Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banach (Luận văn thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

❍⑨ ❱❿◆ ❉Ü

P❍×❒◆● P❍⑩P ❍■➏❯ ❈❍➓◆❍
❍➏ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❚❖⑩◆ ❚Û
❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❇❆◆❆❈❍

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✶✵✴✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

❍⑨ ❱❿◆ ❉Ü

P❍×❒◆● P❍⑩P ❍■➏❯ ❈❍➓◆❍
❍➏ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❚❖⑩◆ ❚Û
❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❇❆◆❆❈❍
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✶✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
●■⑩❖ ❱■➊◆ ❍×❰◆● ❉❼◆

P●❙✳❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍❯ ❚❍Õ❨

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✶✵✴✷✵✶✽


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉

✶

▼ð ✤➛✉

✷

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉
❝❤➾♥❤ ❇r♦✇❞❡r✕❚✐❦❤♦♥♦✈
✹
✶✳✶

✶✳✷

❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

✶✳✶✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

✶✳✶✳✷

❚♦→♥ tû tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼

✶✳✶✳✸

❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✶✳✶✳✹

❱➼ ❞ö ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✶✳✷✳✶

❚♦→♥ tû ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼

✶✳✷✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❇r♦✇❞❡r✕❚✐❦❤♦♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❍✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ♥❣÷ñ❝ ✤ì♥
✤✐➺✉ ♠↕♥❤
✷✶
✷✳✶

✷✳✷

❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
✷✳✶✳✶

❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶

✷✳✶✳✷

▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷

❍✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ♥❣÷ñ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✷✹
✷✳✷✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

✷✳✷✳✷

❙ü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣

✷✳✷✳✸

❳➜♣ ①➾ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺


✐✈

❑➳t ❧✉➟♥

✸✺

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✻




ỵ
H

ổ rt tỹ

X

ổ

X

ổ ố ừ X

SX

t ỡ ừ X

R

t số tỹ

Rn

ổ n

x

ợ ồ x

D(A)

ừ t tỷ A

R(A)

ừ t tỷ A

A1

t tỷ ữủ ừ t tỷ A

I

t tỷ ỗ t

L(X, Y )

t tt t tỷ t t tử tứ
ổ X ổ Y

C[a, b]

ổ tử tr [a, b]

lp

ổ số tờ p

Lp [a, b]

ổ t p tr [a, b]

d(x, C)

tứ tỷ x t ủ C

lim supn xn

ợ tr ừ số {xn }

lim inf n xn

ợ ữợ ừ số {xn }

xn x0

{xn } ở tử x0

xn

{xn } ở tử x0

x0

Js

ố tờ qt

J

ố t

(T )

t t ở ừ T





t t ổ ữủ ồ qs
r ữớ P ữ r ự ữ
ừ t tr ợ ữỡ tr ữớ
r ỳ t ổ ờ t t ổ
rqs r
t t ữủ t ởt ữủ t ỵ x X ữ t tứ
ở ỳ (f0 , f1 , . . . , fN ) Y N +1 X Y ổ
N 0 r tỹ t ỳ tữớ ổ ữủ t
ữủ t fi Y tọ

fi fi i ,

i = 0, 1, . . . , N,



ợ i > 0 s số trữợ ở ỳ ỳ fi Y i = 0, 1, . . . , N
ữủ trỹ t tr t số t
ữủ ổ õ t ồ

Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,



Ai : D(Ai ) X Y D(Ai ) ỵ ừ
t tỷ Ai tữỡ ự
t õ ởt t t ổ t
ổ t ừ t ổ ử tở
tử ỳ õ ữớ t sỷ ử ữỡ
ờ t ởt tr ữỡ ữủ sỷ ử
rở r q ữỡ
ử t ừ tr ữỡ




ữỡ tr t tỷ tr trữớ ủ t tỷ A0 ỡ
hemi tử ỏ t tỷ Ai i = 1, . . . , N õ t t ữủ
ỡ tr ổ tỹ X tr
ổ ố

ở ừ ữủ tr tr ữỡ ữỡ
ợ t ổ t tỷ ỡ ỡ
ỹ t tỷ tử rt tr ổ ũ
ởt số t t ử t ữủ t ổ
tr ữỡ rr
ữỡ tr t tỷ ỡ ữỡ ợ t ữỡ tr
t tỷ t ổ tr ữỡ ữỡ
tr t tỷ ữủ ỡ ỳ
tr ổ ũ ỵ ở tử
ữủ t t rữớ ồ ồ ồ
r q tr ồ t tỹ rữớ
ồ ồ t ồ tốt t t ồ t
ự ữủ tọ ỏ t ỡ t
t ổ tr tr rữớ ồ ồ
ồ t t tọ ỏ t ỡ s s tợ
P ừ ữớ t t ữợ t
t ụ ữủ ỷ ớ ỡ tợ
rữớ P r r
õ t ổ t tốt t t
t õ ồ t ỡ ỗ
ổ ờ ụ ở t tr sốt q tr ồ t
ự

t


ỹ


✹

❈❤÷ì♥❣ ✶

❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤
❇r♦✇❞❡r✕❚✐❦❤♦♥♦✈
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤❀ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➼ ❞ö ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❇r♦✇❞❡r✕❚✐❦❤♦♥♦✈ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛
❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ tê♥❣ ❤ñ♣ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✸❪✱ ❬✹❪ ✈➔ ❬✺❪✳

✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤
▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲✿ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❜➔✐ t♦→♥
♥❣÷ñ❝ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷ñ❝ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤✳

✶✳✶✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❚r÷î❝ ❤➳t t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✈➔
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ tr÷í♥❣ sè
t❤ü❝ R✳ ⑩♥❤ ①↕ . : X → R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ X ♥➳✉ ♥â t❤ä❛
♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✭✐✮ ||x|| ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ❀ ||x|| = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = 0❀


✺

✭✐✐✮ ||kx|| = |k|||x|| ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ✱ ✈î✐ ♠å✐ k ∈ R;
✭✐✐✐✮ ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X.
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ X ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝❤✉➞♥ . ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ ✭X, ||.||✮✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷ ❉➣② {xn } tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ X ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ❤ë✐ tö ②➳✉ tî✐ ♣❤➛♥ tû x0 ∈ X ✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ xn

x0 ✱ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

f ∈ X ∗ ✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ X ✱ t❛ ❝â f (xn ) → f (x0 ) ❦❤✐ n → ∞✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✸ ▼ët ❞➣② ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ t❤➻ ❤ë✐ tö ②➳✉✱ ♥❤÷♥❣ ✤✐➲✉
♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳ ❱➼ ❞ö✱ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt l2 t❛ ❧➜② ❞➣②

(e1 , e2 , . . . , en , . . . ) s❛♦ ❝❤♦
ei , ej


 1, ❦❤✐ i = j
=
 0, ❦❤✐ i = j.

❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , . . . ) ∈ l2 t❛ ❝â ej , ϕ = ϕj ✳ ❱➻

ϕ ∈ l2 ♥➯♥ lim ϕj = 0✱ tù❝ ❧➔ ❞➣② (e1 , e2 , . . . , en , . . . ) ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥
j→∞
√
♣❤➛♥ tû ✵✳ ◆❤÷♥❣ ❞➣② ♥➔② ❦❤æ♥❣ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➻ ei − ej = 2 ✈î✐ ♠å✐
i ❦❤→❝ j ✱ ♥➯♥ ❞➣② (e1 , e2 , . . . , en , . . . ) ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ l2 ✳

❈❤ó þ ✶✳✶✳✹ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ X ♥➳✉ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤
✤➳♥ x0 t❤➻ xn

x0 ✈➔ xn → x0 ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✤➛② ✤õ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❙❛✉ ✤➙② t❛ ❞ò♥❣ ❦þ ❤✐➺✉ . ❝❤♦ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ X ✈➔ X ∗ ✈➔ ✈✐➳t t➼❝❤
✤è✐ ♥❣➝✉ x∗ , x t❤❛② ❝❤♦ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ x∗ ∈ X ∗ t↕✐
✤✐➸♠ x ∈ X ✱ tù❝ ❧➔ x∗ , x = x∗ (x)✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✻ ❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✿
✭✐✮ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ Rn ✈î✐ ❝❤✉➞♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿
n
2

||x||2 =

|xi |
i=1

1
2

,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ;

ổ C[a, b] tử tr [a, b] ợ


||f || = sup {|f (x)|} ,

f C[a, b].

x[a,b]

ổ X ữủ ồ ợ
ồ tỷ x X ổ ủ tự ừ X tỗ t
tỷ x X s

x (x) = x (x ) x X .

ử ổ Rn ổ rt H ổ lp
Lp [a, b] ợ 1 < p < ổ
ổ l1 L1 ổ
ỵ s ữủ ũ ự sỹ ở tử ừ ữỡ
ữỡ

sỷ X ổ õ
s tữỡ ữỡ
X ổ
ồ tr X õ ở tử

ỵ

ổ X ữủ ồ
ỗ t ợ ồ x y tở t ỡ SX ừ ổ
X SX := x X : x = 1 x = y t

(1 )x + y < 1,

(0, 1);

ỗ ợ ồ 0 < 2 x 1 y 1 x y t
tỗ t = () > 0 s

x+y
< 1 .
2

ử ổ Rn n 2 ợ x
ữ ử ổ ỗ t

2

ữủ


✼

✭✐✐✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✱ n ≥ 2 ✈î✐ ❝❤✉➞♥ x

x

1

= |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |,

1

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ,

❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳
✭✐✐✐✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp ✱ Lp [a, b] ✈î✐ 1 < p < ∞ ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉✳
✭✐✈✮ ❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ l1 ✱ L1 [a, b] ❦❤æ♥❣ ❧ç✐ ✤➲✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â t➼♥❤
❝❤➜t ES ✭❊♣❤✐♠♦✈✕❙t❡❝❤❦✐♥✮ ♥➳✉ X ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ⊂ X
❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x ∈ X ✭xn

x✮✱ xn → x t❤➻ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤

✤➳♥ x ✭xn → x✮✳

✶✳✶✳✷

❚♦→♥ tû tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❈❤♦ X ✈➔ Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② t❛ ①➨t
t♦→♥ tû ✤ì♥ trà A : X → Y ✈î✐
▼✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤✿ D(A) := x ∈ X | A(x) = ∅ ✳
▼✐➲♥ ❣✐→ trà✿ R(A) := y ∈ Y | ∃x ∈ D(A) : A(x) = y ✳
✣ç t❤à✿ ●r(A) := (x, y) ∈ X × Y : x ∈ D(A), y = A(x) ✳

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ A ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ t❛ s➩ ✈✐➳t Ax t❤❛② ❝❤♦ A(x)✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ tö❝ ✭①❡♠ ❬✹❪✮✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✸ ❚♦→♥ tû A : X → Y ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✭✐✮ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x ∈ D(A) ♥➳✉ ♠å✐ ❞➣② {xn } ⊂ D(A) ✈➔ xn → x t❤➻

A(xn ) → A(x)❀
✭✐✐✮ ❧✐➯♥ tö❝ t❤❡♦ t✐❛ ❤❛② hemi✲❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x ∈ D(A) ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ X ✱

tn ∈ R s❛♦ ❝❤♦ x + tn y ∈ D(A) t❤➻
A(x + tn y)

A(x) ❦❤✐ tn → 0+ ;

✭✐✐✐✮ ❜→♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❤❛② demi✲❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x ∈ D(A) ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ⊂

D(A) ✈➔ xn → x ❦❤✐ n → ∞ t❤➻ A(xn )

A(x) ❦❤✐ n → ∞❀




tử st tr D(A) tỗ t số L > 0 s ợ
ồ x, y D(A) t õ

A(x) A(y) L x y ;
t tử tr t D(A) A tử t
tr
ỵ t tt t tỷ t t tử A : X Y

L(X, Y )

t t tỷ A tử st t õ tử
t tỷ A tử t õ demi tử t tỷ A demi
tử t õ hemi tử ữủ õ ổ ú
t tỷ A tử st ợ L = 1 t A t tỷ ổ
L [0, 1) t A t tỷ
t tỷ A t tử tr ổ ổ
t t tỷ ữủ ừ õ õ ổ tử
A t tỷ t t t t t tử t
tữỡ ữỡ
ởt q t õ demiõ
ừ ỗ t ữủ ũ tr ữỡ

ủ G X ì Y ữủ ồ õ
demiõ tứ {(xn , yn )} G ỗ tớ xn x yn
xn

y

x yn y n s r (x, y) G

tỷ A : X Y ữủ ồ demiõ ỗ t ừ õ t

demiõ tr X ì Y

t õ t t tữỡ ữỡ ữ
s tỷ A : X Y ữủ ồ demiõ t x D(A) ồ
{xn } D(A) xn

A(xn )

x A(xn ) y Y xn x

y Y n t A(x) = y




ởt số t t ừ t tỷ ỡ ữủ tr
ữợ

tỷ A : X Y ữủ ồ
ỡ A(x) A(y), x y 0 ợ ồ x, y D(A); ỡ
t ừ t tự tr r x = y
dỡ tỗ t ởt ổ d(t) ổ ợ

t 0 d(0) = 0 tọ t t
A(x)A(y), xy d( x )d( y )

x y

x, y D(A);

ỡ tỗ t ởt ổ (t) ổ ợ

t 0 (0) = 0 tọ t t
A(x) A(y), x y x y

x, y D(A);

(t) = t2 số ữỡ t A ữủ ồ t tỷ ỡ

ự

lim

x +

A(x), x
= + x D(A);
x

t A(x) ừ ỗ (x) tự

A(x) = (x)
t tỷ ỡ ữủ tr tr
ỏ ữủ ổ t ỹ tr ỗ t ữ s

tỷ A ữủ ồ ỡ
x y , x y 0 (x, x ), (y, y ) r(A).
r trữớ ủ ỗ t r(A) ừ A ữủ ồ t ỡ
r(A) ổ ự tỹ sỹ tr ởt t ỡ tr

X ì Y t A ữủ ồ t tỷ ỡ ỹ
ởt t tỷ ỡ hemi tử tr t ổ
õ t t t tỷ ỡ ỹ

ỵ ỵ q

t tỷ A : D(A) = X X ỡ hemi tử t A
t tỷ ỡ ỹ
A : X X t tỷ ỡ t t A t tỷ
ỡ ỹ


tỷ ỡ A : X X
ỡ ỹ tr D(A) X tứ t tự

ờ

A(x) f, x x0 0 x D(A),

t s r x0 D(A) A(x0) = f
ởt t q q ờ trữớ ủ
t tỷ hemi tử

X ởt ổ tỹ
X ổ ủ ừ X f X A : X X ởt t
tỷ hemi tử õ tỗ t x0 X tọ t tự
ờ

A(x) f, x x0 0 x X,

t A(x0) = f
A t tỷ ỡ tr X t tr tữỡ ữỡ ợ

A(x0 ) f, x x0 0 x X.
ờ tr ữủ ồ ờ t t ừ t ồ ữớ
ự t q tr tr trữớ ủ X ổ rt
ụ ổ rr ự ởt ở
tr ổ

t tỷ A : X X
ỡ ỹ tr D(A) t t ủ tỷ {x D(A) : f
A(x)} ợ ồ f R(A) ởt t ỗ õ tr X
ỵ q

ứ ỵ tr s r A : X X t tỷ ỡ ỹ
ữỡ tr A(x) = f f X õ t t ừ õ
t ỗ õ tr X




ỵ ỵ ỵ

A : X X t tỷ ỡ ỹ ự t R(A) = X
A : X X t tỷ ỡ ỹ B : X X t
tỷ ỡ hemi tử ự t R(A + B) = X


ứ ỵ t s r t tỷ A ỡ ỹ
ự t ữỡ tr A(x) = f õ ợ ồ f X trữợ
t tr ụ õ t ữủ t ữ s

ỵ ỵ ú ỵ A : D(A) =

ởt t tỷ ỡ hemi tử ự tứ ổ
tỹ X X t ữỡ tr t tỷ A(x) = f õ
ợ ồ f X r A t tỷ ỡ t t
ữỡ tr A(x) = f õ t ợ ồ f X
X X

tỷ A : D(A) X Y ữủ ồ
rt t x D(A) tỗ t t tỷ
t t tử T L(X, Y ) s ợ ồ h X tọ

x + h D(A) t õ
A(x + h) A(x) = T h + r(x, h),
r(x, h) / h

0 h 0 tỗ t t T ữủ

ồ rt ừ A t x t t A (x) = T ữỡ
ự A (x)h = T h ữủ ồ rt ừ t tỷ A t x
tỷ A ữủ ồ rt õ rt t ồ

x D(A)
t t x D(A) ợ ồ h X t R
tọ x + th D(A) tỗ t ợ

A(x + th) A(x)
= A(x, h).
t0
t

lim

tỗ t t tỷ t t tử B L(X, Y ) s

A(x, h) = Bh t A (x) := B ữủ ồ t
ừ A t x




t ừ ởt ỗ õ t t ỡ õ ở
ừ s

: X R {+}
ởt t tr X õ ừ
ỗ tr X t ừ õ ởt t tỷ ỡ tứ X
X


t tỷ rt t t õ
trũ ữủ t tỗ
t tử tr ừ x D(A) t trũ ợ
t x
ố tờ qt J s ữủ ữ s

J s : X 2X s > 1 õ tr

J s (x) = {us X : x, us = x

us , us = x

s1

},

ữủ ồ ố tờ qt ừ ổ X

s = 2 J 2 ữủ ỵ J ữủ ồ ố
t ừ X ự

J(x) = {u X : x, u = x u , u = x }.
ố t tỗ t tr ồ ổ
r ổ rt H ố t ỡ
I

sỷ X ổ
tỹ J ố t ừ X õ
J(0) = {0}
J t tỷ ỡ ự
X ỗ t t J ỡ tr
ỵ ờ




X ỗ t t J ỡ t
X X ỗ t t J

demi

tử

sỷ A : X X t
tỷ ỡ J : X X ố t ừ X õ
A t tỷ ỡ ỹ ợ ồ > 0 R(A + J)
t ở ổ X
ỵ ỵ

ứ ỵ t t A : X X t tỷ ỡ ỹ
t ợ ộ > 0 ữỡ tr A(x) + J(x) = f õ ợ
ồ f X q
ụ õ ố ỳ t tỷ ỡ ỹ t demi
õ ữ s

ờ ờ ỵ

ỗ t ừ t tỷ ỡ ỹ A : X X demiõ
t tỷ A : D(A) = X X ỡ demiõ t
A t tỷ ỡ ỹ


ữợ ử t tỷ ữủ ỡ


tỷ A : X X ữủ ồ ữủ ỡ
tỗ t số ữỡ s

A(x) A(y), x y A(x) A(y)

2

x, y X.

t
tỷ A : X X ữủ ỡ t tỷ
ữủ ừ õ t tr ỡ
ồ t tỷ ữủ ỡ t tỷ ỡ tử
st ợ số st L = 1/




ồ t tỷ ữủ ỡ t tỷ õ t
sỷ xn

x xn x D(A) A(xn ) y ứ t ữủ

ỡ ừ t tỷ A s r

A(xn ) A(x)

2

A(xn ) A(x), xn x
= A(xn ) y, xn x A(x) y, xn x 0,

n

ú ỵ tỷ ữủ ỡ t tr
tỹ t ử ử
ồ t tỷ t t A : H H tr ổ rt tỹ

H tỹ ủ t tử ổ t tỷ
1
ữủ ỡ tr õ
tr r ợ t ừ

t tỷ A
P tr PC ổ rt tỹ H t
ỗ õ C ừ H t tỷ A := I PC 1ữủ ỡ
ú ỵ r t tỷ ổ ỡ trứ C = H
F : X R ởt ỗ tử t rt
1
tr ổ X rt F ừ õ tử

st t F t tỷ ữủ ỡ

ử t t tỷ A : L2 [0, 1] L2 [0, 1]
1

(Ax)(t) =

K(t, s) x(s) ds,
0

K(t, s) t tt tử ố ự tr

ổ := [0, 1] ì [0, 1] õ t tỷ t A ữủ ữ
tr tỹ ủ t t tỷ A ổ
tự
1

1

K(t, s) x(t) x(s)dt ds 0 ợ ồ x L2 [0, 1],

Ax, x =
0

0

t A t tỷ ữủ ỡ






t t ổ

t t ữỡ tr t tỷ tr ổ

X ợ f X ổ ủ ừ X trữợ t tỷ x X
tọ

A(x ) = f,

A : X X ởt t tỷ tứ ổ X ổ
ủ X ừ X t t ữủ r
ữ r t ữ s t ữủ tr
tr õ

t ữủ ồ t t
ữỡ tr õ ợ ồ f X
t
ử tở tử ỳ

t t ởt tr tr
ổ tọ t t ữủ ồ t t
ổ

ú ỵ ố ợ t t t t
ừ ữ ổ tọ ỡ ỳ
ụ õ tỹ ữủ
r t s t t t ổ tr trữớ
ủ ổ t ổ ử tở tử
ỳ
t ổ t ừ ữỡ tr t tỷ t ổ
t õ ởt t sỹ ỹ ồ ừ
t q tr tr s sỷ ử x0 õ

x ọ t t t x0 S t ừ
t tọ

x0 x = min

x x : A(x) = f .






P tỷ x õ trỏ ữ ởt t sỹ ỹ ồ
ồ x t õ t õ ữủ t ố



ử t t ổ

Pữỡ tr t r t t ởt t t
ổ ữủ tr tr ử s

ử t t x0 (s) ừ ữỡ tr
t r t t ởt õ
1



K(t, s) x0 (s) ds = f0 (t),
0

f0 (t) tử trữợ tr ổ L2 [0, 1] Pữỡ
tr t r t t ởt t t ổ
t sỷ ữỡ tr õ x0 (s) õ ợ

1

K(t, s) sin(s)ds,

f1 (t) = f0 (t) + N
0

ữỡ tr õ

x1 (s) = x0 (s) + N sin(s).
ợ N t ý ừ ợ t ỳ f0 f1 tr

L2 [0, 1]
1

L2 [0,1] (f0 , f1 ) = |N |

K(t, s) sin(s)ds
0

1
2

2

1

dt

,



0

õ t ọ tũ ỵ t trữợ > 0, tỗ t K (t, s) C 1 ()

:= [0, 1] ì [0, 1] s
K K

C1




.
2N

ỡ ỳ K (t, s) tử tr tỗ t

M > 0, s
2 K



+

K

s



M


✶✼

✭❝❤✉➞♥ max tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ C 1 (Ω)✮✳ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥✱ t❛ ✤÷ñ❝
1

1
1
Kε (t, s) sin(ωs)ds = −
Kε (t, s) cos ωs −
0
ω
0
ε
Mε
<
,
≤
ω
2N
2N Mε
❦❤✐ ω ≥ ω(ε) :=
. ❉♦ ✤â✱
ε

1

1
0

∂Kε
cos ωsds
∂s

1

K(t, s) sin(ωs)ds ≤

Kε (t, s) sin(ωs)ds

0

0
1

(Kε (t, s) − K(t, s)) sin(ωs)ds

+
≤

ε
.
N

0

❚ø ✤➙② s✉② r❛

∀ε > 0,

∃ω(ε) : ∀ω > ω(ε), f1 − f0 ≤ N

ε
= ε.
N

◆❤÷ ✈➟②✱ ❦❤✐ ω ✤õ ❧î♥✱ f1 r➜t ❣➛♥ f0 ✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐
♥❣❤✐➺♠ x0 (s) ✈➔ x1 (s) tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2 [0, 1] ❝â t❤➸ ❧➔♠ ❧î♥ ❜➜t ❦ý ✈➻
1

1
2

2

0

1
= |N |
2

2

= |N |

x0 (s) − x1 (s) ds

ρL2 [0,1] (x0 , x1 ) =

1
2

1

sin (ωs)ds
0

1
2

1

1 − cos(2ωs) ds
0

1
sin(2ω)
= |N |
1−
2
2ω
N
≥ .
2

1
2

✶✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤
✶✳✷✳✶

❚♦→♥ tû ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤

❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ t♦→♥ tû A ❝❤♦ tr÷î❝ ♠ët ❝→❝❤
❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝á♥ ✈➳ ♣❤↔✐ f ✤÷ñ❝ ❜✐➳t ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ fδ t❤ä❛ ♠➣♥

fδ − f ≤ δ,

δ → 0.

✭✶✳✺✮




ữ ợ ỳ f s số trữợ t t ởt tỷ

x X ở tử x0 S ừ ữỡ tr õ
x ọ t 0 P tỷ x õ t t ữ ữủ
ồ ừ t ó r t ổ t ỹ
tỷ x t q t x = A1 f tự t A1 õ t ổ
ợ f Y tự A1 ổ tử A1 f tỗ
t ụ ữ A1 f ữủ ờ t
sỷ ử ữỡ
t tỷ

A : X X ởt t tỷ tứ ổ
X ổ ủ X ừ X tỷ T (f, ) ử
tở t số t ở tứ X X ữủ ồ t tỷ
t
tỗ t số ữỡ 1 1 s t tỷ T (f, ) ợ
ồ (0, 1 ) ợ ồ f X tọ

f f ,

(0, 1 );

tỗ t ởt = (, f ) ử tở s ợ ồ > 0
ổ t ữủ () 1 ợ ồ f X tọ

f f (),
t x x x T (f , (, f )) x õ x
ọ t ừ t
P tỷ x T (f , (, f )) ữủ ồ ừ
t = (, f ) ữủ ồ t số số
(, f ) ữủ ồ s

lim (, f ) = 0.

0

t t ử tở tử
ừ ữỡ tr ỗ ữợ

ỹ t tỷ T (f, )
t số ỹ tổ t ừ t
tỷ f s số



Pữỡ rr

ởt tr ỳ ữỡ ữủ sỷ ử rở r
q ữỡ ở ừ ữỡ
ỹ t ỹ tr
t tỷ ỹ t x ừ

F (x) = A(x) f

2

+ x x 2 ,



> 0 t số t q ừ ữỡ
ợ t t tỷ A ợ ồ t
số t ủ tỷ ỹ t x ừ tốt
x0 ừ t
t tố ữ ổ r ở tr rt
ữ r ữỡ tr trữớ ủ t tỷ A t t
ổ tr ổ rt H

Ax + x = f,

> 0.

rr rở ữỡ trữớ ủ t tỷ

A t ỡ tr ổ X
A(x) + M (x) = f,
ợ M t tỷ hemi tử dỡ õ t
sỷ ử ố tờ qt J s ừ ổ X t
t tỷ M t ữỡ tữỡ ự
ữủ ồ ữỡ rr ỹ ở tử ừ
ữỡ rr ữủ tr tr
ỵ s

ỵ sỷ X
õ t t X ổ

ổ tỹ
ỗ t A : D(A) = X X


✷✵

t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ hemi✲❧✐➯♥ tö❝✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ α > 0 ✈➔ fδ
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠
♠↕♥❤ ✤➳♥ x0 ∈ S ❝â

A(x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ ,
δ
xδα ✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ♥➳✉ α, → 0
α
x∗ ✲❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t✳

∈ X ∗✱
✭✶✳✼✮

t❤➻ ❞➣②

xδα

❤ë✐ tö


✷✶

❈❤÷ì♥❣ ✷

❍✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥
tû ♥❣÷ñ❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤
✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ♥❣÷ñ❝
✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ①➜♣ ①➾ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤✳ ◆ë✐
❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t tr➯♥ ❝ì sð ❜➔✐ ❜→♦ tr♦♥❣ ❬✾❪ ❝æ♥❣ ❜è ♥➠♠
✷✵✶✽✳

✷✳✶ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② t❛ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔

♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✭①❡♠ ❬✶❪✱ ❬✺❪✱ ❬✾❪✮✳

✷✳✶✳✶

❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû

❈❤♦ Ai : D(Ai ) = X → X ∗ ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ hemi✲❧✐➯♥ tö❝
tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ♣❤↔♥ ①↕ X ✈➔♦ X ∗ ✱ fi ∈ X ∗ ✱ i = 0, 1, . . . , N ✳
❚➻♠ ♣❤➛♥ tû x0 ∈ X s❛♦ ❝❤♦

Ai (x0 ) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,

✭✷✳✶✮

✈î✐ N ≥ 0 ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥✳ ◆➳✉ ❦❤æ♥❣ ❝â t❤➯♠ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣➻ ✤➦❝ ❜✐➺t ✤➦t
❧➯♥ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✤➲✉ ❤♦➦❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉
♠↕♥❤✱ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♠é✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ✭✷✳✶✮ ❧➔