Ôn tập THPT 2019 hình học 12 chương 1 bài 5

Câu 1: [2H1-5-2] (THPT Chuyên Lào Cai) Một hình chóp tứ giác đều có tổng độ dài của
đường cao và bốn cạnh đáy là 33 . Hỏi độ dài cạnh bên ngắn nhất là bao nhiêu?
A.

33
.
17

B.

C. 11 3 .

33 .

D.

33
.
2

Lời giải
Chọn B
Gọi độ dài cạnh đáy là x , đường cao là h , cạnh bên là y
Ta có 4 x  h  33  h  33  4 x(0  x 

Độ dài cạnh bên là y 

33
).
4

x2
x2
2
 h2  y 
  33  4 x 
2
2

Độ dài cạnh bên nhỏ nhất khi hàm số:
f ( x) 

x2
33
  33  4 x  (0  x  ) đạt giá trị nhỏ nhất.
2
4

Khảo sát hàm số f ( x ) ta có: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại x  8
Vậy cạnh bên nhỏ nhất bằng

33 khi cạnh đáy x  8 .

Câu 2: [2H1-5-2] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có độ dài đường chéo
AC   18 Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất
Smax của S .

A. Smax  36 3 .

B. Smax  18 3 .

C. Smax  18 .

Smax  36.

Lời giải
Chọn D
Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Khi đó Stp  2  ab  bc  ca  .
Theo giả thiết ta có a 2  b 2  c 2  AC 2  18.
Từ bất đẳng thức a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca , suy ra

Stp  2  ab  bc  ca   2.18  36
Dấu ''  '' xảy ra  a  b  c  6 .

D.


Câu 3: [2H1-5-2] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , AB  2 .
Cạnh bên SA  1 và vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC  . Tính thể tích lớn nhất
Vmax của khối chóp đã cho.
1
A. Vmax  .
3
1
Vmax  .
6

B. Vmax 

1

.
4

C. Vmax 

1
.
12

D.

Lời giải
Chọn A
S

B

A

C

Đặt AC  x  0.
Suy ra CB  AB 2  CA2  4  x 2 .
Diện tích tam giác SABC 

1
x 4  x2
AC.CB 
.
2

2





1  x2  4  x2  1
1
1
Khi đó VS . ABC  S ABC .SA  x 4  x 2  
 .
3
6
6
2
 3

Câu 4: [2H1-5-2] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB  1.
Các cạnh bên SA  SB  SC  2. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
5
A. Vmax  .
8
4
Vmax  .
3

B. Vmax 

5
.

4

C. Vmax 

Lời giải
Chọn A

2
.
3

D.


S

C

B
I
A

Gọi I là trung điểm của BC. Suy ra IA  IB  IC 
 I là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Theo giả thiết, ta có SA  SB  SC suy ra I là hình chiếu của
 SI   ABC  .
S trên mặt phẳng  ABC  
Đặt AC  x  0. Suy ra BC  AB 2  AC 2  x 2  1.
Tam giác vuông SBI , có SI  SB 2  BI 2 
Diện tích tam giác vuông S ABC 

15  x 2
.
2

1
x
AB. AC  .
2
2

1
1 x 15  x 2
Khi đó VS . ABC  SABC .SI  . .
3
3 2
2






1
1 x 2  15  x 2 5
x 15  x 2  .
 ..
12
12
2

8

Câu 5: [2H1-5-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB  4, SC  6 và mặt bên  SAD  là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax 
Vmax 

40
.
3

B. Vmax  40 .

80
.
3

Lời giải
Chọn D

C. Vmax  80 .

D.


S

A

B

H
C

D

Gọi H là trung điểm của AD  SH  AD.
Mà  SAD    ABCD   SH   ABCD  .
Giả sử AD  x  0 . Suy ra HC  HD2  CD 2 

x2
 16.
4

Tam giác vuông SHC , có SH  SC 2  HC 2  20 

x2
.
4

1
1
Khi đó VS . ABCD  S ABCD .SH  AB. AD.SH
3
3





1
x2 1
1
80
 .4.x 20 
 2 x 80  x 2   x 2  80  x 2   .
3
4 3
3
3





Câu 6: [2H1-5-2] Cho hình chóp S.ABC có SA  x 0  x  3 , tất cả các cạnh còn lại
đều bằng 1 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax 

1
B. Vmax  .
8

1
.
4

C. Vmax 
.

Vmax 

1
.
16

Lời giải
Chọn B
S
x
C

A
H
B

N

1
.
12

D.
.


Ta có tam giác ABC và SBC là những tam giác đều cạnh bằng 1 .
Gọi N là trung điểm BC . Trong tam giác SAN , kẻ SH  AN . 1
Ta có

● SN là đường cao của tam giác đều SBC 
 SN 

3
.
2

 BC  AN
●

 BC   SAN  
 BC  SH .  2 
 BC  SN
Từ 1 và  2  , suy ra SH   ABC  .
Diện tích tam giác đều ABC là SABC 

3
.
4

1
1
1 3 3 1
Khi đó VS . ABC  S ABC .SH  SABC .SN  . .
 .
3
3
3 4 2 8

Dấu ''  '' xảy ra  H  N .

Câu 7: [2H1-5-2] (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh

AB  x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD
đạt giá trị lớn nhất.
C. x  2 3 .

B. x  6 .

A. x  3 2 .

x  14.
Lời giải
Chọn A
A
x
C

B
H

N

D

Cách làm tương tự như bài trên.
Tam giác BCD đều cạnh bằng 2 3  BN  3.
VABCD lớn nhất H  N . Khi đó ANB vuông.

Trong tam giác vuông cân ANB , có AB  BN 2  3. 2. .

D.


Câu 8: [2H1-5-2] Trên ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các
điểm A, B, C sao cho OA  a, OB  b, OC  c. Giả sử A cố định còn B, C thay
đổi nhưng luôn luôn thỏa OA  OB  OC. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối tứ
diện OABC.
a3
A. Vmax  .
6

B. Vmax 

a3
.
8

C. Vmax 

a3
.
24

.
Vmax 

D.
.

a3

.
32

Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta có a  b  c.
Do OA, OB, OC vuông góc từng đôi nên

1
1
1 bc
a3
 abc  a.  bc   a. 

.

6
6
6  2  24
2

VOABC

Dấu ''  '' xảy ra  b  c 

a
.
2

Câu 9: [2H1-5-2] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là một hình

vuông. Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32. Tính thể tích lớn
nhất Vmax của khối hộp đã cho.
A. Vmax 

Vmax 

56 3
.
9

B. Vmax 

80 3
.
9

C. Vmax 

70 3
.
9

D.

64 3
.
9
Lời giải

Chọn D

Đặt a là độ dài cạnh của hình vuông đáy, b là chiều cao của khối hộp với
a, b  0.
Theo giả thiết ta có

1  16

2a 2  4ab  32  2a  a  2b   32  a  a  2b   16  b    a  .
2 a


Do b  0 

16
 a  0  a  4.
a

1  16
1

Khi đó thể tích của khối hộp V  a 2 .   a    a3  8a .
2 a
2



1
 4  64 3
Xét hàm f  a    a 3  8a trên  0; 4  , ta được max f  a   f 
  9 ..
 0;4

2
 3

Câu 10: [2H1-5-2] Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vuông
góc với mặt phẳng  OAB  lấy điểm M sao cho OM  x . Gọi E , F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF và d .
Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.
A. x  a 2 .

x

B. x 

a 2
.
2

C. x 

a 6
.
12

a 3
.
2
Lời giải

Chọn B
M

A

O

E
F
B

N

a
Do tam giác OAB đều cạnh a  F là trung điểm OB  OF  .
2

 AF  OB
Ta có 
 AF   MOB   AF  MB.
 AF  MO
Mặt khác, MB  AE .
Suy ra MB   AEF   MB  EF .
Suy ra OBM ∽ ONF nên

OB ON
OB.OF a 2

 ON 

.
OM OF

OM
2x

Ta có VABMN  VABOM  VABON
1
a2 3 
a 2  a3 6
 S OAB  OM  ON  
x

.


3
12 
2x 
12

D.


Đẳng thức xảy ra khi x 

a2
a 2
.
x
2x
2

Câu 11: [2H1-5-2] Cho tam giác ABC vuông cân tại B , AC  2 . Trên đường thẳng qua
A vuông góc với mặt phẳng  ABC  lấy các điểm M , N khác phía so với mặt
phẳng  ABC  sao cho AM .AN  1. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện

MNBC .
1
A. Vmin  .
3
2
Vmin  .
3

B. Vmin 

1
.
6

C. Vmin 

1
.
12

D.

Lời giải
Chọn D
M

A

C

B
N

Đặt AM  x, AN  y suy ra AM . AN  x. y  1.
Tam giác vuông ABC , có AB  BC 

Diện tích tam giác vuông SABC

AC
 2.
2

AB 2

 1.
2

1
Ta có VMNBC  VM . ABC  VN . ABC  S ABC .  AM  AN 
3



1
1
2

Cosi
  .2 xy  .
 x  y  
3
3
3

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y  1 .
Câu 12: [2H1-5-2] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C ,

SA  AB  2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC  . Gọi H , K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tính thể tích lớn nhất Vmax
của khối chóp S. AHK .


A. Vmax 

Vmax 

2
.
6

B. Vmax 

3
.
6

C. Vmax 

3
.
3

D.

2
.
3
Lời giải

Chọn A
S
K
H

C

A

B

Đặt AC  x  0  x  2  .
Tam giác vuông ABC , có BC  AB 2  AC 2  4  x 2 .
Tam giác SAB cân tại A , có đường cao AH suy ra H là trung điểm của SB nên
SH 1
 .
SB 2
Tam giác vuông SAC , có SA2  SK .SC 

Ta có

SK SA2
4


.
2
SC SC
4  x2

VS . AHK SH SK 1 4
2

.
 . 2
 2
VS . ABC SB SC 2 x  4 x  4


 VS . AHK 

2
2
2 1
 2 x 4 x
.
V


.
S
.
SA

.
.
S . ABC
 ABC

2
x2  4
x2  4  3
 3 x 4

2 x 4  x2
2
 2 
f
x

. 2

..
Xét hàm  
trên  0; 2  , ta được max f  x   f 

0;2



3 x 4
 3 6