Ôn tập THPT 2019 hình học 12 chương 1 bài 5

Câu 1: [2H1-5-4] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình
chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt thuộc
AB
AD
2
4
các đoạn thẳng AB và AD ( M và N không trùng với A ) sao cho
AM
AN
. Kí hiệu V , V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN . Tìm
giá trị lớn nhất của tỉ số
A.

3
.
4

V1
.
V

B.

17
.
14

C.

1
.

6

Lời giải
Chọn A

Đặt

AB
AD
 x;
 y , theo giả thiết ta có x  2 y  4 .
AM
AN

1
AM . AN .sin DAB
VS . AMN
S AMN
1 AM AN
1
2


 .
.

Ta có
.
VS . ABCD S ABCD
2 AB AD 2 yx

AB. AD.sin DAB

Theo đầu bài

AB
AD
2
 4  x  2y  4  x  4  2y .
AM
AN

VS . AMN
1

; 0 y  2.
VS . ABCD 2 y  4  2 y 
V
V1
1
 1  S . AMN  1 
; 0 y 2.
V
VS . ABCD
2y 4  2y

 2y  4  2y 
Theo BĐT Côsi ta có 2 y (4  2 y)  
  4.
2



2

D.

2
.
3


Nên

V1
V 3
1 3
 1    max 1  .
V
4 4
V 4

Câu 2: [2H1-5-4] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Xét tứ diện ABCD
có các cạnh AB  BC  CD  DA  1 và AC , BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của
thể tích khối tứ diện ABCD bằng
A.

2 3
.
27

B.

4 3
.
27

C.

2 3
.
9

D.

4 3
.
9

Lời giải
Chọn A

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BD, AC . Đặt BD  2 x, AC  2 y
Ta có CM  BD, AM  BD  BD   AMC  .
Ta có MA  MC  1  x 2 , MN  1  x 2  y 2 , S AMN 


1
MN . AC
2

1

y. 1  x 2  y 2 .
2

1
2 2 2
1
VABCD  .DB.S AMC  .2 x. y 1  x 2  y 2 
x . y . 1  x 2  y 2 
3
3
3

2

3

x

2

 y 2  1  x2  y 2 

 VABCD 

27

2 3
.
27

3

 x, y  0 .


Câu 3: [2H1-5-4] (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Cho khối chóp S.ABC có SA
vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B . Biết rằng thể tích của khối chóp là
5
và giá trị nhỏ nhất diện tích toàn phần chóp S.ABC là p 5  q trong đó
24
p, q  . Tính giá trị biểu thức: p 2  q 2  ?
A. p 2  q 2 
p2  q2 

37
36

B. p 2  q 2 

37
9

C. p 2  q 2 

25
4

D.

25

16

Lời giải
Chọn D

Đặt SA  a, AB  b, BC  c , ta có: abc 

5
.
4

Diện tích toàn phần: 2S  ab  bc  a b2  c 2  c a 2  b2 .
2
  2 5 2

2 5

2
2
2
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:  
b  c  .
  1   b  c   
  5 

5





Như vậy:

3 5 2 2 2 5
b c 
bc 
5
5

2
5
b2  c 2  b 
c .
3
3

Do đó:
2
5  2
5  5
2 5
10
2 5 5
2S  ab  bc  a  b 
c   c  b 
a   b  a  c  
ac  b ac 
3  3
3  3
3

3
3 4b
3
 2S 

.

10
5 5 5 5 5
5 5  5 5 
1 5 5
5 5
b


b
 
S
  b  b   
3
4b 6b
3
6b  6  
b
2
4


Câu 4: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: b  1, a  c 

5
25
5
. Vậy p  , q  0  p 2  q 2 
4
16
2

. [2H1-5-4] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Khối chóp S.ABCD
có đáy là hình thoi cạnh a , SA  SB  SC  a , cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất
của khối chóp S.ABCD là:
a3
.
B.
8

a3
.
A.
2

a3
.
D.
4

3a 3
.
C.
8

Lời giải
Chọn D

S

B

C
H
I

A

D

Gọi I là tâm hình thoi ABCD , H là hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABCD  .
Ta có SA  SB  SC nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng  ABCD  trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp ABC hay H  BI .
Có SI 2  SA2  IA2  a 2  IA2 , IB 2  AB 2  IA2  a 2  IA2 suy ra SI  IB . Khi đó tam giác
SBD vuông tại S .
Giả sử SD  x . Ta có SB.SD  SH .BD  a.x  SH.BD  SH 

a.x
BD

1
1
1 ax 1
1

. AC.BD  ax. AC
Ta có VSABCD  SH . AC.BD  .
3
2
3 BD 2
6

Ta có BD 2  SB 2  SD 2  a 2  x 2 suy ra IB 2 
Suy ra AC  2IA  2

a 2  x 2 3a 2  x 2
a2  x2
 IA2  a 2 

4
4
4

3a 2  x 2
 3a 2  x 2
4

1
a x 2  3a 2  x 2 a 3
VSABCD  ax. 3a 2  x 2  .

6
6
2
4

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là:

a3
.
4


Câu 5: [2H1-5-4] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] [2017] Ông An cần sản xuất một cái
thang để trèo qua một bức tường nhà. Ông muốn cái thang phải luôn được đặt qua
vị trí C, biết rằng điểm C cao 2m so với nền nhà và điểm C cách tường nhà 1m (như
hình vẽ bên).

.
Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 300.000 đồng/ 1 mét dài. Hỏi ông An cần ít
nhất bao nhiêu tiền để sản xuất thang? ( Kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng).
A. 3.125.000 đồng.
1.249.000 đồng.

B. 2.350.000 đồng.

C. 600.000 đồng.

Lời giải
Chọn D

.
Đặt BC  x .
Ta có : BCE CDF .
BC CE

x
1




 x 2  CD2  4   CD2
2
CD DF
CD
CD  4
2
4x
2x
 CD2  2
 CD 
.
x 1
x2 1
Vậy chi phí sản xuất thang là :

D.



2x 
5
f  x   x 
 .3.10 với x  1 .
2

x 1 


2 x2 
2

2
x

1



2
x  1   3.105 1 
f   x   3.105 1 

2


x 1






f  x  0 

x

2





.
3 
2
x 1 

2



 1  2  x 2  1  4  x 2  3 4  1 .



3



3

Hay x  3 4  1 .
Khi đó chi phí sản xuất thang là 1.249.000 đồng.
Câu 6: [2H1-5-4] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT - 2017] Cắt một miếng giấy hình vuông ở
hình 1 và xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình 2 . Biết cạnh hình vuông

bằng 20cm , OM  x  cm  . Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất?

.
A. x  6cm .
x  9cm .

C. x  7cm .

B. x  8cm .
Lời giải

Chọn B
S

A

M

x
H

O
D

C

.

Ta có: OM  x  AC  2x , AM  2 x .
Suy ra: OH 

x
x
x
, MH 
, SH  10 2 
.
2
2
2
2

2

x   x 
 10
SO  SH  OH  

 
  20 10  x  .
2  2
 2
2

2

D.


1

1
20
V  SO.Sđáy 
20 10  x .2 x 2 
40  4 x .x 2 .
3
3
3
20
3

V 

 40  4 x  .x.x.x. 

20  40  4 x  x  x  x  x 
20 152

.2 .


3 
5
3

5

Dấu "  " xảy ra khi 40  4x  x  x  8 .

Câu 7: [2H1-5-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1;

SO vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  và SC  1. Tính thể tích lớn nhất Vmax
của khối chóp đã cho.
A. Vmax 

Vmax 

2 3
.
9

B. Vmax 

2 3
.
3

C. Vmax 

4 3
.
27
Lời giải

Chọn D
S

1

A

B
O
C

x

1

D

Đặt OA  OC  x .
Tam giác vuông AOD , có OD  AD 2  OA2  1  x 2 .
Suy ra BD  2 1  x 2 .
Diện tích hình thoi S ABCD  OA.BD  2 x 1  x 2 .
Tam giác vuông SOC , có SO  SC 2  OC 2  1  x 2 .
1
Thể tích khối chóp VS . ABCD  S ABCD .SO
3
1
2
 .2 x 1  x 2 . 1  x 2  x 1  x 2  .
3
3

2 3
.
27

D.

2
 1 
Xét hàm f  x   x 1  x 2  trên  0;1 , ta được max f  x   f 

.

 0;1
 3 3 3
Suy ra Vmax 

4 3
.
27

Cách 2. Áp dụng BDT Côsi, ta có

2 x 1  x 2 
3



2 2 x 2 1  x 2 1  x 2 

3

2  2 x2  1  x2  1  x2 
4 3


..

 
3 
3
27


3

Câu 8: [2H1-5-4] (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Cho khối
chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

 SBC 

bằng a 2, SAB  SCB  900. Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp

S.ABC có thể tích nhỏ nhất.
A. AB  3a 5.

AB 

C. AB  2a.

B. AB  a 3.

a 10
.
2
Lời giải

Chọn B
S
H
a 2

C

D
x
A

x

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình vuông ABCD .
Ta có

 BC  DC
 BC  SD

 BC  SC
 BA  DA
 BA  SD

 BA  SA
Suy ra SD   ABCD  .
Kẻ DH vuông góc cắt SC tại H .
 d  A,  SBC    d  D,  SBC    DH  a 2.

B

D.


1
1
1
1
1
1



 2  2  SD 
2
2
2
2
DH
SD
DC
SD
2a
x

V  VS . ABC
V 

1
2ax3


6 x 2  2a 2

2ax
x 2  2a 2

x  a 2

2a
x3
.
6
x 2  2a 2

Đặt f  x  

x3
x 2  2a 2

 f  x 

3x 2  x 2  2a 2   x 4

x

2

 2a 2  . x 2  2a 2



x

2 x 2  6a 2

2

 2a 2  . x 2  2a 2

f   x   0  x  a 3.

Vậy maxV 

3a3
khi AB  x  a 3.
2

BẢNG ĐÁP ÁN
1

2

3

A D B

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A D C

C

A D A A D C

A A D C

D A C

C

A A B

B

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B

A B

A

B

C

D D B

A D

B

B

D C

B

A C

B

A

C

C

C

D B

Câu 9: [2H1-5-4] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018) Xét khối tứ diện
ABCD có cạnh AB  x , các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ
diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
B. x  14 .

A. x  6 .

C. x  3 2 .

D.

x  2 3.

Lời giải
Chọn C

Gọi M , N lần lượt là trung điểm CD và AB ; H là hình chiếu vuông góc của A
lên BM .

CD  BM 
  CD   ABM    ABM    ABC  .
CD  AM 

Ta có:

Mà AH  BM ; BM   ABM    ABC   AH   ABC  .

Do ACD và BCD là hai tam giác đều cạnh 2 3  AM  BM 

Tam giác AMN vuông tại N , có: MN  AM 2  AN 2  9 
Lại có:

S BCD 

VABCD



3
2 3
4



2

3 3.

1
1 x 36  x 2
3
 AH  S BCD  
3 3 
x 36  x 2 .
3
3
6

6

Ta có: VABCD

3
3 x 2  36  x 2
2

x 36  x 

3 3.
6
6
2

Suy ra VABCD lớn nhất bằng 3 3 khi x2  36  x2  x  3 2 .

3
2 3  3.
2

x2
.
4


Câu 10: [2H1-5-4] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Bên cạnh
con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn
tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA  600 mét, ASB  15 . Do có sự cố
đường dây điện tại điểm Q (là trung điểm của SA ) bị hỏng, người ta tạo ra một con

đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng: AM , MN , NP , PQ (hình vẽ). Để tiết
kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài con đường từ A đến Q
AM  MN
ngắn nhất. Tính tỉ số k 
.
NP  PQ
5
3
4
A. 2 .
B. .
C. .
D. .
2
3
2
Lời giải
Chọn A
S

Q

P
A
N

C

D
M

B

Giả sử trải các mặt hình chóp đều trên đường tròn tâm S và bán kính R  SA . Ta có
SAA có ASA  15o.4  60o  SAA đều.
Mà đoạn đường AQ ngắn nhất khi A , M , N , P , Q thẳng hàng. Khi đó N là
AM  MN AN

 2.
trọng tâm SAA . Suy ra k 
NP  PQ
NQ


S

M

N

P

Q

K

A
B

C

D