Ôn tập THPT 2019 hình học 12 bài 3

Câu 1: [2H1-3-2]
(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho hình trụ có bán kính đáy
bằng a và chiều cao bằng h . Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều nội tiếp
hình trụ đã cho.

3 a2h
.
4

4a 2  h 2 a 2
C. V   h2 
.


3
3  4 3
A. V 

B. V 

3 3 a2h
.
4

D. V 

3 3  a2h
.
4

Lời giải

Chọn B
B
H
A

O
a

C

h

B'

A'

C'

3
3
2CH
a 3.
Ta có tam giác đều ABC có đường cao CH  CO  a nên cạnh AC 
2
2
3

Suy ra SABC

a 3


4

2

3



3a 2 3
.
4

3 3 a2h
.
4
Câu 2: [2H1-3-2] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng
ABCD.ABCD có đáy là hình thoi, biết AA  4a , AC  2a , BD  a . Thể tích
của khối lăng trụ là
Lại có CC  h . Vậy thể tích khối lăng trụ cần tìm là V  SABC .CC  

A. 2a 3 .

B. 8a 3 .

C.
Lời giải

Chọn D

8a 3
.
3

D. 4a 3 .


Ta có S đ 

1
AC.BD  a 2 ; V  Sđ .AA  a2 .4a  4a3 .
2

Câu 3: [2H1-3-2] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Thể tích của khối lăng
trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:

a3 2
.
3
a3 3
.
4

A.

B.

a3 2
.
2

C.

a3 3
.
3

D.

Lời giải
Chọn D
Ta có V  Bh 

a2 3
a3 3
.
.a 
4
4

Câu 4: [2H1-3-2] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một khối lăng
trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3, cạnh bên bằng 2 3 và tạo với mặt phẳng
đáy một góc 30. Khi đó thể tích khối lăng trụ là?
A.

9
.
4

B.

27 3
.
4

C.

27
.
4

Lời giải
Chọn C

A

C
B

C

A
B

H

D.

9 3
.

4


Kẻ C H   ABC  tại H   CC;  ABC    CCH .
Bài ra  CC;  ABC    30  CCH  30

 sin 30 

CH 1
1
2 3
  CH  CC  
 3.
CC 2
2
2

1
1
3 27
Do đó VABC . ABC   C H .S ABC  CH . AB. AC.sin 60  3. .3.3.
 .
2
2
2
4
Câu 5: [2H1-3-2] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình hộp
ABCD.ABCD thể tích là V . Tính thể tích của tứ diện ACBD theo V .
V
V

V
V
A. .
B. .
C. .
D. .
6
5
4
3
Lời giải
Chọn D
A

D

B

C

A
B

VACB ' D '

D

C

Ta có ngay kết quả sau

 V  VB '. ABC  VC .B 'C ' D '  VD '. ACD  VA. A' B ' D '  .
Lưu ý

1
1 V
V V
VB '. ABC  VC .B 'C ' D '  VD '. ACD  VA. A ' B ' D '  VABC . A ' B 'C '  .  VACB ' D '  V  4.  .
3
3 2
6 3
Câu 6: [2H1-3-2] (SGD – HÀ TĨNH ) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1B1C1D1 có AB  4 ,

AD  5 , AA1  3 . Nối sáu tâm của sáu mặt của hình hộp trên tạo nên một khối tám
mặt. Thể tích của khối tám mặt đó bằng ?
A. 60 .

B. 30 .

C. 10 .

D. 20 .

Lời giải
Chọn C
Thể tích khối tám mặt bằng hai lần thể tích khối chóp G.IHFE (hình vẽ bên).

 IF  AD  5
Đáy IHFE là hình thoi có hai đường chéo 
 HE  AB  4

 S IHFE 

AA1 3
1
IF .HE  10 . Hình chóp G.IHFE có độ dài đường cao h 
 .
2
2
2

1
1 3
Vậy thể tích khối tám mặt cần tìm là: V  2. h.S  2. . .10  10 .
3
3 2

Câu 7: [2H1-3-2] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.ABCD có AB  2 cm , AD  3 cm , AA  7 cm . Tính thể tích khối hộp
ABCD.ABCD .
A. 12 cm3 .

B. 42 cm3 .

C. 24 cm3 .

D. 36

cm3 .

Lời giải
Chọn B

Ta có thể tích khối hộp là:

V  AB.AD.AA  2.3.7  42 cm3 .
Câu 8: [2H1-3-2] (SGD Bình Dương - HKI - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối lăng trụ đứng
ABC.ABC có CC  2a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC  a 2 .
Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V  a 3 .

B. V 

a3
.
2

C. V  2a 3 .
Lời giải

Chọn A
A

C
B

A

C
B

ABC là tam giác vuông cân tại B và AC  a 2 suy ra AB  AC  a .

D. V 

a3
.
3


SABC

1
a2
 AB.BC 
.
2
2

VABC . ABC  SABC .CC  

a2
.2a  a 3
2

Câu 9: [2H1-3-2]
(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho hình lăng trụ
đứng ABC.ABC , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O
a
của tam giác ABC đến mặt phẳng  ABC  bằng . Tính thể tích khối lăng trụ

6
ABC.ABC .
A.

3a 3 2
.
8

B.

3a 3 2
.
28

C.

3a 3 2
.
4

D.

3a 3 2
.
16

Lời giải
Chọn D
Diện tích đáy là B  SABC 

a2 3
.
4

Chiều cao là h  d   ABC  ;  ABC     AA .
Do tam giác ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác ABC . Gọi I
là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A lên AI ta có
AH   ABC   d  A;  ABC    AH

A'

C'
B'
H

K
A

C

O
B

d  O;  ABC  
d  A;  ABC  



I

d  A;  ABC   AH a
a
IO 1

  AH 
  d  O;  ABC   
2
3
3
6
IA 3

Xét tam giác AAI vuông tại A ta có:


1
1
1
1
1
1
a 3
a 3


 2 
 2  AA 
h
2
2

2
2
AH
AA
AA
AH
AI
AI
2 2
2 2

 VABC . ABC

3a3 2
.

16

Câu 10: [2H1-3-2] (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho khối
lăng trụ tam giác ABC.ABC có thể tích là V . Gọi I , J lần lượt là trung điểm hai
cạnh AA và BB . Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC bằng
A.

4
V.
5

B.

3

V.
4

C.

5
V.
6

D.

2
V.
3

Lời giải
Chọn D

B

A
C

J

I

A

K

B

C
Gọi K là trung điểm của CC thì hiển nhiên thể tích của khối lăng trụ ABCIJK
V
bằng VABCIJK  .
2
1
Thể tích của khối chóp tam giác C.IJK bằng VC . IJK  V .
3

Do đó thể tích của VABCIJC   VABCIJK  VC .IJK 

V V 5V 5
 
 V.
2 3
6
6

Trình bày lại
Gọi K là trung điểm của CC thì VABCIJK  VABC IJK 

V
.
2

1
V

Thể tích của khối chóp tam giác C.IJK bằng VC .IJK  VABC IJK  .
3
6

Do đó thể tích của VABCIJC   VABCIJK  VC .IJK 

V V 2V
 
.
2 6
3


Câu 11: [2H1-3-2] (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho khối lăng
trụ ABC.ABC có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa diện ABCBC .
A.

V
V
3V
2V
. B.
. C. . D. .
2
4
3
4

Lời giải
Chọn B

V V 2V
 
3 3
3
Câu 12: [2H1-3-2] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN)
Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng
 ABC tạo với mặt đáy góc 60 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC .

Ta có: VABCBC   VBABC  VC BAC 

A. V 

3a3 3
.
8

3a3 3
V
.
4
Chọn A

D. V 

B. V 

a3 3
.
8

Lời giải

a3 3
.
2

C.


 A' M  B 'C '
 B ' C '  AM nên
 AA '  B ' C '

Gọi M là trung điểm B ' C ' . Ta có 

góc giữa mặt phẳng  AB ' C ' tạo với đáy là góc AMA '  60 .
Tam giác AA ' M vuông tại A ' nên AA '  A ' M .tan 600 

3a
2

3a3 3
.
8
Cho lăng trụ đứng

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là V  AA '.S A' B 'C ' 
Câu 13: [2H1-3-2]

(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018)

ABC.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AC  a , ACB  60 góc giữa BC  và
 AAC  bằng 30 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.ABC .
A. V  a 3 6 .

V

B. V 

2a 3
.
6

C. V 

a3 3
.
6

D.

a3 6
.
2
Lời giải
Chọn A
C

B
a

A

B'

C'
A'

AB
 AB  AC.tan 60  a 3 .
AC
1
a2 3
 AB. AC 
.
2
2

Tam giác ABC vuông tại A , có tan ACB 
Tam giác ABC có diện tích là S ABC

 AB  AC
 AB   AAC C  . Do đó AC là hình chiếu của BC lên
Ta có 
 AB  AA
 AACC  .
  BC,  AAC     BC , AC    BC A  30 .
Tam giác

ACB vuông tại A , có cot AC B 

AC 
 AC  AB.cot 30
AB

 a 3. 3  3a .

Tam giác ACC vuông tại C , có CC  AC2  AC 2  9a 2  a 2  2a 2 .


a2 3
.2a 2  a 3 6 .
2
Câu 14: [2H1-3-2] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tính thể tích V của khối
lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a .
Thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC là V  S ABC .CC  

A. V 

V

a3 3
.
4

B. V 

a3 2
.
3

C. V 

a3 3
.
2

D.

a3 2
.
4
Lời giải
Chọn A

a2 3
a3 3
.
.a 
4
4
Câu 15: [2H1-3-2] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho lăng trụ tam giác đều
ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng 2a . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C .
Ta có: VABC . ABC  SABC . AA 

A. a 3 3 .

B.

a3 3
.

4

C.

a3 3
.
2

D.

2a 3 3 .

Lời giải
Chọn C
Ta có V  S ABC

 2a 
. AA 

2

4

3

.2a  2a3 3 .

Câu 16: [2H1-3-2] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Hình lập phương
ABCDABC D cạnh a . Tính thể tích khối tứ diện ACBD  .
A.

a3
.
3

B.

a3
.
2

C.

a3
.
6

D.

a3
.
4


Lời giải
Chọn A

A'

D'

C'

B'
D
A
B

C

Ta có VACBD  VABCD. ABCD  VB. ABC  VC .BCD  VD. ACD  VA. ABD  .
và
VABCD. ABCD  a3
1
1 1
1
VB. ABC  VC . BC D  VD. ACD  VA. ABD  . AA.S ABD  .a. a 2  a 3 .
3
3 2
6
3
4
a
Do đó VACBD  a 3  a 3  .
6
3
Câu 17: [2H1-3-2] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Các đường chéo của các
mặt một hình hộp chữ nhật bằng 5, 10, 13. Tính thể tích V của khối hộp chữ
nhật đó.
Mà

A. V  6 .

V

C. V  2 .

B. V  5 26 .

5 26
.
3
Lời giải
Chọn A

Giả sử AC  5, CD  10, AD  13.
Đặt AD  x, AB  y, AA  z  V  xyz.

 x 2  y 2  BD 2  5
 x2  4


Ta có  y 2  z 2  AB 2  10   y 2  1  V  xyz  6.
 z 2  x 2  AD 2  13
z2  9



D.

Câu 18: [2H1-3-2] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ tam
giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a và AB  BC . Tính thể tích V của khối
lăng trụ đã cho.
A. V 

V

7a3
.
8

B. V  a 3 6 .

C. V 

a3 6
.
8

D.

a3 6
.
4
Lời giải

Chọn C

Gọi E là điểm đối xứng của C qua điểm B . Khi đó tam giác ACE vuông tại A .

 AE  4a 2  a 2  a 3 .
Mặt khác, ta có BC  BE  AB nên tam giác ABE vuông cân tại B  .
 AB 

AE a 3 a 6
.


2
2
2
2

a 6
a 2
2
Suy ra: AA  
.
  a 
2
 2 

a 2 a 2 3 a3 6
.
.

2
4
8
Câu 19: [2H1-3-2] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hình hộp chữ nhật

Vậy V 

ABCD.A B C D có diện tích các mặt ABCD , BCC B , CDDC lần lượt là 2a 2 ,
3a 2 , 6a 2 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.ABCD .

A. 36a3 .

B. 6a 3 .

C. 36a 6 .
Lời giải

Chọn B
B

C
D

A

C'

B'
A'

D'

D. 6a 2 .

Ta có
S ABCD  2a 2  AB.BC  2a 2 1
S BCC  B  3a 2  BC.BB  3a 2  2 
SCDDC   6a 2  CD.CC  6a 2  AB.BB  6a 2  3

Nhân vế theo vế 1 ,  2  ,  3 ta được  AB.BC.BB

2  36a 6

 AB.BC.BB  6a3 .

VABCD. A BC  D  AB.BC.BB  6a 3 .

Câu 20: [2H1-3-2] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hình lăng trụ đứng
ABC.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB  AA  a , AC  2a . Tính thể tích
khối lăng trụ đã cho.
A.

a3
.
3

B.

2a 3
.
3

C. a 3 .

D. 2a3 .

Lời giải
Chọn C
B

C

A

C'

B'

A'

Lăng trụ đứng ABC.ABC  AA   ABC  .
Ta có V  Bh 

1
1
AB. AC . AA  a.2a.a  a 3 .
2
2

Câu 21: [2H1-3-2] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho lăng trụ ABC.ABC
có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , biết AA  AB  AC  a . Tính thể tích
khối lăng trụ ABC.ABC ?
A.

3a3
.
4

B.

a3 2
.
4

C.
Lời giải

Chọn B

a3 3
.
4

D.

a3
.
4


A'

B'

C

A
H

B

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Theo giả thiết ta có ABC là tam giác đều
cạnh bằng a và AA  AB  AC  a nên A.ABC là tứ diện đều cạnh a 
AH   ABC  hay AH là đường cao của khối chóp A.ABC .
Xét tam giác vuông AHA ta có AH  AA2  AH 2 

Diện tích tam giác ABC là S ABC

a 6
.
3

1
a2 3
 a.a.sin 60 
.
2
4

Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC là VABC. ABC 

a 2 3 a 6 a3 2
.


4
4
3

Câu 22: [2H1-3-2] (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Nếu tăng kích thước
của một khối hộp chữ nhật lên 3 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?
A. 27 lần

C. 18 lần

B. 9 lần

D. 3 lần

Lời giải
Chọn A
Gọi a , b , c ( a  0 , b  0 , c  0 ) là kích thước ban đầu của khối hộp chữ nhật.
Khi tăng kích thước kích thước lên 3 lần ta được độ dài ba cạnh là 3a , 3b , 3c .
Gọi V và V  lần lượt là kích thước ban đầu của khối hộp chữ nhật và kích thước
sau khi tăng lên 3 lần; khi đó: V   3a.3b.3c  27abc  27V .
Câu 23: [2H1-3-2] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Lăng trụ đứng ABC.ABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . Biết AC  a 2 , AA  2a . Khi đó thể
tích của lăng trụ đó bằng.
A. a 3

a3
B.
3

C. 4a 3

Lời giải

4a 3
D.
3


Chọn A
C'

A'
B'

A

C
B

Ta có AB 2  BC 2  AC 2  2 AB 2  2a 2  AB  a .

1
1
VABC . ABC   S ABC . AA' = AB 2 . AA' = .a 2 .2a  a 3 .
2
2
Câu 24: [2H1-3-2] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một hình lập
phương có cạnh 4 cm . Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình
lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành
64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm . Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một
mặt được sơn đỏ?

A. 16 .

B. 72 .

C. 24 .

D. 96 .

Lời giải
Chọn C
Mỗi mặt có 4 hình được sơn một mặt. Vậy, có: 6.4  24 (hình).
Câu 25: [2H1-3-2] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
hình lập phương ABCD. ABCD cạnh a . Các điểm M , N , P theo thứ tự đó
a
thuộc các cạnh BB , CD , DA sao cho BM  C ' N  DP  . Mặt phẳng ( MNP )
3
cắt đường thẳng A ' B ' tại E. Tính độ dài đoạn thẳng A ' E.
A. A ' E  5a 3 .
B. A ' E  3a 4 .
C.

A ' E  5a 4 .

D. A ' E  4a 3. .
Lời giải

Chọn A


E

B'

C'
N

D'

A'
M

H
K
A

C

B
P

D

a
.
3
Nhận xét KP//BD và MH //BD nên KP// MH , suy ra 4 điểm M , K , P, H đồng
phẳng.
Tương tự : MK //AB , DC//AB ; DC//HN nên MK //HN suy ra 4 điểm
M , K , H , N đồng phẳng.
Lấy H , K thuộc đoạn DD  , AB sao cho DH  BK 

Vậy mặt phẳng  MNP  chứa các điểm H , K đồng thời mặt phẳng  MNP  song
song với mặt phẳng  BDC . Suy ra mặt phẳng  MNP  song song với BD .
Xét mặt phẳng  ABC D , qua N kẻ NE //BD cắt AB tại E là điểm thỏa mãn
yêu cầu bài toán.

2a
5a
suy ra AE  AB  BE 
.
3
3
Câu 26: [2H1-3-2] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một
công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình
vuông, chứa được thể tích thực là 180ml. Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu
để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất?
Ta có BEDN là hình bình hành nên B E 

 cm  .
 cm  .

A. 3 1802
3

180

B.

3

360  cm  .

Lời giải
Chọn D

C.

3

720  cm  .

D.


h

x
x

Gọi x là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao của hình hộp.
180
Theo bài ra ta có: x 2 h  180  h  2 .
x
Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất khi diện tích toàn phần S nhỏ
nhất.
S  2 x 2  4 xh  2 x 2  4 x.

360 360
720
180
 2x 2 

S  2x2 

2
x
x
x
x

 360  360 
3
2
 3 3 2x2 

  3 2.360 .
x
x



Dấu bằng xảy ra khi: 2 x 2 

360
 x 3  180  x  3 180 . Khi đó
x

h  3 180 .
Câu 27: [2H1-3-2] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a . Các điểm M , N , P theo thứ tự đó
a
thuộc các cạnh BB ', C ' D ', DA sao cho BM  C ' N  DP  . Tìm diện tích thiết

3
diện S của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) .
A. S 

S

17 3a 2
.
18

B. S 

5 3a 2
.
18

11 3a 2
.
18
Lời giải

Chọn D

C. S 

13 3a 2
.
18

D.

A'

D'

N
E

B'

C'
F

P

A

M

D

Q

B

C

BM MB BB



 1 , do đó theo định lý ta-let trong không gian thì BC ,
C N ND C D
MN , BD lần lượt cùng song song với một mặt phẳng. Mà BD//  BC D  và

Ta có

BC    BC D  nên ta có MN //  BC D  . Chứng minh tương tự ta có NP //  BCD  .
Do đó  MNP  //  BC D  .
Qua P , kẻ PQ //BD, Q  AB . Qua N , kẻ NF //CD, F  DD .
Qua M , kẻ ME //BC, E  BC  .
Khi đó ta có thiết diện tạo bởi mặt phẳng  MNP  với hình lập phương là lục giác
MENFPQ .

Dễ thấy EN  PF  MQ 

2a 2
a 2
, NF  PQ  ME 
và tam giác BCD là
3
3

tam giác đều vì BC  BD  DC  a 2 . Do đó

ENF  NFP  FPQ  PQM  QME  MEN  60
Suy ra: EF 2  EN 2  NF 2  2.EN .NF .cos 60 
Tương tự thì FQ  QE 

2 2

a 6
a  EF 
.
3
3

a 6
.
3

1 2a 2 a 2 3
3 2a 2 5 3 2
Ta có SMENFPQ  3.SENF  SEFQ  3. .

.
.

a .
.
2 3
18
3
2
4 3
Câu 28: [2H1-3-2] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Cho hình lăng
trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa đường thẳng AB và
mặt phẳng  ABC  bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC .
A.

a3 3

.
24

B.

a3 3
.
4

C.
Lời giải

a3 3
.
6

D.

a3 3
.
12


Chọn B

Theo giả thiết, ta có AA   ABC   BA là hình chiếu vuông góc của AB trên

 ABC 
 Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  ABC  là ABA  45
Do ABA vuông cân tại A  AA  AB  a

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC .là V 

a3 3
.
4

Câu 29: [2H1-3-2](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng
ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB  a và AA  a 3 . Thể
tích khối lăng trụ ABC.ABC bằng
A.

3a3 3
.
2

B. 3a 3 3 .

C.
Lời giải

Chọn C

a3 3
.
2

D.

a3 3
.

6


C'

A'
B'

A

C
B

Thể tích khối lăng trụ là VABC . ABC  S ABC . AA 

1
a3 3
AB 2 . AA 
.
2
2

Câu 30: [2H1-3-2](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Cho hình hộp đứng
ABCD.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , góc giữa mặt phẳng  DAB  và mặt
phẳng  ABCD  bằng 30 . Thể tích khối hộp ABCD.ABCD bằng
A.

a3 3
.
18

B. a 3 3 .

C.

a3 3
.
3

D.

a3 3
.
9

Lời giải
Chọn B

Ta có  ADDA    AB  nên góc giữa mặt phẳng  DAB  và mặt phẳng  ABCD  là
góc AD và AA hay AAD  30 . Suy ra AA 
VABCD. ABC D  a3 3 .

AD
 a 3 . Vậy thể tích hộp
tan 30


Câu 31: [2H1-3-2] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Cho hình lăng
trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt phẳng  ABC  và
mặt phẳng  ABC  bằng 45 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC bằng

A.

a3 3
.
2

B.

3a 3
.
8

C.

a3 3
.
8

D.

a3 3
.
4

Lời giải
Chọn B

Gọi M là trung điểm BC  AM  BC  BC   AMA   BC  MA
Ta có  ABC    ABC   BC , AM  BC , BC  MA


 ABC  ,  ABC    AM , AM   AMA  45  AM  AA  a 23 .

a 3 a 2 3 3a3
.
.

2
4
8
Câu 32: [2H1-3-2] (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.ABCD có thể tích bằng 2018 . Biết M , N , P lần
lượt nằm trên các cạnh AA, DD, CC  sao cho AM  MA, DN  3ND, CP  2 PC  .
Thể tích khối lăng trụ V  AA.S ABC 

Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa
diện nhỏ hơn bằng
A.

Chọn A

5045
.
6

B.

5045
.
12

Lời giải

C.

7063
.
6

D.

5045
.
9


B

C
O
Q

A

D
P
I

M

C'

B'

N
O'

A'

D'

Gọi O là giao của AC , BD ; O là giao của AC , BD .
Gọi I là giao của MP, OO ; Q là giao của IN và BB .
Do đó thiết diện của khối hộp chữ nhật và  MNP  .
Ta tính thể tích phần phía trên.
Ta có: VADC . ADC   VABC . ABC   1009 .

1  AM DN CP 
23207
.
VADC.MNP  


.VADC. ADC 

3  AA DD CC 
36
Do

AM CP
OI

DN BQ
BQ 5

2



 .
AA CC 
OO DD BB
BB 12

1  AM BQ CP 
19171
Do đó VABC .MQP  
.


.VABC . ABC 

3  AA BB CC  
36
Vậy thể tích phần trên là V1 

5045
7063
 1009 nên thể tích phần nhỏ hơn là
.
6
6

Câu 33: [2H1-3-2] (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy là hình vuông có thể tích là V . Để
diện tích toàn phần của lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ bằng:
A. V .

B. 3 V 2 .
Lời giải

Chọn C

C. 3 V .

D.

3

V
.
2


A

B

C

D

B'

A'

D'

C'

Gọi cạnh đáy của lăng trụ là x, x  0 .
Thể tích khối lăng trụ là: V  AA.x 2  AA 

V
.
x2

Các mặt bên của khối lăng trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.
Diện tích toàn phần của lăng trụ là: Stp  2 x 2  4 x. AA  2 x 2 

4V
.
x

2V 2V

 3 3 8V 2  6 3 V 2 . Do đó diện tích toàn phần của lăng
x
x
2V
 x3  V  x  3 V .
trụ nhỏ nhất là 6 3 V 2 khi 2 x 2 

x

Ta có: Stp  2 x 2 

Câu 34: [2H1-3-2] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối lăng
trụ đứng ABC.ABC có BB  a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và

AC  a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V 

a3
.
3

B. V  a 3 .

C. V 
Lời giải

Chọn D
A'

C'

B'

A

C

B

Ta có AC  a 2  BA  BC  a  VABC . ABC  

a3
.
2

a3
.
6

D. V 

a3
.
2


Câu 35: [2H1-3-2] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Trong hình
lăng trụ đứng ABC.ABC có AB  AA  a , BC  2a , AC  a 5 . Khẳng định nào
sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  có số đo bằng 45 .
B. Hai mặt phẳng  AAB ' B  và  BBC  vuông góc với nhau.
C. AC  2a 2 .
D. Đáy ABC là tam giác vuông.
Lời giải
Chọn C
A'

C'

B'

A

C

B

Xét tam giác ABC có AB 2  BC 2  a 2   2a   5a 2  AC 2  tam giác
2

ABC vuông tại B .
 Đáp án D đúng.
Do ABC.ABC là lăng trụ đứng và tam giác ABC vuông tại B nên
AB   BBC    AAB ' B    BBC   Đáp án B đúng.
Do ABC.ABC là lăng trụ đứng và tam giác ABC vuông tại B nên

 ABC  ,  ABC     AB, AB   ABA  45  Đáp án A đúng.
Xét tam giác vuông AAC ta có AC  AA2  AC 2  a 2  5a 2
 a 6  Đáp án C sai.
Câu 36: [2H1-3-2] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên bằng AA  3a
và đường chéo AC  5a . Tính thể tích khối hộp này.

A. V  4a 3 .
.

B. V  24a 3 .

Lời giải.

Chọn B

C. V  12a 3 .

D. V  8a 3


Ta có AC   AC 2  AA2 

 5a    3a 
2

2

 4a .

suy ra AC  4a  2. AB  AB  2 2.a .





2

VABCD. A ' BC D  S ABCD . AA  2 2a .3a  24a3 .

Câu 37: [2H1-3-2] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho hình lăng trụ ABC.ABC biết A.ABC là tứ diện đều cạnh cạnh bằng a . Tính

thể tích khối ABCCB .
A. V 

V

a3
.
2

B. V 

2a3
.
6

3a3
3
Lời giải.

Chọn B

C. V 

2a3
.
12

D.

B'

A'

C'

a

A

B

H

C
Ta có VABCC B  VABC . ABC   VA. ABC
2
2
2 a 2 3 a 6 a3 2
 VABCC B  .VABC . ABC   .S ABC . AH  .
.
.

3
3
3 4
3
6
Câu 38: [2H1-3-2] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối
lăng trụ đứng ABC.ABC có BB  a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và

AC  a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
a3
A. V  .
6

a3
B. V  .
3

a3
C. V  .
2

Lời giải
Chọn C

Ta có: ABC vuông cân tại B và AC  a 2 .

SAO  a .

D. V  a 3 .