kiến thức khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

www.PNE.edu.vn
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D.
· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì:
+ y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0

ì
îD £ 0

+ y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0

ì
îD £ 0

· Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) :
+ Nếu D < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a.
+ Nếu D = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = -

b
)
2a

+ Nếu D > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a.
· So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0:
ìD ³ 0
ìD ³ 0
ï
ï
+ x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 + 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 + x1 < 0 < x2 Û P < 0
ïîS < 0
ïîS > 0

· g( x ) £ m, "x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ;
( a;b )

g( x ) ³ m, "x Î (a; b) Û min g( x ) ³ m
( a;b )

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định).
· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì:
+ y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0

ì
îD £ 0

+ y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0

ì
îD £ 0

2. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) .
Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .
a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) ³ g( x )

(*)

thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x )
(a ; b )

Trang 1


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

www.PNE.edu.vn

· Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x )

(**)

thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x )
(a ; b )

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a .
Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c .
ìa > 0
ïïD > 0
ìa > 0
– Hàm số f đồng biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, "t < 0 Û í
Ú í
îD £ 0
ïS > 0
ïî P ³ 0
ìa > 0
ïïD > 0
ìa > 0
– Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, "t > 0 Û í
Ú í
îD £ 0
ïS < 0
ïî P ³ 0

b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ 0 Û h(m) ³ g( x )

(*)

thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x )
(a ; b )

· Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x )

(**)

thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x )
(a ; b )

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a .
Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c .
ìa < 0
ïï
ì
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) £ 0, "t < 0 Û ía < 0 Ú íD > 0
îD £ 0
ïS > 0
ïî P ³ 0
ìa < 0
ïïD > 0
ìa < 0
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > 0 Û í
Ú í
îD £ 0
ïS < 0
ïî P ³ 0

3. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng có độ dài
bằng k cho trước.

ì
· f đơn điệu trên khoảng ( x1; x2 ) Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Û í a ¹ 0 (1)
îD > 0

· Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = d 2
· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
4. Tìm điều kiện để hàm số y =

ax 2 + bx + c
(2), (a, d ¹ 0)
dx + e

a) Đồng biến trên (-¥;a ) .
b) Đồng biến trên (a ; +¥) .
Trang 2

(2)


Trần Sĩ Tùng

www.PNE.edu.vn

Khảo sát hàm số

c) Đồng biến trên (a ; b ) .
ì -e ü
adx 2 + 2aex + be - dc
f ( x)

=
ý , y' =
2
2
îd þ
( dx + e )
( dx + e )

Tập xác định: D = R \ í

Trường hợp 1
Nếu: f ( x ) ³ 0 Û g( x ) ³ h(m) (i)

Trường hợp 2
Nếu bpt: f ( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t = x - a .
Khi đó bpt: f ( x ) ³ 0 trở thành: g(t ) ³ 0 , với:
g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc

a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a )
ì -e
ï
Û í d ³a
ïî g( x ) ³ h(m), "x < a
ì -e
ï ³a
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
( -¥;a ]
î

a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a )
ì -e
ï
Û í d ³a
ïî g(t ) ³ 0, "t < 0 (ii)
ìa > 0
ïïD > 0
ìa > 0
Ú í
(ii) Û í
îD £ 0
ïS > 0
ïî P ³ 0

b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥)
ì -e
ï
Û í d £a
ïî g( x ) ³ h(m), "x > a
ì -e
ï £a
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
[a ; +¥ )
î

b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥)
ì -e
ï

Û í d £a
ïî g(t ) ³ 0, "t > 0 (iii)
ìa > 0
ïïD > 0
ìa > 0
Ú í
(iii) Û í
îD £ 0
ïS < 0
ïî P ³ 0

c) (2) đồng biến trên khoảng (a ; b )
ì -e
ï
Û í d Ï (a ; b )
îï g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b )
ì -e
ï Ï (a ; b )
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
[a ; b ]
î

5. Tìm điều kiện để hàm số y =

ax 2 + bx + c
(2), (a, d ¹ 0)
dx + e

a) Nghịch biến trên (-¥;a ) .

b) Nghịch biến trên (a ; +¥) .
c) Nghịch biến trên (a ; b ) .
ì -e ü
adx 2 + 2aex + be - dc
f ( x)
=
ý , y' =
2
2
îd þ
( dx + e )
( dx + e )

Tập xác định: D = R \ í

Trang 3


Khảo sát hàm số

www.PNE.edu.vn

Trường hợp 1

Nếu f ( x ) £ 0 Û g( x ) ³ h(m) (i)

Trần Sĩ Tùng

Trường hợp 2
Nếu bpt: f ( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (i)

thì ta đặt: t = x - a .
Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) £ 0 , với:
g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc

a) (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;a )
ì -e
ï
Û í d ³a
ïî g( x ) ³ h(m), "x < a
ì -e
ï ³a
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
( -¥;a ]
î

b) (2) nghịch biến trên khoảng (a ; +¥)
ì -e
ï
Û í d £a
ïî g( x ) ³ h(m), "x > a
ì -e
ï £a
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
[a ; +¥ )
î

a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a )
ì -e

ï
Û í d ³a
ïî g(t ) £ 0, "t < 0 (ii)
ìa < 0
ïïD > 0
ìa < 0
(ii) Û í
Ú í
îD £ 0
ïS > 0
ïî P ³ 0

b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥)
ì -e
ï
Û í d £a
ïî g(t ) £ 0, "t > 0 (iii)
ìa < 0
ïïD > 0
ìa < 0
(iii) Û í
Ú í
îD £ 0
ïS < 0
ïî P ³ 0

c) (2) đồng biến trong khoảng (a ; b )
ì -e
ï
Û í d Ï (a ; b )

ïî g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b )
ì -e
ï Ï (a ; b )
Ûíd
ïh(m) £ min g( x )
[a ; b ]
î

Trang 4


Trn S Tựng
Cõu 1.

Kho sỏt hm s

www.PNE.edu.vn
1
3

Cho hm s y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi m = 2 .
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn tp xỏc nh ca nú.

ã Tp xỏc nh: D = R. y Â= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 .
(1) ng bin trờn R y  0, "x m 2
Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0 .

2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong (-Ơ;0) .

Cõu 2.

ã Tp xỏc nh: D = R. y Â= 3 x 2 + 6 x - m . y cú D = 3(m + 3) .
+ Nu m Ê -3 thỡ DÂ Ê 0 ị y 0, "x ị hm s ng bin trờn R ị m Ê -3 tho YCBT.
+ Nu m > -3 thỡ D > 0 ị PT y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi ú hm s
ng bin trờn cỏc khong (-Ơ; x1 ),( x2 ; +Ơ) .
ỡDÂ > 0
ỡm > -3
ù
ù
Do ú hm s ng bin trờn khong (-Ơ;0) 0 Ê x1 < x2 ớ P 0 ớ-m 0 (VN)
ùợS > 0
ùợ-2 > 0
Vy: m Ê -3 .

Cho hm s y = 2 x 3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 cú th (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong (2; +Ơ)

Cõu 3.

ã Tp xỏc nh: D = R. y ' = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) cú D = (2m + 1)2 - 4(m 2 + m) = 1 > 0
ộx = m
y' = 0 ờ
. Hm s ng bin trờn cỏc khong (-Ơ; m), (m + 1; +Ơ)
ởx = m +1
Do ú: hm s ng bin trờn (2; +Ơ) m + 1 Ê 2 m Ê 1

Cho hm s y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm ng bin trờn khong K = (0; +Ơ) .

Cõu 4.

ã Hm ng bin trờn (0; +Ơ) y Â= 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + (2 - m) 0 vi "x ẻ (0; +Ơ)
f ( x) =

3x 2 + 2 x + 2
m vi "x ẻ (0; +Ơ)
4x + 1

6(2 x 2 + x - 1)
1
Ta cú: f Â( x ) =
= 0 2 x 2 + x - 1 = 0 x = -1; x =
2

2

(4 x + 1)

ổ1ử

5

Lp BBT ca hm f ( x ) trờn (0; +Ơ) , t ú ta i n kt lun: f ỗ ữ m m .
4
ố2ứ

Cõu hi tng t:
1
3
1
b) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ạ -1) , K = (1; +Ơ) .
3
1
c) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ạ -1) , K = (-1;1) .
3

a) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ạ -1) , K = (-Ơ; -1) .

Trang 5

S: m

4
11

S: m 0
S: m

1
2


Kho sỏt hm s
Cõu 5.

Trn S Tựng

www.PNE.edu.vn
1
3

Cho hm s y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ạ 1) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (-Ơ;2) .

ã Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 .
t t = x 2 ta c: y = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10
Hm s (1) nghch bin trong khong (-Ơ;2) g(t ) Ê 0, "t < 0
ùỡ 2
ỡ
TH1: ớ a < 0 ớm 2- 1 < 0
ợD Ê 0

Vy: Vi

Cõu 6.

ợù3m - 2m - 1 Ê 0

ỡm2 - 1 < 0
ỡa < 0
ù 2
ùùD > 0
ùù3m - 2m - 1 > 0
ớ4m2 + 4m - 10 Ê 0

TH2: ớ
ùS > 0
ù -2m - 3
ùợ P 0
ù
>0
ợù m + 1

-1
Ê m < 1 thỡ hm s (1) nghch bin trong khong (-Ơ;2) .
3
1
3

Cho hm s y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ạ 1) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (2; +Ơ) .

ã Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 .
t t = x 2 ta c: y = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10
Hm s (1) nghch bin trong khong (2; +Ơ) g(t ) Ê 0, "t > 0
ỡm2 - 1 < 0
ỡa < 0
ù 2
ùùD > 0
ùù3m - 2m - 1 > 0
ỡùm 2 - 1 < 0
ỡa < 0
TH1: ớ

TH2: ớ
ớ 2
ớ4m2 + 4m - 10 Ê 0
<
0
S
ợD Ê 0
ùợ3m - 2m - 1 Ê 0
ù
ù -2m - 3
ùợ P 0
ù
<0
ùợ m + 1
Vy: Vi -1 < m < 1 thỡ hm s (1) nghch bin trong khong (2; +Ơ)

Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 + mx + m (1), (m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 3.
2) Tỡm m hm s (1) nghch bin trờn on cú di bng 1.

Cõu 7.

ã Ta cú y ' = 3 x 2 + 6 x + m cú DÂ = 9 - 3m .
+ Nu m 3 thỡ y 0, "x ẻ R ị hm s ng bin trờn R ị m 3 khụng tho món.
+ Nu m < 3 thỡ y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 ( x1 < x2 ) . Hm s nghch bin trờn on
m
ộở x1; x2 ựỷ vi di l = x1 - x2 . Ta cú: x1 + x2 = -2; x1x2 = .
3

YCBT l = 1 x1 - x2 = 1 ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = 1 m =

9
.
4

Cho hm s y = -2 x 3 + 3mx 2 - 1 (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) ng bin trong khong ( x1; x2 ) vi x2 - x1 = 1 .

Cõu 8.

ã y ' = -6 x 2 + 6mx , y ' = 0 x = 0 x = m .
+ Nu m = 0 ị yÂ Ê 0, "x ẻ Ă ị hm s nghch bin trờn Ă ị m = 0 khụng tho YCBT.
Trang 6


Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

www.PNE.edu.vn

+ Nu m ạ 0 , y 0, "x ẻ (0; m) khi m > 0 hoc y 0, "x ẻ (m; 0) khi m < 0 .
Vy hm s ng bin trong khong ( x1; x2 ) vi x2 - x1 = 1
ộ( x ; x ) = (0; m)

v x2 - x1 = 1 ờ m - 0 = 1 m = 1 .
ờ 1 2
ở0 - m = 1
ở( x1; x2 ) = (m;0)

ộ

Cho hm s y = x 4 - 2mx 2 - 3m + 1 (1), (m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) ng bin trờn khong (1; 2).

Cõu 9.

ã Ta cú y ' = 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m)
+ m Ê 0 , y  0, "x ẻ (0; +Ơ) ị m Ê 0 tho món.
+ m > 0 , y Â= 0 cú 3 nghim phõn bit: - m , 0,

m.

Vy m ẻ ( -Ơ;1ựỷ .
Hm s (1) ng bin trờn (1; 2) m Ê 1 0 < m Ê 1 .
Cõu hi tng t:
a) Vi y = x 4 - 2(m - 1) x 2 + m - 2 ; y ng bin trờn khong (1;3) .
S: m Ê 2 .
Cõu 10. Cho hm s y =

mx + 4
x+m

(1)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -1 .
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) nghch bin trờn khong (-Ơ;1) .

ã Tp xỏc nh: D = R \ {m}.

y Â=

m2 - 4
( x + m)2

.

(1)
Hm s nghch bin trờn tng khong xỏc nh y Â< 0 -2 < m < 2
hm s (1) nghch bin trờn khong (-Ơ;1) thỡ ta phi cú - m 1 m Ê -1 (2)
Kt hp (1) v (2) ta c: -2 < m Ê -1 .
Cõu 11. Cho hm s y =

2 x 2 - 3x + m
(2).
x -1

Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (-Ơ; -1) .

ã Tp xỏc nh: D = R \ {1} . y ' =

2x2 - 4x + 3 - m
2

( x - 1)

=

f (x)

( x - 1)2

.

Ta cú: f ( x ) 0 m Ê 2 x 2 - 4 x + 3 . t g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 ị g '( x ) = 4 x - 4
Hm s (2) ng bin trờn (-Ơ; -1) y ' 0, "x ẻ (-Ơ; -1) m Ê min g( x )
( -Ơ;-1]

Da vo BBT ca hm s g( x ), "x ẻ (-Ơ; -1] ta suy ra m Ê 9 .
Vy m Ê 9 thỡ hm s (2) ng bin trờn (-Ơ; -1)
Cõu 12. Cho hm s y =

2 x 2 - 3x + m
(2).
x -1

Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (2; +Ơ) .

ã Tp xỏc nh: D = R \ {1} . y ' =

2x2 - 4x + 3 - m
2

( x - 1)

=

f (x)
( x - 1)2

.

Ta cú: f ( x ) 0 m Ê 2 x 2 - 4 x + 3 . t g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 ị g '( x ) = 4 x - 4
Hm s (2) ng bin trờn (2; +Ơ) y ' 0, "x ẻ (2; +Ơ) m Ê min g( x )
[2; +Ơ )

Trang 7


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

www.PNE.edu.vn

Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 3 .
Vậy m £ 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) .
Câu 13. Cho hàm số y =

2 x 2 - 3x + m
(2).
x -1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) .

· Tập xác định: D = R \ {1} . y ' =

2x2 - 4x + 3 - m
2

( x - 1)

=

f (x)
( x - 1)2

.

Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4
Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) Û y ' ³ 0, "x Î (1;2) Û m £ min g( x )
[1;2]

Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 1 .
Vậy m £ 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) .
Câu 14. Cho hàm số y =

x 2 - 2mx + 3m2
(2).
2m - x

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) .

· Tập xác định: D = R \ { 2m} . y ' =

- x 2 + 4mx - m 2
2

( x - 2m)

=

f (x)
( x - 2m)2

. Đặt t = x - 1 .

Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0
Hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) Û y ' £ 0, "x Î (-¥;1) Û í2m > 1

ì
î g(t ) £ 0, "t < 0 (i)

ém = 0
éD ' = 0
ê ìm ¹ 0
ê ìD ' > 0
ém = 0
(i) Û ê ï
Ûê
Û êï
ê í 4m - 2 > 0
ê íS > 0
ëm ³ 2 + 3
ê ïîm2 - 4m + 1 ³ 0
êë ïî P ³ 0
ë

Vậy: Với m ³ 2 + 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) .
Câu 15. Cho hàm số y =

x 2 - 2mx + 3m2
(2).
2m - x

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; +¥) .

· Tập xác định: D = R \ { 2m} . y ' =

- x 2 + 4mx - m 2
( x - 2m)2

=

f (x)
( x - 2m)2

. Đặt t = x - 1 .

Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0
Hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥) Û y ' £ 0, "x Î (1; +¥) Û í2m < 1

ì
î g(t ) £ 0, "t > 0 (ii )

ém = 0
éD ' = 0
ê ìm ¹ 0
ê ìD ' > 0
Û m £2- 3

(ii) Û ê ï
Û êï
ê í 4m - 2 < 0
ê íS < 0
ê ïîm2 - 4m + 1 ³ 0
êë ïî P ³ 0
ë

Vậy: Với m £ 2 - 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥)

Trang 8


Trần Sĩ Tùng

www.PNE.edu.vn

Khảo sát hàm số

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
A. Kiến thức cơ bản
· Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
· Hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y¢ = 0 .
· Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng
phương pháp tách đạo hàm.
– Phân tích y = f ¢( x ).q( x ) + h( x ) .
– Suy ra y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) .
Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) .
· Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 thì tan a =

k1 - k2
1 + k1k2

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông
góc) với đường thẳng d : y = px + q .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1
p

– Giải điều kiện: k = p (hoặc k = - ).
2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
d : y = px + q một góc a .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:

k-p
= tan a . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k = tan a )
1 + kp

3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy
tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy.
– Giải điều kiện SDIAB = S .

4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S
cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện SDIAB = S .
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d
cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.
ì
– Giải điều kiện: í D ^ d .
îI Î d

5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho
trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Trang 9


Khảo sát hàm số

www.PNE.edu.vn

Trần Sĩ Tùng

– Giải điều kiện: d ( A, d ) = d (B, d ) .
6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai
điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm
cực trị).
– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.
7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ
thức cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.
8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 = (-¥;a ) hoặc K2 = (a ; +¥) .
y ' = f ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .

Đặt t = x - a . Khi đó: y ' = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c
Hàm số có cực trị thuộc K1 = (-¥;a )
Hàm số có cực trị trên khoảng (-¥;a )
Û f ( x ) = 0 có nghiệm trên (-¥;a ) .
Û g(t ) = 0 có nghiệm t < 0

Hàm số có cực trị thuộc K2 = (a ; +¥)
Hàm số có cực trị trên khoảng (a ; +¥)
Û f ( x ) = 0 có nghiệm trên (a ; +¥) .
Û g(t ) = 0 có nghiệm t > 0

éP < 0
ê ìD ' ³ 0
Û êï
ê íS < 0
êë ïî P ³ 0

éP < 0
ê ìD ' ³ 0
Û êï

ê íS > 0
êë îï P ³ 0

9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả:
a) x1 < a < x2
b) x1 < x2 < a
c) a < x1 < x2
y ' = f ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .

Đặt t = x - a . Khi đó: y ' = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c
a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < a < x2
Û g(t ) = 0 có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < 0 < t2 Û P < 0
b) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < x2 < a
ìD ' > 0
ï
Û g(t ) = 0 có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < t2 < 0 Û íS < 0
ïî P > 0

c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả a < x1 < x2
ìD ' > 0
ï
Û g(t ) = 0 có hai nghiệm t1, t2 thoả 0 < t1 < t2 Û íS > 0
ïî P > 0

Trang 10


Trn S Tựng

www.PNE.edu.vn

Kho sỏt hm s

Cho hm s y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m3 - m2 (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2) Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1).

Cõu 1.

ã y Â= -3x 2 + 6mx + 3(1 - m2 ) .
PT y Â= 0 cú D = 1 > 0, "m ị th hm s (1) luụn cú 2 im cc tr ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) .
Chia y cho y ta c:
Khi ú:

ổ1
mử
y = ỗ x - ữ y Â+ 2 x - m 2 + m
3ứ
ố3

y1 = 2 x1 - m2 + m ; y2 = 2 x2 - m2 + m

PT ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1) l y = 2 x - m2 + m .
Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 + mx + m - 2 (m l tham s) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa i vi trc honh.
ã PT honh giao im ca (C) v trc honh:

Cõu 2.

ộ x = -1
(1) ờ
2
(2)
ở g( x ) = x + 2 x + m - 2 = 0
(Cm) cú 2 im cc tr nm v 2 phớa i vi trc Ox PT (1) cú 3 nghim phõn bit
ỡ Â
(2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1 ớD = 3 - m > 0
m<3
ợ g(-1) = m - 3 ạ 0
x 3 + 3 x 2 + mx + m - 2 = 0

Cho hm s y = - x 3 + (2m + 1) x 2 - (m2 - 3m + 2) x - 4 (m l tham s) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca trc tung.

Cõu 3.

ã y Â= -3 x 2 + 2(2m + 1) x - (m 2 - 3m + 2) .
(Cm) cú cỏc im C v CT nm v hai phớa ca trc tung PT y = 0 cú 2 nghim trỏi
du 3(m2 - 3m + 2) < 0 1 < m < 2 .
Cõu 4.

1
3

Cho hm s y = x 3 - mx 2 + (2m - 1) x - 3 (m l tham s) cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa i vi trc tung.

ã TX: D = R ; y Â= x 2 - 2mx + 2m - 1 .
th (Cm) cú 2 im C, CT nm cựng phớa i vi trc tung y Â= 0 cú 2 nghim phõn
2
ỡ Â
bit cựng du ớD = m - 2m + 1 > 0

ợ2 m - 1 > 0

ỡm ạ 1
ù
ớ
1.
ùợm > 2

Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 (m l tham s) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu cỏch u ng thng y = x - 1 .

Cõu 5.

ã Ta cú: y ' = 3 x 2 - 6 x - m .
Hm s cú C, CT y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 cú 2 nghim phõn bit x1; x2
D ' = 9 + 3m > 0 m > -3 (*)
Trang 11


Kho sỏt hm s

Trn S Tựng

www.PNE.edu.vn

Gi hai im cc tr l A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
ổ1

1ử

ổ 2m

ử

ổ

mử

Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '+ ỗ
- 2ữ x + ỗ2 + ữ
3ứ
3ứ
ố3
ố 3
ứ
ố

ổ 2m
ử
ổ 2m
ử
m

m
ị y1 = y( x1 ) = ỗ
- 2 ữ x1 + 2 + ; y2 = y( x2 ) = ỗ
- 2 ữ x2 + 2 +
3
3
ố 3
ứ
ố 3
ứ
ổ 2m
ử
m
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = ỗ
- 2ữ x + 2 +
3
ố 3
ứ

Cỏc im cc tr cỏch u ng thng y = x - 1 xy ra 1 trong 2 trng hp:
TH1: ng thng i qua 2 im cc tr song song hoc trựng vi ng thng y = x - 1


2m
9
- 2 = 1 m = (khụng tha (*))
3
2

TH2: Trung im I ca AB nm trờn ng thng y = x - 1

y1 + y2 x1 + x2
ổ 2m
ử
ổ
mử
- 2 ữ ( x1 + x2 ) + 2 ỗ 2 + ữ = ( x1 + x2 ) - 2
=
-1 ỗ
2
3ứ
2
ố 3
ứ
ố
ổ 2m
ử
ổ
mử
ỗ
- 2 ữ .2 + 2 ỗ 2 + ữ = 0 m = 0
3ứ
ố 3
ứ
ố

yI = x I - 1

Vy cỏc giỏ tr cn tỡm ca m l: m = 0 .
Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 4m3 (m l tham s) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.

2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.

Cõu 6.

ã Ta cú: y = 3 x 2 - 6mx ; y = 0 ờ x = 0 . hm s cú cc i v cc tiu thỡ m ạ 0.
ộ
ở x = 2m

uuur

th hm s cú hai im cc tr l: A(0; 4m3), B(2m; 0) ị AB = (2m; -4m3 )
Trung im ca on AB l I(m; 2m3)
3
ỡù
2
ỡ
A, B i xng nhau qua ng thng d: y = x ớ AB ^ d ớ2m3- 4m = 0 m =
I ẻd

ợ

ùợ2m = m

2

Cho hm s y = - x 3 + 3mx 2 - 3m - 1 .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d: x + 8y - 74 = 0 .

Cõu 7.

ã y Â= -3 x 2 + 6mx ; y Â= 0 x = 0 x = 2m .
Hm s cú C, CT PT y Â= 0 cú 2 nghim phõn bit m ạ 0 .
uuur

Khi ú 2 im cc tr l: A(0; -3m - 1), B(2m;4m3 - 3m - 1) ị AB(2m;4m3 )
Trung im I ca AB cú to : I (m;2m3 - 3m - 1)
r

ng thng d: x + 8y - 74 = 0 cú mt VTCP u = (8; -1) .
ỡ
A v B i xng vi nhau qua d ớ I ẻ d

ợ AB ^ d

ỡù + 8(2m3 - 3m - 1) - 74 = 0
uuur r
ớm
m=2
ùợ AB.u = 0

Cõu hi tng t:
1
2

5
2

a) y = x 3 - 3 x 2 + m2 x + m, d : y = x - .

Cõu 8.

Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + mx

S: m = 0 .
(1).
Trang 12


Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

www.PNE.edu.vn

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s (1) cú cỏc im cc i v im cc tiu i xng
vi nhau qua ng thng d: x - 2 y - 5 = 0 .

ã Ta cú y = x 3 - 3 x 2 + mx ị y ' = 3 x 2 - 6 x + m
Hm s cú cc i, cc tiu y Â= 0 cú hai nghim phõn bit DÂ = 9 - 3m > 0 m < 3
ổ1

1ử

ổ2

1

ử

Ta cú: y = ỗ x - ữ y Â+ ỗ m - 2 ữ x + m
3ứ
3
ố3
ố3
ứ
ổ2

ử

1

ị ng thng D i qua cỏc im cc tr cú phng trỡnh y = ỗ m - 2 ữ x + m
3
ố3
ứ
2
3
1
5
1
d: x - 2 y - 5 = 0 y = x - ị d cú h s gúc k2 =
2
2
2

nờn D cú h s gúc k1 = m - 2 .

hai im cc tr i xng qua d thỡ ta phi cú d ^ D

1ổ2

ử

ị k1k2 = -1 ỗ m - 2 ữ = -1 m = 0
2ố3
ứ
Vi m = 0 thỡ th cú hai im cc tr l (0; 0) v (2; 4), nờn trung im ca chỳng l
I(1; 2). Ta thy I ẻ d, do ú hai im cc tr i xng vi nhau qua d.
Vy: m = 0
Cho hm s y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x + m - 2 (1) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi

Cõu 9.

1
2

nhau qua ng thng d: y = x .

ã y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9
Hm s cú C, CT D ' = 9(m + 1)2 - 3.9 > 0 m ẻ (-Ơ; -1 - 3) ẩ (-1 + 3; +Ơ)
ổ1
ố3

Ta cú y = ỗ x -

m +1ử Â
2

ữ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + 1
3 ứ

Gi s cỏc im cc i v cc tiu l A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I l trung im ca AB.
ị y1 = -2(m 2 + 2m - 2) x1 + 4m + 1 ; y2 = -2(m 2 + 2m - 2) x2 + 4m + 1
ỡ x + x = 2(m + 1)

v: ớ 1 2
ợ x1.x2 = 3

Vy ng thng i qua hai im cc i v cc tiu l y = -2(m 2 + 2m - 2) x + 4m + 1
1

A, B i xng qua (d): y = x ớ AB ^ d m = 1 .
2
ợI ẻ d
ỡ

Cõu 10. Cho hm s y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x - m , vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi m = 1 .
2) Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti x1, x2 sao cho x1 - x2 Ê 2 .

ã Ta cú y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9.
+ Hm s t cc i, cc tiu ti x1, x2 PT y ' = 0 cú hai nghim phõn bit x1, x2
PT x 2 - 2(m + 1) x + 3 = 0 cú hai nghim phõn bit l x1 , x2 .

Trang 13


Khảo sát hàm số

www.PNE.edu.vn

Trần Sĩ Tùng

é m > -1 + 3
(1)
Û D ' = (m + 1)2 - 3 > 0 Û ê
ë m < -1 - 3
+ Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2(m + 1); x1x2 = 3. Khi đó:
2

2

x1 - x2 £ 2 Û ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 £ 4 Û 4 ( m + 1) - 12 £ 4 Û (m + 1)2 £ 4 Û -3 £ m £ 1 (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là -3 £ m < -1 - 3 và -1 + 3 < m £ 1.
Câu 11. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 .
1
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 - x2 > .
3

· Ta có: y ' = 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + (2 - m)

Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 )
é
5
(*)
Û D ' = (1 - 2m)2 - 3(2 - m) = 4m 2 - m - 5 > 0 Û ê m > 4

ê
<
m
1
ë
2(1 - 2m)
2-m
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 . Khi đó ta có: x1 + x2 = ; x1x2 =
3
3
2
2
1
1
x1 - x2 > Û ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 >
9
3
3 + 29
3 - 29
Û 4(1 - 2m)2 - 4(2 - m) > 1 Û 16m 2 - 12m - 5 > 0 Û m >
Úm<
8
8
3 + 29
Kết hợp (*), ta suy ra m >
Ú m < -1
8
1
Câu 12. Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + mx - 1 , với m là tham số thực.
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 - x2 ³ 8 .
· Ta có: y ' = x 2 - 2mx + m .

Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 )

Û D¢ = m 2 - m > 0 Û ê m < 0 (*). Khi đó: x1 + x2 = 2m, x1x2 = m .
ëm > 1
é

é
1 - 65
êm £
2
2
2
(thoả (*))
x1 - x2 ³ 8 Û ( x1 - x2 ) ³ 64 Û m - m - 16 ³ 0 Û ê
1 + 65
ê
êë m ³
2
1
1
Câu 13. Cho hàm số y = x 3 - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + , với m là tham số thực.
3
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 2 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 .

· Ta có: y ¢= x 2 - 2(m - 1) x + 3(m - 2)

Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Û D¢ > 0 Û m 2 - 5m + 7 > 0 (luôn đúng với "m)
Trang 14


Trn S Tựng

www.PNE.edu.vn
ỡ x + x = 2(m - 1)

Khi ú ta cú: ớ 1 2
ợ x1x2 = 3(m - 2)
8m 2 + 16m - 9 = 0 m =

Kho sỏt hm s

ùỡ x = 3 - 2m

ớ 2
ùợ x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2)

-4 34
.
4

Cõu 14. Cho hm s y = 4 x 3 + mx 2 - 3 x .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm s cú hai im cc tr x1, x2 tha x1 = -4 x2 .

ã y Â= 12 x 2 + 2mx - 3 . Ta cú: DÂ = m2 + 36 > 0, "m ị hm s luụn cú 2 cc tr x1, x2 .
m
6

ỡ

Khi ú: ớ x1 = -4 x2 ; x1 + x2 = - ; x1x2 = ợ

Cõu hi tng t:
a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 ;

1
4

ịm=

9
2

S: m = -105 .

x1 + 2x2 = 3

1
Cõu 15. Cho hm s y = x 3 - ax 2 - 3ax + 4 (1) (a l tham s).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi a = 1.
2) Tỡm a hm s (1) t cc tr ti x1 , x2 phõn bit v tho món iu kin:
x12 + 2ax2 + 9a
a2

+

a2
x22 + 2ax1 + 9a

=2

(2)

ã y = x 2 - 2ax - 3a . Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2
ộ a < -3
D = 4a2 + 12a > 0 ờ
ởa > 0

(*). Khi ú x1 + x2 = 2a , x1x2 = -3a .

Ta cú: x12 + 2ax2 + 9a = 2a ( x1 + x2 ) + 12a = 4a2 + 12a > 0
Tng t: x22 + 2ax1 + 9a = 4a2 + 12a > 0
Do ú: (2)

4a2 + 12a
a2

+

a2
4a2 + 12a

=2

4a2 + 12a
a2

= 1 3a ( a + 4 ) = 0 a = -4

Cõu 16. Cho hm s y = 2 x 3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1 (m l tham s).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s cú cc i ti xC, cc tiu ti xCT tha món: x 2Cẹ = xCT .

ã Ta cú: y = 6 x 2 + 18mx + 12m2 = 6( x 2 + 3mx + 2m 2 )
Hm s cú C v CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 D = m 2 > 0 m ạ 0
1
( -3m - m ) , x2 = 1 ( -3m + m ) .
2
2
Da vo bng xột du yÂ, suy ra xCẹ = x1, xCT = x2

Khi ú: x1 =

Do ú:

x 2Cẹ

2

= xCT

ổ -3m - m ử
-3m + m
ỗ
m = -2 .
ữ =
2
2
ố
ứ

Cõu 17. Cho hm s y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m l tham s.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
Trang 15


Khảo sát hàm số

www.PNE.edu.vn

Trần Sĩ Tùng

2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.
· Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
Û PT y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

ìa = (m + 2) ¹ 0
ïD ' = 9 - 3m(m + 2) > 0
ì D ' = - m 2 - 2m + 3 > 0
ì-3 < m < 1
ï
m
ï
ï
ï
Û íP =
Û ím < 0
Û ím < 0
Û -3 < m < -2
>0
3(m + 2)
ï
ïm + 2 < 0
ïîm < -2
î
-3
ï
ïîS = m + 2 > 0
1
1
Câu 18. Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (m 2 - 3) x
3
2

(1), m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x1, x2 với x1 > 0, x2 > 0 và
x12 + x22 =

5
.
2

· y¢ = x 2 - mx + m 2 - 3 ; y¢ = 0 Û x 2 - mx + m2 - 3 = 0

(2)

ìD > 0
ïP > 0
ì 314
ï
ï
YCBT Û íS > 0
Ûí
14 Û m = 2 .
ï 2
ïm = ±
5
2
2
î
ï x1 + x2 =
2
î

Câu 19. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (m là tham số) (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

· y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = g( x )
YCBT Û phương trình y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1 .
ìD¢ = 4m2 - m - 5 > 0
5
7
Û ïï g(1) = -5m + 7 > 0 Û < m < .
í
4
5
ï S = 2m - 1 < 1
ïî 2
3
Câu 20. Cho hàm số y =

m 3
x + (m - 2) x 2 + (m - 1) x + 2
3

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1 < x2 < 1 .
· Ta có: y¢ = mx 2 + 2(m - 2) x + m - 1 ; y¢ = 0 Û mx 2 + 2(m - 2) x + m - 1 = 0 (1)
Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1 < x2 < 1 khi m > 0 và (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1

Đặt t = x - 1 Þ x = t + 1 , thay vào (1) ta được:

m(t + 1)2 + 2(m - 2)(t + 1) + m - 1 = 0 Û mt 2 + 4(m - 1)t + 4m - 5 = 0

(1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Û (2) có 2 nghiệm âm phân biệt

Trang 16


Trn S Tựng

www.PNE.edu.vn

Kho sỏt hm s

ỡm > 0
ùùDÂ > 0
5
4
ớ
4
3
ùP > 0
ùợS < 0
Cõu 21. Cho hm s y = x3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2

(Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú ớt nht 1 im cc tr cú honh thuc khong (-2; 0) .

ã Ta cú: y = 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m ; y = 0 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 0
(*)
Hm s cú ớt nht 1 cc tr thuc (-2; 0) (*) cú 2 nghim phõn bit x1, x2 v cú ớt nht 1
ộ-2 < x1 < x2 < 0

nghim thuc (-2; 0) ờ -2 < x1 < 0 Ê x2

ờ
ờở x1 Ê -2 < x2 < 0

(1)
(2)
(3)

Ta cú:
ỡ 4m 2 - m - 5 > 0
ỡD ' = 4 m 2 - m - 5 > 0
ù
ù
ù-2 < 2m - 1 < 0
+
x
x
3
10
ùù-2 < 1 2 < 0
ùù
(1) ớ
ớ

- < m < -1
4(2m - 1) 2 - m
2
7
+
>0
ù( x + 2 )( x + 2 ) > 0
ù4 +
3
2
ù 1
ù2 - m 3
ùợ x1x2 > 0
ù
>0
ùợ 3
ỡ 4m 2 - m - 5 > 0
ỡD ' = 4 m 2 - m - 5 > 0
ù
ù
ùm 2
f
m
=
Ê
0
2
0
(
)

ù
ù 2m - 1
ớ
m2
(2) ớ
> -2
+
+
+
>
2
2
0
x
x
(
)
(
)
2
ù 1
ù 3
ù
ù 2 - m 4 ( 2m - 1)
ợ( x1 + 2 )( x2 + 2 ) > 0
+4>0
ù 3 +
3
ợ
ỡ 4m 2 - m - 5 > 0

ỡD ' = 4 m 2 - m - 5 > 0
ù
ù
ù3m + 5 0
5
ù f ( -2 ) = 10 + 6m Ê 0
ù 2m - 1
ớ
- Ê m < -1
(3) ớ
<0
3
ù x1 + x2 < 0
ù 3
ùợ x1x2 > 0
ù2 - m
ùợ 3 > 0
ộ 5
ử
Túm li cỏc giỏ tr m cn tỡm l: m ẻ ờ - ; -1ữ ẩ ởộ2; +Ơ )
ở 3
ứ
Cõu 22. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + 2

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2) Tỡm im M thuc ng thng d: y = 3 x - 2 sao tng khong cỏch t M ti hai im cc
tr nh nht.
ã Cỏc im cc tr l: A(0; 2), B(2; 2).
Xột biu thc g( x, y ) = 3 x - y - 2 ta cú:

g( x A , y A ) = 3 x A - y A - 2 = -4 < 0; g( xB , yB ) = 3 xB - yB - 2 = 6 > 0

ị 2 im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca ng thng d: y = 3 x - 2 .
Do ú MA + MB nh nht 3 im A, M, B thng hng M l giao im ca d v AB.
Phng trỡnh ng thng AB: y = -2 x + 2
ỡ
ổ4 2ử
4
2
ỡ
Ta im M l nghim ca h: ớ y = 3 x - 2 ớ x = ; y = ị M ỗ ; ữ
5
5
ợ y = -2 x + 2
ố 5 5ứ
ợ

Trang 17


Kho sỏt hm s
Cõu 23. Cho hm s

Trn S Tựng

www.PNE.edu.vn
y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) cú cc tr ng thi khong cỏch t im cc i ca th hm s

n gc ta O bng 2 ln khong cỏch t im cc tiu ca th hm s n gc ta
O.

ã Ta cú y Â= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) . Hm s (1) cú cc tr PT y Â= 0 cú 2 nghim phõn bit
x 2 - 2mx + m2 - 1 = 0 cú 2 nhim phõn bit D = 1 > 0, "m
Khi ú: im cc i A(m - 1;2 - 2m) v im cc tiu B(m + 1; -2 - 2m)
ộ
Ta cú OA = 2OB m 2 + 6m + 1 = 0 ờ m = -3 + 2 2 .
ở m = -3 - 2 2

Cõu 24. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr song
song vi ng thng d: y = -4 x + 3 .
ã Ta cú: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hm s cú C, CT y ' = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2
D ' = 9 + 3m > 0 m > -3 (*)
Gi hai im cc tr l A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
ổ1

1ử

ổ 2m

ử

mử

ổ

Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '- ỗ
+ 2ữ x + ỗ2 - ữ
3ứ
3ứ
ố3
ố 3
ứ
ố

ổ 2m
ử
ổ
ổ 2m
ử
ổ
mử
mử
ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ
+ 2 ữ x1 + ỗ 2 - ữ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ
+ 2 ữ x2 + ỗ 2 - ữ
3ứ
3ứ
ố 3
ứ
ố
ố 3
ứ
ố
ổ 2m
ử

ổ
mử
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = - ỗ
+ 2ữ x + ỗ2 - ữ
3ứ
ố 3
ứ
ố
ỡ ổ 2m
ử
+ 2 ữ = -4
ù- ỗ
3
ù
ứ
D // d: y = -4 x + 3 ớ ố
m = 3 (tha món (*))
ổ
ử
m
ù 2ữạ3
ùợỗố
3ứ

Cõu hi tng t:
1
3

a) y = x 3 - mx 2 + (5m - 4) x + 2 , d : 8 x + 3y + 9 = 0

S: m = 0; m = 5 .

Cõu 25. Cho hm s y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 5.
2) Tỡm m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr
vuụng gúc vi ng thng d: y = 3 x - 7 .
ã Ta cú: y ' = 3 x 2 + 2mx + 7 . Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 .
D ' = m 2 - 21 > 0 m > 21 (*)

Gi hai im cc tr l A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )

ổ1

1ử

2

ổ

7m ử

Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x + ữ y '+ (21 - m 2 ) x + ỗ 3 ữ
9ứ
9
9 ứ
ố3
ố
ổ
ổ

2
7m ử
2
7m ử
2
ị y1 = y( x1 ) = (21 - m2 ) x1 + ỗ 3 ữ ; y2 = y( x2 ) = (21 - m ) x2 + ỗ 3 ữ
9
9 ứ
9
9 ứ
ố
ố

Trang 18


Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

www.PNE.edu.vn

2
7m
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = (21 - m 2 ) x + 3 9
9
ỡ m > 21
3 10
ù
D ^ d: y = -4 x + 3 ớ 2

m=
.
2
2
ùợ 9 (21 - m ).3 = -1
Cõu 26. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr to
vi ng thng d: x + 4 y - 5 = 0 mt gúc a = 450 .
ã Ta cú: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hm s cú C, CT y ' = 0 cú 2 nghim phõn bit x1; x2
D ' = 9 + 3m > 0 m > -3 (*)
Gi hai im cc tr l A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
ổ1

1ử

ổ 2m

ử

ổ

mử

Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '- ỗ
+ 2ữ x + ỗ2 - ữ
3ứ
3ứ
ố3

ố 3
ứ
ố

ổ 2m
ử
ổ
ổ 2m
ử
ổ
mử
mử
ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ
+ 2 ữ x1 + ỗ 2 - ữ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ
+ 2 ữ x2 + ỗ 2 - ữ
3ứ
3ứ
ố 3
ứ
ố
ố 3
ứ
ố
ổ 2m
ử
ổ
mử
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = - ỗ
+ 2ữ x + ỗ2 - ữ
3ứ

ố 3
ứ
ố
ổ 2m
ử
1
+ 2 ữ . ng thng d: x + 4 y - 5 = 0 cú h s gúc bng - .
4
ố 3
ứ

t k = - ỗ

ộ
ộ
1
ộ
3
39
1
1
k=
k + = 1- k
m=ờ
ờ
ờ
4
5 ờ
10
4

4
ờ
Ta cú: tan 45o =
ờ
1
1
5
1
ờk = ờm = - 1
ờ k + = -1 + k
1- k
ờ
ờở
ờ
4
4
3
ở
2
ở
4
1
Kt hp iu kin (*), suy ra giỏ tr m cn tỡm l: m = - .
2
k+

Cõu hi tng t:

a) y = x 3 - 3(m - 1) x 2 + (2m2 - 3m + 2) x - m(m - 1) , d : y =

3 15
-1
x + 5 , a = 450 . S: m =
2
4

Cõu 27. Cho hm s y = x3 - 3 x 2 + 2

(C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s .
2) Tỡm m ng thng i qua hai im cc tr ca (C) tip xỳc vi ng trũn (S) cú
phng trỡnh ( x - m)2 + ( y - m - 1)2 = 5 .

ã Phng trỡnh ng thng D i qua hai im cc tr 2 x + y - 2 = 0 .
(S) cú tõm I (m, m + 1) v bỏn kớnh R= 5 .

D tip xỳc vi (S)

2m + m + 1 - 2
5

Cõu 28. Cho hm s y = x 3 - 3mx + 2

= 5 3m - 1 = 5 m = 2; m =

-4
.
3

(Cm ) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1 .
2) Tỡm m ng thng i qua im cc i, cc tiu ca ( Cm ) ct ng trũn tõm I(1;1) ,
bỏn kớnh bng 1 ti hai im phõn bit A, B sao cho din tớch DIAB t giỏ tr ln nht .
Trang 19


Kho sỏt hm s

www.PNE.edu.vn

Trn S Tựng

ã Ta cú y ' = 3 x 2 - 3m . Hm s cú C, CT PT y ' = 0 cú hai nghim phõn bit m > 0
1
3

Vỡ y = x.y - 2mx + 2 nờn ng thng D i qua cỏc im C, CT ca th hm s cú
phng trỡnh l: y = -2mx + 2
Ta cú d ( I , D ) =

2m - 1
4m 2 + 1

< R = 1 (vỡ m > 0) ị D luụn ct ng trũn tõm I(1; 1), bỏn kớnh R

= 1 ti 2 im A, B phõn bit.
1
1
1

1
: D khụng i qua I, ta cú: SD ABI = IA.IB.sin AIB Ê R2 =
2
2
2
2
1
R
1
=
khi sin ã
Nờn SDIAB t GTLN bng
AIB = 1 hay DAIB vuụng cõn ti I IH =
2
2
2
2m - 1
1
2 3

=
m=
(H l trung im ca AB)
2
2
4m2 + 1

Vi m ạ

Cõu 29. Cho hm s y = x 3 + 6mx 2 + 9 x + 2m (1), vi m l tham s thc.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t gc to O n
4

ng thng i qua hai im cc tr bng

5

.

ã Ta cú: y = 3x 2 + 12mx + 9 . Hm s cú 2 im cc tr PT y = 0 cú 2 nghim phõn bit
D ' = 4m2 - 3 > 0 m >
ổx
ố3

Khi ú ta cú: y = ỗ +

3
2

m<

hoc

- 3
2

(*)

2m ử
2
ữ .y + (6 - 8m ) x - 4m
3 ứ

ị ng thng i qua 2 im cc tr ca th hm s (1) cú PT l: D : y = (6 - 8m2 ) x - 4m
ộ m = 1
d (O, D) =
=
64m - 101m + 37 = 0 ờ
m = 1 .
ờ m = 37 (loaùi)
2 2
5
(6 - 8m ) + 1
ờở
8
-4m

4

4

2

Cõu 30. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + (m - 6) x + m - 2 (1), vi m l tham s thc.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im A(1; -4) n
ng thng i qua hai im cc tr bng

12
265

.

ã Ta cú: y = 3 x 2 - 6 x + m - 6 . Hm s cú 2 im cc tr PT y = 0 cú 2 nghim phõn bit
DÂ = 32 - 3(m - 6) > 0 m < 9 (*)
1
3

ổ2
ố3

ử
ứ

4
3

Ta cú: y = ( x - 1).y + ỗ m - 6 ữ x + m - 4
ổ2
ử
4
3
ố3
ứ
ộm = 1
6m - 18
12

ờ
=
1053 (tho (*))
ờm =
265
4m 2 - 72m + 333
249
ở

ị PT ng thng qua 2 im cc tr D: y = ỗ m - 6 ữ x + m - 4
ị d ( A, D) =

Trang 20


Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

www.PNE.edu.vn

Cõu 31. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + mx + 1 (1), vi m l tham s thc.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
ổ 1 11 ử
ữ
ố2 4 ứ

2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im I ỗ ;
n ng thng i qua hai im cc tr l ln nht.

ã Ta cú: y = 3 x 2 - 6 x + m . Hm s cú 2 im cc tr PT y = 0 cú 2 nghim phõn bit
DÂ > 0 m < 3 .
ổx
ố3

1ử
3ứ

ổ 2m
ử
m
- 2ữ x + +1
3
ố 3
ứ

Ta cú: y = ỗ - ữ y + ỗ

ổ 2m
ử
m
- 2ữ x + +1.
3
ố 3
ứ
uur
ổ 1 ử
ổ 3ử
D dng tỡm c im c nh ca D l A ỗ - ;2 ữ . AI = ỗ 1; ữ .

ố 2 ứ
ố 4ứ

ị PT ng thng qua hai im cc tr l: D : y = ỗ

Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn D.
ổ 2m
ử 3
- 2 ữ. = 0 m = 1.
ố 3
ứ 4

Ta cú d ( I , D) = IH Ê IA . Du "=" xy ra IA ^ D 1 + ỗ
Vy max(d ( I , D)) =

5
khi m = 1 .
4

Cõu 32. Cho hm s y = x 3 + 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) x + m3 + 3m 2

(Cm ) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Chng minh rng vi mi m, th (Cm) luụn cú 2 im cc tr v khong cỏch gia 2
im cc tr l khụng i.
ộ
ã Ta cú: y = 3 x 2 + 6(m + 1) x + 6m(m + 2) ; y = 0 ờ x = -2 - m .
ở x = -m

th (Cm) cú im cc i A(-2 - m;4) v im cc tiu B(-m;0) ị AB = 2 5 .
Cõu 33. Cho hm s y = 2 x 2 - 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3 .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s cú hai im cc tr A, B sao cho AB = 2 .
ã Ta cú: y = 6( x - 1)( x - m) . Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit m ạ 1 .
Khi ú cỏc im cc tr l A(1; m3 + 3m - 1), B(m;3m 2 ) .
AB = 2 (m - 1)2 + (3m 2 - m3 - 3m + 1) = 2 m = 0; m = 2 (tho iu kin).
Cõu 34. Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + 4m - 1

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -1 .
2) Tỡm m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho DOAB vuụng ti O.

ã Ta cú: y Â= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) ; y Â= 0 ờ x = m + 1 ị y = m - 3

ộ
ởx = m -1 ị y = m +1
uuur
uuur
ị A(m + 1; m - 3) , B(m - 1; m + 1) ị OA = (m + 1; m - 3) , OB = (m - 1; m + 1) .
uuur uuur
ộ
DOAB vuụng ti O OA.OB = 0 2m2 - 2m - 4 = 0 ờ m = -1 .
ởm = 2

Trang 21


Kho sỏt hm s

Trn S Tựng

www.PNE.edu.vn

Cõu 35. Cho hm s y = 2 x 2 - 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2) Tỡm m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho tam giỏc ABC vuụng ti
C, vi C(4;0) .

ã Ta cú: y = 6( x - 1)( x - m) . Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit m ạ 1 .
Khi ú cỏc im cc tr l A(1; m3 + 3m - 1), B(m;3m 2 ) .
uuur uuur

DABC vuụng ti C AC.BC = 0 (m + 1) ởộ m2 (m 2 - m + 1) + 3m 2 - 5m + 4 ựỷ = 0
m = -1
Cõu 36. Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 + m

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -4 .
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho ã
AOB = 1200 .
ộ
ã Ta cú: y Â= 3 x 2 + 6 x ; y Â= 0 ờ x = -2 ị y = m + 4
ởx = 0 ị y = m

Vy hm s cú hai im cc tr A(0 ; m) v B(-2 ; m + 4)

uuur
uuur
1
OA = (0; m ), OB = (-2; m + 4) . ã
AOB = 1200 thỡ cos AOB = 2
ỡ-4 < m < 0
1
m(m + 4)

= - m2 4 + (m + 4)2 = -2m(m + 4) ớ 2
2
ợ3m + 24m + 44 = 0
m2 4 + (m + 4)2

(

(

)

)

ỡ-4 < m < 0
-12 + 2 3
ù
ớ
-12 2 3 m =
3
ùợm =
3

Cõu 37. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + m2 - m + 1 (1)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc i, cc tiu l A v B sao cho din tớch tam
giỏc ABC bng 7, vi im C(2; 4 ).

ã Ta cú y ' = 3 x 2 - 6 x ; y ' = 0 3 x 2 - 6 x = 0 x = 0; x = 2 ị Hm s luụn cú C, CT.
Cỏc im C, CT ca th l: A(0; m2 - m + 1) , B(2; m 2 - m - 3) , AB = 22 + (-4)2 = 2 5
Phng trỡnh ng thng AB:

x - 0 y - m2 + m - 1
=
2 x + y - m2 + m - 1 = 0
2
-4

1
1 m2 - m + 1
ộm = 3
SD ABC = d (C , AB). AB = .
.2 5 = m2 - m + 1 = 7 ờ
.
2
2
ở m = -2
5

Cõu hi tng t:
a) y = x 3 - 3mx + 2, C (1;1), S = 18 .

S: m = 2 .

Cõu 38. Cho hm s y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 12mx - 3m + 4 (C)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = 0.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr l A v B sao cho hai im ny cựng vi im
ổ
9ử
C ỗ -1; - ữ lp thnh tam giỏc nhn gc ta O lm trng tõm.
2ứ
ố

ã Ta cú y ' = 3x 2 - 3(m + 1) x + 12m . Hm s cú hai cc tr y = 0 cú hai nghim phõn bit
D = (m - 1)2 > 0 m ạ 1 (*). Khi ú hai cc tr l A(2;9m), B(2m; -4m3 + 12m 2 - 3m + 4) .
Trang 22


Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

www.PNE.edu.vn
ỡ2 + 2 m - 1 = 0
ù

1

m = - (tho (*)).
DABC nhn O lm trng tõm ớ
9

3
2
2
ù-4m + 12m + 6m + 4 - = 0
2

ợ

Cõu 39. Cho hm s y = f ( x ) = 2 x 3 + 3(m - 3) x 2 + 11 - 3m ( Cm ).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m (Cm ) cú hai im cc tr M1, M2 sao cho cỏc im M1, M2 v B(0; 1) thng
hng.
. Hm s cú 2 cc tr m ạ 3 (*).
ã y = 6 x 2 + 6(m - 3) . y = 0 ờộ x = 0
ởx = 3 - m
ổ1
ố3

Chia f ( x ) cho f Â( x ) ta c: f ( x ) = f Â( x ) ỗ x +

m-3ử
2
ữ - (m - 3) x + 11 - 3m
6 ứ

ị phng trỡnh ng thng M1M2 l: y = -(m - 3)2 x + 11 - 3m
M1, M2 , B thng hng B ẻ M1M2 m = 4 (tho (*)).
1
Cõu 40. Cho hm s y = x 3 - mx 2 + (m 2 - 1) x + 1 (Cm ) .

3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2 .
2) Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu v yCẹ + yCT > 2 .

ã Ta cú: y = x 2 - 2mx + m 2 - 1 . y = 0 ờ x = m + 1 .
yCẹ + yCT

ộ
ởx = m -1
ộ-1 < m < 0
> 2 2 m3 - 2 m + 2 > 2 ờ
.
ởm > 1

1
4
Cõu 41. Cho hm s y = x 3 - (m + 1) x 2 + (m + 1)3
3
3

(1) (m l tham s thc).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m cỏc im cc i v cc tiu ca th (1) nm v 2 phớa (phớa trong v phớa
ngoi) ca ng trũn cú phng trỡnh (C): x 2 + y 2 - 4 x + 3 = 0 .

ã y = x 2 - 2(m + 1) x . y = 0 ờ x = 0

ộ

. Hm s cú cc tr m ạ -1
ở x = 2(m + 1)
ổ 4
ử
Gi hai im cc tr ca th l: A ỗ 0; (m + 1)3 ữ , B(2(m + 1);0) .
ố 3
ứ

(C) cú tõm I(2; 0), bỏn kớnh R = 1. IA = 4 +

(1)

16
(m + 1)6 , IB = 4m2 .
9
1
2

A, B nm v hai phớa ca (C) (IA2 - R2 )( IB2 - R 2 ) < 0 4m 2 - 1 < 0 - < m <
1
2

Kt hp (1), (2), ta suy ra: - < m <

1
(2)
2

1
.

2

Cõu 42. Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 (Cm)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -2 .
2) Chng minh rng (Cm) luụn cú im cc i v im cc tiu ln lt chy trờn mi
ng thng c nh.

ã y Â= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) ; y Â= 0 ờ x = m + 1
ộ
ởx = m -1

Trang 23


Kho sỏt hm s

www.PNE.edu.vn

Trn S Tựng

ỡ
im cc i M (m - 1;2 - 3m) chy trờn ng thng c nh: ớ x = -1 + t

ợ y = 2 - 3t
ỡ
im cc tiu N (m + 1; -2 - m) chy trờn ng thng c nh: ớ x = 1 + t
ợ y = -2 - 3t

1

Cõu 43. Cho hm s y = x 3 - mx 2 - x + m + 1 (Cm ) .
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (Cm) cú 2 im cc tr v khong cỏch gia 2 im cc tr l nh nht.

ã Ta cú: y = x 2 - 2mx - 1 ; y = 0 cú D = m 2 + 1 > 0, "m ị hm s luụn cú hai im cc tr
x1 , x2 . Gi s cỏc im cc tr ca (Cm) l A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) .
1
3

2
3
2 2
2
ị y1 = - (m + 1) x1 + m + 1 ;
3
3

2
3

Ta cú: y = ( x - m).y - (m2 + 1) x + m + 1

2
2
y2 = - (m2 + 1) x2 + m + 1
3
3
ộ 4

ự
ổ 4ử
Do ú: AB 2 = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 = (4m 2 + 4) ờ1 + (m 2 + 1)2 ỳ 4 ỗ 1 + ữ
ở 9
ỷ
ố 9ứ

ị AB

2 13
2 13
. Du "=" xy ra m = 0 . Vy min AB =
khi m = 0 .
3
3

Cõu 44. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 (1) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
2) Tỡm m hm s (1) cú 2 cc tr v ng thng i qua 2 im cc tr ca th hm s
to vi hai trc to mt tam giỏc cõn.

ã y = 3 x 2 - 6 x - m . Hm s cú 2 cc tr y = 0 cú 2 nghim phõn bit m > -3 .
1
3

ổ 2m
ử
m
ị ng thng D i qua 2 im cc tr ca

- 2ữ x + 2 3
ố 3
ứ
ổ 2m
ử
m
- 2ữ x + 2 - .
th cú phng trỡnh: y = ỗ 3
ố 3
ứ
ổ 6-mử
ổ m-6
ử
D ct Ox, Oy ti A ỗ
;0 ữ , B ỗ 0;
ữ (m ạ 0).
3 ứ
ố
ố 2(m + 3) ứ

Ta cú: y = ( x - 1).y + ỗ -

Tam giỏc OAB cõn OA = OB

m-6
6-m
9
3
m = 6; m = - ; m = - .
=

2(m + 3)
3
2
2

3
2

i chiu iu kin ta cú m = - .

Cõu 45. Cho hm s : y =

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc tr trong khong (-Ơ;1) .

ã Tp xỏc nh D = R. y = x 2 - 2mx + m2 - m + 1 .
t t = x - 1 ị x = t + 1 ta c : y ' = g(t ) = t 2 + 2 (1 - m ) t + m2 - 3m + 2
Hm s(1) cú cc tr trong khong (-Ơ;1) f ( x ) = 0 cú nghim trong khong (-Ơ;1) .

Trang 24


Trn S Tựng

www.PNE.edu.vn

ộP < 0
ờ ỡD ' 0
g(t ) = 0 cú nghim t < 0 ờ ù
ờ ớS < 0
ờở ợù P 0

Kho sỏt hm s

ộ m 2 - 3m + 2 < 0
ờ
ỡ
ờ
1< m < 2
ùm - 1 0
ờ ớ2 m - 2 < 0
ờ ùm2 - 3m + 2 0
ởợ

Vy: Vi 1 < m < 2 thỡ hm s (1) cú cc tr trong khong (-Ơ;1)
Cõu 46. Cho hm s : y =

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc tr trong khong (1; +Ơ) .

ã Tp xỏc nh D = R. y = x 2 - 2mx + m2 - m + 1 .
t t = x - 1 ị x = t + 1 ta c : y ' = g(t ) = t 2 + 2 (1 - m ) t + m2 - 3m + 2

Hm s(1) cú cc tr trong khong (1; +Ơ) f ( x ) = 0 cú nghim trong khong (1; +Ơ) .
ộP < 0
ờ ỡD ' 0
g(t ) = 0 cú nghim t > 0 ờ ù
ờ ớS > 0
ờở ợù P 0

ộ m 2 - 3m + 2 < 0
ờ
ỡ
1< m
ờ ùm - 1 0
ờ ớ2 m - 2 > 0
ờ ùm2 - 3m + 2 0
ởợ

Vy: Vi m > 1 thỡ hm s (1) cú cc tr trong khong (1; +Ơ)
Cõu 47. Cho hm s : y =

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr x1, x2 tho món x1 < 1 < x2 .

ã Tp xỏc nh D = R. y = x 2 - 2mx + m2 - m + 1 .
t t = x - 1 ị x = t + 1 ta c: y ' = g(t ) = t 2 + 2(1 - m)t + m2 - 3m + 2
(1) cú hai cc tr x1, x2 tho x1 < 1 < x2 g(t ) = 0 cú hai nghim t1, t2 tho t1 < 0 < t2
P < 0 m 2 - 3m + 2 < 0 1 < m < 2

Vy: Vi 1 < m < 2 thỡ hm s (1) cú hai cc tr x1, x2 tho món x1 < 1 < x2 .

Cõu 48. Cho hm s : y =

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr x1, x2 tho món x1 < x2 < 1 .

ã Tp xỏc nh D = R. y = x 2 - 2mx + m2 - m + 1 .
t t = x - 1 ị x = t + 1 ta c : y ' = g(t ) = t 2 + 2 (1 - m ) t + m2 - 3m + 2
(1) cú hai cc tr x1, x2 tho x1 < x2 < 1 g(t ) = 0 cú hai nghim t1, t2 tho t1 < t2 < 0
ỡm - 1 > 0
ỡD ' > 0
ù
ù
ớS < 0 ớm 2 - 3m + 2 > 0 m ẻ ặ . Vy: Khụng cú giỏ tr no ca m no tho YCBT.
ù 2m - 2 < 0
ùợ P > 0
ợ
Cõu 49. Cho hm s : y =

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr x1, x2 tho món 1 < x1 < x2 .

Trang 25