Phương trình toán tử trong không gian rời rạc

Đề tài: QG.95.01
'ỆỉhẴÉổtiạ. trìn h , t&úễi tử trútĩẨị,
k h ẳ n g, ạ ia ề i r ò i PU&
Chủ nhiệm đề tài: PTS. TRẦN HUY H ổ
Các thành viên tham gia:
1. PGS.TS. Nguyễn Văn Mậu - Đại học Khoa học Tự nhiên
2. PGS.PTS. Nguyễn Thủy Thanh - Đại học Khoa học Tự nhiên
3. PTS. Phạm Quang Hưng - Đại học Quốc gia
4. NCS. Nguyễn Vũ Lương - Đại học Khoa học Tự nhiên
5. NCS. Nguyễn cảnh Lương - Đại học Bách khoa Hà nội
6. NCS. Nguyễn Minh Tuấn - Đại học Khoa học Tự nhiên
7. NCS. Trần Thị Tạo - Đại học Khoa học Tự nhiên
P T /ũ ũ ũ ũ ỏ
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ TRONG
KHÔNG GIAN RỜI R0C
MỞ ĐẦU
Trong lý thuyết các phương trình tồn tại một số phương hướng chính như:
- Mô tả nghiêm các bài toán đặt ra các lớp phương trình khác nhau.
- Xét dáng điệu, đánh giá nghiêm của các bài toán đó qua các dữ kiên đã cho
như hê số của phương trình, điếu kiện ban đầu, điểu kiên biên và vế phải của
phương trình,
Trong lý thuyết kinh điển, một số các bài cổ điển xuất phát từ thực tế khoa học
kỹ thuật đã được xem xét và giải quyết,
Song các kỹ thuật đã dùng chỉ có thể áp dụng cho lớp phương trình với các
điều kiện hạn chế rất ngặt. Đối với nhiều bài toán với cắc điểu kiện tổng quát hơn
phải dùng các công cụ và kỹ thuật cao của toán học hiên đại.
Trong khoảng 20, 30 năm gần đây, do sự phát triển rấí mạnh của nhiều ngành
lý thuyết toán học như Giải tích hàm, Tôpô - Đại số, cho phép người ta khai
thác nghiên cứu các lớp bài toán tổng quát hơn bằng các phương pháp hữu hiệu
hơn như phương pháp đại số, phương pháp lý thuyết hàm suy rông.
Việc nghiên cứu các cấu trúc đại số, các thuật toán cơ bản và khái quát các

khái niệm quan trọng bậc nhất của giải tích đã đưa đến việc mồ tả các bài toán đặt
ra dưới ngôn ngữ súc tích của giải tích hàm và lý thuyết toán tử,
Từ đó sử dụng các kết quả của giải tích hàm, giải tích phức, lý thuyết tích phân
ta có thể mô tả tổng quát các lớp nghiêm, giải một số các ỉớp bài toán tổng quát,
đánh giá chúng qua các dữ kiện đã cho.
Rất nhiểu bài toán xuất phát từ thực tế đòi hỏi được toán học hoá một cách
chính xác hơn những mồ hình cổ điển. Để giải chúng, người ta phải dùng những
công cụ sắc bén hơn để xem xét và đưa ra những thuật toán hữu hiệu và tổng quát.
Nhiểu khi người ta cần đánh giá độ phụ thuộc của nghiêm vào các dữ kiện cho
trước để có được cách nhìn nhân tổng quan trước khi đi vào tìm cấu trúc của nó.
Nội dung cụ thể đã đạt được trong các báo cáo của để tài đăng ký được thể
hiên qua 3 kết quả của các thành viên tham gia. Trong công trình của đ/c Trần Huy
Hổ: Sài toán biên đối với một lớp các phương trình vi phân đạo hàm riêng với hê
số biến thiên", một lớp các phương trình đạo hàm riẽng mà hẹ sô' phụ thuộc "biến
thời gian" theo một quy luật giảm dần theo cấp vi phân theo t có mặt trong vế trái.
Bằng cách sử dụng lý thuyết hàm suy rộng và một số kỹ thuật đánh giá khá tinh
xảo tác giả đã chỉ ra được nếu xét trong tập nghiêm giới nôi theo một nghĩa nào đó
thì ước lượng của vế phải kéo theo ước lượng tương ứng của nghiêm và trong lớp
đó phương trình cố nghiêm duy nhất. Hom thế nữa, đạo hàm trên bien t=0 còn triêt
tiêu tới cấp xác định. Vế mặt bài toán biên, kết quả trên đã chỉ ra điểu kiện để bài
toán với dữ kiên biên thuần nhất có nghiệm duy nhất trong lớp nghiệm giới nôi
theo nghĩa cho trước.
Trong công trình của đ/c Phạm Quang Hưng: "Tính chất c(R) suy rông và bài
toán giá trị biên tổng quát với các đa thức toán tử" thực chất đã chỉ ra điểu kiện áp
lên các dữ kiẽn ban đầu để cho bài toán biên tổng quát có nghiêm duy nhất. Kết
quả này là m ột mở rộng thực sự các kết quả đã biết trước đó vể các bài toán biên.
Trong công trình của đ/c Nguyẽn Vũ Lương "Công thức Taylor đối với toán tử
sai phân có trọng và một số ứng dụng" lại xem xét bài toán sai phân dưới quan
điểm bài toán biên (xem bài toán (10), (11)) có trọng ((12), (14)). Toán tử giải của
bài toán trên cho phép áp dụng tìm các hàm lượng giác cơ bản trên dãy.

Nhìn chung cả 3 công trình đã nhìn các bài toán biên từ các khía cạnh khác
nhau đối với môt số lớp các toán tử xác đinh.
Các vấn đề đặt ra trong để tài, một mặt đã/đóng góp vào sự phát triển chung
của lý thuyết các phương trìnhyVnật khác là những tài liêu rất bổ ích trong việc đào
tạo nghiên cứu sinh, cao học và giảng dạy sinh viên đại học ngành ngành Toán lý
thuyết và ứng dụng.
Các kết quả nghiên cứu đã được hình thành như là kết quả tự nhiên xuất hiện
trong các xemina khoa học được thường xuyên tổ chức hàng tuần tại khoa Toán -
Cơ - Tin học Đại học Tự nhiên và khoa Toán Đại học Bách khoa Hà nội. Nó được
thảo luận sôi nỏi và có sự đóng góp thực sự của các thành viên.
Nhân dịp này chúng tôi xin cảm ơn Phòng khoa học trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, các thành viên xemina của xemina Giải tích - Đại số đã giúp chúng tõi
hoàn thành để tài này.
B À I T O Á N B IÊ N CHO M Ộ T LỚ P C Á C P H Ư Ơ N G T R ÌN H
Đ Ạ O H À M R IÊ N G V Ó I HỆ s ố B IE N t h i ê n
Trần H u y H ổ
Khoa Toán - Cơ - Tin học
Đai hoc K hoa hoc T ư nhiên
Đai hoc Quốc gia H à nôi
I. Trong công trình này chúng tôi xét một lớp các phương trình đạo hàm riêng
dạng
với m là một số nguyên dương;
k = (kììkt) = (&!, k
2
, k n); \k\ = kỵ + \k'\ = ki + k
2
+ • • • + kn\ kị là các số
nguyên không âm.
X = (x2, ki < 2m; 0 < t < oc; —oo < Xi < 00, i =
dk = là các hệ số thực;

/ ( í ,x ) là hàm cho trước.
Nhận xét rằng phương trình dưới đây
là trường họp đặc biệt của lớp (1) với m = 1, n = 3. Bằng phép đổi biến i — tr
phương trình (2) dẫn về dạng quan trọng A u ± k2u = / . với giả thiết c = 1,
b = ±&2, đã được biết trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.
Trong bài viết này, bằng kỹ thuật cùa lv thuyết hàm suy rộng chúng ta nghiên
cứu lớp phương trình nói trẻn và xem xét cách đặt bài toán biên đối với chúng.
II. Đe phục vụ cho mục đích trên trước hết ta xét phương trình dưới đây:
trong đó P(D) là toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic với hệ số hằng cấp 2m; X
ờ đây là X = (x 3, xn).
Tính elliptic có nghĩa là jP0(—if ) 7^ 0 Vf thực, với Po là phần chính cùa đa
thức p (xem [1]). Chủng ta còn giả thiết đối với phương trinh (3) là tồn tại hằng
số K sao cho P ( - z r ) Ỷ 0 với \lmz\ < K. Ta chứng minh kết quả sau.
(1)
< «"|Ĩ + u’V + u"' .2 + ctu\ + bu — f(t,y, z
(2)
P(D)u( x) — 0
(3)
1
Định lý 1. X ét phương trình (3) với các giả thiết nêu trên. Khi đó nghiệm
cơ bản e{x) của phương trình (3) có đánh giá sau
a) le(z )| — C e ~ Kllrl với 2771 > n V i € ( —00, 00) (4)
b) |e(x)| < C e- *1!1! với 2m < n V i / 0 (5)
với mọi «1 < k; c - hằng số.
Chứng minh. Ta có theo định nghĩa nghiệm cơ bàn [1*2]
P(D)e(x) = S(x). (6)
Qua ánh xạ Fourier (6) trồ thành
P ( - > Í H 0 = 1- ơ )
Từ đó suy ra
(8)

— oo
Để xem xét tích phân (8) ta phân biệt hai trường hợp:
a) Khi 2m > n: Cố định X = (xi, x„). Già thiết Xi > 0. Khi đó áp dụng
định lý Côsi ta có thể viết
1
t ° ° r
e— „
c (x ) = ( # / ■ ■ ■ / (9)
—oo
với a\ = (|ữi I, 0,0) |ữi I < K. Chuyên qua toạ độ cầu ta có
W * ) | s r iphT-1*,)^1 = ( 1 0 )
(do điều kiện 2m > n).
Trong trường hợp Xi < 0 thì định lý Côsi áp dụng cho Qi = (—|aj 1,0,0),
|ai I < K và lặp lại lý luận trên ta cũng có
|e (x )| < C i e 'tl|a i1 ; |a iI < K (11 )
Kết hợp (10), (11) ta có đánh giá
|£(x)| < Cie"|ll||ai1; Ịai I < K (12)
9
|e(x)| < ơ ie"lI,'ll0,‘l; |aj| < /c; i = TI (13)
Từ (13) ta có
|e(x)| < C e"(£ r .i |a,| < K (14)
Nhận xét rằng Ve > 0 đủ nhỏ từ (14) ta có thể nhận được đánh giá
\e(x)\ < Cc"(jc"e)l*l (15)
Khẳng định 1) của định lý được chứng minh.
b) Khi 2m < n: Trong trường hợp này ta xác định €i(x) từ đằng thức sau
e(x) = (-A + I<
2
)Ne
1
(x) (16)

với K > K, N thoả mãn điều kiện 2m + N > n. Khi đó từ biểu diễn (8) ta có
" l" ° ° _■ c
£l(x ) = ( 2 ^ * / ' ■ ' / P ( -* 0 (É 2 + (17)
— oo
Lặp lại lý luận như trường hợp a) ta có đánh giá
k i(x)| < C e - |r|(K- £) (18)
Xuất phát từ ước lượng (18) ta sẽ có ước lượng £(x).
Để làm điều này, sử dụng công thức Côsi, ta có
e,(x) =
__
—
__
e_|lll|ai1 • • /
-



(19)
1{ ) (27r)» J J P(-i£ - a x M - iaiy + K2]N
với z = ị + ÍT.
H\ là đường song song với trục
Chú ý rằng ta chì quan tâm dáng điệu cùa e(x) tại vô cực. Do vậy ta chỉ
xét tích phân với tham biến X 7^ 0. Nhận xét rằng đối với toán tử elliptic [1]
thì trên đa tạp P(—iz) = 0 với z = ị + ÍT luôn tồn tại một hằng số c sao cho
M > c m + 1). Áp dụng vào trường hợp đang xét. nghiệm cùa P(—iz) = 0 nằm
ngoài giải |Imz| < a i : Hơn thế nữa chúng chỉ có thể nằm ờ phần trên và phần dưới
mặt phẳng giới hạn bời các đường |r| = C (|£| + 1) đi qua ai và -d\. Bởi vậy có
thể thay Hỉ bời Hĩ (h .l, h.2) trong công thức Côsi (19).
L ậ p lu ận tư ơ n g t ự c ho các b iế n X, t a có
3

Chú ý rằng tích phân (19) theo các đường |f I = M khi M đủ lớn sẽ đủ nhỏ.
Điều đó có nghĩa khi |f I —> oo tích phân theo hai đường thẳng đứng sẽ dần tới 0.
Vậy ta viết £i(x) dưới dạng
H 2
với XịCLi < 0 i = 1 , ,77.
Trong tích phân (20) kỳ dị tích phân chỉ đạt được khi
(20)
(z — iaì)2 + I\2 — 0
(21)
(22)
hay là
Ị f 2 + K2 - (r - ai)2 = 0
1 2 £ ( r - a l) = 0
Ta thấy hệ này chỉ có nghiệm T — at ± \K\.
Vơi iv , ai là các số đả chọn trước thì kỳ dị tích phản sẽ không đạt được tại r
đủ lớn.
Điều đó có nghĩa là nếu i?2 chọn sao cho hoặc r = aĩ ^ ai ± \K\ hoặc T
a, ± |A'|. Do đó tích phản (20) không có kỳ dị trên H2 đã chọn.
T ừ (20) ta suy ra có thể biểu diễn ei(x ) dưới dạng
( í _________
e~ịXZắz
ll , “ " è í J '1 P (-iz-at)[{z - ia , y + K2]N
• - 1 h 2
Lặp lại lý luận như phần a) ta có
|ei(x)| < C -(K- £)|IỈ.
Công thức (23) cũng chứng tỏ £ i(x ) khả vi vô hạn và
(23)
(24)
d'ei(r )
dx'

(25)
4
Do €i(x) khả vi vô hạn và có đánh giá (25) ta suy ra c(x) cũng khả vi vô hạn
và có đánh giá
die(x)
dxi
< C e-(K-e)|x| với |x | -Ể 0, i = 1, 2,
(26)
đ.p.c.m.
Định lý 2. Cho phương trình elliptic
P(D)u = f
với toán tử p nói trong định lý 1. Giả thiết
l/l £ với 0 < Ki < K
khi đó nghiệm u = £ * f có đánh giá
K * ) | <
(27)
Chứng minh, u = £ * / là nghiêm của phương trình đả cho vì Pu(x) = P (e*/ ) =
w = / .
Đánh giá ĩi(x); Ta có
+ o o
u(x)| < / •
- J

|e(x - u)||/(v)|dv.
— oo
Đổi biến X — V = tí; và do điều kiện định lý ta có
\u
+ oo
(X)| < c j . /
— o o

— K I tư I —
Kị
11 — Uíị
du' <
< Ce
+ 00
" ■ ' / 7
— oo
(28)
dw
w
ờ đây ta đã dùng bất đẳng thức \r - u>| > \r\ -
Tích phân cuối cùng trong (28) hội tụ với Kị < K. Thật vậy qua toạ độ cầu nó
được đánh giá bời
Từ đó suy ra |u(x)| < C e- *1!1!. đ.p.c.m.
Chú ý. Định lý 2 vẫn còn đúng nếu vế phải / thoả mản điều kiện l/l < C e*l lxl
với 0 < Ki < K. Khi đó 3u = £ * f và |u| < Ce*1^ .
Đ ịnh lý 3. Cho phương trình P(D)u = f với toán tử P(23) như đã cho trong
điều kiện định lý 1. Khi đó trong lớp nghiệm u(x) thoả mãn đánh giá
u
(x)| < Ce*1^ với K\ < K.
Nghiệm của phương trình là duy nhất.
Chứng minh. Gọi u là nghiệm của P(D)u = 0. Khi đó
u = P(D)[( 1 — a]sĩ(x))e] * u
trong đó OiỊsj(x) = a(Ar|x|), còn hàm một biến a(t) là hàm khả vi vô hạn, triệt tiêu
ngoài khoảng (—1 — 1 + e) và bằng 1 trên [-1, 1]; e(x) là nghiệm cơ bản của P(D)
(xem [2]).
Ký hiệu A(x) = P(D)[( 1 — aAf(x))£:(x)]
Ta có A(x) =
6

— P(D)(ajve).
P m o c ) = a í + E C , a- £ f . § ậ
(28)
T 7 - _ _
V ậy
Ta có
0 , 2m — 1; j = 1 , 2m; i+ j < 2m; Cỉ; - hằng số
X _ _ di(*N ẼÌL
A (x ) 2 ^ *> ỠIj ỠIr
ỠJQ7V í 0 khi ịi| < A'
ỠX-' \ 0 khi |x| > iV(l + e )
Vậy supp d nằm trong miền N < |i| < ( 1 4 - e)N. Do đó
dxJ
dJa
N
dx}
v , dJq (x )
ởxj
< Cj.VJ
(29)
với
Mặt khác
c , = max
1 < | i | < 1 + £
dJ a(x)
dx]
d'e
dx'
< C eK2'r' với Ki < «2 <
(30)

6
Từ (29), (30) suy
Xét điểm bất kỳ xOỊ ta có
K O I < J - J IA(x
0
- y)\\u(y)\dy (32)
N < \x o - y \< ịl+ e )N
Do bất đẳng thức |y| < \x0\ + \x0 - y\ ta có
K v ) | < CeK'M < CeKi{1+ĩ)N. (33)
T ừ (31), (32), (33) ta có
K *o )| < CN2m+ne~K'N với k' = k2-(1 + e)Ki > 0.
Cho N + oo ta có u(x0) = 0. Do x
0
là bất kỳ nên u(x) — 0. Định lý đươc chứng
minh hoàn toàn.
Chú ý. Từ các bất đẳng thức hiển nhiên
c-*iM < e*i|x|
Q
<
Ce«
»1*1
ta suy ra định lý duy nhất vẫn còn đúng cho lớp nghiệm thoả mãn
|u(x)| < C e- *1^ 0 < /Ci < K.
III. Bài toán biên đối với phương trình
t2 u^ị
2
+ u
” y2
+ u
” z2

+ tu\ — K2u = /(í, y,z), 0 < í < oc, — oc < y,
2
< oc.
Rõ ràng phương trình trên là một trường hợp đặc biệt trong lớp phương trình
đã đề cập đến trong I.
B ằng phép đổi biến t = er phương trìn h trên trờ th ành
A u — k2u — f(r,y ,z) (34)
— CO <
T
< oo, — oo <
y. z
< oc.
Phương trình (34) là trường họp riêng của phương trình đã xét trong II.
Nhận xét rằng đối với biểu thức r =
y/r
2
+ y
2
+ z
2
và với mọi
e >
0 khá nhỏ
cho trước luôn tồn tại N = N(e) đe sao cho
y /ĩ* + y2 + ^ > (1 - e)kl + jỹ(\y\ + M) (35)
\A(x)\ < CN2me~K*1*1 (31)
Với nhận xét này và từ ước lượng |u| và
C e-^íd-^M +árdyl+M )]
Đánh giá
du

du dr du
dt dr dt dr
dri
bỏi Ce *ir có thể thay bồi
Ký hiệu « x(l - e) = «2 < « 1. Khi đó
uI < Cí"2e_ iái(l!'l+I*l)
du
Tương tự ta có
dt
d'u
dt
Nếu ta ký hiệu K = [k — e] - phâh n nguyên cùa K — £ với £ > 0 đủ nhỏ, khi đó ta
có
u
du d2u
dku
t= 0
dt2
t-0 Ui
dtk
t=0 u t=0
= 0
(36)
T ừ định lý 1, 3 và đẳng thức (36) ta có
Đ in h lý 4. Phương trình
í2u”t2 + u” y2 + u”z2 + tùị — k2u = /(í, y, z)
K > 0, 0 < t < oo; —oo < y, 2 < oo với vé phải
l/l < C e -(K- £)r; r = V(ln í)2 + y2 +
£ > 0 cho trước có nghiệm duy nhất dạng
|u| < C e-(K- £)r

thoả mãn điều kiện
= 0, A" = [k — £
u
du
d2u
dku
t=0 = dt
t=0
dt2
íĩ
o
II
II
s?
*-
f=0
Nhận xét. Bằng kỹ thuật trên ta có thể phát biểu đối với phương trình dạng
tổng quát.
Đ in h lý 5. Cho phương trình (1). Giả thiết
a) Qua phép biến đổi ị = er ta có phương trình với vế trái là toán tử elliptic
hệ so hang và sao cho P ( —iz) ^ 0 với \ỉmz\ < /c.
b) l/l < C e“(*”c)r (e > 0) với r = \/ìn í2 + x\ +

f .
Khi đó tồn tại nghiệm duy nhất dang
|u| < Ce“ (K“c)r
thoả mãn điều kiện
du
d2u
dku

t=0
t=0 dt2
t=0
T À I LIỆU TH A M K H Ẩ O
[1] K.Hormander, Linear partial differenỉial operators, Springer - Verlag, 1963.
[2] V. Vladimirov, Distributions en physique mathématique. Editions Mir - Moscou
1979.
[3] A.N. Tikhonov, A.A. Samaroki, Phuơng trình toấn lý (tiếng Nga), Moscva
1966.
[4] Tran Huy Ho, Propagation ti inỉeraction des singularités pour les équations
hyperboliques semi-ỉineaires en dimension 1 d’espace, Université de Paris - Sud,
France, 1984.
9
TẠP CHĨ KHOA HỌC DHQGHN. KHTN.I.X1, n°2 -1995
TÍNH CHẤT C(R) SUY RỘNG VÀ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN
TỔNG QUÁT ĐÔ'] VỚI ĐA THƯC CÁC TOÁN TỬ
KHẢ NGHỊCH PHẢI
Phạm Quang Hưng
Khoa Toán, Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQGHN
Bài toán nội suy tồng quát và các bài toán giá trị bicn dổi vtfi đa thifc các toán từ khả
nghịch phải đa dược D.Przeworska - Rolewicz, Nguyền Văn Mịìu, w .z . Karvvovvski đưa ra và
nghiên cứu từ năm 1988. Các kết quà của các tác gỉa nói trên dcu dựa trên tính chất c(R) của
\ớọ toán tử ban đầu đa cho. Tuy nhicn không phhi tất CỈ1 các toán tử ban dầu đều có tính chất
C(R).
Trong bài báo này chúng tôi dưa ra khái iiiẹm tính chất c(R) - suy rộng và sử dụng đề giải
bài toán giá trị biên tổng quát.
X DkQkx = y , FjDkx = Xjk ,
* = 0
trong dó Qo Qn - 1 e Lo W ' Qn = *'• Fo Fn - ì lỉl các toán tl^ ban dàu có tinh ch^
c(R) - suy rộng; Xjk e ker D (k 6 Ij, j = 0, n - 1).

1. TÍnh chất'c(i?) suy rộng
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường 7 (ỏ- dây 7= R hoặc J = C). L(X) là
tập tất cả các to~n tứ tuyến tính tác dộng t/ong không gian tuyến tính X. Ky hiệu
L0(X) = { A e L(X) : dom A = X).
Một toán tứ D e L(X) dược gọi Ib khỉi nghịch phài néu BR 6 L(X), sao cho ImR c dom D
và DR = I trên dom R.
Nếu toán tử D là khà nghịch phài thì ta viết D e R(X). Nếu tồn tại một nghịch diio phài
R e L0(X) thì ta viết D e R0(X) . R e % . Ký hiệu :
r D = { F e L0(X) : FX = ker D, = f và 3R E % : FR = 0}
‘Mỗị toán tử F e !Fị) sao cho FR = 0 dối với một R e dược gọi là toán ti> ban dầu cùa
D tương ưng với R.
Ta co'
n -\
ker Dn = { z '■ V zn-l e kcr D *• ne N
* = 0
1
9
Ký hipu :
Pn(R) = lín (R^z ; z € ker D, k = 0, /n -1 ).'
Ta đa biet Pn(R) = kcr D*1 dim ker D = 1. Nói chung trohg trường hợp tổng quát thì
Pn(R) 5 ker Dn.
Định nghĩa 1 [2]. Cho D € R0(X) và R € ^ . Một toán tử ban đầu F0 € J D dược gọi
là tính chất c(R), ncu tồn tại hàng số c^. sao cho
•F0Rk 2 = Cỵzf • Vz € ker D, k € IN.
Định lý 1 [2]. Cho D e R0(X) và R .e . Khi đó dề mọi F e J D đều có tính chất c(R)
đicu kiện càn và dủ ỉà d im ker D = 1.
Ta đa biết , nếu dim ker D > 1 thì không phai mọi toán tử ban dầu đều có tính chất c(R).
Định nghĩa 2. Cho D € R(X), R € 5^) . Một toán tứ bđh đầu F0 e <ỵ D dược gọi là có tính
chất c(R) - suy rộng ncu như tồn tpi bộ các không gian con z s của ker D sao.cho
i) kcr D = 0 Zj, Zj * {0». (1)

j=l
Zj Zj = {0}, i * j; i , j = 1

s,
ii) Tồn tại các hăng số C]ý € F sao cho
F0R^Zj = CỊg Zj, VZj e Zj , ke N. (2)
Ncu F 0 6 f ỵy có tính chất c(R) - suy rộng'thì ta viết F 0 6 cq(R ).
Bổ đề 1. F0 € cq(R ) có tính chái c(R) khi và chỉ khi đối với Zj c ker D tùy ý, tồn tại hăng
sá J stio cho
F0RkZj = CJ. Zj, Vzj e Zj , (j = 1

s).
Chứng minh
Vz e ker D, Zj € Zj , (j = Ị s)- sao cho z = z, + — + zs- Khi đó
F0Rkz = X F0Rkzi = z ck?j =ck l zj = ckz.
;=| ;=> ;='
Từ bồ dề 1 ta thấy ràng F0 6 7 D có l'nh ch^ C(R) th' Fo có t‘nh ch“l c(R)' suy rộnS-
VÍ du dưới dũy chi ra rằng tồn tại F0 € 7 D có tính chát c(R)- suy rộng, nhưng không-có
tinh chát c(R).
I
10
Viết
(Fkx)(t) = x(0) + tx’(0) + _L (1 + t) x” (k) + _ (1 - t) x” (-k)
2
2
k = 1,2
Ta tháy ràng Fk € T D, kcr D = Zj © z2 , ử dủy Z-Ị = lin
{Cị},
z2 = lin (e2 ), và
k

2
H
Như vjy hệ {Fj ,F2 > có tính chất c(R) - suy rộng, nhưng không cổ tính chất c(R).
(vĩ (2j - 1)! * (2j - 1)! vh do bổ đề 1}.
2. Bài toán giá trị biên tổng quát.
Già sừ D e R(X). Hệ cúc toán từ ban đầu F0, Fn_Ị có tính chất c(R) - suy rộng tương
ứng vói các bộ cúc không gian con Z ]

zs của ker D (Fj * vcíi j * k).
Cho n tập hữu hạn Ij các sá nguyên không âm # Ij = rj ; r0 + rj + + rn_i =N.
Xét toán tử
trong đ ó Qjsj_ 1 € L0(X), Q]S| = I.
Bài toán giá trị hiên tổng quút đối vói toán lử Q < D > là : Tim tất cà các nghiệm cùa
Q < D > = X D kQt
A ::0
phương trình
Q < D > X = y, y € X,
Thỏa man các diều kiện
F;D^x = Xjk. X;k € kcr D
J
.
'■
Theo già thiết F0

Fn.Ị cố tính chất c(R) - suy rộng. Khi dố ta có
(k € ; j = 0.1

n - 1).
FjR^zv - Cịkvzv .
Vzv € zv

(k e IN ; V = 1
s; j = 0,1, ,n - 1).
Tử dó dối vđi mòi zk e kcr D (k = 0,1

n-1), ta có
FA = Fi* k í ^ l - ÌF jR kzb =
v = ; v=y V=J
Vzkv e Zy, V = 1

s; kj = 0,1

n-1.
Ký hiệu zk : = (zk I

zks)T,
GNv •' = (cjkv) j, k = 0 N - v = 1 s-
N
Gki
lớ
VN : = det g n
j.k=0.1

N-l
Giả sử bài toán giá trị biên đối vứi toán tử Q < D > = DN là thiết lập dúng dăn, ttfc là bài
toán
D n X = y,
FjDkx = Xjk
(5)
(6)
(k e Ij ; j = 0

11-1)
có nghiệm duy nhát dối với mọi y € X và Xjk € ker D
Ta đa biết (xcm trong [8] bài toán (5) - (6) có nghiệm duy nhất dổi với mọi y € X và XjỊc
€ kcr D với giả thiét.
và BjR^z = b jỵ Z , z 6 ker D,
Br0 + + rj _ 1 + m = FjdKi
(m = 1
rj; j = 0,1

n - l).
Nghiệm cùa bài toán (5) - (6) viét áưới dạng
x = ƯN íx0

XN -
Trong dó
xro+ + fj - 1 + m = xjkjnv
(m = 1, , rj; j = 0,1 n - 1).
(7)
(8)
12
t '
UN (X0

XN-1I= ỵ v v ™ . (10)
Nj(R)Xj,
j=0
V N j(t)= _ L 1g (_ 1)k+j v
Nik()
0 = 0,1

N - 1),
Và VNjk dỉnh thiíc con sinh bcVi định thơc Vjvj băng cách gạch ’i)ỏ đi cột thư k và hìưig
thư j (k,j = [0,1]

N-l).
Định nghĩa 3. Già sử D Ẽ R(X), các toán tứ ban dầu F0, Fn.i có tính chất c(R) - suy
rộng và VfsỊ * 0, cho B0 B ^-I xác dịnh bời (8), toán tử Gjsj xác định như sau
G]SJU = Ũn (B0u, fBN-]U ), dối với u e dom d N*1t (11)
trong dó ƯJ^J xác dịnh bời (10).
Toán tử dược gọi là toán tử Green đối V(ỷi toán tử Ị}N vối điều kiện (6).
Bổ đề 2. Già sử F0

Fn.j có tinh chát c(R)- suỵ rộng, khl đổ một phần tứ X e dom
thòa mĩm diều kiện (4) khi và chi khi nó có dạng
X = (I - Gn ) RN u + ƯN ( X 0 * N.j) (12)
Chứng minh bổ đề này giong như chi/ng minh hê quà 3.3 trong [8].
Định lý 2. Già sừ tất CỈ1 các điều kiện cùa dịnh nghĩa ĩ dược thỏa mủn. Khi đó bài toán giá
trị biên (3) - (4) tirong dương với pliirơng trình sau:
[I +(I - GN) Q° < R >] X = yN, (13)
trong đó
Q < I,R > = I + Q° < R > ; Q° < R > = ỵ j ĩ<"~k Qk ; (14)
k = 0
yN = (I - Gị^ị) R^y + Ujsj (*0''"’XN-1^
Chiíng minh: Già sứ X là một nghiệm cùa bài toán (3) - (4). Viết :
u = Q < I.R > X
Ta có: D n u = D S'Q < IJ Ỉ> X = 0 < D > x - y
và B. ũ = B (/ + ọ° < R>)x = X. +B. Q° <R>x(i = 0, l, rV - 1). Do hê quà 3.3
trong (8) khi đó u có dạng sau
13

'“ V -GN)R 'ly+UN(xa + é0Q0 <K>x, jN_ i+Bn_]Q0 <R>x) =
= ( / - G „ )R " y + ư „ (x„ ) + G , Q" <It>X = '
= y N + GN 0° <R>X
Từ dó ta cổ : Q < I.R > X = yN + GNQ° < R > X hay
(I + Q° < R > )x =Ị yN + Gn Q° < R > X
<=> II +(I - Gjsj) Q° < R >] X = yN
D o vậy X là n g hiệm cùa p h ư ơ ng irìn h‘(13)
N gưọ'C lịii, g ià sứ X ià ng h iệ m của p h ư ơn g trình (13), khi đổ theo già th iết la có
X = GjsjQ° < R > X - Q° < R > X + yN e dom
và
Q < D > X = DNQ < I,R > X = DN [I + Q° < R >] X =
= DN [Gn Q° < R > X + yN ] =
= DN [Gn Q° < R > X + (I - GN) RNy + UN (x0

XN.])1
= DNRN y = y
Do tính chất cùa toán tử Grcen, ta có Bjx = Xj (j = 0, , N -l). Từ đó X thòa man điều kiên
(4).
Hệ quả 1: Giỉi sử tất cà các điều kiẹn cùa định nghĩa 3 được thỏa man. Viết
G °n < R > = (I - GN ) Q ° < R > (16)
i) Nếu -1 là giá trị chính qui của toán tử G°N < R >, thi bài toán (3) -(4) là thiết lập diíng
đắn và nghiệm duy nhát của nó là
X = [I + G°N < R >]■' yN (17)
ii) Néu l 1 ằ một giá trị riêng của toán tử G°JSJ < R > thì bài toán (3) “(4) là thiết 10p không
dúng dắn. Bài toán có nghiệm khi và chỉ khi
ỹN 6 |I + G °n < R >]X.
Ncu điều kiện này dược thỏa man thi các nghiệm của nó có dạng X = w+v, trong đó w € ker
|ỉ + G°N < R >] bất kỳ và V là một phần tử cố định bất kỳ cùa nghịch ỉrnh của phần tử ỵN bở\
ánh xạ I + G°JSJ < R >.
Định lý 3 [9]: Già sử tất cà các diều kiện cùa định nghĩa 3 dược thòa mùn và toán tử Q <

I,R > khỉi nghịch. Ncu toán tử
14
khà nghịch trên ker DN thì toán tử I + G°N < R > khà nghịch trên X.
Định lý 4 [9]: Giỉi sử tat ch các diồu kiện cùa định lý 3 dược thòa man vù toán tử Q< I R >
khà nghịch. Khi đó toán tử B khù nghịch trcn ker khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm duy
nhất (zQ

Rk zk = Xị - Bị[Q<I,R>]~lyN
(18)
k=0
(i = 0,1

N-l)
ỏ* đay z0,.:„ ZJ^.Ị € ker D , B| xác định bỏi (8).
Hệ quà 2: Giả sử tất cỉi các dicu kiộn của định lý 4 được thỏa man. Khi đó hệ (18) có
nghiêm duy nhất khi và chi khi các toán tử:
Vi = Bi [Q < I.R > r 1
(i = 0,1, , N-l) dộc lập tuycn tinh trcn kcr
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. D. Przeworska - Rolcwicz, Algcbraic analysis, PWN - Polish Scientific Puhlishcrs, and D.
Reiđcl Publ Company, Warszawa / Dordrccht / Landcastcr / Tokyo 1988.
2. D. Przeworska - Rolcwicz, Propcrty (c) and inlcrpolaùon íormula induccd by right invertible
opớrators, Dcmonstratio Math; 21 (1988), 1023 - 1044.
3. D. Przcworska - Rolcwicz, Lincỉtr boundary value prohlcms for right invcrtihỉe operutors,
Prcprint 413, Institutc of Mathcmatics, Polish Acad. Sci., Warszawa 1988.
4. D. Przeworska - Roỉcwiczt Spaccs of D - Paraanalyùc clcments, Dissertationcs Math. No 302,
Warszawa 1990.
5. Nguyen Van Mau, ỉntcrpolation probicms induccd by right and lcft invertible operaiors and
its applications to singula integral equalions, Demonstruiio Math. 23 (1990), 191 - 212.
6. Nguyen Van Mau, Boundary value problcms and conlroUability of lincar systcms with right

invcrtiblc opcrators, Disscrtalioes Muth., c c c XVI, Warszawa 1992.
7. Nguycn Van Mau and Pham Quiing Hung, On a gcncral classical intcrpolation prohlcm,
Journaỉ of Science, spccial issuc on Muthcmatics and Iníormutics, Hanoi Univcrsity, 1993,
2 - 6.
8 w . z . Karwowski and D. Przcworsku - Rnlcwicz, Grccn opcralors for lincar boundarv valuc
problcms with a right invcrtiblc opcrators D N, Maih. Nachr. 152 (1991). 21 - 34.
9. w . z . Karwowski and D. Przcworska - Rolcwicz, General lincar boundary valuc prohlcms for
polynomials invcrtiblc opcrutors, Dcmonsiratio Maih. 25 (1992), 325 - 340.
B = GN [Q < I.R >)-1 ịker d N
15
VNƯ.Ioumal of science.Nat.sc.t-XI,n 2-1995
GENERALIZED C(R) - PROPERTY AND GENERAL BOƯNDARY VALƯE
PROBLEMS FOR POLYNOMIALS IN RIGHT INVERTIBLE OPERATORS
Pham Quang Hung
Colìcgc o f Natural Scỉences9VNU.
The c(R) - property for initial operators induced by a given right inverse was introduced and
applied to bouadary value problems and general lincar boundary value problems for
poIyaomittU ki righi invertible operator by D.Przeworska - Rolewiczf Nguyen Van Mau and
W.Z.Karwow£ki. ỈM this paper we introduce the gcneralized c - property and apply to solve the
general boiindary value problems
FjDkx = Xjk , Xjk G kerD
(k €ỈJ, j = 0

n -ì)
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHQG HN, KHTN, tJtI, n °l . 1998
CÔNG THỨC TAYLOR D ối VỚI TOÁN TỬ SAI PHÂN
CÓ TRỌNG VÀ MỘT s ố ỨNG DỰNG
Nguyỉn Vũ Lương
Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐHTH Hà Hội
1. Giả sử X là một không gian vectơ trên tnrcmg vô hưórng / [7 = R hoặc 7 = C ), X là

không gian các dãy vô hạn X = (x0, Xi, ) (xn € Xị n = 0 ,1 , ) vói các phép toán tự nhiên
trên dãy (phép cộng hai dãy và‘phép nhân dãy với dại lượng vô hưórng). Tập hợp tẩt cả các toán
tử tuyen tính tác dụng trong X được ký hiệu b ĩi L(X)\ £0{x) := Ị a € L[X) : dom A = x ) .
Ký hiệu R[X ) ỉà tập hợp tất cả các toán tử khả nghịch phái trong L(X ). Nếu D 6 và
3R 6 Lq{X) sao cho DR = ĩ thì ta viết D € Ro(X). ứng vói mỗi D € ký hiệu và
Ĩd lần lượt là tập các nghịch đio phải và toán tử ban ddầu của D. Khi F € và R 6 &£) mà
Ĩ R = 0 thì ta nói F là toán tử tương ứng với R. Tập hợp tất cả các toán tử Volterra trong Lo[X)
được ký hiệu bỏri V (X ). Vậy Ả e V (X ) <— ♦ do m Ả — X , Im A c X và 3(1 + Ayl)” 1 VÀ € 7.
Giả s i c = /9o 7^ 0 và
Pi
€ 7, Xo = lin{f}.
ứ ng vói trọng cho tnróx tùy ý p = (po» Pi »••*)* Pn É ĩ xét c^c to^n tà tuyến tính xác
định theo cấc công thức sau:
DpX = {in +l -PnXn)
R pX = y; Vo = 0, t/1 = lo ,
(1)
y„+i = z n + ] C n pi Xk' « = 1 , 2 , .
(2)
fc=o y=fc+1
ẢpX = - — {/?n+l - Pnfin }
Po
Dp := Dp + Ap
ApX = (3)
(4)
Khi đó có các kết quả sau đây.
B ổ dề 1 . [3], kerỏp = Xo
B ổ de 2 . Dp X = y vói yo =
(TVeN, n= 1,2, ) (5)
Chửng mình. Đặt
kị, k,=o

N-i+1
Q i-1 =
Pn + kiPn + ki
• • • Pr» + fc l - (*1 < *2 < • • • <
8
ỉ
»1
Dĩ?
bỉ đổ dê dàng kiểm tra đẳng thức sau
Ar-ị+1
Si + P n Q i- 1 = p „ + fc,pn + fc ,. . .p n + fc, (kx < k 2 < • • • < ki)
hị Ị.,.kị — 0
Sử dụng (6), bằng phương pháp qui nạp, ta có
= DPD »X = Dpy = {yn+1 - PnYn )
jng đó
N N
!/n+l = *n+l + // + ^ ( “ t T ^ n + l + Ar-i = Z»+1 + Ar + y ^ ( - Ị y S jZ n+ ị + N - i - Sị xn+tf
* = 1 i=2
N JV + 1
PnVn = Pn*n+N + Pn 1)*Qixn + N-* = Pr»3n + tf + Pn ( - l)J” 1Q ị - l*n+1 + b ỉ- ị
*'=1 J =
2
N
Pn% n +N “ Pn ' y ^ Q j — l x n + l + N — 3 “t* (“ l)
y=2
(6)
V ì Q n = Pn nên
N
pnyn = Pnln+N - p ^ (- l)* Q i-lX n+i + W_,- + ( - l ) wp*x„
»=2

Ảp dụng (6) ta dược
N + l N + l - i
»+1 - Pnỉ/n = *n+l + tf + 5 3 (“ !)* Pn+*I * ■ • p«+fc. )Xn+*+1-i> (*1 < • • ■ < fc») □ .
i= 1 fc1, ,fc,=0
Củng bằng phưcmg pháp qui nạp, ta d? đàng kiểm tra đẳng thức sau
d ề 3 . VAT e AT+ ,
=
{ -l)N [P
2
-P\P \)S ~1PĨN {P" + \T \ -ĩn P nX\}
quả 1.
b pN = D ? ị a ;? (6)
Tương tự ứng vói mỗi N e N + cho trước, toán tử xác định theo công thức (7) là nghịch
phii của Dp .
Vn
= <*
R * x = y với
0 khi n = 0,1, , Nị
Xo khi n = .N
n-s / N-i \
— N “t" H ( 2 P»+*1 • •-Pi+A^-v-i )x»
i — 1 kị , . . . , Ả> H — _ i = 0
(&!<•< k n - N - i ) n = N + 1 , . . .
9
(7)
Dpấ f = Ề * -1, NeN+ (8
H ệ qu ả s . Toán tử ban đầu Fp của Dp tương ứng vói nghịch đảo phẳi ấp của ĩ)p được xác địn.
theo công thức
Fpx = ụ e vái e= ( f i o U i (9
Po

Từ các kết quả trền, ta có thể phát biểu định lý khai triển Taylor dưới dạng:
Địxxỉi lý 1. VJV € N+ dều có biểu diên
Hệ quả 2.
/ = Fp + £ RpFp{Dp)k + R pn D ?
k= 1
trong đó Dp , R * và ỷpk lần lượt được xác định theo các công thức (6), (7) và (9).
2. Áp dụng.
a) Xét phưcmg trình sai phân bậc nhắt với trọng p và với nhân là không gian con X q:
DpX — Xx = y, y € X (10
FpX = u, ti e x0 (11
Viết (10) dxrới dạng:
b p(I - ARp)x = y
(/ - XRp)x = Rpy + z, z € X0
Sử dụng (10), ta đirơc (10)-(11) tương đưcmg với phương trình
(7 - ARp)x = Rpy + u (12
Eổ đề 4. Ẩp eV(AT)
Chứng minh. Thật vậy, phương trình
( / —
X Rp)z
= V, t ; ẽ J Í
luôn luôn có nghiệm duy nhất xác định theo hệ thức truy hồi
Xo = Vo
n— 1 k
’n+1 = ^n+1 “t" ^ ^ ^ I I (p n-i ■+■ un — *
k=
0
\=l
Vậy
(ỉ-XRp)-1 VA€/ hay Ãp e V[X).
Áp dụng Bổ đề 4, bài toán (lO )-(ll) luôn luôn có nghiệm duy nhất xác định theo công thửc

2
— (^Oi 2-11 * * * )
Xo = Vo
n — 1
k
'n+1 = ^r»-fl ■+■ A ^Vn 4- ^ ^ (pn —» + A)tJn__
k=
0
1=1
10
VỚI V Rpy 4- u, Rp xác định theo công thức (7)
b) Tirơng tự, xét bài toán CaỊuchy đối với toán tử sai phân bâc cao có trọng biến thiên p cho
trước:
Ế AA '* - y , yex (13)
j=0
FpDp x = ukt uk E X0, k = Oìlì tNi (14)
Aoi Ax, , À# 6 f; A// = 1
Viết phương trình (13) dưới dạng
A>" ( Ễ = y ~ Ề + £ *PV -
j=0 j=0 j=0
€ Xo, J = 0,1, , Ni.
Kết hợp vói điều kiện ban đầu Cauchy (14), bài toán Cauchy (13)-(14) tương đương vói
phương trình
Ễ (15)
y=0 ;=0
Giầ sử t i , Í2| • * • I là, các nghiệm của đa thức
P(t) = Ế A,-e>
; y=0
(15) — f[(Ị-t,R p)x = Ếỹy+Y^Riu* (15’)
3-1 j=l

Nghiệm của phương trình (15’) được tính theo công thức truy hồi (dựa vào kết quầ của bài
toán (10)-(11) theo các nghiệm:
ự - h R p)xl = ẳ pNy+ X ) */«»',
j=i
[I-tkRp)xk+l =xk, k=l, ,N1- l
Khi đó
X = I*
Vậy bài toán Cauchy (13)-(14) luôn luôn có nghiệm duy nhát xác định theo công thức
Vóri v = Rfy + ỵ R iu>- (« = 0 ,1 ,2 , )
j= 1
Rp xác định theo công thức (7)
c) Dựa vào các biểu thức tưèmg minh của (I - Aiỉp)"1 ta có thể xây dựng được các hàm 80
lượng giác cơ bản trên dẫy.
V A e f , đặt «* = ( / — XRp)~l
Khi đó, £ Xo ta có
n — 1 k
«ằ(«) = íỊ^ n +1 + ^ JỊ(Pr*-fc + }
fc=0«=l
trong đó z = te, í G 7.
Đ ịnh nghĩa các hàm coa và sin theo công thức Eìiler
ta thu được các biểu thức tường minh của các hàm số cos và sin :
. n—1 k k
CA(z) = ịận + 1 c / + £ 5 1 [ n f r " - j + *A) + X ^ÍPn-y -Ì A )]^ n -fc C /|
fc=l j = l j= l
- n—1 k k
sx{z) = {pnẰeI+ị £ [n (P n -y + *'A) - I ] > n - y - iA)]/9„_fcc /} .
k=i j=i J=1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Przew orska - Rolewicz D ., Algebraic Analysis, Warsaw - Dordrecht 1988.
2. N guyen Van Mau, Characterization of right Volterra inv.vrees. Opuscula Math. 6 (1990), 21-37.

3. N guyen Vu Luong, On a class of generalized difference operators, J. of Sci. 1993, 21-25.
VNƯ,H Journal of Science, Nat. sci. t.XI, n°l, 1995
TAYLOR FOR MƯ LA FOR W £IG H T E D D IFF ER E N C E
O PER ATO RS A ND ITS A PP LIC AT IO NS
Nguyen Vu Luong
Facuỉty of M athtm atics, Hanox ưniversity
T he paper deal with operators of the from DpX = (:rn+ i — pxn). We find a evid ent form of
Dp. We present in evident form the Taylor íormula for weighted diíĩerence operators. Moreove
we find general solutions of Cauchy problem w ith scalar coeíĩìcientB and general form of sine an
cosine elem ents in sequences.
12