Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Mục lục
Trang

A. phần Mở đầu
2
i. Lý do chọn đề tài
2
II. Mục đích sáng kiến kinh nghiệm
3
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
3
IV. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
3
v. Phơng pháp nghiên cứu.
4

B. NộI DUNG
Chơng 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị
Chơng 2: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phơng pháp
hình học

C. KếT LUậN Và KHUYếN NGHị
D. TàI LIệU THAM KHảO

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
-1-

Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n cùc trÞ cña hµm sè

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm m«n to¸n
NguyÔn Duy Trêng
-2-

–


Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số

A PHầN Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Trong chơng trình toán THPT cực trị là phần hấp dẫn, lôi
cuốn tất cả những ngời học toán và làm toán. Các bài toán này
rất phong phú và đa dạng .
Vì vậy, các bài toán cực trị của hàm số thờng xuyên có mặt
trong các kì thi tốt nghiệp THPT cũng nh trong các kì thi học
chọn sinh giỏi quốc gia, quốc tế và các đề thi vào các trờng CĐ,
ĐH .
Để giải quyết nó đòi hỏi ngời học toán và làm toán phải linh
hoạt và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán. Tất nhiên
đứng trớc một bài toán cực trị thì mỗi ngời đều có một hớng
xuất phát riêng của mình. Nói nh vậy có nghĩa là có rất nhiều
phơng pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán cực trị.
Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phơng pháp nào cho lời giải
tối u của bài toán. Thật là khó nhng cũng thú vị nếu ta tìm đợc đờng lối đúng đắn để giải quyết nó .
Dạy học sinh học toán không chỉ cung cấp những kiến thức
cơ bản, những dạng bài tập vận dụng trong sách giáo khoa,

sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cách t duy
trong suy luận toán học của mỗi học sinh thông qua các phơng
pháp giải toán, từ đó giúp các em có năng lực t duy logic, độc
lập sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo trong học tập và
phát triển nhân cách của học sinh.
Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán, tôi
xây dựng đề tài : Một số phơng pháp giải bài toán cực
trị của hàm số.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
-3-




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Từ đó giúp những ngời học toán và làm toán có thêm công
cụ để giải quyết các bài toán cực trị .

II. Mục đích sáng kiến kinh nghiệm
-Giúp cho học sinh có cái nhìn khái quát về các phơng
pháp tìm cực trị của hàm số, từ đó hình thành nên các phơng
pháp giải toán.
-Góp phần đổi mới phơng pháp giảng dạy bộ môn theo hớng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh. Góp
phần nâng cao chất lợng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn
Toán ở trờng THPT.
-Góp phần hình thành lòng say mê, sự hào hứng học tập
môn Toán, từ đó
hình thành và phát triển năng lực tự học,
tự bồi dỡng kiến thức cho học sinh.

- Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo
bổ ích cho các bạn đồng nghiệp trong việc bồi dỡng HSG,
luyện thi ĐH, CĐ.

III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt tốt kết quả của đề tài, ngời nghiên cứu phải làm đợc
những yêu cầu sau:
- Phải nắm thật vững những vị trí, mục tiêu, đặc điểm
và hệ thống chơng trình toán học ở bậc THPT.
- Có cái nhìn khái quát về lý thuyết của bài toán cực trị của
hàm nhiều biến ở bậc đại học áp dụng vào toán học THPT
dới góc nhìn toán học sơ cấp. Từ đó góp phần giúp giáo
viên THPT hiểu đợc bản chất của vấn đề, để áp dụng
vào từng đối tợng học sinh một cách có hiệu quả nhất.

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
-4-




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
- Nâng cao dần trình độ học toán và làm toán của học
sinh THPT đáp ứng đợc nhu cầu của xã hội trong thời kỳ
CNH, HĐH đất nớc.

IV. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tợng Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của
hàm số ở trờng THPT.

- Phạm vi nghiên cứu là học sinh khối lớp 10 trờng THPT Yên
Lãng
Sáng kiến kinh nghiệm gồm 2 chơng
Chơng 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá
trị.
Chơng 2: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phơng
pháp hình học.
Trong các chơng thì sau phần trình bày lý thuyết là một
số bài tập đa ra nhằm minh họa cho lý thuyết đã đa ra ở trên .

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
-5-




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
V. Phơng pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học Một số
phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số trong chơng
trình toán học THPT.
- Nghiên cứu những khó khăn của học sinh trong việc giải
bài toán cực trị của hàm số, từ đó tìm ra hớng giải quyết.
Đề tài đợc tiến hành nghiên cứu, thực nghiệm ở các lớp 10
trờng THPT Yên Lãng. Đặc biệt ở các lớp chọn, lớp chuyên đề. Đề
tài còn là một tài liệu rất tốt cho các bạn học sinh khối 12 chuẩn
bị thi vào ĐH, CĐ và luyện thi học sinh giỏi .

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
-6-




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số

B. NộI DUNG
Chơng 1: Giải bài toán cực trị của hàm số
bằng miền giá trị
1.1 Phơng pháp chung
Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x trên miền D ta làm nh sau :
Gọi y0 là một giá trị tuỳ của hàm số trên D điều đó có

nghĩa là hệ sau đây có nghiệm


f x y0


xD



1.1
1.2

Tuỳ từng dạng bài của hệ 1.1 , 1.2 mà ta có điều kiện có
nghiệm thích hợp. Trong nhiều trờng hợp điều kiện ấy (sau khi
biến

đổi

và

rút

gọn

y0

sẽ

đa

về

dạng)

(1.3)

Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x), nên từ (1.3) thu đợc
minf x vmaxf x
x D
x D
Nh vậy để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số nếu
dùng phơng pháp này, ta quy về việc tìm điều kiện để một

phơng trình (thêm điều kiện phụ) có nghiệm .
1.2. Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn và giải pháp
Để thực hiện đề tài này tôi cho các lớp trên làm một số bài
toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nh sau:
Bài tập 1.1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
-7-




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
2x2 +10x + 3
f ( x) =
, x
3x2 + 2x +1
Lời giải đúng:
Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số. Khi đó phơng trình sau
có nghiệm
2x2 10x 3
y0
3x2 2x 1
(1.4)
3x2 + 2x + 1> 0, " x

Do

nên

từ

(1.4)

2x2 10x 3 3x2y0 2xy0 y0
3y0 2 x2 2x y0 5 y0 3 0
(1.5)
* 3y0 2 0 y0

2
thì
3

nghiệm tức là f(x) nhận giá trị
2 0
* 3y0

y0

y0 5 0 vậy (1.5) hiển nhiên có
2
với mọi giá trị x
3

2
thì (1.5) là phơng trình bậc hai đối với
3

x. Do đó

2y2019y
0 35 0
(1.5) có nghiệm khi và chỉ khi
.

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
-8-



5
y0 7
2


Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
5
2 y0 7
Kết hợp cả hai trờng hợp ta đợc 2

y0
3

(1.6)

2
T(1.6) ta suy ra maxf ( x) = 7, minf ( x) =
3
x

x

Lớp 10A1 có 18/45 học sinh cho lời giải đúng, 15 học sinh
có lời giải sai và 12 học sinh không có lời giải.
Lớp 10A2có 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh
có lời giải sai và 11 học sinh không có lời giải.
Lớp 10A4 có 10/46 học sinh cho lời giải đúng, 26 học sinh
có lời giải sai và 10 học sinh không có lời giải.
Bài toán 1 là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
hàm số ở mức độ trung bình khá và chỉ một số học sinh có lời
giải đúng. Những học sinh có lời giải sai là do tính nhầm và
một số không định hớng đựơc cách giải.
Để khắc phục những sai lầm trên ta làm nh sau :
Bớc 1: Nêu phơng pháp chung để làm bài toán cực trị của
hàm phân thức.
Bớc 2: Cung cấp cho học sinh cách giải và biện luận phơng
trình bậc 2
Bớc 3: Cung cấp cho học sinh cách giải bất phơng trình
bậc 2.
Bớc 4: Cung cấp cho học sinh cách giải bài toán so sánh
nghiệm .
Bớc 5: Phân tích những sai lầm gặp phải khi gặp mỗi
dạng toán.
Sau khi đa ra các nhận xét trên và cho học sinh làm bài
tâp 1.2 ta thu đợc kết quả ở các lớp nh sau:
Bài tập 1.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
x2 2x 2
với x
y 2
x 2x 2

Bài giải

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
-9-




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Lấy y0 thuộc miền giá trị của hàm số khi đó $x để sao cho
phơng

x2 2x 2
y0 2
x 2x 2

trình

có

nghiệm



(y0 1)x2 2(y0 1)x 2(y0 1) 0 có nghiệm
TH1: y0 = 1 x=0
y0 1

y0 1

y0 1




2
TH2:

2
2

0
y0 1 2 y0 1 0 y0 6y0 10


y0 1


3 2 2 y0 3 2 2




Vậy 3 2 2 y0 3 2 2 .Từ đó suy ra
max Y = 3 2 2

x

khi

x

y0 1
2
y0 1

; minY=3-2 2

khi

y0 1
2.
y0 1

Kết quả thu đợc ở các lớp nh sau:
Học sinh còn lúng túng khi coi y là hằng số x là biến số.
Thứ hai, khi nhân 2 vế đa về phơng trình bậc 2. Tìm điều
kiện có nghiệm của phơng trình học sinh ở lớp 10A2, 10A4 còn
lúng túng.
Tất cả các lời giải sai đều mắc phải một trong các nhận
xét trên. Ngoài ra học sinh còn không chỉ ra max, min đặt tại
đâu. Các học sinh không có lời là do không biết cách biện luận
phơng trình bậc 2.
Lớp 10A1 có 35 học sinh cho lời giải đúng, 10 học sinh có
lời giải sai. (77,8%-22,2%)
Lớp 10A2 có 28 học sinh có lời giải đúng( 62.2%); 12 lời
giải sai (26,7%) và 5 học sinh không có lời giải. (11,1%)
Lớp 10A4 có 25 học sinh cho lời giải đúng(54,3%), 14 học
sinh có lời giải sai (30,4%) và 7 học sinh không có lời
giải(15,3%).

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 10 -




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Bài toán 2 là một bài toán tơng tự bài toán 1, sau khi đợc
hớng dẫn phơng pháp tìm cực trị đã có nhiều học sinh làm đợc, bên cạnh đó còn nhiều học sinh làm sai và không biết làm.
Nhận xét: Phơng pháp miền giá trị có thể áp dụng để
a1x2 b1x c1
y
a2x2 b2x c2

tìm Ymax, Ymin các phân thức có dạng

với

b22 4a2c2 0
Từ những phân tích trên cho học sinh làm một số bài tập áp
dụng nh sau:
Bài tập 1.3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
f x

3 4x2 3x4

1 x
2

2

Bài giải
Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x). Khi đó phơng
trình sau có nghiệm
3 4x2 3x4

ẩn x

1 x
2

2

y0

(1.7)
4
2
(1.7) y0 3 x 2 y0 2 x y0 3 0

(1.8)
* Nếu y0 = 3 khi đó phơng trình (1.8) trở thành x2 0 vậy
(1.8) có nghiệm
x = 0.
* Nếu y0 3 khi đó phơng trình (1.8) có nghiệm hệ
sau có nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng

- 11 -




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số


y0 3 t2 2 y0 2 t y0 3 0


t 0


(1.9)
(1.10)

0
y0 2 y0 3 2y0 5 .
Ta có
2

định lý Viet ta có P

2

y0

5
. Khi đó theo

2

y0 3
1 0. Vậy các nghiệm của ( 1.9)
y0 3

cùng dấu, từ đó để hệ (1.9), (1.10) có nghiệm thì điều kiện
là :

0




S 2 y0


0
2 y 3

0

5
y0
2

2 y0 3


5

y0 3.
2

Kết hợp cả hai trờng hợp, phơng trình



(1.8) có nghiệm

5
y0 3
2

Nh vậy ta đợc maxf ( x) = 3, minf ( x) =





5
2

Nhận xét: Khi cho học sinh làm bài tập trên ta cần lu ý nh sau:
Hàm phân thức trên có dạng trùng phơng bậc 4 nên nghiệm
của phơng trình điều kiện phải dơng.
Bài 1.4 ( ta mở rộng của bài 1.3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của hàm số

x2 2x 2
trên đoạn [0,2] .

y 2
x 2x 2

Nhận xét: Bài tập tập này có dạng miền xác định D = [0,2].
Bài giải

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 12 -




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Lấy y0 thuộc miền giá trị của hàm số khi đó x D để sao cho
phơng trình
x2 2x 2
có nghiệm
y0 2
x 2x 2
(y0 1)x2 2(y0 1)x 2(y0 1) 0

(1.11)
có nghiệm trong đoạn [0,2] .Bài toán quay trở về tìm tham số
y0 để pt (1.11) có nghiệm trong đoạn [0,2]. Ta có các trờng hợp
sau:
f(x)= (y0 1)x2 2(y0 1)x 2(y0 1)
TH1: a = 0 hay y0 = 1 khi đó x=0 0,2 y0=1 thoả mãn.
TH2: a 0
TH2.1: f(0)=2(y0-1), f(2)=10y0-2

f(0)f(2) 0 2(y0 1) 10y0 2 0

0


y0 1 f(0) 0


TH2.2: 0 x1 x2 2
y0 1 f(2) 0

s

0 2

2

1
y0 1
5

y20 6y0 10

2(y0 1)2 0



(y0 1) 10y0 2 0

y 1

0 0
2

y

1

0



3 2 2 y0 3 2 2

1

y0

1

3 2 2 y0
5
5

y0 1


1

1

y

0


3
Vậy miền giá trị của hàm số là
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 13 -

3 2 2 y0 1



Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Ymax=1 đạt đợc khi x = 0 , Ymin = 3-2 2 đạt đợc khi x= 2
x2 px q
Bài tập 1.5 : Cho hàm số f x
.
x2 1
Tìm p, q để maxf x 9, minf x 1.
Bài giải
Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số, khi đó phơng trình
x2 px q
y0
x2 1
(1.12)

có nghiệm ẩn x .
2
Phơng trình (1.12) y0 1 x px y0 q 0

(1.13)
* Nếu y0 = 1 thì (1.13) có nghiệm khi p 0 hoặc p = 0 và
q=1
* Nếu y0 0 thì phơng trình ( 1.13) có nghiệm khi
0





4y20 4 q 1 y0 p2 4q 0.
(1.14)
Xét

phơng





4t2 4 q 1 t p2 4q 0

trình

(1.15)
Gọi t1, t2 là nghiệm của phơng trình (1.15) thì nghiệm của

bất phơng trình
(1.14) theo ẩn y0 là t1 y0 t2 .
Kết hợp cả hai trờng hợp thì ta thấy phơng trình (1.13) có
nghiệm khi
t1 y0 t2 trong đó t1, t2 là hai nghiệm của phơng trình (1.15).

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 14 -




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Từ đó maxf x t2 , minf x t1 . Nh vậy bài toán trở thành: Tìm
p ,q để phơng trình (1.15) có hai nghiệm 9 và -1. Theo định
lý Viet điều đó xảy ra khi
4 q 1
8

q 7

4

.


2
p 8

4q p 9

4
p 8

Vậy hai cặp giá trị cần tìm là
q 7


p 8
.

q 7



Bài tập 1.6 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số









2

f x,y x2 y2 trên miền D x,y : x2 y2 1 4x2y2 x2 y2 0

Bài giải
Gọi t0 là một giá trị bất kì của hàm số f (x,y) trên miền D.
Điều đó chứng tỏ hệ phơng trình sau đây (ẩn x,y ) có
nghiệm


x2 y2 t0
x2 y2 t0


2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
x

y

1

4x
y

x

y

0
x

y
3 x2 y2 1 4x2 0


















x2 y2 t0

2
t0 3t0 1 4x2 0

(1.16)
(1.17)

Để (1.17) có nghiệm ẩn x thì ta phải có điều kiện là
t20 3t0 10


(1.18)

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 15 -



3 5
t0
2

3 5
2


Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Với điều kiện (1.18 ) gọi x0 là nghiệm của
x20

t20 3t0 1
4

thay

vào

(1.16)

ta

(1.17)

đợc

suy ra

4y2 t20 t0 1

(1.19)
Do t20 t0 1 0 với t0 nên hiển nhiên với điều kiện (1.18) thì
(1.19) có nghiệm, nghĩa là (1.18) là điều kiện để hệ (1.16),
(1.17) có nghiệm. Nh vậy
maxf x,y
D

3 5
3 5
, minf x,y
2
2
D

Bài tập tơng tự dành cho học sinh về tự làm ( có hớng
dẫn)
Bài 1.7 Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số

x2 x 1
y 2
x x1
1.3(Đs
:

Hớng
dẫn
:
Làm
tơng
tự
bài
1
1
y0 1 maxf x 1, minf x )
3
3
Bài 1.8 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
3 x 3 4 1 x 1
y
4 x 3 3 1 x 1
Hớng dẫn:
2t

x

3

2

2
2

1 t2
Do
với 0 t 1
x 3 1 x 4 nên ta đặt
2
1

t
1 x 2

1 t2
7t2 12t 9
Khi đó ta có y
,với 0 t 1
5t2 16t 7
7
9
( Đ/s :ymax= khi t=0 x=-3 ; ymin= khi t=1 x=1 )
9
7
Bài 1.9 :Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số A=
x2 xy 2y2

x2 xy y2







Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 16 -




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
x
Hóng dẫn: Đăt t= khi đó
y

t2 t 2
7 2 7
.( Đ/s:Amax=
,Amin=
A 2
t t1
3

7 2 7
)

3
Bài 1.10 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x,y x y

2
2
Xét trên miền D x,y : x 4y 1
Hớng dẫn : Ta cũng giả sử t0 là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y).
Điều đó có nghĩa là hệ sau đây ( ẩn x, ẩn y) có nghiệm

x y t0


2

x 4y2 1
x y t0



Từ đây ta tìm miền giá trị t0 của
2
2
x y t0

x 4y 1


2

x 4y2 1

từng hệ nh vậy bài toán quay về dạng bài 1.6 và ta áp dụng
nguyên lý phân rã để tìm tìm giá trị lớn nhất của hàm số .

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 17 -




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Chơng 2 : Giải bài toán cực trị của hàm số bằng
phơng pháp hình học
2.1 Cơ sở lý thuyết
Bất đẳng thức tam giác
1.Với 3 điểm A, B , C bất kì ta luôn có :
+

AB BC AC

( Dấu đẳng thức xảy ra B nằm trong đoạn AC ).
+ AB AC BC
(Dấu đẳng thức xảy ra C nằm ngoài đoạn AB ).
Cách áp dụng :
+ Đa hàm số đã cho về dạng : f x,y x2 a2 y2 b2
(a, b là các hăng số )
+Sau đó định hệ trục toạ độ, chọn 3 điểm A , B , C
có toạ độ xác

định và cuối cùng sử dụng hai bất đẳng thức trên để tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số .
2. ABC :AB BC AC AB BC .

2.2 Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn và giải
pháp
Để thực hiện đề tài này tôi cho các lớp trên làm một số bài
toán về cực trị và đợc kết quả nh sau:
Bài 2.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x) = x2 + x +1 + x2 - x +1 " x
Bài giải
Ta có: f x x2 x 1 x2 x 1

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 18 -




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
2

2

2
2
1
3
1

3

x


0



x









2
2
2 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các điểm:
1
3 1 3
A
;
,B ;
,C x;0

2
2
2
2



2

2
1 3

Khi đó ta có AC
x
2 2

y

B

3
2
x

O



C 1

1
2

2

A



2

2
1 3
BC
x


2 2

AB 12

3

2

2

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng

- 19 -

x



3
2


Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số

A,B,C , ta luôn có bất đẳng thức: AC BC AB
2

2
1

3





x+
+
+

2

2


"
f ( x)

2

2
3
1





x
+
2, " x






2

2

2, x

AB
Dấu = xảy ra C AB , ta thấy O

C O

Hay f 0 22
Vậy: minf ( x) = 2, " x
Nhận xét:
Lớp 10A1 có 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 28 học sinh
có lời giải sai và 12 học sinh không có lời giải.
Lớp 10A2 có 10/45 học sinh cho lời giải đúng, 25 học sinh
có lời giải sai và 15 học sinh không có lời giải.
Lớp 10A4 có 2/46 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có
lời giải sai và 20 học sinh không có lời giải.
Bài toán 1 là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm căn
thức mức độ khá và đa số học sinh cha có lời giải đúng.
Những học sinh có lời giải sai là do tính nhầm hoặc cha hình
dung ra phơng pháp giải.
Để khắc phục những sai lầm trên ta làm nh sau:
Bớc 1: Cung cấp cho học sinh phơng pháp tìm cực trị
bằng phơng pháp hình học.( Nh phần lý thuyết đã cung cấp).
Bớc 2:Phân tích cho học sinh khi nào thì áp dụng phơng
pháp tìm cực trị bằng hình học vào đại số( Khi biểu thức
trong căn có dạng tổng bình phơng).
Bớc 3: áp dụng một số bất đẳng thức hình học.

Bớc 4: Học sinh phải nắm vững phần phơng pháp toạ độ
trong hình học phẳng.
Bớc 5: Thông qua cách làm của học sinh phân tích một
số sai lầm gặp phải khi làm dạng toán này.
Sau khi giáo viên hớng dẫn cho học sinh làm bài tập sau:
Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 20 -




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
f x x2 x 1 x2 3x 1, với x
Lời giải đúng:
2

2

2
1 3
3 1

Ta có thể viết: f x
x
x

2 2 2 4

2

2

2

2

3
3 1
1

x
0
x
0



.
2
2
2
2

Với hai điểm M x1;y1 ,N x2;y2 trên mặt phẳng toạ độ,
ta có:
MN

x

x1 y2 y1
2
2

3
2

2

y

1 3
A( ; )
2 2

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy ,
đặt:

O

1
2

x

C(x;0)

1 3 3 1
A ;
, B ;
, C x;0
2
2
2
2






1
2

B(

2
3
1
CA
x
0

2 2

2

2



3 1
CB
x
0




2 2
2

2

3 1 1
3
AB

2
2
2
2
2

Vậy: f x CA CB .
A,B,C , luôn có bất đẳng thức: CA CB AB
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 21 -



x

C0

2

Khi đó ta có:

3
2

3 1
; )
2 2


Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
"
f ( x)

2,

. Mặt khác, giả sử AB cắt Ox tại C0 .

Ta có: C0A C0B AB . Nh vậy, nếu đặt x0 OC0 thì f x0 2 Do
đó:
minf ( x) = 2, " x
Sau khi hớng dẫn học sinh và cho làm bài tập 2 đợc kết
quả nh sau:
Lớp 10A1 có 40 học sinh cho lời giải đúng (88,9%),5 học
sinh có lời giải sai. (11,2%)
Lớp 10A2 có 37 học sinh có lời giải đúng (82,2%); 8 lời giải
sai (17,8%)
Lớp 10A4 có 30 học sinh cho lời giải đúng (65,2%), 11 học
sinh có lời giải sai (23,9%) và 5 học sinh không có lời giải
(10,9%).
Nh vậy sau khi hớng dẫn phơng pháp tìm cực trị bằng phơng pháp hình học đa số học sinh đã biết vận dụng và làm đợc bài tập.
Với phơng pháp trên, sai lầm chủ yếu của học sinh mắc
phải là không biết dụng đa bài toán đại số về bài toán hình
học. Một số học sinh còn lúng túng khi đặt các toạ độ tơng
ứng để đa về bài toán độ độ dài trong tam giác.
Từ những phân tích trên ta cho học sinh áp dụng làm một số
bài tập vận dụng nh sau:
Bài 2.3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f ( x) = x2 - 6x + 34 -

x2 - 6x +10, " x

Lời giải

đúng:

Ta có:
f x

x 3

2

25

x 3

2

1

2

x 3 52

x 3

2

12

f 3 5 1.
Với x 3, dựng ABC vuông tại A,AC 5,AB x 3 . Trên cạnh AC ,
ta lấy điểm D sao cho AD 1. Theo đính lý Pitago, ta có:
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng

- 22 -




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
B
2

BC AB2 AC2

x 3 52

BD AB2 AD2

x 3 12

x 3

2

A

D

C

Trong BCD , ta luôn có BC BD DC

2

x 3 52

2

x 3 12 4

Vậy là x 3 thì f x 4 . f x 4 khi x 3.

( x) = 4 .
Suy ra maxf
x
Nhận xét: Bài toán trên là dạng hiệu của hai biểu thức, ta áp
dụng hiệu của hai cạnh luôn nhỏ hơn cạnh thứ 3.
Bài 2.4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhỏ nhất của hàm số
f x;y 4x 3y . Xét trên miền D x;y :x2 y2 16 8x 6y
Bài giải
x;y D , ta có

x2 y2 16 8x 6y

x2 8x 16 y2 6y 9 9
x 4 y 3 32
2

2

Vậy x;y D là những điểm nằm trên đờng tròn có tâm
I 4;3 , bán kính R 3. Khi đó x;y D , ta có:

1 2
x2 y2
2
f x;y 4x 3y x y 16 8
2
2
Nối OI cắt đờng tròn D tại M 1,M 2 . Khi đó x;y D , ta có:
min OM OM 1 OI M 1I 5 3 2

M x;y D

y

M
M2

3

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 23 -

I


M1
O

4

x


Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Mmin
OM 2 4
x;y D




max OM OM 2 OI M 2I 5 3 8

M x;y D

2
Mmax
OM
64
x;y D





2
2
x
y2
Mặt khác, ta có: OM

4 x2 y2 64

Suy ra: 6 f x;y 36
f x;y 36; Mmin
f x;y 6
Vậy: Mmax
x;y D
x;y D
Bài 2.5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f x,y,z,t 5 x 2y 5 z 2t 5 xz yt

trên miền

D x,y,z,t :x2 y2 z2 t2 5
Bài giải
Ta có thể viết lại hàm f x,y,z,t nh sau
f x,y,z,t

x 1

2

y 2

2
2

z 1

2

t 2

2
2

x 2

2

y t
2

2

x,y,z,t D thì điểm M x;y ,N z;t nằm trên đờng tròn tại
gốc O bán kính R 5 trong hệ trục toạ độ Oxy , xét điểm
P( 1; 2). Vậy P (1; 2) cũng nằm trên đờng tròn D.
y

Khi đó, ta có:

x 1


2

x z

y 2
2

2

z 1

2

t 2

2

2

y t MP NP MN
2

x

M
O

với x;y;z;t D

1

M

Do MNP nội tiếp đờng tròn

0; 5
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 24 -

P(1;2)




Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số
Mặt khác, một tam giác nội tiếp đờng tròn nếu tam giác đó là
tam giác đều thì tam giác đó có chu vi lớn nhất.
MNP đều nội tiếp đờng tròn có bán kính

5 thì cạnh có độ

dài:
a 3. 5 15
Vậy: f x,y,z,t

1
3 30
3 30
.3 5
maxf x;y;z;t
, x;y;z;t D
2
2

2

Bài 2.6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f(x,y,z,t) z2 t2 2xz 2yt 1
2
2
2
Xét trên miền D (x,y,z,t): x y 1 , z t 3 0

Bài giải
(x,y,z,t) D , ta có:
v

f(x,y,z,t) (z x)2 (y t)2 x2 y2 1
(z x)2 (y t)2

N0
3

(x,y,z,t) D thì tập hợp những

v u2 3
N(z;t)

điểm M(x,y) nằm
M0 1

trên đờng tròn tâm O(0;0), bán
kính R = 1;

M(x;y)

Tập hợp các điểm N(z,t) nằm trên

1

O

parabol: v=u2+3
1

Khi đó, ta có:
MN 2 (z x)2 (t y)2 f(x,y,z,t)
Vậy: min MN2 = M0N0 = 4 ,
Với M0(0;1) ; N0(0;3)

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
Nguyễn Duy Trờng
- 25 -



1

u