x ≠ 2. Khi đó (*)  (a - 5) (x - 2) + 2a + 5 = 0


(5 - a) (x - 2) = 2a + 5



x(5 - a) = 15
5


Nếu a ≠ 5 thì x =

15
5a

Nếu a = 5 thì phương trình vơ nghiệm.
! Sai lầm của học sinh không để ý x =

15
khi nào không là nghiệm của
5a

phương trình. Vì nghiệm phải thoả mãn x ≠ 2 nên khi

15
5
=2  a=
thì
5a
2

phương trình vơ nghiệm. Lời giải phải bổ sung điều này và kết luận đúng là:

a  5

15
15  a

Nếu 


thì x =

a  5
Nếu 

5
a   2


thì phương trình vơ nghiệm

5
a   2


Thí dụ 5: Giải phương trình
2x + x  3 = 16

(*)

? Điều kiện: x ≥ 3. Ta có:
(*) 

x  3  16  2 x  x – 3 = 256 – 64x + 4x

2

x  7
 4x – 65x + 259 = 0  
 x  37

4
2

Thoả mãn x ≥ 3. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 7 hoặc x =
! Sai lầm khi viết x  3  16  2 x



x – 3 = 256 – 64x + 4x2

b  0

Cần lưu ý HS rằng: a  b  

a  b

2

(không cần đặt điều kiện a ≥ 0). Ta có x =
Thí dụ 7: Giải bất phương trình:
1

x2  2 x  3

? (*)



1
(*)
x5
x2  2 x  3



x+5<



(x + 5)2 < x2 – 2x – 3



12x + 28 < 0



x< 

6

7

3

37
4

37
không là nghiệm.
4


! HS sai lầm khi nghĩ rằng

Mà đúng ra

1 1

a b

ab
0
ab

1 1
 
a b



b



 ab  0

a  b
 ab  0

a  b

2.1.3: Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức:
Các sai lầm thường bắt nguồn từ việc vận dụng các bất đẳng thức cổ điển
mà không để ý tới điều kiện để bất đẳng thức đúng, hoặc sử dụng sai sót các
quy tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia.
Thí dụ 1: So sánh:
1
và 2
x

x+

? áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số x và

1
ta có:
x

1
1
1
 x    x.  1

2
x
x

x



đẳng thức xảy ra

1
2
x

 x

1
2
 x  1  x  1
x

! Sai lầm vì khơng để ýđến điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức
Cauchy:
ab
 ab
2

Với a ≥ 0 và b ≥ 0.
2

1
x  1
2 =
x
x

Lời giải đúng: Xét x +

x  12 ≥ 0
x

x > 0  x +

x  12 < 0
x

 x < 0  x

1
2
x
1
<2
x

Thí dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a ta có:
a(1 – a) 

1
4

(*)

? áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số a và 1 –a ta có:
7


a 1 a 1

2
2

a (1  a ) 

 a (1  a ) 

1
4

! Lại vẫn sai như đã phân tích ở thí dụ 1, vì a và 1 – a chỉ không âm khi a
  0;1

Lời giải đúng là:
(*)

2

 a a 

1

1
2
 a a 0
4
4

2

1

  a    0 hiển nhiên đúng với mọi a
2


Thí dụ 3: Chứng minh rằng nếu:
a+b+c

>0

(1)

ab + bc + ca > 0

(2)

abc > 0

(3)

thì a > 0; b > 0; c > 0

? Do vai trị bình đẳng của a, b, c nên ta chỉ cần chứng minh a > 0.
Giả sử a < 0 thì từ (3)  bc < 0.
Từ (2)  a(b + c) > -bc > 0  b + c < 0
Từ a < 0, b + c < 0  a + b + c < 0 mâu thuẫn với (1). Do đó a > 0.
! Khi phủ định a > 0 để thực hiện phép chứng minh phản chứng thì phải
biết xét a ≤ 0. Lời giải trên thiếu trường hợp a = 0.
2.1.4. Sai lầm khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Những sai lầm khi tìm giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay
của biểu thức nhiều ẩn thường do vi phạm quy tắc suy luận lơgíc:
“Nếu f(x) ≥ m (m hằng số), với mọi x  A và tồn tại x0  A sao cho
f(x 0) = m thì giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền A là m” (có quy tắc tương tự cho
giá trị lớn nhất của f(x).
Đối chiếu với biểu thức nhiều ẩn cũng có quy tắc tương tự.
Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
F (x, y) = (x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 2)2
? với mọi x, y  R thì:
(x + y)2 ≥ 0
8


(x + 1)2 ≥ 0
(y – 2)2 ≥ 0
Vậy F (x, y) ≥ 0  x, y  R
Từ đó suy ra minF(x,y) = 0
! Sai lầm của lời giải là không chỉ ra các giá trị của x, y để F(x, y) = 0.
Nhớ rằng: F(x, y) ≥ 0  x, y  R và nếu tồn tại x0, y0 sao cho F(x, y) = 0 thì mới
kết luận được minF(x;y) = 0. Đối với bài tốn này, khơng tồn tại x0; y0 để
F(x0;y0) = 0
Lời giải đúng là:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với

a1 = -1

a2 = 1

a3 = 1

b1 = (x + y);

b2 = x + 1;

b3 = y -2

ta có:
1  ( 1).( x  y)  1.( x  1)  1.( y  2)

 3. F ( x, y )  1  3F ( x; y )  F ( x; y ) 

Đẳng thức xảy ra 

1
3

b1 b2 b3


a
a2 a3

4


x   3
 2 x  y  1 


 x  y  3
y  5

3


Vậy: minF(x;y) =

1
4
5
 x ; y
3
3
3

Thí dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
f(x) = x 2 
? Đặt t = x 

1
1

 2 x    5
2
x

x


1
1
thì x 2  2  t 2  2 nên
x
x

f(x) = g(t) = t 2  2t  3  (t  1)2  2  2t  R . Đẳng thức xảy ra  t  1
Do đó min f(x) = 2  t  1
! Sai lầm là chuyển bài tốn khơng tương đương. Giá trị nhỏ nhất của f(x)
không trùng với giá trị nhỏ nhất của g(t) với t thuộc R. Có thể thấy ngay với t =1

9


thì khơng tồn tại x và thực ra sai lầm ở lời giải này lại trở về sai lầm ở thí dụ 1 vì
khơng có giá trị của x để (x) = 2
Thí dụ 3: Tính giá trị nhỏ nhất của:
f(x) = x 
? Ta có f(x) =

x 3

1
x 3
1
3
x 3

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương
1

x  3 và

x 3

x 3
1
x 3

ta có:

 2  2  3  1 với mọi x ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi

x 3 

1
x 3







2

x 3 1

Thấy ngay không có giá trị của x thoả mãn vì

x 33





2

x  3  9 1

Vậy f(x) khơng có giá trị nhỏ nhất.
! Khơng có giá trị của x để f(x) = -1 thì chỉ suy ra được giá trị min f(x) > 1 và lời giải trên không đi đến được min f(x)
Thí dụ 4: Cho x, y là các số nguyên dương, thoả mãn: x + y = 2011.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x).
(Trích đề thi HSG tỉnh Tốn 9 năm học 2010 – 2011)

Có khơng ít học sinh đã có lời giải sai lầm:
? Ta có P = (x + y)3 – 3 (x + y)xy + 2 xy
= 20113 - 6031 xy
2

áp dụng BĐT
=>

x y

20112
xy ≤ 
(*)

 =
4
 2 

P ≥ 20113 - 6031 .

20112
20112.2013
=> P ≥
(**)
4
4

20112.2013
Giá trị nhỏ nhất của P là
4

! Dấu bằng ở bất đẳng thức (*) không xảy ra do điều kiện x, y nguyên
dương nên dấu bằng ở bất đẳng thức (**) khơng xảy ra.
2.1.5. Sai lầm khi giải bài tốn phương trình bậc hai.
10


Khi giải tốn về phương trình bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú
ý đến giả thiết của các định lý mà đã vội vàng áp dụng hoặc là lạm dụng suy
diễn những mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu các trường hợp cần biện luận.

Thí dụ 1: Tìm m để phương trình:
(m – 1)x 2 + (2m -1)x + m + 5 = 0
Có hai nghiệm phân biệt?
? Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:
2

 > 0  (2m – 1) – 4(m- 1)(m + 5) > 0


-20m + 21 > 0



21
20

m<

! Có thể chỉ ra với m = 1 <

21
mà phương trình chỉ có 1 nghiệm x = -6.
20

Nhớ rằng ax2 + bx + c = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt
a  0

  0

Thí dụ 2:

Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ:
x  y  m
 2
2
2
 x  y  m  6

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
F = xy – 6(x + y)
? Ta có: x2 + y2 = -m + 6



= -m2 + 6

(x + y)2 – 2xy



m2 – 2xy = -m 2 + 6



xy = m2 -3

Do đó: F = m2 – 6m – 3
= m 2 – 6m – 3 = (m – 3)2 – 12
Vậy min F = -12



m=3

F khơng có giá trị lớn nhất vì F là hàm bậc hai với hệ số m 2 là a = 1 > 0
! Lời giải không đặt điều kiện để tồn tại x và y. Do đó đã xét với mọi m
thuộc R.
2.2. Phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của học sinh trung học
cơ sở khi giải toán
2.2.1. Nguyên nhân 1: Hiểu khơng đầy đủ và chính xác các thuộc tính
của các khái niệm toán học.
11


Chúng ta biết rằng: Khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy toán
học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc
trưng cho bản chất của các đối tượng được phản ánh trong khái niệm chính là
nội hàm của khái niệm. Tập hợp các đối tượng có chứa các dấu hiệu trên chính
là ngoại diên của khái niệm. Việc khơng nắm vững nội hàm và ngoại diên của
một khái niệm sẽ dẫn HS tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất
khái niệm. Từ đó các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác nhiều khái
niệm trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm có trước đó.
Việc HS khơng nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc không hiểu và khơng
thể có biểu tượng về khái niệm khác.
Nhiều khi người ta hay nói tới sự “mất gốc” của HS về kiến thức thì trước
hết cần hiểu rằng: đó là sự “mất gốc” về các khái niệm.
Như vậy qua các dẫn chứng cụ thể trên chúng ta có thể thấy từ việc khơng
nắm vững các thuộc tính của khái niệm, học sinh có thể bị dẫn tới các sai lầm
trong lời giải. Chúng tôi xin lưu ý tới nguyên nhân này vì nếu giáo viên khơng
có các biện pháp kịp thời thì chính từ đó sẽ gây ra hậu quả lớn cho học
sinh, thể hiện qua sơ đồ sau (sơ đồ 1):

Nhận dạng
sai

Khơng nắm
vững nội hàm

Biến đổi
sai
Kí hiệu
sai

Khơng nắm
vững các
thuộc tính

Chứng minh
sai
Vẽ hình
sai
Diễn đạt
sai

Khơng nắm
vững ngoại
diên
Học
sinh

Thể

Khơng phát
Khơng phân
tích
hiện
Khơng củng
cố
Khơng phân
loại
12

Giáo
viên

hiện

sai


2.2.2. Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lí.
Định lí là một mệnh đề đã được khẳng định đúng. Cấu trúc thơng thường
của định lí có dạng A  B. Trong cấu trúc của định lí A  B thì A là giả thiết
của định lí và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng được định lí. Người ta cịn nói
A là điều kiện đủ để có B. Nhưng khá nhiều học sinh lại khơng nắm vững hoặc
coi thường giả thiết A nên dẫn tới sai lầm khi giải tốn.
Khi học định lí Viét thuận, nhiều học sinh chỉ nhớ tổng và tích hai nghiệm
là bao nhiêu, chứ không để ý tới giả thiết của định lí là phương trình phải là
phương trình bậc hai có nghiệm (a  0,   0 ) do đó học sinh sẽ mắc sai lầm khi
áp dụng định lí này.
Khi học về bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý tới giả thiết chỉ áp
dụng bất đẳng thức cho các số không âm nên khi gặp bài toán so sánh x + 1/x

với 2 số đã áp dụng ngay để có kết luận sai lầm x + 1/x > 2 với x ≠ 1 và x + 1/x
= 2 với x = 1.(?)
Tóm lại việc khơng nắm vững cấu trúc logic của định lí sẽ dẫn học sinh
tới nhiều sai lầm trong khi học toán và giải tốn. Chúng tơi xin lưu ý bởi sơ đồ
sau (sơ đồ 2):

ĐịNH Lí

Khơng nắm vững A

Khơn
g có
A
vẫn
suy
ra B

Khơng
có A
suy
ra
khơng
có B

A  B

Khơng nắm vững B

Sử
dụng

B mà
khơng
có A

Sử
dụng
định
lí
chưa
đúng

Có B
suy
ra
có A

Lời giải sai

13
Học sinh

Giáo
viên

Có A
nhưn
g
suy
ra
khơn

2.2.3. Nguyên nhân 3: Thiếu các kiến thức cần thiết về lơgic:
Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đốn – một trong các
hình thức của tư duy. Hoạt động suy luận khi giải toán dựa trên cơ sở của lôgic
học. Học sinh thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầm trong suy
luận và từ đó dẫn đến các sai lầm khi giải toán.
Ngay việc sử dụng từ nối “và”, “hoặc” vẫn là điều khó khăn của rất nhiều
học sinh. Lẽ ra cần khẳng định: tam giác cân hoặc vng thì lại khẳng định tam
giác là tam giác vuông cân. Khi biến đổi phương trình tích AB = 0, học sinh vẫn
viết A = 0 và B = 0.
Không nắm được phép phủ định học sinh rất khó khăn khi dùng phương
pháp chứng minh phản chứng. Việc “phủ định khơng hồn tồn” sẽ dẫn tới sai
lầm trong lời giải phủ định a > 0 là a < 0 gây cho lời giải thiếu trường hợp a = 0.
Trong SGK thì các phép chứng minh được trình bày theo phương pháp
tổng hợp mà khơng qua phương pháp phân tích để dẫn tới cách chứng minh
trong khi đó thì giáo viên lại khơng thể hiện dưới dạng tường minh các kiến thức
về quy luật, quy tắc, phương pháp suy luận đã được sử dụng.
2.2.4. Nguyên nhân 4: học sinh không nắm vững phương pháp giải
các bài tốn cơ bản:
Học sinh khơng nắm vững phương pháp giải các bài tốn cơ bản thì dẫn
tới sai lầm trong lời giải.
Không nắm vững phương pháp giải học sinh không nghĩ ra được đủ các
khả năng cần xét và dẫn tới đặt điều kiện sai.
Không nắm vững phương pháp giải, học sinh sẽ biện luận không đủ các
trường hợp xảy ra của bài toán.
2.3. Bốn biện pháp sư phạm chủ yếu nhằm hạn chế và sửa chữa sai
lầm cho học sinh.
2.3.1. Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ chính xác các kiến thức về bộ
mơn Tốn:

* Tình huống 1: Dạy toán học như thế nào để tránh sai lầm cho học sinh
khi giải toán?
Giáo viên cần dự đoán trước (bằng kinh nghiệm bản thân hoặc trao đổi
với đồng nghiệp), các khả năng khơng hiểu hết những thuộc tính của khái niệm.
14


Nếu dự đốn được các sai lầm trên thì chắc chắn giáo viên sẽ chuẩn bị bài
giảng của mình để đề phòng trước sai lầm cho học sinh. Sự chủ động đề phòng
sai lầm xuất hiện bao giời cũng mang tính tích cực hơn là sửa chữa sau này.
Những sai lầm của học sinh về khái niệm toán học mang dấu ấn khó phai và rất
mất cơng chỉnh lại cho chính xác.
ở đây cũng cần lưu ý phân biệt việc chưa hiểu hết với hiểu sai. Có những
khái niệm khó, học sinh khơng hiểu hết các thuộc tính ngay một lúc mà phải qua
các hoạt động nhận dạng và thể hiện mới đi tới sự trọn vẹn. Chính việc chưa
hiểu hết các thuộc tính của khái niệm sẽ rất dễ dẫn đến hiểu sai khái niệm. Do
đó có những sai lầm của học sinh phải làm cho học sinh hiểu hết các thuộc tính
của khái niệm thì mới mong học sinh hết hiểu sai. Ví dụ: Khái niệm hàm số, học
sinh cần phải hiểu rõ ba thuộc tính của khái niệm đó là:
+ Tập X, Y là các tập hợp số.
+ Mỗi giá trị của x đều có giá trị y tương ứng.
+ Giá trị tương ứng y là duy nhất.
* Tình huống 2: Dạy các định lí tốn học như thế nào để học sinh tránh
sai lầm khi giải tốn?
Nói tới định lí tốn học là nói tới một khẳng định đúng (dù chúng ta có
dạy phép chứng minh định lí hay khơng). Tuy nhiên, việc quan trọng mà giáo
viên cần quan tâm đầu tiên là cấu trúc lôgic của định lý. Như chúng tơi đã phân
tích, việc khơng nắm vững cấu trúc định lí sẽ dẫn học sinh tới sai lầm khi giải
tốn. Các định lí tốn học thường được diễn đạt theo cấu trúc A  B. Ai cũng
biết A là giả thiết và B là khẳng định, kết luận của định lí. Nhưng chúng tơi xin

lưu ý thêm: A cho biết dùng định lí khi nào và B cho biết sẽ kết luận, suy ra
được gì khi có A.
Dạy định lí tốn học có thể được thực hiện theo hai con đường, con đường
suy diễn và con đường có khâu suy đốn.
Nhằm hạn chế và đề phịng các sai lầm của học sinh khi giải tốn chúng
tơi thấy cần thiết phải phân tích rõ giả thiết của định lí. Học sinh nhiều khi
khơng quan tâm tới giả thiết định lí mà chỉ quan tâm tới kết luận của định lí nên
dẫn tới sai lầm.
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) có nghiệm x1, x2 thì
tổng và tích các nghiệm của nó là:

15


b

 x1  x2   a


 x .x  c
 1 2 a


Cấu trúc của giả thiết: a  0    0 . Trước khi dùng định lí này phải
kiểm tra hoặc đặt điều kiện để bài toán thoả mãn đồng thời hai điều kiện của giả
thiết. Học sinh rất hay quên điều kiện a ≠ 0. Nhiều học sinh vẫn tính tổng và tích
các nghiệm của phương trình x2 – x + 1 = 0 mặc dù phương trình này vơ
nghiệm.
Giáo viên cần tạo ra những thí dụ mà các điều kiện của giả thiết chưa
thoả mãn hoàn toàn để học sinh thấy rằng mọi điều kiện của giả thiết là không

thể thiếu được.
Giáo viên cũng cần nêu ra ở thí dụ để thuyết phục chứ khơng chỉ dừng lại
ở việc nhắc nhở. Các thí dụ, mà đặc biệt các phản thí dụ bao giờ cũng tạo ấn
tượng đối với học sinh.
Ví dụ:
x

x nếu x ≥ 0
- x nếu x < 0

ở đây x = -x khi x < 0 ( nhưng khi x = 0 thì x = - x). Điều này chứng tỏ
x < 0 chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để tránh sai lầm cho
học sinh.
Khi dạy một định lí cần chỉ ra cho học sinh các hướng dẫn ứng dụng của
định lí để tạo ra sự nhạy cảm của học sinh khi đứng trước một bài tốn biết nghĩ
tới việc vận dụng định lí nào.
Điều đặc biệt cần lưu ý là khi dạy định lí tốn học cho học sinh là giáo
viên cần cho học sinh thấy rõ phương pháp phân tích chứng minh định lí. Chính
biện pháp này giúp cho học sinh dễ đi tới chứng minh đúng trong giải tốn sau
này.
* Tình huống 3. Cung cấp các kiến thức về lôgic như thế nào để học sinh
tránh sai lầm khi giải toán?
Theo thực nghiệm của chúng tơi, việc đưa các ví dụ theo ngơn ngữ tự
nhiên cần đi trước các thí dụ theo ngơn ngữ tốn học. Đây chính là con đường đi
từ “trực quan sinh động” đến “tư duy trừu tượng” của nhận thức. Chẳng hạn có
thể nêu mệnh đề A = Trời nắng ; B = Đội mũ thì thơng thường học sinh
được nhắc nhở “Nếu trời nắng thì đội mũ” nên học sinh dễ hình dung ra ý nghĩa
của phép kéo theo A  B.
16

A là đủ để có B nhưng lưu ý là nhiều học sinh vẫn đội mũ khi trời không
nắng, nghĩa là A chưa phải là điều kiện cần để có B.
Đặc biêt, nếu A  B là đúng thì đây là một ví dụ để nhấn mạnh mệnh đề
đảo B  A khơng đúng, học sinh có thể thấy ngay việc mình đội mũ khơng làm
cho trời nắng.
Chẳng hạn, nếu A = số tự nhiên có tận cùng là 0 ; B = số tự nhiên có
tận cùng là 5 ; C = số tự nhiên chia hết cho 5
C   A  B  do đó

thì ta có  A  B   C đồng thời

 A  B   C là tiêu chuẩn chia hết cho 5 của số tự nhiên. Khi

kiểm tra một số chia hết cho 5 hay không chỉ cần kiểm tra A hoặc B. Từ đó phủ
định mệnh đề này ta có ( A  B)  C , qua đây học sinh nắm rõ bản chất của dấu
hiệu chia hết cho 5.
Giáo viên có thể chủ động đưa ra các suy luận sai để học sinh phân tích và
tránh vấp phải sau này.
Đặc biệt cần làm cho học sinh nắm được phương pháp phân tích đi lên,
phân tích, tổng hợp, phản chứng, quy nạp.
Giáo viên cần tận dụng bất cứ cơ hội nào, miễn là hợp lí, để khắc sâu kiến
thức lôgic cho học sinh. Chẳng hạn với học sinh khá giỏi lớp 9, đối với hệ
phương trình:
bx  y  a

2
 x  by  c  c

Thì việc phân tích hai yêu cầu sau đây là khác nhau chính là tăng cường kiến

thức lơgic.
- Tìm a sao cho với mọi b ln tồn tại c để hệ có nghiệm.
- Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với mọi b
Học sinh nắm vững các kiến thức về lôgic sẽ hạn chế được nhiều sai lầm
khi giải tốn.
* Tình huống 4: Trang bị phương pháp giải các bài toán cơ bản như thế
nào để tránh sai lầm của học sinh khi giải tốn?
Có thể nói rằng các loại tốn cơ bản trong chương trình Đại số THCS đều
có phương pháp giải. Việc trang bị các phương pháp giải này chính là làm cho
học sinh có điều kiện nắm vững các loại tốn cơ bản:
Ví dụ: Giải phương trình:
ax2 + bx + c = 0
a=0

a≠0
17


c=0
vơ định

Ä = b2 – 4ac

b≠0

b=0
c≠0

PT có nghiệm

VN

duy nhất

Ä<0 Ä=0
VN

Ä>0

nghiệm kép 2 nghiệm phân biệt

Việc rèn luyện cho học sinh lập các sơ đồ như trên vừa làm học sinh nắm
vững phương pháp giải, vừa phát triển tư duy cho học sinh. Từ đó học sinh có
thể tránh sai lầm khi giải toán.
Tuy nhiên cũng cần lưu ý học sinh là với một loại tốn có thể có nhiều
phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp giải tối ưu
để giải quyết bài toán cụ thể.
Từ lời giải một bài toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm ra
phương pháp giải cho một lớp bài toán. Biện pháp này giúp học sinh hiểu bản
chất lời giải cụ thể và tư duy khái qt hố được phát triển. Tránh tình trạng
“làm bài nào biết bài ấy”.
Nhờ thực hiện biện pháp 1, trong đó có việc trang bị các kiến thức về
lơgic cho học sinh mà việc thực hiện kiểm tra sự có lí của từng bước suy luận
thực hiện được thuận lợi.
Mỗi khi có lời giải sai là một dịp tốt để giáo viên cho học sinh thực hành
thao tác các dấu hiệu nhận biết sâu sắc một cách thú vị và giờ học tốn sẽ hấp
dẫn và học sinh tích cực hoạt động, nói đúng ra là có điều kiện để tích cực hoạt
động.
2.3.2. Biện pháp 2: Học sinh được thử thách thường xuyên với những
bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải.

Đây là biện pháp thường trực, kể cả khi sai lầm nào đó đã được phân tích
và sửa chữa cho học sinh.
Để thực hiện biện pháp này, giáo viên phải biết đặt các bài tốn có chứa
các “bẫy”.
Với bài tốn “Chứng minh với mọi a, b, c thì (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥
8a2b 2c2 đã lơi cuốn 98,5% học sinh tham gia và có lời giải. Tuy nhiên, khá đông
học sinh bị sai lầm trong lời giải của mình khi nhân các bất đẳng thức cùng
chiều.
Như vậy, để đạt mục đích sư phạm thì “bẫy” phải làm cho bài tốn có tính
thử thách để đo độ vững vàng về những kiến thức cụ thể của học sinh.
18


2.3.3. Biện pháp 3: Theo dõi một sai lầm của học sinh khi giải toán
qua các giai đoạn:
*Giai đoạn 1: Sai lầm chưa xuất hiện
ở giai đoạn này giáo viên có thể dự báo trước các sai lầm và thể hiện ở các
chú ý đối với học sinh.
Chẳng hạn giáo viên có thể chú ý bất đẳng thức Cauchy chỉ được áp dụng
với các số khơng âm, vì vậy để chứng minh a (1 – a) ≤

1
bằng cách áp dụng bất
4

đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1 –a là sai lầm. Tất nhiên, để dự báo tốt giáo
viên phải được trang bị hiểu biết về các sai lầm của học sinh khi giải tốn và
phải có năng lực chuyên môn, kinh nghiệm sư phạm.
*Giai đoạn 2: Sai lầm xuất hiện trong lời giải của học sinh:
Đây là giai đoạn đòi hỏi giáo viên phải kết hợp được ba nguyên tắc kịp

thời, chính xác, giáo dục cùng với sự tích cực hố của học sinh để vận dụng các
hiểu biết về việc kiểm tra lời giải nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và
sửa chữa lời giải.
Quy trình ở giai đoạn này là giáo viên theo dõi thấy sai lầm  giáo viên
gợi ý để học sinh tìm ra sai lầm  học sinh tự tìm ra sai lầm  giáo viên gợi ý
chỉnh lời giải  học sinh thể hiện lời giải đúng  giáo viên tổng kết và nhấn
mạnh sai lầm đã bị mắc.
Nhiều sai lầm của học sinh khá tinh vi, có khi giáo viên khơng phát hiện
kịp thời.
Giai đoạn này địi hỏi giáo viên phải có thái độ đối xử khéo léo sư phạm
để tăng hiệu quả giáo dục.
Tuỳ theo mức độ sai lầm mà giáo viên quyết định sử dụng các biện pháp
sư phạm thích hợp.
Có khi giáo viên cần đưa ra lời giải đúng để học sinh tự đối chiếu và tìm
ra sai lầm của lời giải sai, đây cũng là một gợi ý để học sinh nhận ra sai lầm.
Có khi giáo viên chủ động đưa ra lời giải sai để học sinh nhận dạng các
dấu hiệu tìm ra sai lầm.
19


Có khi giáo viên đưa ra nhiều lời giải khác nhau để học sinh phân biệt sự
đúng sai của lời giải, có thể sử dụng phương pháp trắc nghiệm tồn lớp để mọi
học sinh đều phải suy nghĩ và có ý kiến.
Ngược lại, nếu giai đoạn này giáo viên không kịp thời phân tích và sửa
chữa sai lầm của học sinh khi giải tốn thì các sai lầm sẽ ngày càng trầm trọng,
giáo viên khơng hồn thành nhiệm vụ dạy học, học sinh sẽ sút kém về kết quả.
* Giai đoạn 3: Sai lầm đã được phân tích và sửa chữa.
Giáo viên cần xây dựng hoạt động học cho học sinh và thử thách thường
xuyên học sinh qua các bài toán dễ dẫn đến các sai lầm đã sửa.
Sự nỗ lực của thầy và trò chưa dứt bỏ một sai lầm thì sai lầm đó lại bước

vào một vịng tồn tại mới. Điều quan trọng là làm sao, cuối cùng có thể qua
nhiều vịng giáo viên cần xố hẳn sai lầm cho học sinh.
Việc chia ba giai đoạn đối với một sai lầm chỉ có ý nghĩa nhấn mạnh thời
điểm của sai lầm. Trong một thời điểm dạy học giáo viên có khi đồng thời tác
động đến cả ba giai đoạn, bởi vì vừa “phịng tránh” các sai lầm chưa xuất hiện,
vừa lo phân tích và sửa chữa các sai lầm đang xuất hiện đồng thời lo xoá hẳn
những sai lầm đã sửa chữa. Sơ đồ sau chỉ rõ sự kiên trì để xố bỏ một sai lầm
của học sinh.

Sai lầm chưa
xuất hiện

Sai lầm
xuất hiện

Phịng
tránh

Phân tích
sửa chữa

Củng cố
thử
thách

20

Sai Chúng
lầm
được xố

bỏ


Chúng ta có thể khẳng định rằng, học sinh cịn mắc nhiều sai lầm trong khi
giải toán, nếu những sai lầm của học sinh được hệ thống lại thì sẽ giúp giáo
viên dễ phát hiện trong lời giải của học sinh; những sai lầm đó xuất phát từ
nhiều nguyên nhân về kiến thức, để từ đó giáo viên có biện pháp phân tích, sửa
chữa sai lầm cho học sinh khi giải tốn, nâng cao chất lượng giảng dạy học bộ
mơn Tốn ở trường phổ thơng.

III. Kết luận
Đề tài đã chỉ ra các sai lầm của học sinh khi giải toán là hiện tượng phổ
biến hiện nay, kể cả học sinh khá giỏi mơn tốn. Các sai lầm này có thể hệ thống
lại, chẳng hạn theo từng loại toán chủ yếu nhằm giúp giáo viên dễ phát hiện và
sửa chữa cho học sinh.
Đề tài đã phân tích các nguyên nhân chủ yếu về kiến thức của học sinh gây
nên các sai lầm khi giải toán và đề xuất ba phương châm chỉ đạo (tính kịp thời,
tính chính xác, tính giáo dục) để việc sử dụng bốn biện pháp sư phạm nhằm hạn
chế và sửa chữa sai lầm cho học sinh có hiệu quả.
Nếu người giáo viên nắm bắt được các sai lầm phổ biến của học sinh khi
giải toán, đồng thời biết cách phân tích và sử dụng các biện pháp dạy học thích
hợp để hạn chế, sửa chữa các sai lầm này thì năng lực giải tốn của học sinh sẽ
được nâng cao hơn.
Với kinh nghiệm của 20 năm dạy tốn cho nhiều đối tượng và quản lý
chun mơn, có thể bước đầu được khẳng định tính khả thi, tính hiệu quả của
các biện pháp đã đề xuất.
IV. Khuyến nghị - đề xuất:

21

Các kết quả nghiên cứu cịn có thể phát triển theo nhiều hướng. Chẳng
hạn, nghiên cứu các sai lầm của học sinh khi giải tốn trong phân mơn hình học
hoặc trong các môn học khác ở trường trung học cơ sở. Nội dung có thể làm tài
liệu tham khảo bổ ích hoặc triển khai thành các chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ
cho giáo viên giảng dạy toán THCS.
Xác nhận của Phòng GD & ĐT
Trưởng Phòng

Xác nhận của UBND huyện
Chủ tịch

22