Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2014 - 2015

TÀI LI U ÔN THI THPT QU C GIA - MÔN TOÁNỆ Ố
NĂM 2014-2015
****************************
A.C U TRÚC Đ THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham kh o)Ấ Ề Ạ Ọ ả
Câu I (2 đi m):ể
- Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s . ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
- Các bài toán liên quan đ n ng d ng c a đ o hàm và đ th c a hàm s : chi u bi n thiên ế ứ ụ ủ ạ ồ ị ủ ố ề ế
c a hàm s ; c c tr ; giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s ; ti p tuy n, ti m c n (đ ng và ủ ố ự ị ị ớ ấ ỏ ấ ủ ố ế ế ệ ậ ứ
ngang) c a đ th hàm s ; tìm trên đ th nh ng đi m có tính ch t cho tr c, t ng giao ủ ồ ị ố ồ ị ữ ể ấ ướ ươ
gi a hai đ th (m t trong hai đ th là đ ng th ng) ữ ồ ị ộ ồ ị ườ ẳ
Câu II (1 đi m):ể
Bi n đ i l ng giác, ph ng trình l ng giác.ế ổ ượ ươ ượ
Câu III (1 đi m):ể
Ph ng trình, b t ph ng trình; h ph ng trình đ i s .ươ ấ ươ ệ ươ ạ ố
Câu IV (1 đi m):ể
- Tìm gi i h n.ớ ạ
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- ng d ng c a tích phân: tính di n tích hình ph ng, th tích kh i tròn xoay.Ứ ụ ủ ệ ẳ ể ố
Câu V (1 đi m):ể
Hình h c không gian (t ng h p): quan h song song, quan h vuông góc c a đ ng th ng, ọ ổ ợ ệ ệ ủ ườ ẳ
m t ph ng; di n tích xung quanh c a hình nón tròn xoay, hình tr tròn xoay; th tích kh i ặ ẳ ệ ủ ụ ể ố
lăng tr , kh i chóp, kh i nón tròn xoay, kh i tr tròn xoay; tính di n tích m t c u và th ụ ố ố ố ụ ệ ặ ầ ể
tích kh i c u. Các bài toán v kho ng cách t m t đi m t i m t m t ph ng, kho ng cách ố ầ ề ả ừ ộ ể ớ ộ ặ ẳ ả
g a 2 đ ng th ng chéo nhau.ữ ườ ẳ

Câu VI (1 đi m): ể
Bài toán t ng h p.(B t đ ng th c; c c tr c a bi u th c đ i s ) ổ ợ ấ ẳ ứ ự ị ủ ể ứ ạ ố
Câu VII (1 đi m):ể Ph ng pháp t a đ trong m t ph ng . ươ ọ ộ ặ ẳ
- Xác đ nh t a đ c a đi m, vect . ị ọ ộ ủ ể ơ
- Đ ng tròn, đ ng th ng, elip.ườ ườ ẳ
Câu VIII (1 đi m):ể Ph ng pháp t a đ trong không gian: ươ ọ ộ
- Vi t ph ng trình m t ph ng, đ ng th ng, m t c u. Tìm đi m tho đi u ki n cho ế ươ ặ ẳ ườ ẳ ặ ầ ể ả ề ệ
tr c.ướ
- Tính góc, tính kho ng cách t đi m đ n m t ph ng; v trí t ng đ i c a đ ng th ng, ả ừ ể ế ặ ẳ ị ươ ố ủ ườ ẳ
m t ph ng và m t c u. ặ ẳ ặ ầ
Câu IX (1 đi m):ể S ph c - T h p, xác su t. ố ứ ổ ợ ấ
B.CÁCH LÀM BÀI THI:
Khi làm bài thi chú ý không c n theo th t c a đ thi mà theo kh năng gi i đ c câuầ ứ ự ủ ề ả ả ượ
nào tr c thì làm tr c. Khi nh n đ c đ thi, c n đ c th t k đ phân đ nh đâu là các câuướ ướ ậ ượ ề ầ ọ ậ ỹ ể ị
h i quen thu c và d th c hi n u tiên gi i tr c, các câu h i khó nên gi i quy t sau. Cóỏ ộ ễ ự ệ ư ả ướ ỏ ả ế
th ta đánh giá m t câu h i nào đó là d và làm vào gi y thi nh ng khi làm m i th y là khóể ộ ỏ ễ ấ ư ớ ấ
thì nên d t khoát chuy n qua câu khác, sau đó còn thì gi hãy quay tr l i gi i ti p. Khi g pứ ể ờ ở ạ ả ế ặ
đ thi không khó thì nên làm r t c n th n, đ ng ch quan đ x y ra các sai sót do c u th ;ề ấ ẩ ậ ừ ủ ể ả ẩ ả
1







còn v i đ thi có câu khó thì đ ng nên n n lòng s m mà c n kiên trì suy nghĩ. Ph i bi t t nớ ề ừ ả ớ ầ ả ế ậ
d ng th i gian trong bu i thi đ ki m tra các sai sót (n u có) và t p trung suy nghĩ đ gi iụ ờ ổ ể ể ế ậ ể ả
các câu khó còn l i (n u g p ph i). Khi làm bài thi b ng nhi u cách khác nhau mà đ n đoạ ế ặ ả ằ ề ắ
khơng bi t cách nào đúng sai thì khơng nên g ch b ph n nào h t đ giám kh o t tìm chế ạ ỏ ầ ế ể ả ự ỗ

đúng đ cho đi m.ể ể
C. M T S CH Đ ƠN T PỘ Ố Ủ Ề Ậ
PH N I:Ầ HÌNH H C KHƠNG GIAN OXYZỌ
TĨM T T LÝ THUY TẮ Ế
I.H T A Đ TRONG KHƠNG GIANỆ Ọ Ộ
1.To đ đi m to đ véc t :ạ ộ ể ạ ộ ơ
( )
( )
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 1
2 2
3 3
1 1 2 2 3 3
2 2 2
1 2 3
Cho a (a;a ;a ),b (b ;b ;b )
1. a b a b ,a b ,a b
2. k.a ka ,ka ,ka
a b
3. a b a b
a b
4. a.b a.b a .b a .b
5. a a a a
a.b
6. cos(a;b)
a.b
7. a cu�ng ph��ng
= =

 =   
=

=

= =�


=

= + +
= + +
=
r r
r r
r
r r
r r
r
r r
r r
ur uur
r
1 1 2 2 3 3
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a
1 2 3
b a k.b a b 0
b b b

1 2 3
8. a b a.b 0 a.b a .b a .b 0
a a a a a a
9. a b a;b , ,
b b b b b b
= = = =� � � �
⊥ = + + =� �
� �
� �
= =�
� �
� �
� �
� �
r r r r r r
r r r r
r r r r
= − − −
uuur
B A B A B A
10. AB (x x ,y y ,z z )
11.
2 2 2
B A B A B A
AB AB (x x ) (y y ) (z z )
= = − + − + −
uuur
12.
r r r
a,b,c

đ ng ph ng ồ ẳ
( )
. 0a b c =� �
r r r
13. a,b,c
r r r
khơng đ ng ph ng ồ ẳ
( )
. 0a b cٹ�
r r r
14.M là trung đi mc a AB thìể ủ







2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M
15. G là tr ng tâm tam giác ABCọ









,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véct đ n v :ơ ơ ị
1 2 3
(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)e e e
= = =
ur uur ur
17.
OzzKOyyNOxxM

),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM

),0,(;),,0(;)0,,(
19.
2 2 2
ABC 1 2 3

1 1
S AB AC a a a
2 2
∆
= = + +�
uuur uuur
20.
ABCD
1
V (AB AC).AD
6
= 
uuur uuur uuur
21.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD

2/ Mặt cầu :
2.1.Ph ngươ trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r

( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
x a y b z c

(1)
Ph ngươ trình
D
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
(2) (
A B C D
+ + − >
2 2 2
v��i 0
) là
phương trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và
= + + −
2 2 2
r A B C D

2 2 Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
(S): x a y b z c
và mp( ): Ax + By + Cz + D = 0
2

G i d = d(I,(ọ  )) là kh ang cách t tâm mc(S) đ n mp(ỏ ừ ế  ):
 d > r : (S)  ( ) = 
 d = r : ( ) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm,  : tiếp diện)
 d < r : ( ) cắt (S) theo đường tròn có ph ng ươ trình
( ) ( ) ( )
2
( )

− + − + − =


+ + + =


r
α
2 2 2
(S): x a y b z c
: Ax By Cz D 0
II. M T PH NGẶ Ẳ
1. Vect pháp tuy n c a mpơ ế ủ

:
n
r


0
r
là véct pháp tuy n c a mp(ơ ế ủ  )

Giá của
n
r

mp( )
2.P.trình t ng qt c a mp(ổ ủ

): Ax + By + Cz + D = 0(1). Mp(1) có 1VTPT
n
r
= (A;
3.M t s tr ng h p đ cbi t c a ph ng trình m t ph ng ộ ố ườ ợ ặ ệ ủ ươ ặ ẳ
*Ph ng trình m t ph ng song song ho c ch a ox: ươ ặ ẳ ặ ứ By+Cz+D=0 ( D 0 song song, D=0
ch a)ứ
*Ph ng trình m t ph ng song song ho c ch a oy: Axươ ặ ẳ ặ ứ +Cz+D=0 ( D 0 song song, D=0
ch a)ứ
*Ph ng trình m t ph ng song song ho c ch a oz: Axươ ặ ẳ ặ ứ +By+D=0 ( D 0 song song, D=0
ch a)ứ
*Ph ng trình m t ph ng ươ ặ ẳ đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c):
1
c
z
b
y
a
x


v i ớ
*Ph ng trình các m t ph ng t a đươ ặ ẳ ọ ộ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
4. V trí t ng đ i c a hai mp (ị ươ ố ủ

): A
1
x +B
1
y +C
1
z + D
1
= 0 và (

) : A
2
x +B
2
y+C
2
z + D
2
= 0
°
1 1 1 2 2 2
α β( )ca�t( ) A :B :C A :B :C
۹
°
1 1 1 1

2 2 2 2
α β
A B C D
( )/ /( )
A B C D
= =� �
°
1 1 1 1
2 2 2 2
α β
A B C D
( ) ( )
A B C D
= = =� �
Đặc biệt
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) A A B B C C 0
α ⊥ β + + =�
5.KC t M(xừ
0
,y
0
,z
0
) đ n ế (

) : Ax + By + Cz + D = 0

o o o
2 2 2

Ax By Cz D
A B C
α
+ + +
=
+ +
d(M,( ))
6.Góc gi a ữ hai mặt phẳng :
1 2
1 2
n .n
α β
n . n
=
r r
r r
cos( , )
v i ớ
1 2
n ; n
r r
là VTPT c a 2 m t ph ngủ ặ ẳ
III. Đ NG TH NG TRONG KHƠNG GIANƯỜ Ẳ
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp

a
r
=
(a
1
;a
2
;a
3
)

Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o









:
2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:




3
( v i aớ
1
.a
2.
a
3
≠0)

3.Vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa 2 ủửụứng thaỳng :
Cho 2 ng th ng d
1
: cú vộct ch ph ng
a

v i qua M
1
, d
2
: cú vộct ch ph ng

b

v i qua M
2
* d
1
// d
2


=





r r r

r uuuuur r
1
2
a^b 0
a^M M 0
*d
1
d
2


=


=


r r r
r uuuuur r
1
2
a^b 0
a^M M 0
* d
1
c t d
2

( )

=


r r r
r r uuuuur
1
2
a^b 0
a^b .M M 0
*d
1
chộo d
2

( )

r r uuuuur
1
2
a^b .M M 0

* c bi t d
1
d
2

. 0=

r r
a b
4.Gúc gi a 2 ng th ng :
=
r r
r r
1 2
a.b
cos(d ;d )
a b
4







5. Kho ng cách gi a t M đ n đ ng dả ữ ừ ế ườ
1
:
( )
1
1
;
;
M M a
d M d
a
� �

� �
=
uuuuur r
r
6. Kho ng cách gi a 2 đ ng th ng song songả ữ ườ ẳ : d(d
1
;d
2
)=d(M
1
;d
2
).
7. Kho ng cách gi a 2 đ ng th ng chéo nhauả ữ ườ ẳ :
( )
1 2
; .
;

;
a b M M
a b
� �
� �
=
� �
� �
d d d
1 2
r r uuuuuur

r r
M T S D NG BÀI T P:Ộ Ố Ạ Ậ
I/ M T S BÀI TOÁN V M T C U:Ộ Ố Ề Ặ Ầ
D ng toán 1ạ : Tìm tâm và bán kính c a các m t c u có ph ng trình:ủ ặ ầ ươ
D
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
Ph ng pháp gi i:ươ ả
 Tìm tâm: hoành đ l y h s c a x chia (-2), tung đ l y h s c a y chia (-2), cao đ l y ộ ấ ệ ố ủ ộ ấ ệ ố ủ ộ ấ
h s c a z chia (-2)ệ ố ủ  Tâm m t c u là I(-Aặ ầ ;-B ;-C).
 Tím bán kính
2 2 2
A +B +C -Dr =
Ví d :ụ Tìm tâm và bán kính c a các m t c u sau:ủ ặ ầ
a)
x y z x y
2 2 2
8 2 1 0+ + − − + =
Gi i:ả
a/Tâm m t c u là I(4;1;0), bán kính c a m t c uặ ầ ủ ặ ầ là:
+ + − + + − = + + − + + − =�
b x y z x y z x y z x y z
2 2 2 2 2 2
8
/ 3 3 3 6 8 15 3 0 2 5 1 0
3
Tâm m t c u là I(1; -4/3; -5/2), bán kính c a m t c u là: ặ ầ ủ ặ ầ
D ng toán 2:ạ

Tìm tâm H và bán kính r c a đ ng tròn giao tuy n gi a m t c u S(Iủ ườ ế ữ ặ ầ ;R)
và mp( ):
Ph ng pháp gi i:ươ ả
+ Tìm tâm H
B1: Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua I và vuông góc mp(ế ươ ườ ẳ  )
B2: Tâm H là giao đi m c a d và mp(ể ủ  ).
+ Bán kính
),(
22

IdRr

Ví d : ụ Cho m t c u (ặ ầ S) :
2 2 2
( 3) ( 2) ( 1) 100x y z− + + + − =
và m t ph ngặ ẳ
( ):2 2 9 0x y z
α
− − + =
. Ch ng minh r ng (ứ ằ S) và ( ) c t nhau theo giao tuy n là đ ng tròn ắ ế ườ
(T). Tìm tâm và bán kính đ ng tròn (T)ườ
Gi i:ả
M t c u (ặ ầ S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính R = 10. Ta có :
2.3 2( 2) 1 9
( ,( )) 6
4 4 1
d I
α
− − − +
= =

+ +
<10=R mc(S) c t (ắ  ) theo giao tuy n là đ ng tròn (T). ế ườ
Mp
( )
α
có 1 VTPT là
(2; 2; 1)n = − −
r
Đ ng th ng d qua I vuông góc v i mpườ ẳ ớ
( )
α
có m t VTCP là ộ
(2; 2; 1)n = − −
r
 ph ng trìnhươ
2 2 2 2 2 2
A +B +C -D ( 4) +(-1) +0 -1 4r = = − =
2 2
2 2 2 2
4 5 19
A +B +C -D ( 1) + + +1
3 2 6
r
� � � �
= = − =
� � � �
� � � �

tham s là: ố
3 2
2 2
1
x t
y t
z t

= +

= − −


= −

. G i H= dọ 
( )
α
 H d  H(3+2t;-2-2t;1-t). M t khác Hặ  mp
( )
α
 ta
có: 2(3+2t)-2(-2-2t)-(1-t)+9=0 9t=18  t=2  H(7;-6;-1).Tâm c a đ ng tròn (T) chính là ủ ườ
H(7;-6;-1)
Bán kính đ ng tròn giao tuy n làườ ế :
2 2 2 2

r ( ;( )) 10 6 8R d I
α
= − = − =
D ng toán 3ạ : L p ph ng trình m t c u ậ ươ ặ ầ
Chú ý: Khi l p ph ng trình m t c u c n tìm:ậ ươ ặ ầ ầ
Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r c a m t c u ủ ặ ầ  ph ng trình là:ươ
( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
x a y b z c
Cách 2: Các h s A, B, C, D trong ph ng trình:ệ ố ươ
D
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
 ptr mặt
cầu
Bài toán 1: L p ph ng trình m t c u tâm I đi qua Aậ ươ ặ ầ
Ph ng pháp gi i:ươ ả
 Tìm bán kính m t c u làặ ầ :
2 2 2
( ) ( ) ( )
A I A I A I
r IA x x y y z z= = − + − + −
 L p ph ng trình m t c u tâm I bán kính r.ậ ươ ặ ầ
Ví d :ụ L p ph ng trình m t c u ậ ươ ặ ầ đi qua đi m A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).ể
Gi i:ả
B¸n kÝnh mÆt cÇu là:

2 2 2
2 1 0 5r IA= = + + =
V y phậ ng trình c a m t c u là : (x-3)ươ ủ ặ ầ
2
+ (y+3)
2
+ (z-1)
2
= 5
Bài toán 2: L p ph ng trình mậ ươ t c u đ ng kính ABặ ầ ườ
Ph ng pháp gi i:ươ ả
 Tìm trung đi m I c a đo n AB v i ể ủ ạ ớ
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
, tính đo nạ
2 2 2
AB ( ) ( ) ( )
B A B A B A
x x y y z z
= − + − + −
 L p ph ng trình m t c u tâm I bán kính ậ ươ ặ ầ
2
AB
r =
Ví d :ụ L p ph ng trình m t c u ậ ươ ặ ầ có đ ng kính AB v i A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).ườ ớ
Gi i:ả

Trung đi m c a đo n th ng AB là I(3;-1ể ủ ạ ẳ ;5),
2 2 2
AB= ( 2) 4 ( 4) 6− + + − =
M t c u đ ng kính AB có tâm I(3;-1ặ ầ ườ ;5), bán kính
AB
3
2
r = =
ph ng trình c a m t c u là :ươ ủ ặ ầ
Bài toán 3: L p ph ng trình ậ ươ m t c u tâm I ti p xúc mp(ặ ầ ế  )
Ph ng pháp gi i:ươ ả
 Tìm bán kính m t c u làặ ầ :
+ + +
= α =
+ +
B.y C.z D
I I I
2 2 2
A B C
A.x
r d(I,( ))
 L p ph ng trình m t c u tâm I bán kính r.ậ ươ ặ ầ
Ví d :ụ L p ph ng trình m t c u tâm I(1ậ ươ ặ ầ ; 2 ; 4) ti p xúc v i m t ph ngế ớ ặ ẳ (
α
): 2x+2y+z-1=0
Gi i:ả
Bán kính m t c u làặ ầ :
+ + −
= α = =
+ +

r d(I,( ))
ﾠ2.1 2.2 4 1
1
2 2 2
2 2 1
Ph ng trình m t c u làươ ặ ầ :
2 2 2
( 1) ( 2) ( 4) 1x y z− + − + − =
Bài toán 4: L p ph ng trình mậ ươ t c u đi qua 4 đi m A, B, C, Dặ ầ ể
Ph ng pháp gi i:ươ ả
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9x y z− + + + − =







Ptr mc có d ng ạ
D
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
(1). A,B,C,D  mc(S)

th t a đ các ế ọ ộ
đi m A,B,C,D vào (1). ể
Gi i h pt, tìm A, B, C, D.ả ệ
Ví d :ụ

L p ph ng trình m t c u (S) ậ ươ ặ ầ ñi qua boán ñieåm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-
1 ); D( 4 ; 1 ; 0 ).
Gi i:ả
Ph ng m t c u (S) có d ng: ươ ặ ầ ạ
D
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
, ta có :

(6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0(1)
(0;1;6) ( ) 37 2 12 0(2)
(2;0; 1) ( ) 5 4 2 0(3)
(4;1;0) ( ) 17 8 2 0(4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
D S A B D
− + − + + =�
� �
� �
+ + + =�
� �

� �
− + − + =�
� �
� �
+ + + =�
� �

.L y (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta đ c h :ấ ượ ệ

12 6 6 12 2
4 2 14 32 1 3
4 2 2 12 3
A B C A
A B C B D
A B C C
− − = − = −
� �
� �
− + + = − = = −� �
� �
� �
− − − = = −
� �
V y ph ng trình măt c u là: xậ ươ ầ
2
+y
2
+z
2
-4x+2y-6z-3=0
Bài toán 5: L p ph ng trình m t c u đi qua 3 đi m A, B, C có tâm n m trên mp(P) ậ ươ ặ ầ ể ằ
Ph ng pháp gi i:ươ ả
Mc(S) có ptr:
D
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0

(2)
A,B,C  mc(S): th t a đ các đi m A,B,C vào (2). Th to đ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào ptr ế ọ ộ ể ế ạ ộ
mp(P)
Gi i h ph ng trình trên tìm A, B, C, D ả ệ ươ  ph ng trình m t c u. ươ ặ ầ
Ví d :ụ L p ph ng trình m t c u (S) ậ ươ ặ ầ đi qua ba đi m A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có ể
tâm I thu c mp(P)ộ : x+2y+2z-3=0
Gi i:ả
Ph ng m t c u (S) có d ng: ươ ặ ầ ạ
D
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
, ta có :
(6; 2;3) ( ) 12 4 6 49(1)
(0;1;6) ( ) 2 12 37(2)
(2;0; 1) ( ) 4 2 5 (3)
( ; ; ) ( ) 2 2 3 (4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
I A B C P A B C
− − + + = −�
� �
� �
+ + = −�
� �

� �
− − + = −�
� �

� �
− − − − − − =�
� �
.L y (1)-(2); (2)-(3); k t h p(4) ta đ c h :ấ ế ợ ượ ệ
7
5
12 6 6 12
11 27
4 2 14 32
5 5
2 2 3
3
A
A B C
A B C B D
A B C
C

= −

− − = −


� �
− + + = − = = −� �
� �
� �
− − − =

= −





V y ph ng trình m t c u là: xậ ươ ặ ầ
2
+y
2
+z
2
-
14
5
x +
22
5
y - 6z
27
5
−
=0
BÀI T P Đ NGHẬ Ề Ị
Bài 1: Tìm tâm và bán kính c a các m t c u sau:ủ ặ ầ
a)
2 2 2
6 2 4 5 0+ + + − − + =x y z x y z

+ + + − + − =
x y z x y z
2 2 2

b) 2 2 2 12 8 16 8 0
c) (x-2)
2
+(y+3)
2
+(z-1)
2
= 9 d) (x+2)
2
+(y+5)
2
+ z
2
= 8
Bài 2: L p ph ng trình m t c u (S) ậ ươ ặ ầ
a)Đi qua đi m A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1) b)Đi qua đi m A(1; 2; -3) và có tâm I(2; –1; ể ể
1).
Bài 3: L p ph ng trình m t c u ậ ươ ặ ầ có đ ng kính ABườ
a) V i A(4; 5; 7), B(2; 1; 3). b) V i A(4; 2; 1), B(0; 4; 7).ớ ớ







Bài 4: L p ph ng trình m t c u tâm I(1; 2; 4) ti p xúc v i m t ph ngậ ươ ặ ầ ế ớ ặ ẳ (P): 2x-2y + z - 4=0
Bài 5: L p ph ng trình m t c u (S) ậ ươ ặ ầ ñi qua boán ñieåm A(5 ;2 ; 3 ), B(0;1;4),
C(2;0;-1); D(4; 1; 0).
Bài 6: L p ph ng trình m t c u (S) ậ ươ ặ ầ đi qua ba đi m A(3;-2 ;0), B(0;1;2), C(2; 0;-1 ) có tâm I ể

thu c mp(P)ộ : x-2y+2z-5=0
Bài 7: Cho m t c u (S): (x-1)ặ ầ
2
+ y
2
+ (z+2)
2
= 9 và mp(P): x +2y +2z-3=0. Ch ng minh ứ
m t ph ng (P) c t m t c u (S).ặ ẳ ắ ặ ầ Tìm tâm bán kính c a đ ng tròn giao tuy n.ủ ườ ế







II/ M T S BÀI TOÁN V PH NG TRÌNH M T PH NG:Ộ Ố Ề ƯƠ Ặ Ẳ
Chuù yù :
- Mu n vi t ph ng trình m t ph ng th ng tìm: ố ế ươ ặ ẳ ườ 1 đi m đi qua và 1ể véct pháp ơ
tuy nế
-M t ph ng qua ặ ẳ 1 đi m M(xể
0
;y
0;
z
0
) và có 1 véct pháp tuy n ơ ế
n
r
= (A; B; C)

ph ng trình là: A(x-xươ
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
)= 0.
-N u không tìm đ c ngay véct pháp tuy n c a mpế ượ ơ ế ủ ( ) ta đi tìm 2 véct ơ
,a b
r r
không cùng ph ng có giá song song ho c n m trong mpươ ặ ằ ( ) khi đó
[ ; ]n a b=
r r r
là m t ộ
véct pháp tuy n c a m t ph ngơ ế ủ ặ ẳ ( ).
D ng 1ạ : Vi t ph ng trình mpế ươ
( )
α
đi m đi qua Mể
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và 1 véct pháp tuy nơ ế
( ; ; )=
r
n A B C

.
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Nêu rõ m t ph ng đi qua Mặ ẳ
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có 1 véct pháp tuy n ơ ế
( ; ; )=
r
n A B C
.
B2: Vi tế ph ng trình mp(ươ
α
) theo công th c: A(x-xứ
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
B3: Rút g n đ a v d ng: Ax+By+Cz+D=0.ọ ư ề ạ
Ví d : ụ
Vi t ph ng trình m t ph ng (ế ươ ặ ẳ
α
) đi qua A(2;3;1) và có m t VTPT là ộ
n (2;3;1)=

r
Gi i:ả
M t ph ng (ặ ẳ
α
) đi qua A(2;-1;1) và có 1 véct VTPT ơ
n (2; 3;5)
= −
r
 ph ng trình là:ươ
2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0  2x-3y+5z-12 =0
D ng 2ạ : Vi t ph ng trình mpế ươ
( )
α
đi qua 3 đi m không th ng hàng A, B, C.ể ẳ
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Tìm to đ ạ ộ
AB, AC
uuur uuur
B2: Tìm
n AB;AC
� �
=
� �
r uuur uuur
B3: Vi t ph ng trìnhế ươ mp(P) đi qua đi m A và nh n ể ậ
n
r
làm VTPT.
Ví d :ụ Vi t ph ng trìnhế ươ mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
Gi i:ả

Ta có:
AB (2;2; 1), AC (2;1; 3)= − = −
uuur uuur

n AB;AC ( 5;4; 2)
� �
= = − −
� �
r uuur uuur
M t ph ng (P) đi qua A và có 1 véct VTPT ặ ẳ ơ
n ( 5;4; 2)
= − −
r
 ph ng trình là:ươ
-5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0  -5x+4y-2z =0  5x-4y+2z=0.
D ng 3:ạ Vi t ph ng trình mp(ế ươ  ) đi qua đi m M(xể
0
;y
0
;z
0
) và song song v i mp(ớ
β
):
Ax+By+Cz+D=0 .
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1:Do mp
( )α
//mp(
β

): Ax+By+Cz+D=0 ph ng trình mpươ
( )α
có
d ng:Ax+By+Cz+m=0ạ
(m D)
B2: mp
( )α
đi qua đi m Mể
0
 ta có Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ m=0 m tho đi u ki n mả ề ệ  D
 ph ng trình mpươ
( )α
Ví d :ụ
Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song v i m t ph ng (Q):2x-ế ươ ặ ẳ ớ ặ ẳ
y+3z+4=0







Gi i:ả
M t ph ng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên ph ng trình c a mp(P) có d ng 2x-y+3z+D=0 ặ ẳ ươ ủ ạ

(D≠4). M t khác mp(P) đi qua đi m M(1;3;-2)ặ ể nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0  D=7 (nh n). ậ
V y ph ng trình mp c n tìm là: 2x-y+3z+7=0ậ ươ ầ
D ng 4:ạ Vi t ph ng trình mpế ươ
( )α
song song v i mp(ớ
β
): Ax+By+Cz+D=0 cho tr cướ
cách đi m M cho tr c m t kho ng k cho tr c (k>0).ể ướ ộ ả ướ
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Do mp
( )α
//mp(
β
): Ax+By+Cz+D=0 ph ng trình mpươ
( )α
có
d ng:Ax+By+Cz+m=0ạ
(m D)
B2: Gi i ph ng trình d(M;ả ươ
( )α
)= k tìm đ c m tho mượ ả  D ph ng trình mp(ươ
α
).
Ví d :ụ : Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho mpớ ệ ọ ộ (
β
):5x+y-7z+3=0. Vi t ph ngế ươ
trình mp( ) //mp(
β
) và cách đi m A(1;2;3) m t kho ng b ng 2. ể ộ ả ằ
Gi iả

Mp( ) có m t VTPT là ộ
1
(5;1; 7)= −
ur
n
, mp ( ) //mp(
β
)  ph ng trình mp(ươ  ) có d ng:ạ
5x+y-7z+D = 0 (D≠3)
Do mp( ) cách đi m A(1;2;3) m t kho ng b ng 2 ể ộ ả ằ  d(A;( ))=2 
2 2 2
5.1 2 - 7.3 D D-14
2 2 D-14 10 3 D-14= 10 3 14 10 3
5 3
5 1 ( 7)
D
+ +
= = = =� � ۱� �
+ + −
(nh n)ậ
 ph ng trình c a mp(ươ ủ  ) là:
5x y 7z+14 10 3 0+ −  =
D ng 5: ạ Vi t ph ng trình m t ph ngế ươ ặ ẳ
( )
α
đi qua 2 đi m A, B và song song v i đo nể ớ ạ
CD cho tr c. (v i ướ ớ
AB
uuur
không cùng ph ng v i ươ ớ

CD
uuur
).
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Tìm to ạ đ ộ
AB
uuur
và
CD
uuur
.
B2: Tìm
n AB,CD
� �
=
� �
r uuur uuur
.
B3: Vi t ph ng trìnhế ươ m t ph ng (ặ ẳ
α
) đi qua đi m A (ho c B) và nh n ể ặ ậ
n
r
làm VTPT.
T ng quát:ổ Vi t ph ng trình m t ph ngế ươ ặ ẳ
( )
α
đi qua đi m A, B và song song v iể ớ
đ ng th ng d cho tr c. (AB không song song v i d).ườ ẳ ướ ớ
Ph ng pháp gi i:ươ ả

B1: Tìm to đ ạ ộ
AB
uuur
và véct ch ph ng ơ ỉ ươ
a
r
c a d.ủ
B2: Tìm
n AB,d
� �
=
� �
r uuur r
.
B3: Vi t ph ng trìnhế ươ m t ph ng (ặ ẳ
α
) đi qua đi m A (ho c B) và nh n ể ặ ậ
n
r
làm VTPT.
Ví d :ụ Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho b n đi m A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1), ớ ệ ọ ộ ố ể
C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0). L p ph ng trình m t ph ngậ ươ ặ ẳ
( )
α
ch a đ ng th ng CD và song ứ ườ ẳ
song v i đ ng th ng AB.ớ ườ ẳ
Gi iả
Ta có
( ) ( )
1, 5, 2 ; 2,1,1= − − =

uuur uuur
AB CD


( )
; 3, 5,11
� �
= = − −
� �
r uuur uuur
n AB CD
là VTPT c a mpủ
( )
α

M t ph ng ặ ẳ
( )
α
ch a đ ng th ng CD và song song v i đ ng th ng ABứ ườ ẳ ớ ườ ẳ đi qua C có 1 VTPT
( )
3, 5,11= − −
r
n
 Ph ng trình mpươ
( )
α
là:
-3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = 0  -3x – 5y + 11z + 17 = 0  3x+5y-11z -17 = 0
D ng 6ạ : Vi t ph ng trình m t ph ngế ươ ặ ẳ
( )

α
đi qua đi m A và ch a đ ng th ng d choể ứ ườ ẳ
tr c. (ướ
A d
)







Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Tìm to đ đi m Mạ ộ ể
0


d và VTCP
u
r
c a d. Tìm ủ
0
AM
uuuuur
B2: Tìm
0
n AM ,u
� �
=
� �

r uuuuur r
B3: Vi t PT m t ph ng(ế ặ ẳ
α
)đi qua đi m A và nh n ể ậ
n
r
làm VTPT.
Ví d :ụ L p ph ng trình m t ph ng ậ ươ ặ ẳ ( ) đi qua A(-1 ,2 , 3) và ch a tr c 0x.ứ ụ
Gi iả
Tr c 0x đi qua O(0;0;0) và có 1VTCP ụ
i (1;0;0)=
r
,
OA ( 1;2;3)= −
uuur

n OA;i
� �
=
� �
r uuur r
=(0;3;-2). M t ph ng (ặ ẳ
α
) đi qua đi m A và nh n ể ậ
n
r
=(0;3;-2) làm m t VTPT,ộ
ph ng trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0 ươ  3y-2z=0.
Cách khác :
Ph ng trình m t ph ng(ươ ặ ẳ

α
) ch a tr c ox có d ng: By+Cz=0. (1)ứ ụ ạ
Do m t ph ng(ặ ẳ
α
) đi qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 ch n B=3 ọ  C= -2  ph ng trìnhươ
m t ph ng (ặ ẳ
α
) là: 3y-2z=0.
D ng 7:ạ Vi t ph ng trình m t ph ng trung tr c c a đo n th ng ABế ươ ặ ẳ ự ủ ạ ẳ .
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Tìm to đ ạ ộ
AB
uuur
và to đ trung đi m I c a đo n AB.ạ ộ ể ủ ạ
B2: M t ph ng c n tìm đi qua đi m I và nh n ặ ẳ ầ ể ậ
AB
uuur
làm VTPT.
B3: Vi t ph ng trìnhế ươ m t ph ng trung tr c đi qua đi m I và nh n ặ ẳ ự ể ậ
AB
uuur
làm VTPT.
Ví d :ụ
Vi t ph ng trình m t ph ng trung tr c (P) c a đo n th ng AB, v i A(1;3;0) và B(3,-1;2)ế ươ ặ ẳ ự ủ ạ ẳ ớ
Gi i:ả
Ta có trung đi m c a AB là I(2;1;1), ể ủ
AB (2; 4;2)= −
uuur
.
Mp(P) đi qua trung đi m I c a AB và có 1VTPT là ể ủ

AB (2; 4;2)= −
uuur
 ph ng trình m t ph ng ươ ặ ẳ
trung tr c (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 ự  2x-4y+2z-2=0
D ng 8:ạ Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua M vuông góc v i đo n th ng ABế ươ ặ ẳ ớ ạ ẳ .
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Tìm to ạ đ ộ
AB
uuur
.
B2: M t ph ng c n tìm ặ ẳ ầ đi qua đi m M và nh n ể ậ
AB
uuur
làm VTPT.
B3: Vi t ph ng trìnhế ươ m t ph ng (P) ặ ẳ đi qua đi m M và nh n ể ậ
AB
uuur
làm VTPT.
Ví d :ụ
Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua M(1;3;0) vuông góc v i đo n th ng AB, bi t ế ươ ặ ẳ ớ ạ ẳ ế
A(1;0;1) và B(3,-1;2).
Gi i:ả
Ta có
AB (2; 1;1)= −
uuur
.
Mp(P) đi qua M(1;3;0) và có 1VTPT là
AB (2; 1;1)= −
uuur
 ph ng trình m t ph ng (P) là: 2(x-ươ ặ ẳ

1)-(y-3)+1(z-0)=0  2x-y+z+1=0
T ng quát: ổ Vi t ph ng trình m t ph ngế ươ ặ ẳ
( )
α
đi qua đi m Mể
0
cho tr c và vuôngướ
góc v i đ ng th ng d cho tr cớ ườ ẳ ướ .
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Tìm VTCP
u
r
c a d.ủ
B2: Vi t ph ng trình m t ph ngế ươ ặ ẳ
( )α
đi qua đi m Mể
0
và nh n ậ
u
r
làm VTPT.
D ng 9:ạ Vi t ph ng trình m t ph ngế ươ ặ ẳ
( )
α
đi qua 2 đi m A, B và vuông góc v i m tể ớ ặ
ph ng(ẳ
β
) cho tr c. (AB không vuông góc v i ướ ớ
( )
β

).
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Tìm to đ ạ ộ
AB
uuur
và VTPT
n
β
uur
c a m t ph ng(ủ ặ ẳ
β
).







B2: Tìm
n AB, n
β
� �
=
� �
r uuur uur
.
B3: Vi t ph ng trìnhế ươ m t ph ng (ặ ẳ
α
)đi qua đi m A (ho c B) và nh n ể ặ ậ

n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Vi t ph ng trình mp (ế ươ
α
) đi qua hai đi m A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc v i ể ớ
mp(P): 2x-y+3z-1=0
Gi iả
Ta có
AB ( 1; 2;5)= − −
uuur
, mp(P) có 1 VTPT là
P
n (2; 1;3)= −
uur

P
n AB;n ( 1;13;5)
� �
= = −
� �
r uuur uur

Mp(
α
) đi qua A(3;1;-1), có 1 VTPT là
n ( 1;13;5)= −
r
 ph ng trình m t ph ng (ươ ặ ẳ
α

) là:
-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0  -x+13y+5z-5=0  x-13y-5z+5=0
D ng 10: ạ
Vi t ph ng trình m t ph ngế ươ ặ ẳ
( )
α
//
( )
β
: Ax+By+Cz+D=0 và ti p xúc v i m t c uế ớ ặ ầ
(S).
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1:Xác đ nh tâm I bán kính R c a m t c u (S).ị ủ ặ ầ
B2:Do mp(
α
)//mp
( )
β
 ph ng trình m t ph ng(ươ ặ ẳ
α
) có d ng Ax+By+Cz+m=0(*)ạ
(m≠D)
B3: M t ph ngặ ẳ
( )
α
ti p xúc v i m t c u (S)ế ớ ặ ầ  d(I,(
α
))=R gi i ph ng trình này tìmả ươ
đ c m th a đi u ki n m≠D thay vào (*) ta đ c ph ng trình m t ph ng(ượ ỏ ề ệ ượ ươ ặ ẳ
α

).
Ví dụ : Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đi m M(2;3;-1), m t ph ng (P ) :ớ ệ ọ ộ ể ặ ẳ
2 10 0x y z
+ + + =
và m t c u (S) : ặ ầ
2 2 2
2 4 6 8 0
+ + − + − + =
x y z x y z
. Vi t ph ng trìnhế ươ
m t ph ng (R) song song v i m t ph ng (P) và ti p xúc v i m t c u (S) ặ ẳ ớ ặ ẳ ế ớ ặ ầ
HD: M t c u (S) có tâm I(1,-2,3) và ặ ầ
6R =

Ph ng trình m t ph ng (R) có d ng: ươ ặ ẳ ạ
2 0x y z m
+ + + =
( )
10m 
Do m t ph ng (R) ti p xúc v i m t c u (S) nên: ặ ẳ ế ớ ặ ầ
( )
( )
,d I R R=
1 2 6
6
1 1 4
m− + +
=�
+ +
Gi i ph ng trình ta đ c: ả ươ ượ

1( )
11( )
m n
m n
=


= −

. V y có 2ậ m t ph ng (R) th a yêu c u bài toán ặ ẳ ỏ ầ
ph ng trình là: ươ
2 1 0x y z+ + + =
và
2 11 0x y z+ + − =

BÀI T P Đ NGHẬ Ề Ị
Bài 1: Vi t ph ng trình m t ph ng (ế ươ ặ ẳ
α
) đi qua A(-2;3;1) và có m t VTPT là ộ
n (3; 2;1)= −
r
Bài 2: Vi t ph ng trìnhế ươ mp(P) qua A(-2;1;0),B(3;0;1),C(5;5;5)
Bài 3: Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua M(1;3;2) và song song v i m t ph ng ế ươ ặ ẳ ớ ặ ẳ
(Q):3x+5y-2z+4=0
Bài 4: Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho mpớ ệ ọ ộ (
β
):2x+y-2z+3=0. Vi t ph ng trình ế ươ
mp( ) //mp(
β
) và cách đi m A(1;2;3) m t kho ng b ng 2. ể ộ ả ằ

Bài 5: L p ph ng trình m t ph ng ậ ươ ặ ẳ ( ) đi qua A(1, 0, 2) và ch a đ ng th ngứ ườ ẳ
1 2
:
1 2 3
− +
= =
x y z
d
.
Bài 6: Vi t ph ng trình m t ph ng trung tr c (P) c a đo n th ng AB, v i A(5;3;2) và B(3,-ế ươ ặ ẳ ự ủ ạ ẳ ớ
1;2)
Bài 7: Vi t ph ng trình mp (ế ươ
α
) đi qua hai đi m A(2;3;-1), B(3;1;4) và vuông góc v i mp(P): ể ớ
2x-y+3z-1=0
Bài 8: Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai mpớ ệ ọ ộ
( )
α
: x+3y-4z+3=0 và mp(
β
): 2x+2y-
4z+1=0. Vi t ph ng trình mp(P) đi qua A(2;0;1) và vuông góc v i 2 m t ph ng (ế ươ ớ ặ ẳ  ), ( ).







Bài 9: Cho hai đ ng th ng ườ ẳ

1
1 2 3
:
1 1 2
x y z
d
− − −
= =
− − −
và
2
1 2 '
: 2
3 3 '
x t
d y
z t
= −


=


= −


a) Ch ng minh ứ
1
d
c t ắ

2
d
b) Vi t ph ng trình m t ph ng (ế ươ ặ ẳ P) ch a hai đ ng th ng ứ ườ ẳ
1
d
và
2
d

Bài 10: Trong không gian v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đ ng th ng:ớ ệ ọ ộ ườ ẳ
1
2 3
:
2 2 4
− −
= =
x y z
d
và d
2
:
1
2
1 2
x t
y t
z t
= +



= +


= +

a) Ch ng minh ứ
1
d
//
2
d
b)Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a dế ươ ặ ẳ ứ
1
và d
2
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho m t c u (S), và m t ph ng (P) l n l t có ph ng trìnhặ ầ ặ ẳ ầ ượ ươ
(S):
2 2 2
2 4 2 3 0+ + − + + − =x y z x y z
, (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Vi t ph ng trình m t ph ngế ươ ặ ẳ
(Q) song song v i (P) và ti p xúc v i m t c u (S).ớ ế ớ ặ ầ
Bài 12: Vi t ph ng trình m t ph ng ch a đ ng th ng ế ươ ặ ẳ ứ ườ ẳ
2 1
:
2 3 4
− −
= =
−
x y z
d

và góc m t ặ
ph ng ẳ
( )
: 1 0Q x y z
+ + − =
Bài 13: Vi t ph ng trình m t ph ng (ế ươ ặ ẳ P) qua
( )
0;1;2A
và song song v i hai đ ng th ngớ ườ ẳ
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
và
2
1
: 1 2
2
= +


= − −


= +


x t
d y t
z t
.
III/ M T S BÀI TOÁN V PH NG TRÌNH Đ NG TH NG:Ộ Ố Ề ƯƠ ƯỜ Ẳ
Chuù yù :
- Mu n vi t ph ng trình đ ng th ng th ng đi tìm: ố ế ươ ườ ẳ ườ 1 đi m di qua và 1 véct ch ể ơ ỉ
ph ngươ
- Đ ng th ng d đi qua ườ ẳ đi m M(xể
0
;y
0;
z
0
) và có 1 véct ch ph ng ơ ỉ ươ
( ; ; )u a b c=
r
ph ngươ
trình tham s là: ố
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +



= +

. N u a.b.c ế  0 thì ph ng trình chính t c làươ ắ :
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
-N u ch a tìm đ c ngay 1 véct ch ph ng c a đ ng th ng d, ta đi tìm 2 ế ư ượ ơ ỉ ươ ủ ườ ẳ
véct ơ
,a b
r r
không cùng ph ng có giá vuông góc v i dươ ớ khi đó
[ ; ]u a b=
r r r
là m t véct ộ ơ
ch ph ng c a d.ỉ ươ ủ
D ng 1:ạ Đ ng th ng d đi qua A có m t véct ch ph ng ườ ẳ ộ ơ ỉ ươ
u
r
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Ch rõ (d) đi qua Aỉ (x
0
;y
0;
z
0
) có m t véct ch ph ng ộ ơ ỉ ươ
( ; ; )u a b c=

r
B2 : Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) theo yêu c u.ế ươ ườ ẳ ầ
Ví dụ : Vi t ph ng trình chính t c, tham s c a đ ng th ng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCPế ươ ắ ố ủ ườ ẳ
a (2; 3;1)= −
r
.
Gi i:ả







Đ ng th ng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP ườ ẳ
a (2; 3;1)= −
r
. Ph ng trình chính t c làươ ắ :
5 4 1
2 3 1
x y z
− − −
= =
−
. Ph ng trình tham s là ươ ố
5 2
4 3
1
x t
y t

z t
= +


= −


= +

D ng 2:ạ Đ ng th ng d đi qua 2 đi m A, B.ườ ẳ ể
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1 : Tìm véct ơ
AB
uuur
B2 : Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua A có VTCP ế ươ ườ ẳ
AB
uuur
Ví dụ : Vi t PTTS c a đ ng th ng d đi qua hai đi m A(1; 2; 3), B(4; 4; 4)ế ủ ườ ẳ ể
Gi i:ả
Ta có
(3; 2; 1)AB =
uuur
:
Đ ng th ng d đi qua A(1; 2; 3), có 1 VTCP là ườ ẳ
(3; 2; 1)AB =
uuur
Ph ng trình tham s làươ ố
1 3
2 2
3

x t
y t
z t
= +


= +


= +

D ng 3:ạ Đ ng th ng d qua A và song song ườ ẳ

Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1:Tìm véct ch ph ng ơ ỉ ươ
a
r
c a ủ

B2:Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua A có VTCP ế ươ ườ ẳ
r
a
Ví dụ : Vi t PTTS c a đ ng th ng d đi qua B(2; 0; –3) và song song v i ế ủ ườ ẳ ớ  :
x t
y t
z t
1 2
3 3
4


= +

= − +


=

Gi i:ả
Đ ng th ng ườ ẳ  có 1 VTCP là
(2; 3; 4)a =
r
Đ ng th ng d đi qua B(2; 0; –3), có 1 VTCP là ườ ẳ
(2; 3; 4)a =
r
 ph ng trình là: ươ

= +

=


= − +

x t
y t
z t
2 2
3
3 4
D ng 4:ạ Đ ng th ng d qua A và vuông góc mp(ườ ẳ


)
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1:Tìm véct pháp tuy n ơ ế
n
r
c a mp(ủ  )
B2:Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua A có VTCP ế ươ ườ ẳ
n
r
Ví dụ : Vi t PTCT c a đ ng th ng d đi qua đi m A(2; –1; 3) và vuông góc (P):ế ủ ườ ẳ ể
x y z 5 0+ − + =
Gi i:ả
Mp(P) có 1 VTPT là:
(1; 1; 1)n
= −
r
Đ ng th ng d đi qua đi m A(2; –1; 3), có 1 VTCP là: ườ ẳ ể
(1; 1; 1)n
= −
r
 ph ng trình chính ươ
t c là: ắ
2 1 3
1 1 1
x y z
− + −
= =
−

D ng 5:ạ Đ ng th ng d qua A và vuông góc dườ ẳ
1
, d
2
( d
1
không song song ho c trùng dặ
2
)
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1:Tìm véct ch ph ng ơ ỉ ươ
a
r
c a (dủ
1
),véct ch ph ng ơ ỉ ươ
b
r
c a (dủ
2
)
B2: Tính
[ ; ]u a b=
r r r
B3:Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua A có VTCP ế ươ ườ ẳ
u
r

Ví dụ : Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc v i hai đ ng th ng ế ươ ườ ẳ ớ ườ ẳ
(d
1
):
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và (d
2
):
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−
Gi i:ả

Đ ng th ng dườ ẳ
1
có 1 VTCP là
( 2; 1; 1)a
= − −
r
.
Đ ng th ng dườ ẳ
2
có 1 VTCP là
(2; 1; 3)b = −
r

[ ; ] (2;4;0)u a b= =
r r r
.
Đ ng th ng d có 1 VTCP là ườ ẳ
(2;4;0)u =
r
và đi qua M(1;1;4)  ph ng trình là: ươ
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +



= −

D ng 6:ạ Đ ng th ng d là giao tuy n c a 2 m t ph ng.ườ ẳ ế ủ ặ ẳ
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1:Tìm véct pháp tuy n c a 2 m t ph ng gi s là: ơ ế ủ ặ ẳ ả ử
;
P Q
n n
uur uur
B2: Tính
[ ; ]
p Q
u n n=
r uur uur
B3: Tìm m t đi m đi qua A c a giao tuy n b ng cách cho x=0 th vào ph ng trình 2 m tộ ể ủ ế ằ ế ươ ặ
ph ng gi i h 2 ph ng trình 2 n y, z tìm đ c yẳ ả ệ ươ ẩ ượ
0
; z
0
 A(0; y
0
; z
0
) là m t đi m thu c ộ ể ộ
giao tuy nế
B4:Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua A có VTCP ế ươ ườ ẳ
u
r
Ví dụ :

Vi t ph ng trình đ ng th ng d là giao tuy n c a 2 m t ph ng:(P):x-2y+z+5=0,(Q):2x-ế ươ ườ ẳ ế ủ ặ ẳ
z+3=0.
Gi i:ả
M t ph ng (P) có 1 VTPT là ặ ẳ
1
( 1; 2; 1)n = −
ur
.
M t ph ng (Q) có 1 VTPT là ặ ẳ
2
(2; 0; 1)n
= −
r
. 
1 2
[ ; ] (2;3;4)u n n= =
r ur uur
.
Cho x=0 th vào ph ng trình mp(P) và mp(Q) ta đ c hế ươ ượ ệ :
2 5 4
3 3
y z y
z z
− + = − =
� �

� �
= =
� �
 d đi qua

A(0 ;4 ;3). M t khác d có 1 VTCP ặ
(2;3;4)u =
r
 ph ng trình là: ươ
4 3
2 3 4
x y z
− −
= =
D ng 7:ạ
Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m A và song song v i hai m t ph ng c t ế ươ ườ ẳ ể ớ ặ ẳ ắ
nhau (P), (Q).
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1:Tìm véct pháp tuy n c a 2 m t ph ng gi s là: ơ ế ủ ặ ẳ ả ử
;
P Q
n n
uur uur
B2: Tính
[ ; ]
p Q
u n n=
r uur uur
B3:Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua A có VTCP ế ươ ườ ẳ
u
r
Ví d 1:ụ Trong không gian v i h to ớ ệ ạ đ Oxyz , vi t ph ng trình tham s c a d bi t d đi ộ ế ươ ố ủ ế
qua đi m M(3; 1; 5) và song song v i hai m t ph ng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y +ể ớ ặ ẳ
z -2 = 0.
Gi iả .

Ta có
n
r
P
= (2; 3; -2);
n
r
Q
=(1; -3; 1) l n l t là VTPT c a hai mp (P) và (Q). Do d //(P) ầ ượ ủ
và d//(Q) nên vect ch ph ng c a d là ơ ỉ ươ ủ
u
r
= [
n
r
P
,
n
r
Q
] = (-3; - 4; -9).


Ph ng trình tham s c a d là: ươ ố ủ









tz
ty
tx
95
41
33








D ng 8:ạ Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m A, c t và vuông góc v i đ ng ế ươ ườ ẳ ể ắ ớ ườ
th ng ẳ  .
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1:Đ a ph ng trình đ ng th ng ư ươ ườ ẳ  v d ng tham s ề ạ ố
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +



= +

.
B2 :Tìm véct ch ph ng ơ ỉ ươ
u
r
c a đ ng th ng ủ ườ ẳ  .
B3: G i B= dọ    B(x
0
+at ; y
0
+bt ; z
0
+ct) 
AB
uuur
B4: Do d vuông góc v i ớ  
u
r
.
AB
uuur
= 0  t 
AB
uuur
B5:Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua A có VTCP ế ươ ườ ẳ
u
r

Ví dụ: Trong không gian v i h to ớ ệ ạ đ Oxyz cho đ ng th ng d’ có ph ng trình ộ ườ ẳ ươ
1
2
x t
y t
z t
=


= −


=

. Vi t ph ng trình ế ươ đ ng th ng d ườ ẳ đi qua A(1;2;-2), c t và vuông góc v i d’.ắ ớ
Gi iả
Đ ng th ng d’ có 1VTCP là ườ ẳ
1
u
ur
(1; -1; 2)
G i B= dọ  d’ B d’  B(t ; 1 - t ; 2t) 
AB
uuur
(t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)
Do d
⊥
d’
1
. 0AB u =�

uuurur
 6t + 4 = 0  t =
2
3
−
=>
AB
uuur
5 1 2
; ;
3 3 3
� �
− −
� �
� �
Đ ng th ng d đi qua A có 1VTCP ườ ẳ
3. (5; 1; 2)u AB= − = −
r uuur
V y ph ng trình c a d là : ậ ươ ủ
1 2 2
5 1 2
x y z− − +
= =
−
D ng 9:ạ Vi t ph ng trình đ ng th ng d n m trong (P), c t và vuông góc v i đ ng ế ươ ườ ẳ ằ ắ ớ ườ
th ng ẳ  .
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1:Tìm giao đi m A c a (P) và ể ủ  .
B2 :Tìm véct ch ph ng ơ ỉ ươ
a

r
c a đ ng th ng ủ ườ ẳ  .VTPT
n
r
c a mp(P)ủ
B3:
[ ; ]u a n=
r r r
B4: Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua A có VTCP ế ươ ườ ẳ
u
r
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đ ng th ng ườ ẳ
∆
:
x 1 y 3 z 3
1 2 1
− + −
= =
−
và mp(P): 2x + y –
2z + 9 = 0. Vi t ph ng trình đ ng th ng d n m trong (P) vuông góc v i ế ươ ườ ẳ ằ ớ
∆
và c t ắ
∆
.
Gi iả
G i A= ọ
∆
 (P)  to đ giao đi m A là nghi m c a h ạ ộ ể ệ ủ ệ
1 3

1 2
2 1 0
1 3
4 1
1 1
2x y – 2z 9 4
2x y – 2z 9 0
x y
x y x
x z
x z y
z
− +

=

−
+ = − =
� �

− −
� � �
= + = = −� �
� � �
−
� � �
+ = − =
� �
+ + =




 A(0 ;-1 ;4)
đ ng th ng ườ ẳ
∆
có 1 VTCP
a
r
=(-1;2;1), mp(P) có m t VTPT ộ
(2;1; 2)n
= −
r








d n m trong (P) vuụng gúc v i

d cú 1 VPCP
; (5;0;5)u n a

= =

r r r
v d i qua A(0 ;-1 ;4)
ph ng trỡnh tham s c a d l

5
1 ( )
4 5
x t
y t R
z t
=


=


= +


BI T P NGH
Bi 1: Vi t PTchớnh t c, tham s c a ng th ng d i qua M(2; -1; 3) v cú VTCP
= (1; 2;3)a
r
.
Bi 2: Vi t PTTS c a ng th ng d i qua A(1; -2; 3), B(3; 4; 5)
Bi 3: Vi t PTTS c a ng th ng d i qua B(1; 2; 3) v song song v i :

= +

= +


=

1
3 3
2
x t
y t
z t
Bi 4: Vi t PTCT c a ng th ng d i qua i m A(1; 2; 3) v vuụng gúc (P):
+ + =2 2 3 0x y z
Bi 5: Vi t ph ng trỡnh ng th ng d i qua M(1;1;4) v vuụng gúc v i hai ng th ng
(d
1
):
1 3
3 2
1
x t
y t
z t
= +


= +


=

v (d
2
):
1 2

1 2 3
x y z
= =
Bi 6: Vi t ph ng trỡnh ng th ng d l giao tuy n c a 2 m t ph ng:(P): 2x-y+2z+3=0,
(Q):2x+3y-z+5=0.
Bi 7: Vi t ph ng trỡnh ng th ng d i qua A(1;-1;2) v song song v i hai m t ph ng (P):
2x+y +2z - 4=0; (Q): x + 2y - 3z + 5= 0
Bi 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 3) và đờng thẳng d:
2 3
1 2
x t
y t
z t
= +


=


=

Viết phng trình đờng thẳng dđi qua điểm A, cắt và vuông góc với đờng thẳng d.
Bi 9: Trong khụng gian Oxyz, cho ng th ng d:
+
= =
x y 3 z 3
1 2 3
v mp(P): 2x + y 2z + 9 =
0. Vi t ph ng trỡnh ng th ng

n m trong (P) vuụng gúc v i d v c t d.
IV/ M T S BI TON V TèM I M:
Daùng 1: Tỡm giao im ca ng th ng v m t ph ng.
Ph ng phỏp gi i:
Cỏch 1: To giao i m l nghi m c a h
( )
Ptr d
Ptr ( )






Cỏch 2:
B1: a ph ng trỡnh ng th ng d v d ng tham s .
B2: G i M=d ( ) M d to M theo tham s t.
B3: M t khỏc M ( ), th to M vo ph ng trỡnh m t ph ng ( ) gi i
ph ng trỡnh tỡm c t M.
Vớ d : Cho ng th ng :

= =
x y z2 1
1 2 1
v m t ph ng (P) : x+y-z+3=0. Tỡm to giao
i m H c a A v m t ph ng (P)
Gi i :

Cỏch 1: To giao i m H l nghi m c a h


=


= =



= = =


+ = =

+ + =



x 2 z

1 1
x z 2 x 1
y 1 z
y 2z 1 y 5 H( 1; 5; 3)
2 1

x y z 3 z 3
x y z 3 0
Cỏch 2 :
ng th ng cú ph ng trỡnh tham s l:
x t
y t
z t
2
1 2

= +

= +


=

. Do H= (P) H H(2+t;1+2t;t).
M t khỏc H (P) nờn ta cú: 2 + t +1+2t t +3 = 0 t = -3 H(-1;-5;-3)
Daùng 2: Tỡm hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn mp(P)
Ph ng phỏp gi i:
Ph ng phỏp gi i:
B1: Tỡm VTPT c a mp(P)
B2: Vi t ph ng trỡnh ng th ng d qua M v vuụng gúc mp(P) .
B3: Hỡnh chi u H l giao i m c a d v (P)
Vớ d :
Trong khụng gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z 6 = 0. Tỡm t a hỡnh chi u c a A(0, 0, 1)
trờn m t ph ng (P)
Gi i:
Ta cú Mp(P) cú VTPT

n
r
= (6, 3, 2)
G i d l ng th ng qua A v vuụng gúc v i (P) d cú VTCP
n
r
ph ng trỡnh l:
x 6t
y 3t
z 1 2t
=


=


= +

H l hỡnh chi u vuụng gúc c a A lờn (P) H=d (P) H d H(6t;3t;1+2t). M t khỏc
H (P) nờn ta cú ph ng trỡnh: 6.6t+3.3t+2(1+.2t)-6=0
4
t
49
=
H
24 12 57
, ,
49 49 49

Daùng3 : Tỡm i m M
/
i x ng v i i m M qua mp(P)
Ph ng phỏp gi i:
Tỡm to hỡnh chi u H c a M trờn mp(P) .
M
/
i x ng v i M qua (P) H l trung i m c a MM
/
nờn :
/
/
/
2
2
2
H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z

Vớ d : Cho m t ph ng
( )
:6 3 2 6 0P x y z
+ + =
. Tỡm t a i m A i x ng v i
( )
0;0;1A
qua
m t ph ng ( P).
Gi i:







. G i ọ H là đi m chi u c a ể ế ủ A lên (P), ta có
24 12 57
; ;
49 49 49
H
� �
� �
� �
(đã gi i trong bài tìm hình chi uả ế

c a M trên mp). Vì ủ A’ đ i x ng ố ứ A qua m t ph ng (ặ ẳ P) nên H là trung đi m c a ể ủ AA’
/
/
/
48
2
49
24
2
49
65
2
49
H A
A
H A
A
H A
A
x x x
y y y
z z z

= − =



= − =




= − =



48 24 65
' ; ;
49 49 49
A
� �
� �
� �
Dạng4 : Tìm đi m ể H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
Ph ng pháp gi i:ươ ả
Cách 1 :
 Tìm VTCP
d
a
uur
của d
 Viết phương trình mp( ) qua M và vuông góc với d: ta có
d
an 

 Tọa độ H là nghiệm của hpt :
( )
Ptr d
Ptr ( )




α


Cách 2 :
 Ph ng trình tham s c a d là ươ ố ủ

= +

= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
0
0
0
, d có VTCP
a
r
= (a, b, c)
 Do H là hình chi u c a A trên d ế ủ  H d  H(x
0
+a t; y
0
+bt ; z
0

+ct) 
AH
uuur

 M t khác ta cóặ :
. 0AH a AH a t⊥ =� �
uuur r uuurr
 H.
Ví dụ: Cho đ ng th ng ườ ẳ
2 3
:
1 1 1
x y z
d
− +
= =
− −
và đi m ể
( )
1;3;5A
. Tìm t a đ hình chi u c aọ ộ ế ủ
A lên đ ng th ng ườ ẳ d.
Cách 1 :
Gi iả :
. d có VTCP
( )
1; 1; 1u
= − −
r
. G i (ọ P) là m t ph ng qua ặ ẳ A và vng góc d  (P) có VTPT

( )
1; 1; 1n u
= = − −
r r
, ph ng trìnhươ
m t ph ng (P):ặ ẳ
7 0x y z
− − + =
. H là hình chi u c a ế ủ A lên d nên H=d  (P)  H d  H(2+t;-3-t;-t) m t khác Hặ  (P)  ta có
ph ng trình 2+t+3+t+t+7=0 ươ  t= -4 
( )
2;1;4H
−
Cách 2 :
Gi iả :
. Ph ng trình tham s c a ươ ố ủ d có VTCP
( )
1; 1; 1u
= − −
r
.
. H là hình chi u c a ế ủ A lên d nên H=d  (P)  H d  H(2+t;-3-t;-t) 
AH (1 ; 6 ; 5 )t t t
= + − − − −
uuur

M t khác ta có AHặ  d 
AH. 0u =
uuur r
 1+t+6+t+5+t=0  t= -4 

( )
2;1;4H
−
Dạng 5 : Tìm đi m ể M
/
đối xứng với điểm M qua đt d
Ph ng pháp gi i:ươ ả
 Tìm to đ hình chi u H c a M trên đ ng th ng d.ạ ộ ế ủ ườ ẳ
 M
/
đ i x ng v i M qua d ố ứ ớ  H là trung đi m c a MMể ủ
/
nên :
/
/
/
2
2
2
H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z

 


 


 








Ví dụ: Cho đ ng th ng ườ ẳ
2 3
:
1 1 1
x y z
d
− +
= =
− −
và đi m ể
( )
1;3;5A
. Tìm t a đ đi m ọ ộ ể A’ đ i ố
x ng c a ứ ủ A qua đ ng th ng ườ ẳ d.
Gi i:ả
H là hình chi u c a A lên d, ta có H(-2;1;4) (Trong ví d bài toán hình chi u c a A trên d đãế ủ ụ ế ủ
gi i). ả

Vì A’ đ i x ng A qua đ ng th ng d nên nên H là trung đi m c a AA’ nên ta có:ố ứ ườ ẳ ể ủ
/
/
/
2 5
2 1
2 4
H A
A
H A
A
H A
A
x x x
y y y
z z z

= − = −

= − =


= − =

. V y ậ
( )
' 5; 1;3A
− −

Daïng 6 : Tìm đi m ể M thu c đ ng th ngộ ườ ẳ d th a đi u ki n cho tr cỏ ề ệ ướ

Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: Chuy n ph ng trình đ ng th ng d v d ng tham s (N u ph ng trình đ ng th ngể ươ ườ ẳ ề ạ ố ế ươ ườ ẳ
ch a có d ng tham s ), gi s ph ng trình có d ng: ư ạ ố ả ử ươ ạ

= +

= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
0
0
0
.
B2: G i Mọ  d  M(
0
x at+
;
0
y bt+
;
0
z ct+
)
B3: Thi t l p ph ng trình ho c h ph ng trình theo đi u ki n bài cho đ tìm ra đi m M.ế ậ ươ ặ ệ ươ ề ệ ể ể
Ví d 1ụ . Trong không gian Oxyz, cho đ ng th ng d:ườ ẳ

1
1 1 2
x y z
+
= =
−
và mp
(P):2x+y-2z+1=0.

Tìm to đ đi m M trên d cách đ u m t ph ng (P) và đi m A(0;1;-1).ạ ộ ể ề ặ ẳ ể
Gi iả

M d� �
M(t;-t;2t-1) nên
2 2 2
( 1) 4AM t t t= + + +
, d(M,(P))
| 2 2(2 1) 1|
|1 |
3
t t t
t
− − − +
= = −
Theo bài ra: AM=d(M,(P))
2 2 2 2
|1 | ( 1) 4 5 4 0t t t t t t− = + + + + =� �

0
4

5
t
t
=




= −

( )
0 M 0;0 1t = −�
;
4 4 4 13
( ; ; )
5 5 5 5
t M= − − −�
Daïng 7 : Tìm đi m M thu c m t ph ng (P)ể ộ ặ ẳ : Ax+By+Cz+D=0, tho m t s đi u ki n ả ộ ố ề ệ
cho tr c.ướ
Ph ng pháp gi i:ươ ả
B1: G i M(a;b;c) là đi m thu c mp(P)ọ ể ộ  A.a+B.b+C.c+D=0(1).
B2: D a đi u ki n đ u bài l p 2 ph ng trình khác k t h p v i ph ng trình (1) ta đ c h ự ề ệ ầ ậ ươ ế ợ ớ ươ ượ ệ
ph ng trình theo 3 n a, b,ươ ẩ c gi i h tìm đ c to đ M.ả ệ ượ ạ ộ
Ví dụ. (TNTHPT năm 2014) Trong không gian v i h t a đ ớ ệ ọ ộ
Oxyz
cho đi m ể
(1; 1;0)A −
và
m t ph ng (P) có ph ng trình 2x-2y+z-1=0. Tìm t a đ đi m M thu c m t ph ng (P) sao ặ ẳ ươ ọ ộ ể ộ ặ ẳ
cho AM vuông góc v i OA và đ dài đo n AM b ng ba l n kho ng cách t A đ n (P).ớ ộ ạ ằ ầ ả ừ ế

Gi iả
G i M(a;b;c), ta có ọ
( ) 2 2 1 0 2 2 1M P a b c c b a− + − = = − +� � �
(1)
Ta có:
( 1; 1; ), (1; 1;0)AM a b c OA= − + = −
uuuur uuur
, do
. 0 2AM OA AM OA a b⊥ = − =� �
uuuuruuur
(2)
M t khác ặ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
1 1 1 1 9AM a b c a b= − + + + = − + + +
và
( )
,( ) 1d A P =