Ôn tập THPT 2019 hình học 12 chương 2 bài 1

Câu 1: [2H2-1-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hình nón  N  có bán kính
đáy bằng a và diện tích xung quanh S xp  2 a 2 . Tính thể tích V của khối chóp tứ
giác đều S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón  N  và đỉnh S trùng
với đỉnh của khối nón  N  .

2 5a3
A. V 
.
3

2 2a 3
B. V 
.
3

C. V  2 3a 3 .

D.

2 3a3
.
V
3
Lời giải
Chọn D

Ta

có:

Diện

tích

xung

quanh

S xp  2 a 2 

 rl  2 a 2  l  2a

 h  l2  r2  a 3 .
Đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón  N  có bán kính đáy bằng a  AB  a 2
.

1
2 3a3
Vậy: V  S ABCD h 
.
3
3
Câu 2: [2H2-1-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón
có góc ở đỉnh bằng 60, diện tích xung quanh bằng 6 a 2 . Tính thể tích V của khối
nón đã cho.

3 a3 2
.
4
V   a3 .

A. V 

B. V 

 a3 2
4

.

Lời giải
Chọn C

C. V  3 a 3 .

D.


S

O
O

A

B

1
1
Thể tích V   R 2 h   .OA2 .SO.
3

3

Ta có ASB  60  ASO  30  tan 30 

OA 1

 SO  OA 3.
SO
3

Lại có S xq   Rl   .OA.SA   .OA OA2  SO 2  6 a 2

 OA OA2  3OA2  6a 2  2OA2  6a 2
1
 OA  a 3  SO  3a  V   .3a 2 .3a  3 a 3 .
3
Câu 3: [2H2-1-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho mặt nón tròn xoay
đỉnh S đáy là đường tròn tâm O có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh
bằng a . A , B là hai điểm bất kỳ trên  O  . Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị
lớn nhất bằng

a3 3
A.
.
96

a3
C.
.
96

a3 3
B.
.
48
Lời giải

Chọn B
S

h
B
a/2

O
A

1
1
Ta có VS .OAB  S AOB .SO . Lại có S AOB  OA.OB.sin AOB .
3
2

Mặt khác OA  OB 

a
a 3
, SO  h 
.
2

2

a3 3
D.
.
24


Do đó thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất khi sin AOB  1  OA  OB .

1 1 a a a 3 a3 3
Khi đó Vmax     
.

3 2 2 2 2
48
Câu 4: [2H2-1-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho nửa hình tròn tâm
O , đường kính AB . Người ta ghép hai bán kính OA , OB lại tạo thành mặt xung
quanh của hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó.
A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn C

O

A

O

B

B
A

I

Gọi R , r lần lượt là bán kính của nửa hình tròn tâm O và hình nón.
Hình nón có đường sinh l  OA  R và chu vi đường tròn đáy bằng nửa chu vi
R
hình tròn tâm O , đường kính AB . Do đó 2 r   R  r  .
2
Gọi I là tâm đường tròn đáy của hình nón.

R
AI
1
 2   AOI  30 .
Xét OAI vuông tại I có : sin AOI 
OA R 2
Do đó góc ở đỉnh của hình nón bằng 60 .
(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN)
Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho
1

chiều cao của lượng nước trong phễu bằng chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín
3
miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu ?
Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm .

Câu 5: [2H2-1-3]


A. 0,5  cm  .

B. 0,3  cm  .

C. 0,188  cm  .

D.

0, 216  cm  .

Lời giải
Chọn C

Gọi R, h lần lượt là bán kính và chiều cao của phễu. Ta có h  SO  15
Gọi h1 , R1 lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nước lúc ban đầu.
h

h1  SH  3 h1  5
Ta có 

R
h

R
1
1
 
 R1  3
 h R

Thể tích khối nước Vn 

1 2
R 2 h
R h1 
3
81
1

Khi quay ngược phễu, nước trong phễu được biểu diễn như hình vẽ.
Đặt SO1  x  0 , O1 A1  R thì chiều cao cột nước mới trong phễu là h  x 1 và
xR
R x
  R 
h
R h

1
Gọi V1 là thể tích khối nón có chiều cao h , bán kính đáy R . Ta có V1   R 2 h
3
Gọi V2 là thể tích khối nón có chiều cao x , bán kính đáy R  . Ta có

1

 R 2 x3
V2   R2 x 
3
3h 2


Vì V1  V2  Vn nên

3
1
 R 2 x3 1
26
2
 R2h 


R
h

x

h
2
3
3h
81
3



Thay vào 1 ta được chiều cao cột nước mới trong phễu là h 1 

3



26 
  0,188 .
3 

Câu 6: [2H2-1-3]
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Với một đĩa phẳng hình tròn
bằng thép bán kính R , phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa
này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn
lại là x . Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.

2 R 6
.
3
R 6
x
.
3

B. x 

A. x 

2 R 2
.

3

C. x 

2 R 3
.
3

D.

Lời giải
Chọn A

R

r

Chu vi đường tròn đĩa là: C  2 R .
Chu vi đường tròn đáy của hình nón là: C  x
Bán kính đường tròn đáy hình nón là: r 

x
.
2

Chiều cao của hình nón là: h  R2  r 2  R 2 

x2
.
4 2

1 2
1
x2
x2
2
Thể tích khối nón là: V  . r .h  .
. R  2 .
3
3 4 2
4

1
V 

.

2

2

1
x
1 x
x R2  2  
6
4
3 4 2

4 2

x

R2 

x2
4 2

1
1

x 4 2 R 2  x 2 
2
12
24 2

x3
4 2 R 2  x 2


V  0 
x

1
1
8 2 R 2
2 2
2
3
2

2 2
2
2
x
4

R

x

x

x


2
4

R

x

x


12 2
24 2
3





2 R 6
.
3

Câu 7: [2H2-1-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình nón đỉnh S , đường cao

SO . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng
cách từ O đến AB bằng a và SAO  30 , SAB  60 . Diện tích xung quanh của
hình nón bằng
A. S xq 

 a2 3

S xq   a 2

3
3.

.

B. S xq 

2 a 2 3
.
3

C. S xq  2 a 2 3 .

D.

Lời giải
Chọn D

2x
.
3
x
2x
 AH 
Do góc SAB  60 nên tam giác SAB đều  AB  SA 
.
3
3

Ta có OH  a . Đặt OA  x thì OA  SA.cos30  SA 

Do AH 2  OH 2  OA2 
Vậy OA 

S xq   .

x2
a 6
 a2  x2  x 
.
3
2

a 6
; SA  a 2 nên diện tích xung quanh là
2

a 6
.a 2   a 2 3 .
2

Câu 8: [2H2-1-3]
(THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Hình nón gọi là nội
tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều
cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước.


A. h 

3R
2

B. h 

5R
2

C. h 

5R
4

D.

4R
3

Lời giải
Chọn D

S

O

M

H

Gọi chiều cao của hình nón là x ,  0  x  2 R  . Gọi bán kính đáy của hình nón là
r ta có
r 2  OM 2  OH 2  R 2   x  R   2Rx  x 2  x  2R  x  .
2

1
1
Thể tích của hình nón là V   r 2 .x   x 2  2 R  x  .
3
3
3

x x


 2  2  2R  x 
x2
8R3
x x

2
R

x

Mặt khác ta lại có . .  2 R  x   



4
27
2 2
3




1
32 R 3
32 R 3
 V   x2  2R  x  
. Vậy max V 
. Dấu "  " xảy ra khi
3
27

27
x
4R
 2R  x  x 
2
3
Câu 9: [2H2-1-3] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón

N có đường sinh tạo với đáy góc 60 0 . Mặt phẳng qua trục của N cắt N
được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể
tích V của khối nón giới hạn bởi N .
A. V
.

3 .

B. V

3 3 .

Lời giải
Chọn A

C. V

9 3 .

D. V

9

S

h

A

R

B

O

Ta có: Góc giữa đường sinh tạo với đáy là SAO

600

tan 600

h
R

h

3R

1
S ABC
Mặt khác:

S ABC

R.h

h2

R2

1
SO. AB
2
SA
p.r

R.h
SB
2

AB

l

3R 2

R

0

L

3R
R

1 2
Rh
3

R2

R

R 2

Thế 1 vào 2 ta được:

Vậy V

h2

R

. Suy ra: h

3.

3 N

3 .

Câu 10: [2H2-1-3] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Người ta sản

xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có nắp với đáy cốc và thành cốc
làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày đều 1, 5cm và thành xung quanh cốc dày
đều 0, 2cm (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của chiếc cốc là 15cm và khi ta đổ 150ml
nước vào thì đầy cốc. Nếu giá thủy tính thành phẩm được tính là 500 đ/cm3 thì giá
tiền thủy tính để sản xuất chiếc cốc đó gần nhất với số nào sau đây?


A. 12 nghìn đồng.
nghìn đồng.

B. 28 nghìn đồng.

C. 15 nghìn đồng

D.

25

Lời giải
Chọn B
Gọi R1 , h1 và V1 theo thứ tự là bán kính, đường cao và thể tích của hình trụ phần vỏ cốc
và R2 , h2 , V2 là bán kính, chiều cao và thể tích của hình trụ phần lòng cốc.
Ta có R1  R2  0, 2 ; h1  h2  1,5  15  h2  13,5 ; V2  150  R2 
nên R1 

V2
10


 h2 3 

10
 0, 2 .
3 
2

 10

 0, 2  .15  150  54
Thể tích của phần thủy tinh là V1  V2   R h  150   
3 

2
1 1

cm 3 .
Vậy giá thành để sản xuất một chiếc cốc là 27 nghìn đồng.

(THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Cho một hình nón
đỉnh S có chiều cao bằng 8 cm , bán kính đáy bằng 6 cm . Cắt hình nón đã cho bởi

Câu 11: [2H2-1-3]

một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón  N  đỉnh S
có đường sinh bằng 4 cm . Tính thể tích của khối nón  N  .
768
 cm 3
125
2358

V
 cm3
125

A. V 

B. V 

786
 cm 3
125

Lời giải
Chọn A

C. V 

2304
 cm 3
125

D.


S
(N)
M

K

I

A

B

O

Đường sinh của hình nón lớn là: l  SB  h2  r 2  82  62  10 cm .
Gọi l2 , r2 , h2 lần lượt là đường sinh, bán kính đáy và chiều cao của hình nón  N  .
l2  SK  4 cm

Ta có: SOB và SIK đồng dạng nên:

SI
IK SK 4 2



 .
SO OB SB 10 5

2
16

h2  h 

h
r l
4 2

5
5
 2  2  2 
 
.
h r l 10 5
 r  2 .r  12
 2 5
5
2

1
1  12  16 768
 cm3 .
Thể tích khối nón  N  là: V( N )  . .r22 .h2  . .   . 
3
3  5  5 125

Câu 12: [2H2-1-3] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Bạn
Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một
hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai
bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là
góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?

A.


.
4

B.


.
3

C.
Lời giải

Chọn C

2 6
.
3

D.


.
2


Dựa vào hình vẽ, độ dài cung AB lớn bằng Rx , bán kính hình nón r 

Đường cao của hình nón h  R2  r 2  R 2 

R
R2 x2

2

2
4

1 2
1 R2 x2 R
V


r
h
 .
.
Thể tích khối nón (phễu)
3
3 4 2 2



R3
24 2

Rx
2

4 2  x 2

4 2  x 2

x 4  4 2  x 2 

4 

x2 x2
2 3 R3
2
2
Theo Cauchy ta có
.
. .  4  x  
V 
27
2 2
27
2 3

x2
2 6
 4 2  x 2  x 
Dấu bằng xảy ra khi
 . Vậy thể tích phễu lớn nhất khi
2
3

x

2 6
.
3

Câu 13: [2H2-1-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Một cái phễu có dạng

hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm . Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao
cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm (hình H1). Nếu bịt kín miệng
phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần
bằng với giá trị nào sau đây?

A. 0,87 cm .
1,35cm .

B. 10 cm .

C. 1, 07 cm .
Lời giải

Chọn A

D.


Trước khi lật phễu lên:
Theo bài ra ta có SE  10cm , SH  20cm . SCD

Suy ra

SAB 

1 SE ED


2 SH HB

Vnuoc ED 2 .SE 1
7

  Vkhi  Vpheu .
2
Vpheu HB .SH 8
8

Sau khi lật phễu lên:
SMN

SAB 

SF FD

SH HB
2

3

3
7
7
 FN  SF 7
 SF  7
Do Vkhi  Vpheu  
.





SF

SH .



8
2
 HB  SH 8
 SH  8

Vậy chiều cao của nước sau khi lật phễu là
 37
 37
FH  SH  HF  SH 1 

20.

1 
  0,8706
2
2





Câu 14: [2H2-1-3] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có

cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 45 . Tính diện tích xung
quanh của khối nón đỉnh S , đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD .
A. 2 2 a 2 .

B.

2 a 2
.
2
Lời giải

Chọn A

C. 4 2 a 2 .

D. 2 a 2 .


S

A

D

O
B

C

Gọi O  AC  BD . Khi đó SO  ( ABCD) và trong SOA vuông tại O có

SAO  45 , OA 

OA
AC (2a) 2
 2a .

 a 2. Suy ra SA 
cos 45
2
2

Vậy diện tích xung quanh của khối nón đỉnh S , đáy là đường tròn ngoại tiếp

ABCD là S xq   rl=  .OA.SA   .a 2.2a  2 2 a 2 .
Câu 15: [2H2-1-3] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình chóp đều S. ABC có

cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 . Tính diện tích xung quanh

S xq của hình nón đỉnh S , có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
A. S xq 

 a2 3
3

.

B. S xq 

 a 2 10
.
8

C. S xq 

 a2 7
.
4

 a2 7
S xq 
6
Lời giải
Chọn D

Hình nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có:
Bán kính đường tròn đáy r  AG 

2
a 3
AN 
.
3
3

D.


Đường sinh l  SA  SG 2  AG 2 

2

 GN tan 60 

2

 AG 2

2

a 3  a 3
7
 
3   
a.
 
12
 6
  3 
Diện tích xung quanh: S xq   rl 

 a2 7
6

.

Câu 16: [2H2-1-3] (THPT Chuyên Lào Cai) Một mảnh giấy hình quạt như hình vẽ. Người ta

dán mép AB và AC lại với nhau để được một hình nón đỉnh A. Tính thể tích V
của khối nón thu được (xem phần giấy dán không đáng kể).

A. 4 21 .

B.

20
.
3

C.

4 21
.
3

D. 20 .

Lời giải
Chọn C
Gọi R , h lần lượt là bán kính và chiều cao của hình nón
Đường sinh l  5 .
Ta có :

1
4 21
.
2 R  4  R  2  h  l 2  R 2  21  V   R 2 h 
3
3
Câu 17: [2H2-1-3] (THPT CHUYÊN LÀO CAI) Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới

(gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo
với đáy một góc 60 như hình bên. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng
thể tích của đồng hồ là 1000 cm3 . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi
chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía
dưới là bao nhiêu?


A.

1
3 3

.

B.

1
.
8

C.

1
.
64

D.

1

.
27

Lời giải
Chọn B




Gọi h, h, r , r  h 

30

 15  lần lượt là chiều cao, bán kính của hình nón phía
2


dưới và phía trên của đồng hồ. Ta có:

r

h
h
h 30  h
.

; h  30  h; r  

tan 60
3

3
3

Khi đó: thể tích của đồng hồ:
2
2

1 2 1
1  h 
 30  h 
V   r h   r h    
h

30

h






3
3
3   3 
 3 


1  h3  27000  2700h  90h 2  h3 
 


3 
3


1
   90h2  2700h  27000   1000
9
 h  20
 h 2  30h  200  0  
 h  20  h  10
h

10

15



V  h  1
Do 2 hình nón đồng dạng nên 1     .
V2  h  8
3

Câu 18: [2H2-1-3] (THPT TRẦN PHÚ) Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta

được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Gọi BC là dây cung của
đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng  SBC  tạo với mặt phẳng đáy một góc
600 . Tính diện tích tam giác SBC .

A. S 

S

a2 3
.
3

B. S 

a2
.
3

C. S 

a2 2
.
2

D.

a2 2
.
3
Lời giải

Chọn D
Dựng OM  BC ( M là trung điểm của BC ).

Vì BC  SO nên BC  SM , từ đó ta có

 SBC  ; đáy    SM , OM   SMO  60 .
Vì SO 

1
a 2
SO
a 6
nên SM 
.
IJ 

2
2
sin 60
3
2

a 6
a 3
Vậy CM  SC  SM  a  
.
 3   3


2

Vậy SSBC 

2

2

1
1 a 6 2a 3 a 2 2
.
SM .BC 
.

2
2 3
3
3

Câu 19: [2H2-1-3] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Cho tam giác ABC cân tại A

có BC  10cm , AB  6cm . Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta được một
khối tròn xoay có thể tích bằng
A. 200 cm3 .

B.

325
cm3 .
2

550
cm3 .
9

Lời giải
Chọn D

C.

4216
cm 3 .
27

D.


Gọi C là điểm đối xứng của C qua AB . Khi đó khối tròn xoay tạo thành khi
quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB gồm hai hình nón đỉnh A , B có chung
đáy CC . Khi đó ta có:
1
1
V   r 2  h1  h2    .CI 2 . AB .
3
3

Ta có S ABC 
 CI 

1
1
d  C , AB  . AB  d  A, BC  .BC
2
2

2
d  A, BC  .BC
5 11
1

, d  A, BC   AB 2   BC   11  CI 
.
AB
3
2


2

1  5 11 
550
Vậy V   . 
cm3 .
 .6 
3  3 
9
Câu 20: [2H2-1-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hình
chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a . Mặt phẳng qua AB và trung điểm
M của SC cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi bằng 7a . Thể tích của khối nón
có đỉnh là S và đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác ABCD bằng
A.

2 a3 6
.

9

B.

 a3 6
3

.

C.

2 a3 3
.
3

D.

2 a3 6
.
3

Lời giải
Chọn D

Gọi E là trung điểm SD  ME / / AB suy ra  ABM  cắt hình chóp S.ABCD theo
thiết diện là hình thang ABME .


Gọi độ dài cạnh bên của hình chóp là x . Do chóp S.ABCD là chóp đều nên
SAD  SBC  AE BM .

Áp dụng hệ thức trung tuyến ta có: BM 2 

Suy ra AE  BM 

SB 2  BC 2 SC 2 x 2  8a 2
.


2
4
4

x 2  8a 2
4

Mặt khác dễ thấy EM  a , AB  2a mà chu vi thiết diện bằng 7a nên ta có:

a  2a  2

x 2  8a 2
 7a  x  2a 2 .
4

Suy ra chiều cao của hình chóp: SH 2  SA2 

AC 2
 6a 2  SH  a 6 .
4

Khối nón có đỉnh là S và đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác ABCD chiều cao là

AC
 a 2 nên thể tích khối nón là:
SH  a 6 và bán kính đường tròn đáy là
2



1
V  a 2
3



2

a 6

2 a3 6
.
3

Câu 21: [2H2-1-3](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Cho một
hình phẳng gồm nửa đường tròn đường kính AB  2 , hai cạnh BC , DA của hình
vuông ABCD và hai cạnh ED , EC của tam giác đều DCE (như hình vẽ bên).
Tính diện tích S của mặt tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục
đối xứng của nó.

A. S  8 .

 20  3 

B. S  
  .
6




3
S   6 
 .
2 


Lời giải

C. S  6 .

D.


Chọn A
Gọi S1 là diện tích của mặt cầu khi quay nửa đường tròn đường kính AB  2 khi
quay quanh trục đối xứng của nó  S1  2 .
Gọi S 2 là diện tích xung quanh của hình trụ khi quay hình vuông ABCD cạnh
AB  2 quanh trục đối xứng của nó  S2  4 .

Gọi S 3 là diện tích hình xung quanh của hình nón khi quay tam giác đều DCE
cạnh EC  2 quanh trục đối xứng của nó  S3  2 .
Vậy diện tích của mặt tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục đối
xứng của nó là S  S1  S2  S3  8 .

Câu 22: [2H2-1-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Cho một đồng hồ cát như hình

bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh khép lại) , trong đó đường sinh bất kỳ của
hình nón hợp với đáy một góc 60 .

Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30 cm và tổng thể tích của đồng hồ là
1000 cm 3 . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới,

tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần bên dưới là bao nhiêu?
A.

1
.
8

B.

1
.
27

C.
Lời giải

Chọn A

1
3 3

.

D.

1
.
64


M

M

O
x

O
x

I

I

30 –
x

30 –
x

O

O
M

M

Gọi x là chiều cao của hình nón phía trên; 30  x là chiều cao đáy dưới
Điều kiện: 0  x  15 .
 Tam giác OIM vuông tại O có IMO  60 , OM  OI .cot 60 

3
 30  x 
3

 Tam giác OIM  vuông tại O có IM O  60 , OM   OI .cot 60 

3
x
3

Theo giả thiết ta có pt:


3

 OI .OM

2

 OI .OM 2   1000  3x 2  90 x  600  0  x  10 (vì x  15 )

Khi đó
1
1000
 Thể tích phần trên V1   x 3 
9
9

1
8000
3
 Thể tích phần dưới V2    30  x  
9
9

Vậy: tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần bên dưới là

V1 1
 .
V2 8

Câu 23: [2H2-1-3] [BTN 163 - 2017] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể
tích 27cm 3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất
thì giá trị của r là:

A. r  6

38
.
2 2

38
r
.
2 2
4

B. r  4

36
.
2 2

C. r  6

36
.
2 2

D.


Lời giải
Chọn A
1
81
81 1
Thể tích của cốc: V   r 2 h  27  r 2 h   h  . 2 .


 r

Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

S xq  2 rl  2 r r 2  h2  2 r r 2 
 2 r 4 

812 1
812 1
4
.

2

r

 2 r4
 2 r2

812 1 812 1
812 1 812 1
3 r 4.
.


2

3
.
2 2 r 2 2 2 r 2
2 2 r 2 2 2 r 2

814
(theo BĐT Cauchy).
 2 3
4 4
6

S xq nhỏ nhất  r 4 

812 1
38
38
6
6
.

r


r

2 2 r 2
2 2
2 2

Câu 24: [2H2-1-3] (SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Có một miếng tôn hình tam giác
ABC đều cạnh 3 dm (như hình vẽ). Gọi K là trung điểm của BC . Người ta dùng
compa có tâm là A và bán kính AK vạch cung tròn MN ( M , N thứ tự thuộc cạnh
AB và AC ) rồi cắt miếng tôn theo cung tròn đó. Lấy phần hình quạt người ta gò
sao cho cạnh AM và AN trùng nhau thành một cái phễu hình nón không đáy với

đỉnh A . Tính thể tích V của cái phễu.

A

N

M
B
A. V 

V

A

K

105.
3
dm 3  .
dm3  . B. V 


32
64

141.
dm3  .

64
Lời giải

Chọn A

r

C
C. V 

3 3.
dm3  . D.

32


A

A

N

M
B

r

C

K

3 3

.
2
Chu vi đường tròn đáy của cái phễu chính là chiều dài x của dây cung MN . Mặt
Ta có tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên đường cao AK 

khác số đo cung MN bằng số đo góc ở tâm nên sđ MN  60 suy ra độ dài dây cung

MN bằng

1
3 3  3
1
1
độ dài đường tròn, nghĩa là x  .2 . AK  .2 .
.

6
6
6
2
2

Gọi r là bán kính của đường tròn đáy của cái phễu, ta có x  2 r  r 

x
2

 3


2  3.
2
4
2

2

3 3  3
105
Chiều cao của cái phễu h  AK  r  
.
 2    4   4

 

2

2

2

1  3  105
105 
1
Vậy thể tích cái phễu V   r 2 h   
.

 .
3
3  4 

4
64
Câu 25: [2H2-1-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho

tam giác ABC vuông tại A có AC  1cm ; AB  2 cm , M là trung điểm của AB .
Quay tam giác BMC quanh trục AB ta được khối tròn xoay. Gọi V và S lần lượt
là thể tích và diện tích của khối tròn xoay đó. Chọn mệnh đề đúng.
1
A. V   ; S  
3

1
C. V   ; S  
3





5 2
5 2




Lời giải

Chọn A

B. V   ; S  



5 2



D. V   ; S  



5 2




B

1
5

M
2
1
A

C

1

Gọi  H1  là hình nón tròn xoay tạo thành khi cho tam giác ABC quay quanh cạnh
AB ,  H 2  là hình nón tròn xoay tạo thành khi cho tam giác MAB quay quanh cạnh
AB .

Khi

đó

S   AC.BC   AC.MC  





1
1
1
V   AC 2 . AB   AC 2 .MA   ;
3
3
3

5 2 .

Câu 26: [2H2-1-3] [NGUYỄN KHUYẾN TPHCM - 2017] Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng
2a ,vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a
. Gọi H là hình chiếu của B lên tia, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì
đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng
A.

(2  2) a 2
2

B.

(3  3) a 2
2

3 2 a 2
2

Lời giải
Chọn B

C.

(1  3) a 2
2

D.


Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn
xoay. Diện tích mặt tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón
đường sinh AH và BH .
Ta có AH  AB 2  BH 2  a 3
HK 

AH .BH a 3.a a 3



AB
2a
2

Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH là S1  

a 3
3a 2
.a 3 
2
2

Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh BH là S2  

a 3
3a 2
.a 
2
2

Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là S  S1  S2 

(3  3)a 2
.
2

Câu 27: [2H2-1-3] [CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU -2017] Cho khối nón đỉnh O , trục OI .

Măt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai

phần là:
A.

1
.
2

B.

1
.
8

C.

1
.
4

D.

1
.
7

Lời giải
Chọn D
1
Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI .  V   R 2 .OI
3

Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại H , cắt đường sinh OM tại
N . Khi đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới

R
OI
1  R   OI   .R 2 .OI
có bán kính r  , có chiều cao là
. Phần
 V1     

2
2
3 2  2 
24
2

dưới là khối nón cụt có thể tích V2  V  V1 

 R 2 .OI
3



 R 2 .OI
24



7 R 2 .OI
.

24


 R 2 .OI
Vậy tỉ số thể tích là:

V1
1
24


2
V2 7 R .OI 7
24

Câu 28: [2H2-1-3] [BẮC YÊN THÀNH -2017] Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng a chồng

lên nhau như hình vẽ (cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung điểm hai cạnh bên
của tam gác dưới). Tính theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay chúng
xung quanh đường thẳng d .

13 3 a3
A.
.
96

11 3 a3
B.
.
96

11 3 a3
.
8
Lời giải

Chọn B

C.

3 a3
.
8

D.