chuyên đề rút gọn biểu thức ôn thi vào 10 môn toán

CHUYÊN ĐỀ I:
RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN SAU PHẦN RÚT GỌN
I. Kiến thức cần nhớ
1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (A+B)2 = A2 +2AB +B2
2. (A – B)2 = A2 –2AB +B2
3. A2 –B2 = (A-B )(A+B)
4. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
5. (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3
6. A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2)
2. Các công thức biến đổi căn thức:
1. A có nghĩa khi A ≥ 0
2.

A2 = A

3.

AB =

4.

A
=
B

A. B

A

( Với A ≥ 0 ; B > 0 )

B

5. A 2 B = A

B

6. A B = A 2 B
A B = - A2 B
7.

A
1
=
B
B

AB

( Với B ≥ 0 )
( Với A ≥ 0 ; B ≥ 0 )
( Với A < 0 ; B ≥ 0 )
( Với AB ≥ 0 và B ≠ 0 )

A B
( Với B > 0 )
B
B
C

C ( A mB )
9.
=
(ví i A ≥ 0, A ≠ B 2 )
2
A
−
B
A±B
C
C( A m B )
10.
=
(ví i A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B )
A− B
A± B

8.

A

( Với A ≥ 0 ; B ≥ 0 )

=

3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp tách hạng tử
4. Các tính chất cơ bản của một phân thức.

A
A.M
=
B
B.M
A
A:N
=
B
B:N

(M là một đa thức khác 0)
(N là một nhân tử chung)

II. Các dạng bài
A. Các dạng toán rút gọn
Dạng 1: Phân tích mẫu bằng phương pháp đặt nhân tử chung
1) Phân tích thành nhân tử :
a) x + 2 x
b) x - 2 x
c) x x + x + x + 1
2) Rút gọn các biểu thức sau:
1


1  x +1
 x −2
A=
+
với x > 0 và x ≠ 1

÷.
x + 2  x −1
x+2 x
 x +1
1 
B = 
−
÷
÷× x − 3 x + 2 với x > 0; x ≠ 4
x
−
2
x
x
−
2


2
2x − x 
 1
 
C =
−
÷:  2 − x + 1 
 x +1 x x + x + x +1 


(

)

 x +1
1 
.( x − 3 x + 2) , với x>0 và x ≠ 4
A = 
−
x − 2 
x−2 x
x−2
1
1
M =
−
+
, với x>0
x+2 x
x
x +2
 1
x 
x
:
P = 
+
, với x>0
x + 1  x + x
 x

Dạng 2: Phân tích mẫu bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

1. Phân tích thành nhân tử :
a) x - 4
b) x - 25
c) x x + 1
d) x 3 − 1
2. Rút gọn các biểu thức sau:
M=

x −1 5 x − 2
+
với x > 0, x ≠ 4
x−4
x +2

x
10 x
5
−
−
với x ≥ 0, x ≠ 25
x − 5 x − 25
x +5
 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
P=
+
+
− 1÷
÷: 

9
−
x
x
+
3
x
−
3
x
−
3

 

N=

Q=
R=

A = 

B=

1
3
2
−
+
với x ≥ 0 , x ≠ 1.

x +1 x x +1 x − x +1
x+2
x +1
1
+
+
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
x x −1 x + x +1 1− x

1
x  
x
+
:
−
1
÷

 x −1 ÷
÷, x ≥ 0, x ≠ 1
x −1 x −1 ÷
 

x
2 x
3x + 9
+
−
, với x ≥ 0, x ≠ 9
x +3

x −3 x −9


x
4  x + 16
C = 
+
÷
÷: x + 2 , với x>0 và x ≠ 16
x
+
4
x
−
2



x +2
x − 2  x +1
D = 
−
÷
÷. x , với x > 0, x ≠ 1
x
−
1
x
+
2

x
+
1



Dạng 3: Phân tích mẫu bằng phương pháp tách hạng tử
1. Phân tích thành nhân tử :
a) x − 5 x + 6 b) x + x − 6
c) x + 2 x − 3
2. Rút gọn các biểu thức sau:
2

d) x + 2 x − 15


A=

2 a −9
a + 3 2 a +1
−
+
a−5 a +6
a −2
a −3

B=

x +2
5

1
−
+
x +3 x + x −6 2− x

với a ≥ 0 , a ≠ 9 , a ≠ 4.

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
x + 2 x − 3 1− x
x +3
 x −5 x  
25 − x
x +3
x −5
− 1÷
:
−
+
D = 

÷ với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 25
÷  x + 2 x − 15
x +5
x −3÷
 x − 25
 


10 x
2 x −3
x +1
E=
−
+
, x ≥ 0; x ≠ 1
x+3 x −4
x + 4 1− x

C=

G=

x x + 26 x − 19 2 x
x −3
−
+
, với x ≥ 0; x ≠ 1
x + 2 x −3
x −1
x +3

H=

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
, với x ≥ 0, x ≠ 1
x + 2 x − 3 1− x

x +3

Dạng 4: Rút gọn từng phân thức rồi thực hiện phép tính


a +3 a +2
a+ a  1
1 

P=
−
:
+
÷
 a +2
a −1   a + 1
a −1 
a −1



(

)(

)

1

x3 − x

1

+
+
x −1 − x
x −1 + x
x −1
1+ 1− x
1− 1+ x
1
A=
+
−
, với -11− x + 1− x 1+ x − 1+ x
1+ x
 1− x x
  1+ x x

B = 
+ x÷
.
−
x

÷
÷  1+ x
÷, với x ≥ 0, x ≠ 1
 1− x



2
x − x
2 x + x 2( x − 1)
C=
−
+
, với x> 0 và x ≠ 1
x + x +1
x
x −1

Q=

M =

x −1
3

x −1
2

−

3

x +2

3

x +1

, với x ≠ ±1

B. Các bài toán sau phần rút gọn:
Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức.
Thường gặp:
Loại 1: Tính GTBT P khi x = a (a∈ R).
HD : Thay x = a (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức P ta được:
P=…
Vậy, với x = a thì P = …
x
3
6 x −4
+
−
BT: Cho P =
. Tính P khi x= 16
x −1
x −1
x +1
Loại 2: Tính GTBT P khi x = m ± n p (với m , n , p∈ R)
Dùng HĐT 1,2 biến đổi x ⇒ tìm
BT1: Tính

x rồi thay vào biểu thức P. (làm giống loại 1)

x biết x = 4 + 2 3

x=

;
3

2+ 3
2


x
3
6 x −4
2+ 3
+
−
. Tính P khi x = 4 + 2 3 ; x =
x −1
x −1
x +1
2
Loại 3: x nằm trong biểu thức chứa dấu GTTĐ
HD: + Giải PT, BPT chứa dấu GTTĐ ⇒ tìm được x. Đối chiếu ĐKXĐ
+ Thay x (t/m ĐKXĐ) vào biểu thức P ( giống loại 1)
x
3
6 x −4
+
−
Ví dụ: Cho P =
. Tính P biết |2x - 3| = 5

x −1
x −1
x +1
Giải:
x −1
Rút gọn ta được: P =
với x ≥ 0, x ≠ 1
x +1
BT2: Cho P =

2 x − 3 = 5
 x = 4(t/ m)
2x − 3 = 5 ⇔ 
⇔
 2 x − 3 = −5
 x = −1(loai )

Thay x = 4 vào P ta được
P=

4 −1 2 −1 1
=
=
4 +1 2 +1 3
4 −1 2 −1 1
=
= khi |2x - 3| = 5
4 +1 2 +1 3

Vậy P =

Bài tập tự luyện
1) Cho biểu thức: A =

x

−

x −5

10 x
−
x − 25
x −5

a) Rút gọn biểu thức A ( A =

x +5

5
x +5

, với x ≥ 0 và x ≠ 25

)

b) Tính giá trị của A khi x = 9
2) Cho biểu thức: P =

x x + 26 x − 19

2 x

−

+

x −3

x+2 x −3
x −1
x +3
x + 16
a) Rút gọn biểu thức P ( P =
)
x +3
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 7 − 4 3

3) Cho biểu thức: M =

2 x
x +3

x +1

+

a) Rút gọn biểu thức M ( M =

x −3
3 x

+

x −3

b) Tính giá trị của M khi x =


4) Cho biểu thức: P = 

x

 x −1

+

a) Rút gọn biểu thức P ( P =
b) Tính giá trị của P khi x =

, với x ≥ 0; x ≠ 1

3 − 11 x
, với x ≥ 0, x ≠ 9
9−x

)

3 − 4−2 3

x  2

2−x 
: −
 , với x>0 và x ≠ 1
x − 1   x x ( x + 1) 
x
x −1
2
2− 3

)

− 2 3 ( x=4)

Bài toán 2: Giải phương trình, bất phương trình.
Dạng 1: Giải PT
Loại 1 : Tìm x để P = a ( a ∈ R)
4


P = a ⇔ (biểu thức rút gọn) = a ⇔ … ⇔ x = … ( thỏa mãn ĐKXĐ hay ko)
Trả lời:
x
3
6 x −4
1
+
−
Ví dụ: Cho P =
. Tìmx để P =
x −1

2
x −1
x +1
Loại 2 : Tìm x để P = A(x)
HD : P = A(x) ⇔ (biểu thức rút gọn) = A(x)
⇔ … (giải PT bậc 2 hoặc PT tích)
⇔ x = … ( thỏa mãn ĐKXĐ hay ko)
Trả lời:
HD:

1  x +1
 x−2
+
với x > 0 và x ≠ 1 .
÷.
x + 2  x −1
x+2 x

Ví dụ: P = 

Tìm các giá trị của x để 2P = 2 x + 5
x +1
Giải : Rút gọn ta được P =
với x > 0 và x ≠ 1 .
x
2P = 2 x + 5
⇔ 2.
⇔ 2.

(

x +1
= 2 x +5
x

)

(

x + 1 = x. 2 x + 5

)

⇔ 2 x + 2 = 2x + 5 x
⇔ 2x + 3 x − 2 = 0
⇔

(

)(

)

x + 2 2 x −1 = 0

 x +2=0
⇔
 2 x − 1
 x = −2(loai)
⇔

 2 x − 1
1
1
⇔ x = ⇔ x = (t/ m)
2
4

Vậy : ...
Bài tập tự luyện
 1

x 

x

:
+
1) Cho biểu thức: P = 
 x + x , với x>0
x
x
+
1



a) Rút gọn biểu thức P ( P =

x + x +1
x

)

13
( dạng bậc hai)
3
 1

x  
x
:

+
−
1
2) Cho biểu thức: P = 
  x − 1  , x ≥ 0, x ≠ 1
x
−
1
x
−
1

 


b) Tìm x để P =

a) Rút gọn biểu thức P ( P =

2 x +1
x +1

)
5


3
( x=1, không thỏa mãn ĐKXĐ)
2
x
2 x
3x + 9
+
−
3) Cho biểu thức: A =
, với x ≥ 0, x ≠ 9
x +3
x −3 x−9
3
a) Rút gọn biểu thức A ( A =
)
x +3
1
b) Tìm giá trị của x để A = ( Bậc nhất, x=36 thỏa mãn ĐKXĐ)
3

b) Tìm x để P =

Dạng 2: Tìm x để P > a; P < a; P ≥ a; P ≤ a (với a∈ R)
HD:
+ Chuyển a từ VP sang VT (để VP = 0)
+ Quy đồng mẫu (chú ý không được khử mẫu)
+ Xét dấu tử mẫu ⇒ tìm được x.
+ Kết hợp ĐKXĐ (vẽ trục số) rồi trả lời
x
3
6 x −4
1
1
+
−
Ví dụ: Cho P =
. Tìm x để P < 0 ; để P > ; để P <
x −1
2
2
x −1
x +1
x −1
Giải : Rút gọn ta được: P =
với x ≥ 0, x ≠ 1
x +1
x −1
P<0⇔
< 0 ⇔ x − 1 < 0 (vì x + 1 > 0 do x ≥ 0)
x +1
⇔ x <1
⇔ x <1

Kết hợp ĐKXĐ ta được 0 ≤ x < 1 thì P < 0
Bài tập tự luyện
1) Cho biểu thức A =

x
x −5

−

a) Rút gọn biểu thức A ( A =
c) Tìm x để A <

10 x
−
x − 25
x −5
x +5

5

, với x ≥ 0 và x ≠ 25

x +5

)

1
3
 2 x

3x + 3   2 x − 2 
:

  x − 3 − 1 , với x ≥ 0; x ≠ 9
 

−3
−1
a) Rút gọn biểu thức P ( P =
)
b) Tìm x để P <
2
x +3
x−7
1
1
+
−
3) Cho biểu thức: M =
, với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 9
x−4 x +3
x −1
x −3
3
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm x để M >
4
x

+

−
2) Cho biểu thức: P = 
x −3 x −9
 x +3

Bài toán 3: Chứng minh, so sánh.
Thường gặp:
+ So sánh P và a
+ Chứng minh P > a; P < a; P ≥ a; P ≤ a (với a ∈ R)
6


HD: Xét hiệu P - a, rồi so sánh với số 0 (Xét dấu tử, mẫu)
x
1
Ví dụ 1: Cho A =
với x ≥ 0 ; x ≠ 1. Chứng minh A <
3
x + x +1
1
x
1 3 x − x − x − 1 −(x − 2 x + 1)
−( x − 1) 2
A
−
=
−
=
=
=

Xét hiệu
3 x + x +1 3
3 x + x +1
3 x + x +1
3 x + x +1

(

)

(

)

(

Vì x ≥ 0 ; x ≠ 1 nên ( x − 1) 2 > 0 ⇔−( x − 1) 2 < 0

(

)

Vì x ≥ 0 nên 3 x + x + 1 > 0
1
1
Do đó A − < 0 ⇔ A <
3
3
1
1 

x +1
+
÷:
x −1  x − 2 x +1
 x− x


với x > 0 , x ≠ 1.

Ví dụ 2: Cho B = 
So sánh B với 1

x −1
với x > 0 , x ≠ 1.
x
x -1
B-1=
-1
x

Giải: Rút gọn ta được B =

x -1- x
x
-1
=
x
-1 < 0
=


-1
<0
⇒
x
x > 0 ( do x > 0 ) 

Có

⇒ B - 1 < 0 hay B < 1
Bài tập tự luyện
1) Cho biểu thức: M =

x−2
x+2 x

−

a) Rút gọn biểu thức M ( M =
2) Cho biểu thức: A =

x+2
x x −1

+

a) Rút gọn biểu thức A ( A =

1

1

+

x
x +2
x −2
x
x +1

, với x>0

)

x + x +1
x

−

b) So sánh M và 1
1

x −1

, với x ≥ 0, x ≠ 1

b) Chứng minh A <

)

x + x +1
 x+3
1 
x
+
 :
3) Cho biểu thức: B = 
, với x > 0, x ≠ 9
x + 3 x − 3
 x−9
x +1
a) Rút gọn biểu thức B ( B =
)
x +3
1
b) Chứng minh rằng B >
3
 x
1 
2
:
+
4) Cho biểu thức: M = 
, với x ≥ 0, x ≠ 4

x −2 x −2
x−4

7

1
3

)


a) Rút gọn biểu thức M ( M =

x +1

b) So sánh M và M2

)

x +2
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
5) Cho biểu thức: P =
, với x ≥ 0, x ≠ 1
x + 2 x − 3 1− x
x +3
2
2−5 x
a) Rút gọn biểu thức P ( P =
)
b) Chứng minh rằng P ≤
3
x +3

Bài toán 4: Tìm x để biểu thức nguyên
Dạng 1: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên.
sè b
HD: Đưa P về dạng P = số a +
mÉu
sè b
P nguyên ⇔
nguyên ⇔ số b Mmẫu ⇔ mẫu ∈ Ư(số b)
mÉu
Lập bảng
mẫu
Các ước của số b
x

x
P
Đối chiếu ĐKXĐ rồi trả lời.
x
3
6 x −4
+
−
Ví dụ: Cho P =
. Tìm x nguyên để P nguyên.
x −1
x −1
x +1
x −1
P=
Giải:

với x ≥ 0 ; x ≠ 1
x +1
x −1
x +1− 2
x +1
2
2
P=
=
=
−
= 1−
x +1
x +1
x +1
x +1
x +1
2
P nguyên ⇔
nguyên ⇔ 2 M x + 1
⇔ x + 1 ∈ Ư(2)
x +1
-2
-1
1
2
x +1
-3 (Loại) -2 (Loại)
0
1

x
x
0 (t/m)
Loại
P
-1
Vậy x = 0 thì P nhận giá trị nguyên
Chú ý: có thể lập luận x + 1 ≥ 1 với x ≥ 0 ; x ≠ 1 để loại bỏ các giá trị âm trong các
Ư(2)
Dạng 2: Tìm x để biểu thức nguyên.
HD: Đưa biểu thức P về dạng x = ...
Vì x ≥ 0 nên … ≥ 0
Chia 2TH sau đó kết luận P ở khoảng nào
Vì P ∈ Z nên P = ….
Thay P vào, tìm x và kêt luận
x
3
6 x −4
+
−
Ví dụ: Cho P =
. Tìm x nguyên để P nguyên.
x −1
x −1
x +1

8


Giải:

P=

P=
x −1
⇔P
x +1

(

x −1
với x ≥ 0 ; x ≠ 1
x +1

)

x +1 = x −1
⇔ P x + P = x −1
⇔ x ( P − 1) = −P − 1
⇔ x=

−P − 1
P −1

−P − 1
≥0
P −1
−P − 1 ≥ 0
 P ≤ −1
⇔
TH1: 

(loại)
P − 1 > 0
P > 1
−P − 1 ≤ 0
 P ≥ −1
⇔
⇔ −1 ≤ P < 1
TH2: 
P − 1 < 0
P <1
Vì P ∈ Z nên P = {-1; 0}
−(−1) − 1
= 0 ⇒ x = 0 (thỏa mãn)
Với P = -1 thì x =
−1 − 1
0 −1
= 1 ⇒ x = 1 (loại)
Với P = 0 thì x =
0 −1

Ta có

x ≥0⇒

Vậy với x = 0 thì biểu thức P nguyên
Bài tập tự luyện



x

x

4

 x + 16

:
+
và B = 
 x + 2 , với x>0 và x ≠ 16
x
+
4
x
−
2
x +2



1) Cho biểu thức: A =

a) Rút gọn biểu thức B. ( B =

x +2
)
x − 16

b) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để B(A-1) là số

nguyên.

x +2
x − 2  x +1
.
−
2) Cho biểu thức: M = 
, với x > 0, x ≠ 1

x
−
1
x
+
2
x
+
1
x



a) Rút gọn M ( M =

2
)
x −1

b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên
3) Cho biểu thức: M =

2 x
x +3

x +1

+

x −3
3 x

a) Rút gọn biểu thức M ( M =

+

x −3

3 − 11 x
, với x ≥ 0, x ≠ 9
9−x

)

b) Tìm các số tự nhiên x để giá trị của M là số tự nhiên
4) Cho biểu thức: P =

x2 − x

−

2x + x

x + x +1
x
a) Rút gọn biểu thức P ( P = x − x + 1 )

b) Tìm x để biểu thức Q =

+

2( x − 1)
x −1

, với x> 0 và x ≠ 1

2 x
nhận giá trị là số nguyên
P

Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
9


Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức dạng:
k
thực hiện xét mẫu.
f (x)
f ( x)
+ P=
trong đó f(x) và g(x) cùng bậc thực hiện chia tử cho mẫu và xét mẫu.

g ( x)
f ( x)
+ P=
trong đó bậc f(x) > bậc g(x) dùng bất đằng thức Côsi
g ( x)

+ P=

+ P = ax2 + bx + c
Ví dụ:
VD1: P =

k
thực hiện xét mẫu.
f (x)

Cho biểu thức A =

x

+

x +3

2 x

−

3x + 9
, với x ≥ 0, x ≠ 9

x−9

x −3
3
a) Rút gọn biểu thức A ( A =
) b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
x +3
1
1
3
≤ ⇔
≤1⇔ A ≤1
Vì x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ⇔ x + 3 ≥ 3 ⇔ 0 ≤
x +3 3
x +3

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ). Vậy, maxA = 1 khi x = 0
VD2: P =

f ( x)
trong đó f(x) và g(x) cùng bậc thực hiện chia tử cho mẫu và xét mẫu.
g ( x)

Tìm GTNN của P =
VD3: P =

2 x +1
với x ≥ 0, x ≠ 1
x +1

f ( x)
trong đó bậc f(x) > bậc g(x) dùng bất đằng thức Côsi
g ( x)
 1

x 

x

:
+
1) Cho biểu thức P = 
 x + x , với x>0
x
x
+
1



a) Rút gọn biểu thức P ( P =
B=

x + x +1
x

Chỉ ra hai số

= x +1+
x và

1
x

x + x +1
x
1
x

)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B

.

dương

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số

x và

1
x

.

MinB = 3 khi x = 1
x+3
x −1 5 x − 2
+

và Q =
với x > 0, x ≠ 4
x −2
x−4
x +2
P
Tìm giá trị của x để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
Q

2) Cho hai biểu thức P =

Giải
Rút gọn ta được Q =

x
với x > 0, x ≠ 4
x −2
10


P
x+3
x
x+3
3
=
:
=
= x+

Q
x −2 x −2
x
x
3
>0
Vì x > 0 nên x > 0 và
x
3
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương x và
ta được:
x
3
x+
≥ 2 3.
x
P
≥ 2 3.
⇔
Q
3
Dấu ‘=’ xảy ra khi x =
⇔ x = 3 (t/m).
x
P
Vậy , khi x = 3 thì giá trị nhỏ nhất của
là 2 3 .
Q

VD 4: P = ax2 + bx + c

Cho biểu thức A = x − x + 1 với với x ≥ 0 . Tìm GTNN của A
1
2

2
A = x − x +1 = ( x − ) +

Giải:

3
4

1
( x − ) 2 ≥ 0 với mọi x≥ 0
2
1 2 3 3
⇔( x − ) + ≥ với mọi x≥ 0
2
4 4
3
⇔ A ≥ với mọi x≥ 0
4
1
1
Dấu “ = ” xảy ra khi x − = 0 ⇔ x = (t/m)
2
4
3
1
Vậy GTNN của A là khi x=

4
4

Vì

Bài toán 6: Tìm giá trị của tham số để có x thỏa mãn hệ thức cho trước.
HD: Đưa về giải và biện luận PT bậc nhất, bậc hai.


x   x +3

x +2

x +2



+
+
Ví dụ : P = 1 −
÷: 
÷
÷
x +1 ÷

  x − 2 3− x x −5 x + 6 

Tìm m để có các giá trị của x thỏa mãn P
Giải:
Rút gọn ta được P =

(

)

x + 1 = m ( x + 1) − 2

x −2
với x ≥ 0, x ≠ 4 và x ≠ 9
x +1
P

(

)

x + 1 = m ( x + 1) − 2

⇔ mx − x + m = 0

( *)

Nếu m = 0, PT (*) có dạng x = 0 ⇔ x = 0(t/ m)
Nếu m ≠ 0, PT (*) là PT bậc hai đối với x , có P = 1 > 0
PT (*) có nghiệm x thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4 và x ≠ 9

11


1

 1
1

− 2 ≤ m ≤ 2
1 − 4m 2 ≥ 0
0

2


 m > 0
 1 ≥ 0
2

⇔ m
⇔
⇔ m ≠
2
5
 4m − 2 + m ≠ 0
m ≠ 5

3



m ≠ 3
 m ≠ 10
9m − 3 + m ≠ 0



10
1

0
≤
m
≤

2

2

Vậy m ≠
thì có các giá trị của x thỏa mãn P
5

3

 m ≠ 10


(

)

x + 1 = m ( x + 1) − 2

Bài tập tự luyện



x + 1  9 x + 6

2 x



1

:

+
1. Cho biểu thức P = 1 −
  3 x + 1 − 3  , x ≥ 0; x ≠ 9
9
x
−
1
3
x
+
1

 


a) Rút gọn biểu thức P ( P =

x+ x

3 x −1

)

b) Cho m>1. Chứng minh rằng luôn có hai giá trị của x thỏa mãn P = m


1



1

x −1
, với x ≥ 0, x ≠ 1
2

+
.
2) Cho biểu thức M = 
x + 1
 x −1

a) Rút gọn biểu thức M ( M =

x
x +1

)

b) Tìm a để phương trình M = a có nghiệm.
3) Cho biểu thức

P=

15 x − 11
x+2 x −3

a) Rút gọn biểu thức P ( P =
b) Chứng minh rằng P ≤

+

3 x −2

1− x
2−5 x
x +3

−

2 x +3
x +3

, với x ≥ 0, x ≠ 1

)

2
3

c) Tìm m để có x thỏa mãn P( x + 3) = m
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Cho biểu thức A =

x +1
x −1 3 x +1
với x ≥ 0, x ≠ 1
+
−
x
−
1
x −1
x +1

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x = 9.
3) Tìm giá trị của x để A =

1
2

4) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
5) Tìm m để phương trình mA =

x − 2 có hai nghiệm phân biệt.
12

6) Tính các giá trị của x để A < 1
7) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1   x +1

−
÷.  2 − x ÷ với x ≥ 0; x ≠ 1
x +1 

 x −1


Bài 2: Cho biểu thức M = 

1) Rút gọn M
2) Tính giá trị của M khi:
a) x = 4
b) x = 3 + 2 2
c) x =

2
2+ 3

x
6
1
4) Tìm x để M <
2

3) Tìm x đề M =

5) Tìm x nguyên để M nguyên
6) So sánh M và 1
7) Tìm GTNN của M


1

x  

x



+
− 1÷
Bài 3: Cho biểu thức: A = 
÷
÷: 
÷ với x ≥ 0; x ≠ 1
 x −1 x −1   x −1 
1) Rút gọn A
2) Tính giá trị của M khi:

a) x =

1
4

b) x = 6 + 2 5 − 6 − 2 5

c) x − 1 = 4
4
3
3
4) Tìm x để A<
2

3) Tìm x đề A =

5) Tìm x nguyên để A nguyên
6) Chứng minh rằng: A ≥

1
2

7) Tìm GTNN của A
Bài 4: Cho biểu thức P =

x+2
x +1
1
+
−
x x −1 x + x +1
x −1

1) Rút gọn P
2) Tính giá trị của P với
3) So sánh P với

1
3

Bài 5: Cho biểu thức Q =
1) Rút gọn Q

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
x + 2 x − 3 1− x
x +3

13


2) Tìm x để Q =

1
2

3) Tìm giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên

2
3
 3
x −3  x + 2
x 
−
−
Bài 6: Cho biểu thức B = 

÷: 
÷
x +2
 x −1 1− x   x + x + 2
4) Chứng minh rằng Q ≤

1) Rút gọn biểu thức B

2) Tính giá trị của biểu thức B khi x =

8
8
−
5 −1
5 +1

1
, hãy so sánh B và B
9


x
x +1 2 x + 7   3 − x
−
−
+ 1÷
Bài 7: Cho biểu thức M = 
÷: 
x−4   x −2 
x +2

 x −2
3) Với 0 ≤ x <

1) Rút gọn biểu thức M
2) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9 − 4 5
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của M



Bài 8: Cho biểu thức N =  1 −



x   x +3
x +2
x +2 
+
+
÷: 
÷
x +1  x − 2 3 − x x − 5 x + 6 

1) Rút gọn biểu thức N
2) Tính các giá trị của x để N < 0
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của N
Bài 9: Cho hai biểu thức A =
1) Chứng minh B =

7
x

2 x − 24
và B =
+
x +8
x −9
x −3

x +8
x +3

2) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên

(

)

 x x −1 x x +1  2 x − 2 x +1
−
÷:
x −1
x
−
x
x
+
x



Bài 10: Cho biểu thức A = 

1) Rút gọn A
2) Tìm x để A < 0
3) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
Bài 11: Cho biểu thức


x
4 x −3  x +2
x −4
P=
+
−
÷: 
÷
x
x −2
 x −2 2 x −x 
1) Rút gọn P
2) Tìm các giá trị của x để P > 0
3) Tính giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức
14



 2x + 1
 1 + x2
x
C=

−
−
x

÷
÷
2
÷
x
+
x
+
1
1
+
x
 x −1


1) Rút gọn C
2) Tính giá trị của biểu thức C khi x = 8 − 2 7
3) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng – 3

4) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn −

1
3

5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn 2 x + 3
1− x

Bài 13: Cho biểu thức A =
1+ x
1) Khi x = 6 − 2 5, tính giá trị biểu thức A
 15 − x
2  x +1
+
2) Rút gọn biểu thức B = 
÷:
x +5 x −5
 x − 25
3) Tìm x để biểu thức M = B − A nhận giá trị nguyên.
Bài 14:

x +1
với x = 7 + 4 3
x −2
3
x
1− x
x +4
2) Cho biểu thức B =
+
−
. Chứng minh rằng B =
2− x
x +1
x −2 x− x −2
B
3) Tìm x để P = < −1
A

x+2
x
3
x −3
Bài 15: Cho hai biểu thức A =
và B =
−
−
x+ x −2
x +2
x −1 x −1
1) Tính giá trị của biểu thức A =

1) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A
2) Tìm các giá trị của x để B = 1

B x
= m có nghiệm.
A
1 
x
 x +3
+
:
Bài 16: Cho biểu thức B = 
với x > 0, x ≠ 9
÷
x +3 x −3
 x −9
3) Tìm m để

1) Tính giá trị của B khi x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2
1
2) Chứng minh B >
3
2 x
x + 1 3 − 11 x
x −3
+
+
; B=
9−x
x +1
x +3
x −3
1) Tính giá trị B tại x = 36
2) Rút gọn A
3) Tìm số nguyên P để P = A.B là số nguyên.

Bài 17: Cho biểu thức A =

Bài 18: Cho biểu thức B =

2
với x ≥ 0, x ≠ 4. Tìm x để B = 2
x −2
15


x

1
với x ≥ 0, x ≠ 4.
+
x−4
x −2

1) Cho biểu thức A =
2) Tính P =

B
A

3) Tìm x thỏa mãn P

(

)

x + 1 − x + 2 x − 1 = 2x − 2 2x + 4

6
2 x
2
−
và Q =
x −3 x
x −9
x +3
1) Tính giá trị Q tại x = 121
2) Rút gọn P

Q 2 x +1
3) Tìm giá trị của x để A = =
P
2
2
4) So sánh A và A
2 x + x
1  
x +2 
 : 1 −

−
Bài 20: Cho biểu thức P= 
 

x
x
−
1
x
−
1
x
+
x
+
1

 


1) Rút gọn P
2) Tính P khi x= 5 + 2 3
 2a + a − 1 2a a − a + a  a − a
.
−
Bài 21: Cho biểu thức:P= 1 + 
 2 a −1
1
−
a
1
−
a
a



Bài 19: Cho biểu thức P =

1) Rút gọn P
2) Cho P=

6
1+ 6

, tìm giá trị của a?
2
3
a2 + a

3) Chứng minh rằng P >
Bài 22: Cho biểu thức :P=

a − a +1

1) Rút gọn P
2) Biết a >1 Hãy so sánh P với
3) Tìm a để P=2
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

−

2a + a
+1
a

P

(

)

 ( a − 1). a − b
3 a
3a
1
:
−
+
a − b  2a + 2 ab + 2b

 a + ab + b a a − b b


Bài 23: Cho biểu thức:P= 

1) Rút gọn P
2) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
1
1   a +1
a + 2

−
−
 : 
a   a −2
a − 1 
 a −1


Bài 24: Cho biểu thức: P= 
1) Rút gọn P

2) Tìm giá trị của a để P >

1
6

 x− x +7
1   x +2
x −2 2 x 

+
: 
−
−
÷
÷
÷
x −2  x −2
x +2 x−4÷
 x−4


Bài 25: Cho A= 
1) Rút gọn A.

16

với x > 0 , x ≠ 4.


2) So sánh A với

1
A

(

)

 x x − 1 x x + 1 2 x − 2 x + 1

.
−
:
÷
÷
x−1
 x− x x+ x 

Bài 26: Cho biểu thức: A = 

1) Rút gọn A.
2) Tìm x để A < 0.
3) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.


a   1
2 a
−
Bài 27: Cho biểu thức P = 1 +
÷: 
÷
 a +1  a −1 a a + a − a −1
1) Rút gọn P
2) Tìm a sao cho P > 1
3) Cho a = 19 − 8 3 . Tính P
Bài 28: Cho biểu thức P =

x x + 26 x − 19 2 x
x −3
−

+
x +2 x −3
x −1
x +3

1) Rút gọn P
2) Tính giá trị của P khi x = 7 − 4 3
3) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất.
2+ x
x
4x + 2 x − 4   2
x +3 
+
−
−
Bài 29: Cho biểu thức P = 
÷: 
÷
x−4
2− x 2+ x
 2− x 2 x −x
1) Rút gọn P
2) Tìm các giá trị của x để P > 0
3) Tìm các giá trị của x để P = - 1
4) Với giá trị nào của x thì P > P

 x −1
1
8 x   3 x −2
−

+
Bài 30: Cho biểu thức P = 
÷: 1 −
÷
9x
−
1
3
x
−
1
3
x
+
1
3 x +1 

 
1) Rút gọn P
2) Tìm các giá trị của x để P =

6
5


2 x
1  
x 
−
Bài 31: Cho biểu thức P = 

÷: 1 +
÷
x −1  x +1
 x x − x + x −1
1) Rút gọn P
2) Tìm các giá trị của x để P < 0

x   x +3
x +2
x +2 
+
+
Bài 32: Cho biểu thức P =  1 −
÷: 
÷
x +1  x − 2 3 − x x − 5 x + 6 

1) Rút gọn P
2) Tìm các giá trị của x để P < 0
3) Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn P
 1

x 

x

:
+
Bài 33: Cho biểu thức: P = 
 x+ x

x
x
+
1


1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)

17

(

)

x + 1 = m(x + 1) − 2


2. Tính giá trị của P khi x = 4
3. Tính giá trị của P khi x = 6 − 2 5
13
3
1
5. Tìm Max của
P

4. Tìm x để P =



x + x + 2   x +1 x − 3 + x 

:

−
1 − x  
x
x − x 

x

+
Bài 34: Cho biểu thức: P = 
 x +1
1. Rút gọn P
2. Tìm x để P = -1

3. Tìm x để P < −

1
2

4. Tính giá trị của P biết x = 4 + 2 3


x +1

x +1 x + 2 x +1

x +1

:

−
−
Bài 35: Cho biểu thức: P = 

1
−
x
2
x
−
2
2
x
+
2


1. Rút gọn P

2. Tìm x để P =

x+ x

1
2



5 x −4 2+ x

1

:
+
Bài 36: Cho biểu thức: P = 
 
x
−
2
2
x
−
x
x

 
1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)

x 

x − 2 

−

8

2. Tính giá trị của P biết x =

3+ 5
3+ 5

3. Tính giá trị của P biết x =
2
4. Tìm m để có x thoả mãn P = mx x − 2mx + 1

1   x −1 1− x 

 : 
+
Bài 37: Cho biểu thức: P =  x −

x
x
x
+
x

 


1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)
2

2. Tính giá trị của P biết x =

2+ 3
3. Tìm giá trị của x thoả mãn: P x = 6 x − 3 − x − 4

4. Chứng minh P > 3


x −4

  x +2

3

:
−
Bài 38: Cho biểu thức: P = 
 
x
(
x
−
2
)
2
−
x

 
1. Rút gọn P

2. Tính giá trị của P biết x =

3+ 5
2

(

x

)

−

x 

x − 2 

3. Tìm các giá trị của n để có x thoả mãn x + 1 P > x + n
4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = P x
Bài 39: Cho biểu thức: P =

x
x −1

+

3
x +1

−

6 x −4
x −1

1. Rút gọn P
18

2. Tìm x để P <

1
2

3. Tìm x để 2P < 1
4. Tìm x để P < 0
5. Tìm x để P = −

1
3

6. Tìm min của P
7. Tìm x để P = − x
8. Với x > 1 hãy so sánh P và
 2 x

x

−
−
Bài 40: Cho biểu thức: P = 
 x +3 3− x
1. Rút gọn P
2. Tìm x để P < 0

3x − 6 x + 9 
3
:


x −9
 x −2

1
2
1
4. Tìm x để P <
2

3. Tìm x để P =

5. Tính giá trị của P khi x = 6 − 2 5
Bài 41: Cho biểu thức: P =

x +2
1+ x + x

−

2

−

2x + 4

x −1 1− x x

1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)
2. Tính giá trị của P biết x = 4 − 2 3

3. Chứng minh 3P < 1
4. Tìm giá trị min của P
 2x + 1

1

 

a+2

a +1

x+3



+
 : 1 −

Bài 42: Cho biểu thức: P = 
 x x −1 1− x   x + x + 1
1. Rút gọn P
2. Tính giá trị của P biết x = 7 + 4 3
3. Tìm x để P < 0

4. Tìm x để P <

1
2

5. Tìm x để P = −

1
2

Bài 43: Cho biểu thức: P =

a a −1

+

+

1

a + a +1 1− a

1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)
2. Tính giá trị của P biết a = 7 − 4 3
3. Tìm a để P =

1
5

4. Chứng minh rằng với a > 0 và a ≠ 1 thì P <
 x+2

x

1

3
1



:
+
+
Bài 44: Cho biểu thức: P = 

 x x −1 x + x +1 1− x 
1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)
2. Chứng minh P > 0 với mọi x thuộc TXĐ

19

x −1
2


3. Tìm max của P
x +2

Bài 45: Cho biểu thức: P =

x +3

+

x

2− x

+

x + 2 x −8
x+ x −6

1. Rút gọn P
2. Tìm x để P < 1
3. Tìm x để P =

1
3

4. Tìm x để P >0
x x + 26 x − 19

Bài 45: Cho biểu thức: P =

x+2 x −3

−

2 x
x −1

x −3

+

x +3

1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)
2. Tính giá trị của P biết x = 7 − 4 3
3. Tìm min của P
 x +3
x +2
x +2 

: 
+
+
x + 1  x − 2 3 − x x − 5 x + 6 
1

Bài 46: Cho biểu thức: P =
1. Rút gọn P
2. Tìm x để P < 0
3. Tìm x để P = −

1
x −3

4. So sánh P với 1
5. Tìm Min của P
6. Tìm số m để có các giá trị của x thoả mãn: P( x + 1) + 2 = m( x + 1)
Bài 47: Cho biểu thức: P =

10 x + 2 x − 7
x+3 x −4

+

2 x
x +4

+

x
1− x

1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)
2. Chứng minh P > 1
3. Tìm min P
Bài 48: Cho biểu thức: P =

16 x − 4 x − 7
x+3 x −4

+

2 x
x +4

+

x
1− x

1. Rút gọn P

2. Chứng minh rằng P > -3
3. Tìm maxP
4. Tìm m để P thoả mãn: mP = x − 4


2 x

1

 

x 

 : 1 +

+
Bài 49: Cho biểu thức: P = 
 

x
+
1
x
x
−
x
+
x
−
1

1
−
x

 

1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)
2. Tìm x để P < 0


x

1



x +1

:
+
Bài 50. Cho biểu thức: P = 
 x + x +1
x
x
−
1
x
−
1



1. Rút gọn P (tìm điều kiện của x để P có nghĩa)
2.Tính giá trị của P khi x = 3 + 2 2 − 3 − 2 2
3. Tìm x để P = x
4. Với x > 1, hãy so sánh P với P

20