Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học chủ đề nguyên hàm - tích phân ở trường phổ thông



“Trong môn toán HS còn mắc nhiều sai lầm, nếu trong dạy học người giáo
viên hình dung trước những thiếu sót hoặc sai lầm mà HS có thể mắc phải thì sẽ
biết cách nhấn mạnh, lưu ý hoặc biết cách chốt lại những chỗ cần thiết và nhạy
cảm. Ngược lại, nếu chúng ta không có khả năng cảm nhận và tiên lượng sai
lầm mà HS thường hoặc sẽ mắc phải thì ta không thể hình dung được chỗ nào là
chỗ cần thiết, cần thiết hơn, chỗ nào mang tính cơ học. Không có một trình độ
nhận biết về kiểu sai lầm và khó khăn của HS trong môn toán thì việc dạy toán e
rằng cũng chỉ trang bị kiến thức dĩ nhiên mức độ cảm nhận về toán sẽ không
có”. 
!"#$ %&'()*+,  /.,.01 2. ,
*3!14*!"
5 * !*6 6*7 !8*39:*4 ;< = ;
> ? .*@*=AB+C.+ năng lực giải Toán của học sinhcòn hạn
chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầmDE**3!/FC.
*3! . <G1E*  '<1H + *+=@I,
/.  ,.01 ! ,.*3!  9 !J'(8
 ,(KL*J*3sai lầm nối tiếp sai lầm.
#M ;(C.'B1!L GKN'7 C.*F1(6'(sai lầm
*3! E ,@ O*3! HK!. (K!. 'M
61*P.*3? 2.+ ,  /.,.01 2. ,*3!C*3J
!= Q=R)4.'M*ABS&!9AN* 8
/,.01/*N,;* 2.1J"TU=*3VWXY= ?ZZ*4.3*J6
13[S“Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của
học sinh”  ;*BKQ'\3[=  ,.01 2. ,*3!
! ;*B1I KI ] '7 .
^+*.1 O'M ;1E*,@* C.*F1'N6'(=*3! 
4*3J H'( *P,.01 2. ,*3!! ;*BKB
*PN,_ 2.@6*TXY'M`a1`b*  ,.01
2. ,8*c 2'(KN*H & F .*a!KB 2.* 

@6* ;'B1< !9'  ;*B]81H 'E!
';!*5 *= H!3. ? ;  * K 
30)=$d#H =&.1=30$/)< 0'F
6** 'M !3. @, “ Phát hiện và sửa chữa
sai lầm cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường phổ thông".#M
'( 'N,.01 2. ,*4C.  !  !*'EK
!
1
  KB,.014 e!<`b*'N eK
F*   KB,.01 2. ,= ;. !'9*N =';S.018
 dạng Toán,.018  hoạt động Toán4 !3[K4 
6* !'9!= ;_. <*.'d*95.!.* SDE*
* dạng toán1E** chất lượng tiến hành  hoạt động*3!
14!
3! *3J* fV=E1* F ;1E*\
*3'L A+*C.*3*3! *3J* fV#FKN*H 1P'@
P ,=;'7 ]3E3M*3!*! =*3!K!. Kg**
; ;* ] H  AE14K!. K F'7 ,5
H*< * !'.,@ ,'@P ,=P*8
*3J'E*3 :*4=1* F1E*KN*H 1P
K;=0'0*  a1'7 *N`< =J*NK4*3Kh/Aii
<*<,.01K 6'(= ]*BK;K=,.01(,5B
K4'0'2=*N ` K+11P=*3!+ *B+
K+1=K;K*3!+ ]*35 *N   4*H *3!A
1 A
& a1*91I /,.011  a1,jK4*51JKI ]
'7 NK4 ;,5Pk 2.9*0
[1< ,I1 I   KN*H (1=* F= ;
Kg** FH]* F'B  A*!C.=*4
'(*l !"#" "$%& '()*+

 (,*-&./012'34(056( l
789/(-:,
m&n3. ! ,*6/,.01*91I o.';=
,B'<A 6* 2.6'(
mpdi ! ,(=Kg*!o.';
,F .!K*=,*!
;&9(-:,
m)F*   F,.01 2. ,K 1* 
F
m#(`6*  A+,1'B N,  /.,.01
m#*5 *NC*3J]A*1=* F
+ H]* F!*5 *=  A*!C.='B ;'7 A
*!! n ` 
<=3>((-:,
m& A*!1=* FH] 2.* Fm qqq=
* PfV
2
?3@(00(-:,
m)'(*3.
m)'@ H
ABCD
E')(+"0 !"#" "$%& F
+(,*-&G/01"*
3!C*3J3r+5 *! ! ,=9!
0*N**+K\*9/,.01 2. ,K*!='d*9
]  A+,  /.,.01';&4+  ncK
5 *! 2. ,'M'2,H *5'9 2.1J(K
! nH*<KP*+  !*!91k'B1!3[
 , ;*BAN*!L /A*!**5*5 *N !*6
3[=,5*N*4*1!'.'N ! , ;(N

*@ 2C.!L K C.Fs*1 A\,.+ =!';`6*+
/,.01 2. ,K*!t5  2. , ?N*J
+ `6*+*3!9K;*3Kh
+  n3.,.01 ! , 0*N*='(C.*3
F* '7 /F k'N,.01';
Fk'N,.01 2. ,K*!1
* FS5BAN*K4'<  K+1],.  '\=
C*I =*N(K+=,. H='*3!'(
7H)( "$%& 
& KB,.014 e!<`b*'N eKF*   KB
,.01 2. ,= ;. !'9*N =';S.018  dạng Toán
,.018  hoạt động Toán
7HFI, "$%&2)(F(J(,*-&G/01
.018  !=/,.01*E 0C.*P,5B
AN*K4'<  K+1],.  '\=C*I 
Ví dụ:
 K"$%&. Không hiểu đúng khái niệm, kí hiệu
/  9   &H  1  S 
 % f %
x
F x x e
−
= − +
   1E*    1  2.
 %
x
f x xe
−
=
c';M*J11 2.

 %  f%
x
g x x e
−
= −

Mét số học sinh có lời giải như sau:
. ;S
u
 % f %   %
x x x
F x e x e x e f x
− − −
= − + + = =
=,3.v`%1E*
1 2.w`%
. ;S
 %  f%
x
g x dx x e dx
−
= −
∫ ∫
3

 f %
f %  
− − − −
− − −
= − = − + + − − +

   
   
= − + + = −
∫ ∫
x x x x
x x x
x e dx e dx x e C e C
x e e x e

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<
y%
• Hãy tìm nguyên nhân sai lầm:
#MN* e1E*[,@& !.b*1p 6* 2.,.
01!$K4B3zK+11=k*P+  H1
+*H /.  1A[   H1'!1.NA[
."#jB3[1 2.1E*1,@f(x)1E**7
 1F(x),.! !F(x)’=f(x)  H1.1A[.=
*H *a!*I  H1.*7A[.
• Lời giải đúng là:

 %  f% 
x x x
g x dx x e dx x e dx e dx
− − −
= − = −
∫ ∫ ∫ ∫

f V
f V
f %

f %
x x
x x
x e C e C
x e e C C
− −
− −
= − + + − − +
   
   
= − + + + −


x
x e C
−
= − +
P
f V
C C C= −
%
/  9 7 tB1  *3. 
 % , %%F x x=
 ;        1  2.
!*
 %
, %
x
f x
x

=
.K4
• Một số học sinh có lời giải như sau:
[ ] [ ]
u
u u
u
f f , %
 % , %  , % 
, % , % ,
x
F x x x
x x x
= = =

!, !*
 %
, , % , %
x x
f x
x x x
= = =

v`%1E*1 2.1w`%
x%$M*J1F,.01*3!9*3
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
J
, % f Wx < = ⇒
t4*d*

, %%x

v`%K4*d*K4*B1 2.w`%
4
/9;* F
W
V
f
V V
dx
I
x x
−
=
+ +
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
W W
V V
f f
W
 f% f W
f
V V  f% f X
dx dx
I arctg x arctg arctg
x x x
π
− −

= = = + = − =
−
+ + + +
∫ ∫

x%$M*J1F*N,;**3!9*3 !9'<
y%
• Nguyên nhân thiếu sótS
3!  *1*.'MeKN*CAB*a!.3 *K
+1K4 ;*3!, !K!.+*9
• Lời giải đúngS
#L*
V V
f *. f *. % f %u x t du t dt u dt= + = ⇒ = + = +
W f
X X
V
V V V
f W W W
 f% f %
X
 f% f f f X
W
d x du u dt
I dt t
x u u
π π
π
π
−

+ +
⇒ = = = = = =
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫

/9<* F
{
V
X
fU−
=
∫
x
I dx
x

• Một học sinh có lời giải như sau:

{ {
V V
V
X X
fU fU− −
= =
∫ ∫
x x x
I dx dx
x x

#L*

V
V
fU
fU
= − ⇒ = ⇒ =
−
xdx
t x dt xdx tdt
x

{ X | X |
V V
V V V
X W W
X |fU fU
f X
fU fU X
W
x x t dt t
I dx dt t arctg
x t t
−
   
= = = − = −
 ÷
 
+ +
   
∫ ∫ ∫


X
X |
|
π
= −

x%$M*J1F*N,;*, *N,;*';
y%
• Nguyên nhân thiếu sótS
5
3!  *1*.'MeKN*CAB*a!.3 *K
+1K4 ;*3!, !K!.+*9
• Lời giải đúngS
#L*
V
X X,
!, !,
t
x dx dt
t t
= ⇒ =
| | |
V V
V
V
W W
X, f
fU f% X *. X f *. % f
X
!,

!, 
!,
o
t
I dt tdt t dt
t
t
t
π π π
= − = = + −
 
 
∫ ∫ ∫

[ ]
X
X *. X |
|
|
W
t t
π
π
= − = −

/9?* F
V
V
V
 f%

dx
I
x
−
=
+
∫
• Một học sinh có lời giải như sau:
V V
V V
V V
V
 f% f f X
f
V
 f%  f% f | |
dx d x
I
x x x
− −
+
= = = − = − − = −
−
+ + +
∫ ∫

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<?
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
}!1,@ 

V
f
 f%
y
x
=
+
'!*3'!
[ ]
VsV−
K4,-]
'7  4*H *m.*'B** F*3
• Lời giải đúng:
}!1,@
V
f
 f%
y
x
=
+
K4` '\*
[ ]
f VsVx = − ∈ −
'!
*3
[ ]
VsV−
}!';* F*3K4*d*&0G3[*N* 2.
'\a~*!maAa*•€w`%*] *3T.sAY='F O 1

'7 ,-]'\
Chú ý: &;*B`b*
V V
f f
f f
1 = 1
 f%  f%
x x
x x
− +
→− →−
= +∞ = +∞
+ +
 1,@
K4A\ L*3
[ ]
VsV−
=!';* FK4*d*
 K"$%&7. Không bảo đảm tính lôgic của lời giải
6
/9
|
V f%x dx+
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
. ;S
X
|
V f%

V f%
X
x
x dx C
−
− = +
∫

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<
y%
• Nguyên nhân sai lầmS
9*3'M] 4*H 
f
f
n
n
x
x dx C
n
+
= +
+
∫
P
fn ≠ −

• Lời giải đúng:
. ;S
| | |
V f% f

V f% V f% V f% V f%
V V
d x
x dx x x d x
−
+ = − = − −
∫ ∫ ∫

X
V f%
{
x
C
−
= +

/97* F
X
V
W
U •I x x dx= − +
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:

X X X
V V
W W W
U •  |%  |%I x x dx x dx x dx= − + = − = −
∫ ∫ ∫


X
V
W
X
 |% f •
 |%  |% X
W
V V V
x
x d x
−
= − − = = − = −
∫

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<
y%
• Nguyên nhân sai lầmS
)bAN':
V
 |% |x x− = −
=P
[ ]
WsXx∈
K4*'
• Lời giải đúngS
X X X
V V
W W W
U •  |% |I x x dx x dx x dx= − + = − = −

∫ ∫ ∫

[ ]
| X
V V
W |
| X
 |%  |%
 |%  |%  |%  |%
W |
V V
x x
x d x x d x
− −
= − − − + − − = − +
∫ ∫
7

• f
‚
V V
= + =

/9;* F
V
W
f ,I xdx
π
= +
∫


• Một học sinh có lời giải như sau:
V V V
V
W W W
, !, % , !, % V , !, %
V V V V V V V
x x x x x x x
I dx dx d
π π π
= + = + = +
∫ ∫ ∫
V
V !, , % Vf f% X
W
V V
x x
π
= − + = + =

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<?
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
9*3,.01KAN':AB*H S

V
, !, % , !,
V V V V
x x x x
+ = +


• Lời giải đúng:
V V V
W W W
f , , !, V V , %
V V V X
x x x
I xdx dx dx
π π π
π
= + = + = +
∫ ∫ ∫
€
|
V
V
|
W
V
V V , % V V , %
V V V V
x x
dx dx
π
π
π
π π
+ + +
∫ ∫


|
V
V
|
W
V
V V , %  % V V , %  %
V X V X V X V X
x x x x
d d
π
π
π
π π π π
= + + − + +
∫ ∫

|
V
|
V
V
V V !, % V V !, %
W
V X V X
x x
π
π
π
π π

= − + + +

V V V V V V X V= + − + =

/9<* F
( )
f
V
V
V fI x dx
−
= +
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
8
#L*
V
= ⇒ =
dt
x t dx
t
t
Vx = −
*J
Xt =
=K
fx =
*J
ft =


}!';
( )
( )
f f X
V
V X f
f
V f V f
V
dt
I x dx t t dt
t t
−
 
= + = + = − +
 ÷
 
∫ ∫ ∫

X X
f f
V V
f f
X X
V VW
V
f f
| |
−

= − − = − − = −
∫ ∫
t dt t dt t t t

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
#B 2.A*!*3=K4*B'L*
x t=
P
[ ]
Vsfx∈ −

• Lời giải đúng:
. ;
( )
f f f
|
V V
V V V
f f
V
V f V V V fV
V V
|
x
I x dx dx x dx x
− − −
= + = + = + =
− −

∫ ∫ ∫

 K"$%&;. Không xác định đúng hình phẳng
/9*B* **B*3?`!.*!*!JQPA8 
'9
, = f= W=y x y x x
π
= = = =
C.`C.ƒ`
• Hai học sinh có lời giải như sau
$ ,*H6**,.S
V V
W
f
W
V dx x
π
π
π π π
= = =
∫

$ ,*H.*,.S
V
W W
f !,V
,
V
x
V xdx dx

π π
π π
−
= =
∫ ∫

V
f f
, V
W
V X V
x x
π
π
π
 
= − =
 ÷
 

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
&.9*3'(1,.K4` '\'<JQ= 0A
*!'MA\,.*H '(A\'*3!%9*H6* !3[*B* 
K@*3?`!.'M !A[*B* K@*3?`!.!JQPA8
 '9
f= W= W=y y x x
π
= = = =

C.`C.ƒ`*!*
9
π
ƒ
,y x=

f
`
$Jf„
9*H. !3[*B* K@*3?`!.'M !A[*B* K@
*3?`!.!JQPA8  '9
, = W= W== = = =y x y x x
π
quay xung quanh Ox t¹o thµnh.
• Lời giải đúng:
B* K@*3?`!. 0*J1S
( )
V
V V V
W W
, V
f , !,
W
V X V
x x
V x dx xdx
π π
π
π
π π π

 
= − = = + =
 ÷
 
∫ ∫

77HFI, "$%&L2)()M(F(J(,*-&G
/01
"Các sai lầm về chiến lược giải toán.
#F/,.0136*1*3=;,jk$'*a! !'9
1 ;*B QA.!9*P' !L *P' L36*(*38
& ,.01*9`6*+!$5.  N7 K4e7
PA*!J_3[A*!**5P1E*,@A*!11J
'MAN*  .'M,_*a!/lối thông thường
/9.…b*  A*!*  * F,.S

X
f
V
W
V
V
V
W
f
,` !, %
f
,` !, %
I dx
x

I dx
x
π
π
=
+
=
+
∫
∫
&.A*!*3'(*E !* F 2.1,@7  †
'@P,` !,`  *4*9 . *-1k !
V
!, =c x
!L 
V
, x
'B'L*t=tanx#.,@$ A'(AN* ;*3'B*
I
1
*3

X X
V
f
V V
W W
X
X
W

W
f
f
!,
, !, % *. f%
f
X
x
I dx dx
x x x
dx x
π π
π
π
π
= =
+ +
= = =
∫ ∫
∫
&?'@PI
2
K ,,-]  *3,j,.01JK . *-
1k !
V
!, =c x
!L 
V
, x
'B'L*t=tanx!L t=cotx*J1kA[W*   

6* F
#@P*397R 0$`b*7 'B1 2.
 ;*3 0G , 0!**3!*!* F'B
10
*3'7 ,.01*J1'7 9 ` R!'\P'B ,*J1
1@+ 4*H S
, !,x x
+
P
V !, %
X
c x
π
−
=*c';*.*J1'7 9,.S
V V
V
V V
W W
V
V
W
V
W
f f f
V
 V !, %%  !, %%
X X
f f f
  % *. % f

V X V X
 !, %%
X

I dx dx
c x c x
d x x
c x
π π
π
π
π π
π π
π
= =
− −
= − = − =
−
∫ ∫
∫

/97* F
W
f ,
dx
I
x
π
=
+

∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
#L*
*.
V
x
t =
*J
V
V V
V f f
s
f f , f %
dt t
dx
t x t
+
= =
+ + +
V
V
V V V
V f%  f%
f , f % f
*. f
V
dx dt
t d x C C
x

x t t
−
⇒ = = + + = − + = − +
+ + +
+
∫ ∫ ∫

W
V V V
W
f , *.W f
*. f *. f
V V
dx
x
x
π
π
π
⇒ = − = − +
+ +
+ +
∫

}!
*.
V
π
K4` '\* F*3K4*d*
x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<x

y%
• Nguyên nhân sai lầm:
#F,.01 2.(A.e 4*H 7 'BAB
,`= !,`=*.`= !*`C.
*.
V
x

+ 
*.
V
π
K4` '\8*3 n,3.'7 * F'M !K4
*'7 A[';c';!73.  K S
• Lời giải đúngS
11

V
W W W
 %
V X
f ,
f !, % !,  %
V V X
x
d
dx dx
I
x
x

x
π π π
π
π π
−
= = =
+
+ − −
∫ ∫ ∫

*. % *. *. % V
W
V X X X
x
π
π π π
= − = − − =

Chú ý: &<*.G3[*3! *3J*!:*4K4*3JA
(* F,3E
NCác sai lầm về chiến thuật giải toán.
#F  ,.01*E (+ *5 +*c*.!* *3!*N*3J
*!= ;*B ;KN*C,! ?(,.,;*J1E**3!  F
,.S
+ Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng. /*J@,.
'FF .*397S* FC.'N*.1,@=*3\*+*
'@=    *H =  1 max, min Q   *  *   FS 
f
V
W

VI x x mdx= − +
∫
=
V
V
W
V |I x x dx= + −
∫
=
|
V
W
.` = %I m x x dx=
∫
%$ ,*9L/K;K
,.01,.'FS
m Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu kí hiệu ẩn x trong
phương trình với ẩn x trong tích phân .
/9e*a!1M*
|
W
I x mdx= −
∫
$ ,*91*a!KB,.'FS
|
V
|
f W
W
•

S  =  % € m|1
V V

x
TH x m I x m dx mx≥ ⇒ = − = −
∫
|
V
|
V W
W
•
S  =  %  % €|1m
V V

x
TH x m I x m dx mx< ⇒ = − − = − −
∫
9*3'M,.01KB,. / x 8'F@8*3!
*3J=8*3!A*!* FxK4 ]*BA.! 1;
1E*C*3J=x *3!*3Jk .AN* ]*BA[A.!;k
1E**3\ ]*B!';
R'<A,.S
N
[ ]
W= Ws|m x x m x m x m≤ ∈ ⇒ ≥ ⇒ − = −
12
|
V
|

W
W
•
 %  % |
V V
x
I x m dx mx m⇒ = − = − = −
∫
N
|m
≥
=
[ ]
 Ws|  %x x m x m x m∈ ⇒ ≤ ⇒ − = − −
|
V
|
W
W
•
 %  % |
V V
x
I x m dx mx m⇒ = − − = − − = −
∫
N
W |m
< <
=
| |

W W
q€  %  %
m m
m m
x mdx x mdx x m dx x m dx− + − = − − + −
∫ ∫ ∫ ∫

V V
|
W
V V
V V V
 %  %
V V
• •
| |
V V V V
m
m
x x
mx mx
m m
m m m m m
= − − + −
= − + + − − + = − +
+ Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.
&QK'L*‡]$*9MC'L*'(K+ 2.‡]
DL e ;'L*'(K+='(K+K4'<]P'F1E*
1 HS
/9;* F

W
V
V
 f%I x dx
−
= +
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
#L*
V
 f% V f%u x du x dx= + ⇒ = +
P
Vx = −
*J
fs W= =u x
*J€f
}!';
W f f
V
V f f
f
 f% W
V
V
udu
I x dx udu
u
−
= + = = =

∫ ∫ ∫
x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<.
y%
• Nguyên nhân sai lầm:
J
V
 f%u x= +
K41,@''+*3
[ ]
VsW−
K4*B
':AN=': 9*3'7 N1@':AN*JN**  0
***: 2..* F1
V
 f%u x= +
''+9*3 ?,.
01
KN*
V f%
V
du du
dx
x
u
= =
+
=*c
V
 f%u x= +
,3.

fx u+ =
=
'( n`3.K
fx ≥ −

• Lời giải đúng:
13
W f W
V V V
V V f
 f%  f%  f%I x dx x dx x dx
−
− − −
= + = + + +
∫ ∫ ∫
…b* 
f
V
f
V
 f%I x dx
−
−
= +
∫
='L* 
V
 f% V f%u x du x dx= + ⇒ = +
=!
[ ]

Vs f∈ − −x
 
f Wx + ≤
 
f
V
du
x u dx
u
+ = − ⇒ =
−
=P 
Vx = −
 *J 
fu =
sP
fx = −
*J
Wu =

}!';
|
W f
V
f
f W
f
f
W
V | |

V
udu u u
I du
u
= = = =
∫ ∫

…b*
W
V
V
f
 f%I x dx
−
= +
∫
='L*
V
 f%u x= +
=P
fx ≥ −

V
du
dx
u
=

#: * FS
f Ws W fx u x u= − ⇒ = = ⇒ =


}!';
|
f f
V
V
W W
f
f
W
V | |
V
udu u u
I du
u
= = = =
∫ ∫
3.
f V
V
|
I I I= + =

Chú ý:9*31@ n+ ':AN HK49*@*6*
. ;*B',.S
W W
|
V V
V V
W

 f% f f V
 f%  f%  f%
V
| | | |
x
I x dx x d x
− −
+ −
= + = + + = = − =
−
∫ ∫

c) Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
O9 q€
−
∫
2011
x(1 x) dx

x%S-]'d6*+*H `€fmfm`%*.'7 S

( )
− =
2011
x 1 x

( ) ( ) ( ) ( )
 
− − − = − − −
 

2011 2011 2012
1 1 x 1 x 1 x 1 x


( ) ( )
− −
= − + +
2012 2013
1 x 1 x
I C
2012 2013

$ ,*:C*A*!**q€
( )
x a.x b dx
α
+
∫
P
Rα∈
=
a 0
≠
=***5*3'7 S
14
q€
( ) ( )
α+ α+
 
+ +

− +
 
α + α +
 
 
2 1
2 2
a.x b a.x b
1 b
C
a 2 a 1
=P,5'd6*+
*H
f
T.` % Yx b b
a
= + −
)
y%S.*63[SN
2α = −
*Jq€
 
+ + +
 
+
 
2
1 b
ln a.x b C
a a.x b

N
1α = −
*Jq€
 
− + +
 
2
1
a.x b.ln a.x b C
a
K4 !KN*CA
*!*:C*=! ,K4G*H '7 ,5,AN 2.1K
α
*.':*:C*;.,.
d)Các sai lầm liên quan đến suy luận
}!$K4I1//C*I 4 ,=*c';
8,5,*N L* j='*K43cG=O=*3iA9
*NK!. =!3.*4 ****! ONk'N'F
1E**3!/,.01K:AN 2.('@*7$
+ Sai lầm về luận cứ. .01*E !!*35  5.! 
1+'(,.!E=!L 1+'( .'7  H1'<=!L
5.!1+'(*'P1+'( 0 H1
ˆ Sai lầm về luận chứng.01 2N!$,*N! 
/9
VWff
V f%x dx−
∫

• Một học sinh có lời giải như sau:
. ;S

VWfV
VWff
V f%
V f%
VWfV
x
x dx C
−
− = +
∫

x%$M*J1F,.01*3!9*3 !9'<
y%
• Nguyên nhân sai lầmS
9*3'M] 4*H 
f
f
n
n
x
x dx C
n
+
= +
+
∫
P
fn ≠ −

A*!*3*E S

n
u dx
∫
• Lời giải đúng:
. ;S
VWff VWff VWff
V f% f
V f% V f% V f% V f%
V V
d x
x dx x x d x
−
− = − = − −
∫ ∫ ∫

VWfV
V f%
XWVX
x
C
−
= +

ˆ Sai lầm về luận đề.
15
.01 2N'*3!'(=*.*N1+'( 0 H1A[
/1+'(K4*'
!3.= ;*BKB*11E*,@KB,.01:ANK SCác sai
lầm về hình thức K4I1/A 6*  AB*H !L K+*!
 %sCác sai lầm về công thức],.!L  . `    4

*H =C*I %sCác sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt .01( <
/_.sA\1A8  4/*4*9 2.  *c*3!*N+*s
1]**/K+! 'B*.*N1E*,@*c 2.4/*5
8 2.*;CaK4'<'I%sCác sai lầm khi vận dụng
các tính huống điển hình trong dạy học toán$BK4'<=!L ,.=
!L  . `   K+1=  '\=  1+'(*3!*N*3J
*!& K+1c.J*H =c.,‡1 2.*='7
J**a! !'9C,+ I1K4/E1
! 2.K+1,jk$BK4*3‰!L ,.+ A
6* 2.K+1%sCác sai lầm về kĩ năng tính toán!$**!01
k=K_**! .**!=*5 +K4'<  b*,@
 %sCác sai lầm khi toán học hóa các tình huống thực tiễn, khi khái quát
hóa, khi quy nạp 
;Các biện pháp hạn chế và khắc phục sai lầm.
+1]C.*3 2.9RPk ,5'!'7
/,.01=AN*F* 'B*5*J13.F  ,.01A+
*  5 'B3r+5 *!
& ,.01 2.$*3!*!!*! ;*BKI ] '7 $
/. n3.  ,.01 0*N*=,!'(C.*3dự đoán và
khắc phục các sai lầm.tI ] !*!,.011E*6'(K;A8j
 Fk'N,.0136*'.=P'F <*4`'.3.1E*
,@'(`6*S
a. Làm cho HS nắm vững các kiến thức về môn toán
+ *N**3*H 1E*   ;G*H '7 K * A8+ $*5
F* 1E*   ;,_E 2.*c,.011$1=
* d@  2.  ,.01(A 6* 2.  ,.01
DE**3!  F 2Nk'N  ,.01!*3J'E ?
N=*3!'; ;*B$K4I1/KN*H  A(14*!3!
C*3J R 0GS
+Nắm vững nội dung môn Toán,'L A+*  *@'BJ*3!

14*! K+1='\=C*I ='L A+*
 A**! %tK+1 0 <G'NE1=!
1@C.+/.  K+1sK'\ 0 <G'N 6*3< 4
*N* 2.'\
16
+3! A**!=R 0 <G*P  !*'E[1
*  5 ;.!*'E * 2.$=1 !$ 2'EI1KN*H
A[lao động 2. 1J#;  !*'E=*B+=!*
'E*! H 7=!*'E*3*+!*'E4/4C.
/!*'E$1PAE E/,.01=*c';'B5'!=?
*3,/. /.,.01
+#L A+*= ';.*3?K4h*3!+ ?
*3  ,.01 !$N$'7 1CaP  
1P=K7*3*?1?=,*!=AN**+CN*6'(*J,j
*5*='E=*!*F1*N/= N+ 1I ,.01*3!
*!
 b. Làm cho HS nắm vững các kiến thức về lôgic
Šr+*4 1E*+1]'0 2.+  *!8
*39:*4+1]';'?h! ;BAN* 0*N*(4
 =K!. (,=(*=]KN*H !14*!
“Phát triển tư duy lôgic cho HS trong quá trình giảng dạy Toán và một
nhiệm vụ đáng được đặc biệt quan tâm đối với GV và các nhà phương pháp”T•=
*3XfY
! +''7 `F5*3(* 2.*N**7
4 *!tN*H (4 *!';.*3?C.*3*3! 
*!=< !*N*3J*!'7  ` =3z36*CDE*
*3!/Fk'N,.01 2.$K*!*3J'EB
AN*  KN*H  0*N*(4  ?N$*9K;*6  ,.
01(4 3!*N*3J*!=  ,.01*9L 2.$S
m& ,K474 

m}5.!*'(,.!L /1+'( .AN**'<,. 2.;
mt4I1/ 6*3<  2.'\K4`b**!+*N* 2.
'\=,,.k'N01k/.*N*KN*
c. Làm cho HS nắm vững một số phương pháp giải toán cơ bản
+ ` '\PA*! ;C.1**N*P+ 5. 
 4 ]* 7'B*!=“Một bài toán chỉ có thể có lời
giải tốt khi chọn được phương pháp và công cụ thích hợp với hướng giải đã có”
TV=*3V{•Y%t4*J1'7 e7PA*! ;*B'.
'N  ,.01S#L*'(K+,.=A+K4N*  *397=K4
*a!*3J*54 =K4 ;  *@D@*@*A**!=!
+ I1/  KN*H  A 2.14*!=  KN*H  0*N* 2.
4  = 0  HP'M 3.=!C*3J*N=*
+  'L 'B1 2.A*!
17
+ +*@;. !*c!A**! A
O;0 N,.01=<$*5*= 2'E*3!*N*3J
*!
d. Ngoi ra cn cú cỏc bin phỏp sau nhm trỏnh sai lm khi gii toỏn
nguyờn hm, tớch phõn nh:r+****! ! ,s3.A\
! ,KN*H *@(C*I =C*,!
H1*! 61 6*3< ! 2. '\sJ1B]
'B1.1 ,K;B!L B,.*J1]=1:
A*A 6* 2.K+1sr+ ! , *J1B1E*A*!s
r+Kg**!='H \K; *s!3. lAkl 0*N*
'B ,AE E,.01
#B*5 *@* A+*3=*6*1>! 0*9`
*3.dKN*H *! :*4=*3 ,8KN*H *! +' ;
C.'0* *@*
)*+, /.,.01 2. ,K*!+ 136*
0*N*'B3r+5 *! ! ,}!';! 0

5. * 7P*c'@*7 ,'B B*
/E*3*H '<< a1. ;*J13.,.01 2.1E*
9!';
qqqtS
*rong quá trình rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, ngời
giáo viên cần thiết phát hiện kịp thời những sai lầm của học sinh khi giải toán,
đồng thời áp dụng các biện pháp sửa chữa sai lầm đó.
#@P!iệc chỉ ra sai lầm cho học sinh là cần thiết, nhng điều
quan trọng hơn là phân tích đợc những nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm
đó*c'; 0 ; 'B NKI ] KB
,.01*3! *!; 2'(1=* F;
3
PQR,JE
*!. 2'(*9L*3! '(**@*+ O
'(*' = .!'Q}!'; ,*9 ;*F1*3!IK
.I1/'7 6* ?1I ,.01'M
8*3=K'7 ! n3.Pk a1*3!C
*3J a1'M*5* 1*6* *<P 2'(#; ;*B
!1E** 4 2.'(*o.';'M< a1,.AE
14!p '; O*! ! a1*F1*5*KAP !
K*C.*3tN**< '(**4'M*: H ! a1 ,P
fV&UfV&V 11E*'(KB1*3.X<*PE A*!N*
*3J'9*Q*E ;*3!'(*#d*96PfV&X
39$)Zq%'B1P'@ H OP'(KB1*3.';tN*C
36*KC.= ]*B,.S
18
Rh t 3AJ •N
PfV&U5 +1% f|‘ ‚W‘ |W‘ „‘
PfV&V5 +1% ff‘ ‚W‘ |f‘ {‘
PfV&X#@ H% V‘ f‚‘ X|‘ XW‘

Rh t 3AJ •N
PfV&U5 +1% f|‘ ‚W‘ |W‘ „‘
PfV&V5 +1% ff‘ ‚W‘ |f‘ {‘
PfV&X#@ H% V‘ f‚‘ X|‘ XW‘
Rh t 3AJ •N
PfV&U5 +1% f|‘ ‚W‘ |W‘ „‘
PfV&V5 +1% ff‘ ‚W‘ |f‘ {‘
PfV&X#@ H% V‘ f‚‘ X|‘ XW‘
Rh t 3AJ •N
PfV&U5 +1% f|‘ ‚W‘ |W‘ „‘
PfV&V5 +1% ff‘ ‚W‘ |f‘ {‘
PfV&X#@ H% V‘ f‚‘ X|‘ XW‘
Šz3'M ;,5K A+*/..'@*7 , I  I
1*43.*3!'(*'M<  a1!'7   
O*3'7 1E*,@,.01*3!K*!1=* F,
<  a1*5**3! * OK'*
& ,.01 2. ,K!1=* F ?*'@
:AN/,.01'7 Jdưới hai con đường: một là theo
chủ đề( theo dạng toán), hai là theo các hoạtđộng toán học='d*9F* 
/F 2Nk'N  K;K=,.01';pN*
'M'(`6*'7 1E*,@A+[1?*3,  /.  ,.01 2.
 ,3 :*4K!#,@R* ; 
*!1=* F;3
7PQ(S ",FE
mtN\P8R}’#:AN3E3M  '(*'7 'B  !
 e*.1K!
mD83EKNK + 18  P '(=4+=KB1*3.'
+ 4+ 2. ,
mD!1@P6* 2.*4K*5 +'(* h='d*9
<  a1 ,*3P N*AP*',5K;K,.01KL  A

19
*!*1* FC.'; ! ,B*1(  H
] 2.;*3! E ,@
#(* 2.*4 I QK4*B*3Kh*N,;*Š6*1!CG*0
4='d+ e' ';;GKN !*4='B'(* 2.*4'7
!*+“
Xin ch©n thµnh c¶m ¬n !


…”&$•&•Z$•Š–^R#—˜
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 6 năm 2013
4` .1'!.'Ftt 2.
1JN*=K4,.! bE 2.
9K 
(Ký và ghi rõ họ tên)
TUVDWCXD
20
YZCX8P[\
f $#!. 2A%30)}m…F1m
)1\p  m#!oŽm#L$eIVWW{% Bài tập
Giải tích 12 nâng cao=`6*AR!] =$4
V $?aVWWf%= Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán=
`AR!] =$E=
| pt1VWW•%=Phương pháp dạy học môn Toán,`6*A
# 1=$E
X
@6*f••U%=Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS phổ thông
trung học thông qua việc phân tích và sữa chữa sai lầm của HS khi giải
Toán=)K!. 1mF1=39# 1


‚ 30)™#H 6VWWX%=.01*9L’  ,
*!K*!
U )!.Rf••‚%= Toán học và những suy luận có lí=`6*AR!
] =$E
„ #!oŽ:&2A%™$#!.&2A%=30
)}™…F1™#L$eIVWW{%=Giải tích
12 nâng cao=`6*AR!] =$E
{
 #!  oŽ  : 2  A%=   $  #!.  &2  A%=  30
)}=…F1=#L$eIVWW{%=Đại số và
Giải tích 12 Nâng cao,  R%=`6*AR!] =$E
• &2A%m$/$VWfW%=Phát hiện và
sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy đại số-giải tích ở trường phổ
thông=`6*A' ,1=$E


21
Dš&š&
3.
q#L*6'(f
fG! '(*f
VD] '  HV
|+1] HV
X#@*7 HV
‚) H|
qqE
f5 *3 2.+ *+,/. /.,.01|
V& ,.01|
Vf& KB,.018*!K*!1=* F|
VV& KB,.01J8!*'E*!K

*!1=* F›››››››››››››››››››ff
|& A+ NKI ] ,.01›››››››››››f„
qqqtN*VW
ftN*C*5 +VW
VtN\,.K*5 +'(*Vf
q+*.1K!VV
22