Về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gian

BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG

€O T„O

„I HÅC VINH

NGUY™N V‹N TH•NG

V— •NH GI• ÊN

ÀNH

V€ CHŸNH HÂA CHO PH×ÌNG TRœNH PARABOLIC BŠC NGUY–
N V€ BŠC PH…N THÙ NG×ÑC THÍI GIAN

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

Ngh» An - 2019


BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG

€O T„O

„I HÅC VINH

NGUY™N V‹N TH•NG

V— •NH GI• ÊN

ÀNH

V€ CHŸNH HÂA CHO PH×ÌNG TRœNH PARABOLIC BŠC NGUY–
N V€ BŠC PH…N THÙ NG×ÑC THÍI GIAN

CHUY–N NG€NH: TO•N GIƒI T•CH
M‚ SÈ: 946 01 02

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: 1) PGS. TS. NGUY™N V‹N ÙC 2) PGS.
TS. INH HUY HO€NG

Ngh» An - 2019


1

MệC LệC

Lới cam oan
Lới cÊm ỡn

3
4

Mởt số kỵ hiằu thữớng dũng trong luên Ăn

5

Lới nõi Ưu

6

Chữỡng 1. Kián thực cỡ s
1.1. KhĂi niằm b i toĂn t khổng chnh, Ănh giĂ ờn nh v
hõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Mởt số kát quÊ bờ trủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chữỡng 2. Ănh giĂ ờn nh v chnh hõa cho phữỡng trẳnh

14
chnh

parabolic nỷa tuyán tẵnh ngữủc thới gian
2.1. Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh
ngữủc thới gian vợi hằ số phử thuởc thới gian . . . . . . . . . . . .
2.2. CĂc vẵ dử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh
ngữủc thới gian vợi hằ số khổng phử thuởc thới gian . . . . . . . . .
2.4. Chnh hõa phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh ngữủc thới gian
bơng phữỡng phĂp Tikhonov cõ hiằu chnh . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Kát luên Chữỡng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chữỡng 3. Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh Burgers
ngữủc

14
15

18

18
42
50
57
61

thới gian
62
3.1. Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh Burgers
ngữủc thới gian vợi
62
hằ số phử thuởc thới gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2

3.2. ¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nh Burgers ng÷ñc thíi gian vîi
h» sè khæng phö thuëc thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. K¸t luªn Ch÷ìng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ch÷ìng 4. Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic bªc ph¥n thù

69
74

ng÷ñc thíi gian
4.1. T½nh °t ch¿nh cõa b i to¡n ch¿nh hâa . . . . . . . . . . . . .
4.2. Tèc ë hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. V½ dö sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4. K¸t luªn Ch÷ìng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K¸t luªn chung v ki¸n nghà

75
75
78

Danh möc cæng tr¼nh cõa NCS câ li¶n quan ¸n luªn ¡n

98

95
96


3

LI CAM

OAN

Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi trữớng Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn cừa
PGS. TS. Nguyạn Vôn ực v PGS. TS. inh Huy Ho ng. Tổi xin cam oan
Ơy l cổng trẳnh cừa riảng tổi. CĂc kát quÊ ữủc viát chung vợi cĂc tĂc giÊ
khĂc  ữủc sỹ ỗng ỵ cừa ỗng tĂc giÊ khi ữa v o luên Ăn. CĂc kát quÊ ữủc
trẳnh b y trong luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố tứ trữợc án nay.

TĂc giÊ

Nguyạn Vôn Th-ng

4

LI CM èN

Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi trữớng Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn khoa
hồc cừa PGS. TS. Nguyạn Vôn ực v PGS. TS. inh Huy Ho ng. Trữợc hát,
tĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c ối vợi nhỳng ngữới thƯy cừa
mẳnh: PGS. TS. Nguyạn Vôn ực v PGS. TS. inh Huy Ho ng, nhỳng
ngữới  t b i toĂn v nh hữợng nghiản cựu cho tĂc giÊ. CĂc thƯy  hữợng
dăn nhiằt tẳnh v ởng viản tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản
cựu.
TĂc giÊ cụng xin chƠn th nh cÊm ỡn Viằn Sữ phÔm tỹ nhiản, Tờ bở
mổn GiÊi tẵch, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc v cĂc phỏng chực nông khĂc
cừa Trữớng Ôi hồc Vinh  tÔo iãu kiằn thuên lủi tĂc giÊ ho n th nh nhiằm
vử cừa nghiản cựu sinh.
TĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c tợi gia ẳnh v nhỳng ngữới bÔn
thƠn thiát  luổn s chia, giúp ù v ởng viản tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh
hồc têp v nghiản cựu.
Nguyạn Vôn Th-ng


5

MậT Sẩ Kị HIU THìNG DềNG TRONG LUN N

TT CĂc kỵ hiằu GiÊi thẵch ỵ nghắa cừa kỵ hiằu
HKhổng gian Hilbert H

1
2

3
4
5

6
7
8

9
10
11
12
13
14
15
16
17

C([0; T ]; H)
1
C ([0; T ]; H)

Khổng gian cĂc h m liản tửc tứ [0; T ] v o H
Khổng gian cĂc h m khÊ vi liản tửc tứ [0; T ]

voH
U(t; s)Hằ tián hõa sinh bi -A(t)
J (g)Phiám h m Tikhonov vợi tham số hiằu chnh

18
19
20

21

h ; iTẵch vổ hữợng trong khổng gian Hilbert H
k:kChuân trong khổng gian Hilbert H
k:k 2
2
Chuân trong khổng gian L (0; 1)
L (0;1)
AToĂn tỷ tuyán tẵnh khổng b chn, tỹ liản hủp, xĂc
nh dữỡng
A(t)ToĂn tỷ phử thuởc v o thới gian
D(A)Miãn xĂc nh cừa toĂn tỷ A
D(A(t))Miãn xĂc nh cừa toĂn tỷ A(t)
f igi 1
Hằ cỡ s trỹc chuân trong H
fg
Hằ giĂ tr riảng cừa toĂn tỷ A ối vợi hằ
i i 1
vctỡ riảng l cỡ s trỹc chuân trong H
n
Miãn b chn trong khổng gian R
n
Khổng gian thỹc n chiãu
R
Ôo h m riảng cĐp mởt theo bián thới gian t
ut

Ôo h m riảng cĐp mởt theo bián khổng gian x
ux
u
Ôo h m riảng cĐp hai theo bián khổng gian x
xx

v(t; g)Nghiằm cừa phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán
tẵnh vợi dỳ kiằn ban Ưu v(0) = g
xn * xDÂy fxng hởi tử yáu tợi x


6

Mé U

1. Lỵ do chồn

ãti

Phữỡng trẳnh parabolic bêc nguyản v bêc phƠn thự ngữủc thới gian ữủc
dũng mổ tÊ nhiãu hiằn tữủng vêt lỵ quan trồng. Chng hÔn, quĂ trẳnh
truyãn nhiằt [43, 49], quĂ trẳnh a vêt lỵ v a chĐt [22, 37, 58, 59], khoa
hồc vêt liằu [65], thừy ởng hồc [12], xỷ lỵ Ênh [15, 16, 48, 63], mổ tÊ sỹ
vên chuyn bi dỏng chĐt lọng trong mổi trữớng xốp [89]. Ngo i ra, lợp cĂc
phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh dÔng u t + A(t)u(t) = f(t; u(t)); cụng
ữủc dũng mổ tÊ mởt số hiằn tữủng vêt lỵ quan trồng. Chng hÔn: a) f(t;
2

u) = u b ckuk ; c > 0 trong mổ hẳnh sinh lỵ thƯn kinh cừa cĂc hằ thống tá
b o thƯn kinh lợn cõ tiãm nông h nh ởng [38, 47, 67], b) f(t; u) = u= 1 + au +

2

bu vợi ; a; b > 0; trong ởng hồc enzyme [62],
c)

p

p

f(t; u) = juj u; p > 1 hoc f(t; u) = u trong cĂc phÊn ựng nhiằt [62],
3

f(t; u) = au bu nhữ phữỡng trẳnh Allen-Cahn mổ tÊ quĂ trẳnh tĂch
pha trong hằ thống hủp kim a th nh phƯn [6] hoc phữỡng trẳnh GinzburgLandau trong siảu dăn [39], hoc e) f(t; u) = u(u )(1 u)(0 < < 1)
trong b i toĂn dƠn số [62]. Bản cÔnh õ, dÔng phữỡng trẳnh Burgers ngữủc
d)

thới gian cụng thữớng xuyản ữủc b-t gp trong ựng dửng vã ỗng hõa số
liằu [4, 57, 69], quĂ trẳnh sõng phi tuyán, trong lỵ thuyát vã Ơm hồc phi
tuyán hay lỵ thuyát nờ [64] v trong ựng dửng iãu khin tối ữu [5].
CĂc b i toĂn  nảu trản thữớng t khổng chnh theo nghắa
Hadamard [49, 75]. ối vợi lợp cĂc b i toĂn ngữủc t khổng chnh, khi dỳ
kiằn cuối cừa b i toĂn thay ời nhọ cõ th dăn án b i toĂn khổng cõ nghiằm
hoc náu cõ thẳ nghiằm n y lÔi cĂch xa nghiằm chẵnh xĂc. Vẳ vêy, viằc
ữa ra cĂc Ănh giĂ ờn nh, phữỡng phĂp chnh hõa cụng nhữ cĂc phữỡng
phĂp số hỳu hiằu tẳm nghiằm gƯn úng cho b i toĂn t khổng chnh
luổn l vĐn ã thới sỹ. Vợi cĂc lỵ do nảu trản, chúng tổi chồn ã t i nghiản cựu
cho luên Ăn cừa mẳnh l :"Vã Ănh giĂ ờn nh v chnh hõa cho

7

phữỡng trẳnh parabolic bêc nguyản v bêc phƠn thự ngữủc thới gian".
2. Mửc

ẵch nghiản cựu

Mửc ẵch cừa chúng tổi l thiát lêp cĂc kát quÊ mợi vã Ănh giĂ ờn nh
cụng nhữ chnh hõa cho cĂc dÔng phữỡng trẳnh parabolic bêc nguyản
v bêc phƠn thự ngữủc thới gian.
3.

ối tữủng nghiản cựu
ối vợi phữỡng trẳnh parabolic bêc nguyản, chúng tổi têp trung nghiản

cựu phữỡng trẳnh kiu Burgers ngữủc thới gian, phữỡng trẳnh parabolic
nỷa tuyán tẵnh ngữủc thới gian. Cỏn ối vợi phữỡng trẳnh parabolic bêc
phƠn thự, chúng tổi têp trung nghiản cựu phữỡng trẳnh tuyán tẵnh.
4. PhÔm vi nghiản cựu
Chúng tổi nghiản cựu Ănh giĂ ờn nh v chnh hoĂ cho phữỡng trẳnh
parabolic bêc nguyản v bêc phƠn thự ngữủc thới gian.
5. Phữỡng phĂp nghiản cựu
Chúng tổi sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp nhữ phữỡng phĂp lỗi logarithm
[2, 28, 32, 35], phữỡng phĂp b i toĂn giĂ tr biản khổng a phữỡng [28,
30, 31, 32, 33], phữỡng phĂp chnh hoĂ Tikhonov [19, 33, 36, 75] v
phữỡng phĂp l m nhuyạn [20, 25, 26, 27, 29].
6. ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn
Luên Ăn  Ôt ữủc mởt số kát quÊ vã Ănh giĂ ờn nh v chnh hõa cho
phữỡng trẳnh parabolic bêc nguyản phi tuyán v phữỡng trẳnh parabolic
bêc phƠn thự tuyán tẵnh. Do õ, luên Ăn gõp phƯn l m phong phú thảm

cĂc kát quÊ nghiản cựu trong lắnh vỹc b i toĂn ngữủc v b i toĂn t
khổng chnh.
Luên Ăn cõ th l m t i liằu tham khÊo cho cĂc sinh viản, hồc viản cao
hồc v nghiản cựu sinh ng nh toĂn.
7. Tờng quan v cĐu trúc cừa luên Ăn
7.1. Tờng quan mởt số vĐn

ã liản quan

án luên Ăn


8

B i toĂn t khổng chnh v b i toĂn ngữủc xuĐt hiằn tứ thêp niản 50
cừa thá k trữợc. CĂc nh toĂn hồc Ưu tiản ã cêp tợi b i toĂn n y l Tikhonov A.
N., Lavrent'ev M. M., John J., Pucci C. v Ivanov V. K. c biằt, v o nôm
1963, Tikhonov A. N. ữa ra phữỡng phĂp chnh hõa mang tản ổng cho
cĂc b i toĂn t khổng chnh (xem [75]). K tứ õ, b i toĂn
t khổng chnh v b i toĂn ngữủc  tr th nh mởt ng nh riảng cừa toĂn
vêt lỵ v khoa hồc tẵnh toĂn.
Cho H l khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng h ; i v chuân k k. Xt
b i toĂn tẳm h m u : [0; T ] ! H sao cho
8ut + Au = f(t; u); 0 < t T;
(1)

vợi

A

l toĂn tỷ

tuyán tẵnh khổng b ch n tỹ liản hủp xĂc nh dữỡng trản

:
khổng gian Hilbert H, ' thuởc H v f : [0; T ]
H ! H.
 cõ nhiãu kát quÊ
Ănh giĂ ờn nh v chnh hõa cho b i toĂn (1)
trong trữớng hủp tuyán tẵnh f 0 [3, 8, 11, 43, 49], chng hÔn nhữ phữỡng
phĂp tỹa Êo [40, 42], phữỡng phĂp phữỡng trẳnh Sobolev [21, 23, 41, 68],
phữỡng phĂp chnh hõa Tikhonov [33, 75, 76], phữỡng phĂp b i toĂn giĂ tr
biản khổng a phữỡng [9, 28, 30, 31, 32, 33] v phữỡng phĂp l m nhuyạn

[25, 26, 27, 29]. Tuy nhiản, ối vợi b i toĂn phi tuyán, văn cỏn nhiãu vĐn ã
cƯn ữủc quan tƠm nghiản cựu. Chng hÔn nhữ, tẳm cĂc Ănh giĂ ờn nh
v chnh hõa cho phữỡng trẳnh cõ hằ số phử thuởc thới gian.
V o nôm 1994, Nguyạn Th nh Long v Alain PhÔm Ngồc nh ([53]) Â
xem xt b i toĂn ngữủc cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh dÔng
(1). Bơng cĂch sỷ dửng nỷa nhõm co liản tửc mÔnh sinh bi toĂn tỷ

A =

1

A(I + A) ;

> 0;

hồ Ôt ữủc Ănh giĂ sai số kiu logarithm trản (0; 1] giỳa nghiằm cừa b i
toĂn ban Ưu v nghiằm cừa b i toĂn chnh hõa.
V o cĂc nôm 2007, 2009, ng ực Trồng v cĂc cởng sỹ ([77, 78]) xt
b i toĂn (1) trong khổng gian mởt chiãu cõ dÔng
8 ut uxx = f(x; t; u(x; t)); (x; t) 2 (0; ) (0; T );
>
u(0; t) = u( ; t) = 0; t
>
>
<
>
>
>

:

ku(x; T ) 'k ";

2

(0; T );

(2)


9

vợi f thọa mÂn iãu kiằn Lipschitz to n cửc. Trong [77], cĂc tĂc giÊ Â chnh hõa b i toĂn (2) bơng b i toĂn
8 ut uxx = P "t=T +e tn2 f(x; t; u") sin nx; (x; t) 2 (0; ) (0; T );
"

1
e
> "
tn

2

>

>
>

>

n=1

<

"

"

u (0; t) = u ( ; t) = 0; t 2 (0; T )

>"u"(x; 0) + u"(x; T ) = '(x)

1

T

n=1

>

P

R

0

"
"s=T +e sn2

f(x; s; u")ds sin nx:

>
>

>

:

Vợi

iãu kiằn
2

Z T 1

2

X

M = ku(0)k + 6

0

sn2

e

n=1

2

fn (u)ds < 1

cĂc tĂc giÊ trong [77] Â Ôt ữủc Ănh giĂ sai số kiu Holder nhữ sau
"

ku(t)

2

u (t)k

M exp((3k T (T

t))=2)"

t=T

:

Trong [78], ng ực Trồng v Nguyạn Huy TuĐn  sỷ dửng phữỡng phĂp phữỡng trẳnh tẵch phƠn chnh hõa
phữỡng trẳnh (2). Cử th, hồ chnh hõa b i toĂn (2) bơng b i toĂn
t T
2
T
u (x; t) = 1
sin nx:
(3)

(n

n=1

Zt

+ e Tn )
2

'n

T

e(s T )n f n(u )ds
2

X

Vợi iãu kiằn
1
X

4 2T n

ne

2

2

j hu(t);

n=1

ni

j < 1; 8t 2 [0; T ];

(4)

trong õ n = sin(nx), cĂc tĂc giÊ trong [78] Ôt ữủc Ănh giĂ sai số dÔng Holder nhữ sau
ku(t) u (t)k Me

k
2

T (T t)

T
t

1 + ln T

!

1 t=T

T

:

Sau õ v o nôm 2010, Phan Th nh Nam ([60]) Â chnh hõa b i toĂn
(1)

bơng phữỡng phĂp cht cửt. TĂc giÊ xt A l mởt toĂn tỷ dữỡng tỹ liản

hủp khổng b chn v H cõ mởt cỡ s trỹc chuân f igi>1 l cĂc vctỡ riảng
tữỡng ựng vợi cĂc giĂ tr riảng f igi>1 cừa toĂn tỷ A sao cho
0<
6 6 : : : ; v lim i = +1
1

2

i!+1

(5)

10

f thọa mÂn iãu kiằn Lipschitz to n cửc. Phan Th nh Nam  chựng
minh b i toĂn sau l t chnh
8vt + Av = PM f(t; v(t)); 0 < t < T;
(6)
v

:

trong õ

X

PM w =

h n; wi n
n

M

v Ôt ữủc cĂc kát quÊ nhữ sau.
1
Náu
X

2 min(t; )

n=1

e

thẳ vợiT ta cõ

n

2

j(u(t); n)j 6 E0

kv(t) u(t)k c

t=T

2

:

1

Náu

6 E12
2 0 2 min(t; )
2
n e n
j(u(t); n)j

X
n=1

thẳ vợiT ta cõ

;(

kv(t) u(t)k c
Náu

t=T

n

T )=

o

:

0

max ln(1= )

1
X

e

2

n

n=1

thẳ

kv(t) u(t)k c

t=T

2

j(u(t); n)j 6 E2

max

n

( T )=

;

2

( T )=

o

:

V o nôm 2014, Nguyạn Huy TuĐn v ng ực Trồng ([80]) Â xt b i toĂn
(1) vợi A thọa mÂn cĂc iãu kiằn nhữ trong [60]. Vợi v 2 H, hồ ữa ra nh
nghắa
1
A

+

"

(v) =

k=0

X

ln

1
+

hv; ki k

"k+ e k

trong õ ln (x) = maxfln x; 0g. Hỡn nỳa, hai tĂc n y giÊ sỷ rơng f thọa m
Ân cĂc iãu kiằn

11

(F0) Tỗn tÔi hơng số L0 > 0 sao cho
hf(t; w1)

f(t; w2); w1

w2i + L0kw1

2

w2k > 0:

(F1) Vợi r > 0 , tỗn tÔi hơng số K(r) > 0 sao cho f : R

H ! H thọa

mÂn iãu kiằn Lipschitz a phữỡng
kf(t; w1) f(t; w2)k 6 K(r)kw1 w2k
vợi w1; w2 2 H sao cho kwik 6 r; i = 1; 2:
(F2) f(t; 0) = 0 vợi mồi t 2 [0; T ].
Nguyạn Huy TuĐn v
ng ực Trồng  chnh hõa b i toĂn (1) bơng b i
toĂn tỹa Êo sau
8 dt + A"v"(t) = f(v"(t); t); 0 < t < T;
(7)
> dv"(t)
v (T ) = ':
<

>

"

:

CĂc tĂc giÊ n y cƯn

án iãu kiằn
ZT 1

2

X

E =

0

2 2

k

e

k

hu(s); ki

2

< 1:

k=1

Khi õ, hồ Ôt ữủc tốc ở hởi tử cừa nghiằm chnh hõa vã nghiằm chẵnh
xĂc cõ dÔng "

t=T

ln

t=T 1

e

"

.

Mc dũ trong [60, 77, 78, 80], cĂc nh toĂn hồc  ữa ra ữủc Ănh giĂ sai
số dÔng Holder những iãu kiằn t lản nghiằm l mÔnh v khổng dạ kim
tra.
án nôm 2015, inh Nho H o v Nguyạn Vôn ực ([34]) Â chnh hõa
b i toĂn (1) bơng b i toĂn biản khổng a phữỡng
8vt + Av = f(t; v(t));
0 < t < T;
(8)
kui(t)k 6 E; t 2 [0; T ]; i = 1; 2; 0 < " < E:
Khi õ, vợi t 2 [0; T ] ta cõ
trong õ

(t) 1 (t)

ku1(t) u2(t)k 6 2"

E

a3(T )

(2.3)

c3 = 2K2T + jc2jT + 2K c4c5

1
vợi c4 =

exp c3 (t)(1 (t)) ;

; c5 = maxfexp jc1jT; exp jcjT g v K = K(E) l
hơng số

T

Lipschitz ữủc xĂc nh bi (F1).
Chựng minh
chựng minh
Bờ

nh lỵ 2.1.2
nh lỵ n y, chúng ta cƯn cĂc bờ ã sau.

ã 2.1.3. Náu h l h m khÊ tẵch Riemann v tông trản [0; 1], thẳ
Z1
t

0

Zt
h(s)ds > h(s)ds; t 2 [0; 1]:
0

Chựng minh. Vẳ h l h m tông trản [0; 1] nản vợi mồi t 2 [0; 1] ta cõ
Z1
Z1
t
h(s)ds t h(t)ds = t(1 t)h(t)
t

v

(1 t)

Do õ, t
Bờ ã

R

t

1

t

Z

0

t

h(s)ds (1 t)

h(s)ds (1 t)

R

t
0

Z

0

t

1

h(s)ds hay t 0 h(s)ds >
R

ữủc chựng minh.
Bờ ã 2.1.4. Náu p l h m khổng Ơm v

Z

0

(t)

Z

0

h(t)ds = t(1 t)h(t):

p(s)ds d ( ) (t)

trong õ (t) ữủc xĂc nh bi (2.2) v

Z

R

0

t

h(s)ds; t 2 [0; 1].

khÊ tẵch trản [0; T ] thẳ
0

1

Z

0

p(s)ds d ( ) 6 0;

d ( ) = ( )d .


21

Chựng minh. t h( (t)) = R0t p(s)ds; t 2 [0; T ]. Vẳ (t) l h m liản tửc tông
ngt trản [0; T ] nản h( (t)) l h m tông theo bián . Tứ (2.2) ta thĐy 0 6 (t)
6 1; t 2 [0; T ]. p dửng Bờ ã 2.1.3, ta cõ

Z1
Z (t)
(t) hd ( ) > hd ( ):
0

0

Do õ

Z

0

Z

(t)

p(s)ds d ( ) (t)

0

Z

Z

1

0

0

p(s)ds d ( ) 6 0:

Bờ ã ữủc chựng minh.
Bờ ã 2.1.5. t z = u1 u2 v

B(t)z = zt + A(t)z. Náu kz(t)k > 0 vợi

mồi t 2 [0; T ] v tỗn tÔi hơng số K sao cho kB(t)zk 6 Kkzk thẳ

d hA(t)z; zi
2

>

a1(t)

hA(t)z; zi 1

K2 c 2 ;

2

dt kzk kzk 2
trong õ a1(t) v c2 ữủc xĂc nh bi (A2).
Chựng minh. Tứ (A2) ta cõ
d hA(t)z; zi

kzk4

dt

kzk

2

d
2
dt hA(t)z; zi kzk + 2 hA(t)z; zi hz; zti

=

2 hA(t)z; zti

>

a1(t) hA(t)z; zi

2

c2kzk kzk

2

+ 2 hA(t)z; zi hz; A(t)z + B(t)zi
h

=

1

2

2

E

2 A(t)z
kzk

4

dt

h
d

1

A(t)z; A(t)z + B(t)zi a1(t) hA(t)z; zi c2kzk kzk

D

Do õ

2

kzk

2 B(t)z; z
2

A(t)z; z

+2

2

hB(t)z; zi :

i

2
2B(t)z kzk

A(t)z
1

2

2
2
2kB(t)zk kzk

1

2

D

1

E2

2 A(t)z 2B(t)z; z
2

1

+ 2 hB(t)z;
2

4

zi a1(t) hA(t)z; zi kzk c2kzk :