Báo cáo thực tập tốt nghiệp giải tích

Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với
bước nhảy phi tuyến vô định á tuyến tính
Đặng Trường - Trần Hòa Phú
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Ngày 14 tháng 7 năm 2015

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

1

Giới thiệu bài toán

2

Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii

3

Điểm tới hạn và nghiệm yếu

4

Định lý Mountain Pass

5

Bổ đề cần dùng

6

Kết luận

7

Tài liệu tham khảo

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi

Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Giới thiệu bài toán
Trong tiểu luận này, chúng tôi kiểm chứng chi tiết các chứng minh
trong bài báo "Multiple positive solutions for quasilinear problems
with indefinite sublinear nonlinearity" của Francisco Odair de Paiva
công bố trên Nonlinear Analysis 71 (2009) trang 1108-1115. Trong
bài báo đó, người ta tìm nghiệm bội không tầm thường và không
âm của bài toán tựa tuyến tính
−

pu

= h(x)u α−1 + g (x, u)

u≥0

trên Ω

u=0

trên ∂Ω

trên Ω

(1.1)

với Ω ⊂ RN là miền trơn bị chặn, 1 ≤ α < p
Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Giới thiệu bài toán (tt)
g : Ω × R → R Caratheodory sao cho g (x, t) = 0, với mọi t ≤ 0
và h thỏa
h ∈ Lσα , ở đây σα :=

p∗
α

nghĩa là

α
1
+ ∗ = 1 (1.2)
σα p

với p ∗ = pN/(N − p) nếu 1 < p < N và p ∗ = ∞ nếu 1 < N ≤ p.
Giả sử g subcritical growth, tức là
|g (x, t)| ≤ c |t|q−1 + b(x), a.e in Ω, t ∈ R. (1.3)
với q ∈ (p, p ∗ ), b ∈ Lq (Ω), q = p ∗ /s và p < s < p ∗ , c là một
hằng số.
Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Giới thiệu bài toán (tt)
Giả sử có hai hàm k và L thuộc Lr với r > N/p nếu 1 < p ≤ N và
r = 1 nếu p > N, k và L được định nghĩa bởi
k (x) = liminf
t→∞

g (x, t)
|t|p−2 t

L (x) = limsup
t→0

pG (x, t)
|t|p

có phần dương không tầm thường, các giới hạn là đều theo x trên
Ω.
Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Giới thiệu bài toán (tt)
Hơn nữa h+ = 0 và có các hàm a ∈ Lr và d ∈ Lp sao cho
|g (x, t)| ≤ a(x) |t|p−1 + d (x) (1.6)
Cho µ1 (k) < 1 < µ1 (L), thì tồn tại λ > 0 sao cho bài toán của
chúng ta có ít nhất hai nghiệm không âm không tầm thường nếu
(a) 1 < α < p và h+

L σα

(b) α = 1, h(x) ≥ 0 và h

< λ, hoặc
L σα

<λ

Đây là kết quả chính trong bài báo của Francisco Odair de Paiva
nói trên.
Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii

Định nghĩa (Hàm Caratheodory)
Cho Ω mở, bị chặn trong R n . Ánh xạ f : Ω × R → R được gọi là
Caratheodory nếu
(i) Với mỗi s ∈ R thì ánh xạ x → f (x, s) đo được trong Ω.
(ii) Với hầu hết x ∈ Ω thì ánh xạ s → f (x, s) là liên tục trong R

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii (tt)

Đặt M = {u : Ω → R, u đo được}
Nếu f : Ω × R → R là Caratheodory thì với mỗi u ∈ M, ánh xạ
Nf u : Ω → R định nghĩa bởi
(Nf u)(x) = f (x, u(x)) với x ∈ Ω
Một hàm Caratheodory f : Ω × R → R xác định một toán tử
Nf : M → M, được gọi là toán tử Nemytskii.

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng

Kết luận
Tài liệu tham khảo

Điểm tới hạn và nghiệm yếu

Định nghĩa (Điểm tới hạn)
Cho E là không gian Banach và Φ : E → R là hàm khả vi Frechet.
Khi đó u ∈ E được gọi là điểm tới hạn (critical point) của Φ nếu
DΦ(u) = 0 trong E ∗ hay
DΦ(u)(v ) = 0 ∀v ∈ E .

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Điểm tới hạn và nghiệm yếu (tt)

Gọi u là nghiệm mạnh của bài toán (1) thì u ∈ C 2 (Ω) ∩ C (Ω).
Đặt
1
1

|∇u|p dx − h(x)(u + )α −
G (x, u)dx u ∈ W01,p
Φ(u) =
p Ω
α
Ω
|∇u|p−2 ∇u∇v −

DΦ(u)(v ) =
Ω

h(x)(u + )α−1 v −
Ω

g (x, u)vdx
Ω

Từ đây ta thấy u là nghiệm yếu của (1) khi và chỉ khi u là điểm tới
hạn của Φ

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng

Kết luận
Tài liệu tham khảo

Định lý Mountain Pass

Định nghĩa (Điều kiện Palais-Smale)
Cho E là một không gian Banach và Φ ∈ C 1 (E , R). Ta nói Φ thỏa
điều kiện Palais-Smale(PS), nếu với mọi dãy {un } ⊂ E sao cho
{Φ(un )} bị chặn và Φ (un ) → 0 trong E thì có dãy con hội tụ.

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Định lý Mountain Pass (tt)

Định lý (Moutain Pass)
Cho E là một không gian Banach và Φ ∈ C 1 (E , R). Giả sử Φ thỏa
Palais-Smale, Φ(0) = 0 và
i)tồn tại hằng số p, α > 0 để Φ|∂B(0,p) ≥ α
ii) tồn tại e ∈ E \ B(0, p) sao cho Φ(e) ≤ 0. Khi đó Φ có điểm tới

hạn c ≥ α và c có dạng
vói Γ = {g ∈ C ([0, 1], E )|g (0) = 0, g (1) = e}

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Bổ đề cần dùng

Bổ đề
Với điều kiện (1.6) và µ1 (k) < 1 < µ1 (L) ta có hàm Φ thỏa
Palais-Smale
Bổ đề
Với điều kiện (1.3), h+ Lσα đủ nhỏ và µ1 (L) > 1 thì sẽ tồn tại
a > 0, p > 0 sao cho nếu u = p thì Φ(u) ≥ a > 0

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi

Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Bổ đề cần dùng (tt)

Bổ đề
pG (x, t)
đều nên tồn tại u ∈ W01,p thỏa
p
|t|
t→0
u < ρ và Φ(u) < 0

Do L(x) = lim sup

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng

Kết luận
Tài liệu tham khảo

Chứng minh định lý

Do bổ đề 2 nên hàm Φ thỏa điều kiện Mountain Pass và tồn tại
u1 ∈ W01,p là điểm tới hạn không tầm thường của Φ thỏa mãn
Φ(u1 ) > 0.
Do bổ đề 3 kết hợp Φ thỏa Palais-Smale nên cực tiểu của Φ trong
Bρ (0) đạt được trong quả cầu mở tương ứng nên tồn tại điểm tới
hạn u2 không tầm thường của Φ với Φ(u2 ) < 0 và u2 < ρ.

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã làm được những công việc sau:
1. Trình bày một cách hệ thống, rõ ràng về các không gian Lp (Ω)
và các không gian Sobolev W01,p (Ω) cùng các định lý nhúng liên
tục, nhúng compact Rellich-Kondrachov vốn là những công cụ đắc

lực trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng, nhất là các
phương trình đạo hàm riêng phi tuyến mà phương trình p-Laplace
trong luận văn của chúng tôi là một ví dụ điển hình. Hơn nữa
chúng tôi chỉ rõ trong bài toán đang xét, với các điều kiện của Ω
phép nhúng W 1,p (Ω) ⊂ L∞ (Ω) (p > N) là compact. Kết quả này
được kết hợp với định lý Dunford-Pettis (sẽ nói rõ hơn ngay sau
đây) để chứng minh bổ đề 1 trang 29 của luận văn.
Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Kết luận (tt)
2. Phát biểu định lý Dunford-Pettis (định lý 1.21 trang 23 của luận
văn), điều kiện cần để một dãy bị chặn trong L1 (X , µ) có dãy con
hội tụ yếu cùng hệ quả của định lý này (hệ quả 1.2 trang 23 của
luận văn), được sử dụng trong chứng minh hàm Φ thỏa điều kiện
Palais-Smale (bổ đề 1 trang 29 của luận văn). Cụ thể hơn, dùng
hệ quả của định lý Dunford-Pettis, chúng tôi chứng minh được
g (x, un )
g0 trong Lp (Ω) với p = 1 nếu p ≥ N . Ngoài ra chúng
un p−1

g (x, un )
g0 trong Lp (Ω) với p > p∗ nếu
tôi cũng chứng minh
un p−1
p < N (trang 30 của luận văn). Trong bài báo của mình, tác giả
Fancisco Odair de Paiva chỉ nói lướt qua chỗ này mà không đưa ra
chứng minh cụ thể.
Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Kết luận (tt)
3. Chứng minh hàm Φ ∈ C 1 W01,p (Ω) , R (mệnh đề 2 trang 25
của luận văn). Trong bài báo của mình, tác giả Fancisco Odair de
Paiva chỉ nói lướt qua chỗ này mà không đưa ra chứng minh cụ
thể. Từ việc tính cụ thể đạo hàm Fréchet của hàm Φ, chúng tôi
xây dựng dạng hình học Mountain pass của phiếm hàm năng lượng
Φ. Một lần nữa bài báo của tác giả Fancisco Odair de Paiva không
nhắc đến điều này.
4. Chúng tôi kiểm chứng các điều kiện để có thể dùng định lý
Fatou cho liminf (trang 38 và trang 40 của luận văn). Trong bài

báo của mình, do cấp độ là một công trình khoa học cấp cao nên
tác giả Fancisco Odair de Paiva không đưa ra chứng minh cụ thể
trong việc kiểm chứng các điều kiện để có thể dùng định lý Fatou
cho liminf.
Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Kết luận (tt)
5. Phát hiện và chỉnh sửa một số lỗi sai trong bài báo của tác giả
Fancisco Odair de Paiva. Các lỗi này là thiếu hoặc dư số α trong
các đẳng thức (trang 1112 dòng cuối từ dưới đếm lên của [10]
trong phần Tài liệu tham khảo), chủ yếu do việc đánh máy nhầm
gây nên.
Ngoài ra còn rất nhiều chỗ chỉ nêu quá ngắn gọn mà chưa có
chứng minh chi tiết. Trong bài báo của mình đăng trên Nonlinear
Analysis TMA, chứng minh định lý 1 của tác giả Fancisco Odair de
Paiva chỉ dài gần 6 trang. Sau khi cô đọng lại các chứng minh của
mình

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Kết luận (tt)

(chưa tính phần kiến thức chuẩn bị cùng nhiều kiến thức bổ trợ có
trong các tài liệu mà chúng tôi nghiên cứu, mà thời gian và khuôn
khổ của luận văn chưa cho phép chúng tôi trình bày cặn kẽ hết
được), chúng tôi nhận thấy độ dài phần chính trong luận văn
(chương Áp dụng giải bài toán p-Laplace) là 17 trang.

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng

Kết luận
Tài liệu tham khảo

Tài liệu tham khảo
Robert A. Adams, John J. F. Fournier: Sobolev Spaces,
Second Edition, Academic Press, Pure and Applied
Mathematics, Volume 140, 2003.
Haim Brezis: Analyse Fonctionelle, Theorie et Applications,
Masson A., 1987.
F.E. Browder: Fixed point theory and nonlinear problems,
Proc. Symp. Pure Math. 39 (1983) 4986.
Dương Minh Đức: Giải tích hàm, ĐHQG Thành phố Hồ Chí
Minh, 2000.
L.C.Evan: Partial Differential Equations, American
Mathematical Society (1997).
Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh,
Đặng Đức Trọng: Giải tích hàm, 2008.

N.S.Papageorgiou, S.T.Kyritsi-Yiallourou: Handbook of
Applied Analysis, Advances in Mechanics and Mathematics,
Springer 2009.
I. Peral: Multiplicity of Solutions for the p-Laplacian,
International center for theoretical physics trieste, Second
School of Nonlinear Functional Analysis and Applications to
Differential Equations (1997).
I.V. Skrypnik: Methods for analysis of nonlinear elliptic
boundary value problems, Am. Math. Soc. Transl., Ser. II 139
(1994).
Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Francisco Odair de Paiva: Multiple positive solutions for
quasilinear problems with indefinite sublinear nonlinearity,
Nonlinear Analysis TMA 71 (2009) 1108-1115.
Dương Minh Đức, Nguyễn Quang Huy: Non-uniformly
asymptotically linear p-Laplacian problems, Nonlinear Analysis
TMA 92 (2013) 183-197.
G. Dinca, P. Jebelean and J. Mawhin: Variational and

topological methods for Dirichlet problems with p-Laplacian,
Portugaliae Mathematica Vol. 58 Fasc. 3 - 2001, Nova Série.

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi


Giới thiệu bài toán
Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii
Điểm tới hạn và nghiệm yếu
Định lý Mountain Pass
Bổ đề cần dùng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick: Real Analysis (Fourth
Edition), Pearson Education Asia Limited and China Machine
Press, 2010.
Haim Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial
Differential Equations, Springer 2011.

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi