Câu 1: [2H3-5-4] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không
y 1 z
và hai điểm A 1;2; 5 , B 1;0;2 . Biết
1
1
điểm M thuộc sao cho biểu thức T MA MB đạt giá trị lớn nhất là Tmax . Khi
x
1
gian Oxyz , cho đường thẳng :
đó, Tmax bằng bao nhiêu?
B. Tmax 2 6 3
A. Tmax 3
C. Tmax 57
D.
Tmax 3 6
Lời giải
Chọn C
AB 2; 2;7 .
x 1 2t
Phương trình đường thẳng AB là: y 2t
.
z 2 7t
1 2 1
Xét vị trí tương đối của và AB ta thấy cắt AB tại điểm C ; ; .
3 3 3
4 4 14 3
AC ; ; ; AC AB nên B nằm giữa A và C .
3 3 3 2
T MA MB AB Dấu bằng xảy ra khi M trùng C . Vậy Tmax AB 57 .
Câu 2: [2H3-5-4] [NGUYỄN KHUYẾN TPHCM] [2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz , cho
6
5
điểm A(2;3;0), B (0; 2;0), M ; 2;2 và
đường
thẳng
x t
d : y 0 . Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhấ thì độ dài
z 2 t
CM bằng
A. 2 3.
B. 4.
C. 2.
D.
2 6
.
5
Lời giải
Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC CB nhỏ
nhất.
Vì
C d C t ;0;2 t AC
AC CB
Đặt u
2t 2 2
2
2t 2 2
9
2
9, BC
2t 2
2t 2 4
2
2t 2
2
4
4.
2t 2 2;3 , v 2t 2; 2 ápdụngbấtđẳngthức u v u v
2t 2 2
2
9
2
2 2 2
2
25.
Dấubằngxảyrakhivàchỉ
khi
2t 2 2 3
7
3
7 3
6 7
t C ;0; CM 2 2 2.
5
5
2t 2 2
5 5
5 5
2
2
Câu 3: [2H3-5-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d đi qua điểm A 1; 1; 2 , song
song với P : 2 x y z 3 0 , đồng thời tạo với đường thẳng :
x 1 y 1 z
1
2 2
một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là
x 1
1
x 1
C.
4
A.
y 1
5
y 1
5
x 1
4
x 1
D.
1
z2
.
7
z2
.
7
B.
y 1 z 2
.
5
7
y 1 z 2
.
5
7
Lời giải
Chọn A
có vectơ chỉ phương a 1; 2; 2
d có vectơ chỉ phương ad a; b; c
P
có vectơ pháp tuyến nP 2; 1; 1
Vì d / / P nên ad nP ad .nP 0 2a b c 0 c 2a b
5a 4b
1
cos , d
2
2
3 5a 2 4ab 2b2
3 5a 4ab 2b
5a 4b
2
a
1 5t 4
, ta có: cos , d
b
3 5t 2 4t 2
2
Đặt t
Xét hàm số f t
5t 4
2
1 5 3
, ta suy ra được: max f t f
5t 4t 2
3
5
2
Do đó: max cos , d
5 3
1
a
1
t
27
5
b
5
Chọn a 1 b 5, c 7
Vậy phương trình đường thẳng d là
x 1 y 1 z 2
.
1
5
7
Câu 4: [2H3-5-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A 1;0; 1 , cắt
x 1 y 2 z 2
x3 y 2 z 3
, sao cho góc giữa d và 2 :
là nhỏ
1
2
1
2
1
2
nhất. Phương trình đường thẳng d là
1 :
x 1 y z 1
.
2
2
1
x 1 y z 1
.
2
2
1
A.
B.
x 1 y z 1
.
4
5
2
C.
x 1 y z 1
. D.
4
5 2
Lời giải
Chọn A
Gọi M d 1 M 1 2t ; 2 t ; 2 t
d có vectơ chỉ phương ad AM 2t 2; t 2; 1 t
2 có vectơ chỉ phương a2 1; 2; 2
cos d ; 2
2
t2
3 6t 2 14t 9
Xét hàm số f t
t2
, ta suy ra được min f t f 0 0 t 0
6t 2 14t 9
Do đó min cos , d 0 t 0 AM 2; 2 1
x 1 y z 1
Vậy phương trình đường thẳng d là
.
2
2
1
Câu 5:
[2H3-5-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
x 1 y z 2
x 1 y 2 z 2
và d 2 :
. Gọi là đường thẳng song song
2
1
1
1
3
2
với P : x y z 7 0 và cắt d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn
d1 :
nhất. Phương trình của đường thẳng là.
x 6 t
5
B. y
.
2
9
z 2 t
x 12 t
A. y 5
.
z 9 t
x 6
5
C. y t .
2
9
z 2 t
D.
x 6 2t
5
y t .
2
9
z 2 t
Lời giải
Chọn B
A d1 A 1 2a; a; 2 a
B d 2 B 1 b; 2 3b; 2 2b
có vectơ chỉ phương AB b 2a;3b a 2; 2b a 4
P có vectơ pháp tuyến
nP 1;1;1
Vì / / P nên AB nP AB.nP 0 b a 1 .Khi đó
AB a 1; 2a 5;6 a
AB
a 1 2a 5 6 a
2
2
2
6a 2 30a 62
2
5 49 7 2
6 a
; a
2
2
2
Dấu " " xảy ra khi a
5
5 9
7 7
A 6; ; , AB ;0;
2
2 2
2 2
5 9
Đường thẳng đi qua điểm A 6; ; và vec tơ chỉ phương ud 1;0;1
2 2
x 6 t
5
Vậy phương trình của là y
.
2
9
z 2 t
Câu 6:
[2H3-5-4] Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;3; 3 thuộc mặt phẳng
: 2 x – 2 y z 15 0 và
mặt cầu S : (x 2)2 (y 3)2 (z 5) 2 100 . Đường
thẳng qua A , nằm trên mặt phẳng cắt ( S ) tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất
thì phương trình đường thẳng là
x3 y 3 z 3
.
1
4
6
x 3 5t
C. y 3
.
z 3 8t
A.
B.
x3 y 3 z 3
.
16
11
10
D.
x3 y 3 z 3
.
1
1
3
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 , bán kính R 10 . Do d (I, ( )) R nên luôn cắt
S
tại A , B .
Khi đó AB R 2 d (I, ) . Do đó, AB lớn nhất thì d I , nhỏ nhất nên
2
qua H , với H là hình chiếu vuông góc của I lên . Phương trình
x 2 2t
BH : y 3 2t
z 5 t
H ( ) 2 2 2t 2 3 – 2t 5 t 15 0 t 2 H 2; 7; 3 .
Do vậy AH (1;4;6) là véc tơ chỉ phương của . Phương trình của
x3 y 3 z 3
.
1
4
6
Câu 7:
[2H3-5-4] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng
x 3 t
x 1 t
; d ' : y 1 t . Biết rằng
P : x y z 2 0 và hai đường thẳng d : y t
z 1 2t
z 2 2t
có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với P ; cắt d , d và tạo với d góc 30O.
Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.
A.
1
.
5
B.
1
.
2
C.
Lời giải
2
.
3
D.
1
.
2
Chọn D
Gọi là đường thẳng cần tìm, nP là VTPT của mặt phẳng P .
Gọi M 1 t; t; 2 2t là giao điểm của và d ; M 3 t ;1 t ;1 2t là giao
điểm của và d
Ta có: MM 2 t t; 1 t t; 1 2t 2t
M P
MM // P
t 2 MM 4 t; 1 t; 3 2t
MM nP
t 4
3
6t 9
Ta có cos30 cos MM , ud
2
36t 2 108t 156
t 1
x 5
x t
Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là 1 : y 4 t ; 2 : y 1
z 10 t
z t
Khi đó cos 1 , 2
1
.
2
Câu 8: [2H3-5-4] [CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ - 2017] Trong không gian cho đường thẳng
x 3 y 1 z 2
x 3 y z 1
và đường thẳng d :
. Viết phương trình
3
1
1
2
3
2
mặt phẳng P đi qua và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.
:
A. 19 x 17 y 20 z 77 0 .
B. 19 x 17 y 20 z 34 0 .
C. 31x 8 y 5 z 91 0 .
D. 31x 8 y 5 z 98 0 .
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng d có VTCP là u1 3;1; 2 .
Đường thẳng đi qua điểm M 3;0; 1 và có VTCP là u 1; 2;3 .
Do P nên M P . Giả sử VTPT của P là
n A; B; C , A2 B 2 C 2 0 .
Phương trình P có dạng A x 3 By C z 1 0 .
Do P nên u.n 0 A 2B 3C 0 A 2B 3C .
Gọi là góc giữa d và P . Ta có
u1.n
sin
u1 . n
3 A B 2C
14. A2 B 2 C 2
3 2 B 3C B 2C
14.
2 B 3C
2
B2 C 2
5B 7C
1
.
2
2
14 5B 12BC 10C
14. 5B 212 BC 10C 2
5B 7C
2
TH1: Với C 0 thì sin
5
70
.
14
14
B
5t 7 .
1
TH2: Với C 0 đặt t
ta có sin
2
C
14 5t 12t 10
2
Xét hàm số f t
Ta có f t
5t 7
2
5t 2 12t 10
50t 2 10t 112
5t 2 12t 10
2
trên
.
.
8
8 75
t 5 f 5 14
f t 0 50t 2 10t 112 0
.
7
7
t f 0
5
5
Và lim f t lim
x
x
5t 7
2
5t 2 12t 10
5.
Bảng biến thiên
Từ đó ta có Maxf t
75
8
B 8
1
75
8
. f
khi t . Khi đó sin
14
5 C 5
14
5 14
.
So sánh TH1 và Th2 ta có sin lớn nhất là sin
B 8
75
khi .
C 5
14
Chọn B 8 C 5 A 31.
Phương trình P là 31 x 3 8 y 5 z 1 0 31x 8 y 5 z 98 0 .
Câu 9: [2H3-5-4] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 4 z 0 , đường thẳng
M
x 1 y 1a z 3
d:
và điểm A 1; 3; 1 thuộc mặt phẳng P . Gọi là đường
2
1i
1
N
thẳng đi qua Ag, nằm trong mặt phẳng P và cách đường thẳng d một khoảng cách
u
lớn nhất. Gọi u a; b; 1 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Tính a 2b
y
e
n
.
A. a 2b 3 .
a 2b 7 .
B. a 2b 0 .
C. a 2b 4 .
D.
Lời giải
Chọn A
d
A
d
I
A
K
(P)
H
(Q)
Đường thẳng d đi qua M 1; 1; 3 và có véc tơ chỉ phương u1 2; 1; 1 .
Nhận xét rằng, A d và d P I 7; 3; 1 .
Q là mặt phẳng chứa
d , d d , Q d A, Q .
Gọi
d
và song song với
.
Khi đó
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Q và d . Ta có AH AK
.
Do đó, d , d lớn nhất d A, Q lớn nhất AH max H K . Suy ra AH
chính là đoạn vuông góc chung của d và .
Mặt phẳng R chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là n R AM , u1 2; 4; 8 .
Mặt phẳng Q chứa d và vuông góc với
nQ n R , u1 12; 18; 6 .
R
nên có véc tơ pháp tuyến là
Đường thẳng chứa trong mặt phẳng P và song song với mặt phẳng Q nên có
véc tơ chỉ phương là u n P , n R 66; 42; 6 6 11; 7; 1 .
Suy ra, a 11; b 7 . Vậy a 2b 3 .
(TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không
x 2 y 1 z 2
gian Oxyz , cho đường thẳng d :
và mặt phẳng
4
4
3
P : 2 x y 2 z 1 0 . Đường thẳng đi qua E 2; 1; 2 , song song với P
Câu 10: [2H3-5-4]
đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng có một véctơ chỉ phương u m; n; 1 .
Tính T m 2 n 2 .
A. T 5 .
C. T 3 .
B. T 4 .
D. T 4 .
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng P có vec tơ pháp tuyến n 2; 1; 2 và đường thẳng d có vec tơ chỉ
phương v 4; 4;3
Vì song song với mặt phẳng P nên u n 2m n 2 0 n 2m 2 .
Mặt
khác
ta
có
cos ; d
u.v
4m 4n 3
2
u .v
m2 n2 1. 42 4 32
4m 5
41 5m 2 8m 5
4m 5 1 . 16m2 40m 25 .
1
.
2
5m2 8m 5
41 5m 8m 5
41
2
Vì 0 ; d 90 nên ; d bé nhất khi và chỉ khi cos ; d lớn nhất
Xét hàm số f t
Bảng biến thiên
16t 2 40t 25
72t 2 90t
f
t
.
2
2
5t 2 8t 5
5
t
8
t
5
Dựa vào bảng biến thiên ta có max f t f 0 5 suy ra ; d bé nhất khi
m 0 n 2 . Do đó T m 2 n 2 4 .
Làm theo cách này thì không cần đến dữ kiện: đường thẳng đi qua E 2; 1; 2
.
Câu 11: [2H3-5-4] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD biết A 1;0;1 , B 1;0; 3
và điểm D có hoành độ âm. Mặt phẳng ABCD đi qua gốc tọa độ O . Khi đó
đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình
x 1
A. d : y t .
z 1
x 1
B. d : y t .
z 1
x 1
C. d : y t .
z 1
D.
x t
d : y 1.
z t
Lời giải
Chọn A
Ta có AB 0;0; 4 4 0;0;1 . Hay AB có véc-tơ chỉ phương k 0;0;1 .
Mặt phẳng ABCD có một véc-tơ pháp tuyến: OA; OB 0;4;0 4 0;1;0 , hay
j 0;1;0 là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ABCD .
AD k
AD AB
Vì
nên
. Đường thẳng AD có véc-tơ chỉ phương là
AD ABCD
AD j
j; k 1;0;0 .
x 1 t
Phương trình đường thẳng AD là: y 0 .
z 1
Do đó D 1 t;0;1 .
t 4
2
Mặt khác AD AB t 2 02 1 1 4
.
t 4
Vì điểm D có hoành độ âm nên D 3;0;1 .
Vì tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm BD , nên I 1;0; 1 .
Đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có véc-tơ pháp
x 1
tuyến là j 0;1;0 , nên phương trình đường thẳng d là: d : y t .
z 1