Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên TOAN Lê Quý Đôn Đàng Nẵng năm học 20142015

ĐỀ CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN ĐÀ NẴNG
NĂM HỌC 2014-2015
Bài 1 (2điểm)
a) Cho biểu thức P = 3 2n - 5 8n + 7 18n + 28 , với n là số tự nhiên. Tìm tất
cả các số n sao cho n < 100 và P là số nguyên
b) Cho các số x, y, z đều khác 0 thỏa điều kiện x + y + z = 0. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1 1
+ 2 + 2 = + +
2
x y z
x
y
z
Giải phương trình

1
1
=3
2 +
( x + 1) 2
x

Bài 2 (2điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2 x 2 y − xy = xy 2 − 2 x + y

2
 2

1 
2 
( x + 2 y )1 +  = 3
xy 


1

b) Giải phương trình: 5x2 – (3x + 1) 2 x 2 + 3 - x + 3 = 0
2
Bài 3 (2,5điểm)
a) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + 2013x + 2 = 0, x3, x4 là các
nghiệm của pt x2 + 2014x + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức
Q = (x1 + x3) (x2 - x3) (x1 + x4) (x2 – x4)
b) Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x 2 và đường thẳng
(Dab) có phương trình y = ax + b với a,b là tham số. Với mỗi giá trị b > 0, có thể
có bao nhiêu giá trị của a để (Dab) và (P) cắt tại hai điểm A, B sao cho AB = 2?
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) với tâm O, AB và CD không
song song, I là giao điểm của AC và BD. Gọi H, K là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác IAB và ICD
a) Chứng minh rằng OHIK là hình bình hành.
b) Giả sử M là một điểm tùy ý chạy trên (O). Gọi E, F là hình chiếu của M
trên AB và BD. Xác định vị trí của M trên (O) để EF lớn nhất.
Bài 5 (1 điểm)
Với 13 số nguyên dương bất kì khác nhau, mỗi số nguyên dương đó có 3 chữ số, lấy 2 số bất
kì trong 13 số đó viết liền kề nhau (số này viết trước hoặc sau số kia) ta được một số có 6 chữ
số (ví dụ với 2 số abc , def ta có thể viết thành abcdef hoặc defabc . Hỏi có ít nhất bao nhiêu
số được viết liền kề nhau chia hết cho 11?

Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An

1


HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN ĐÀ NẴNG
NĂM HỌC 2014-2015
Bài 1 (2điểm)
a) Cho biểu thức P = 3 2n - 5 8n + 7 18n + 28 , với n là số tự nhiên. Tìm tất
cả các số n sao cho n < 100 và P là số nguyên
Để P là số nguyên thì 2n, 8n, 18n đều là số chính phương.
Giả sử 2n = k2 ; i2 = 18n = 9k2 => i = 3k => i chia hết cho 2 và 3 => i chia hết
cho 6 (1) do (2, 3) = 1.
Mặt khác do n là số tự nhiên và n < 100 nên 0 ≤ i ≤ 42
Từ (1) và (2) => i ∈ {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42}
I
0
6
12
18
24
30
36
42
K
0
2
4
6
8

10
12
14
n
0
2
8
18
32
50
72
98
Vậy n ∈ {0; 2; 8; 18; 32; 50; 72; 98}
b) Cho các số x, y, z đều khác 0 thỏa điều kiện x + y + z = 0. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1 1
+ 2 + 2 = + +
2
x y z
x
y
z
1
1
1
2
2
2

1 1 1 2
+
+ + ) = 2 + 2 + 2 + +
x
y
z
xy yz xz
x y z
1
1
1
x+ y+z
= 2 + 2 + 2 +2
x
y
z
xyz
1
1
1
= 2 + 2 + 2 (Vì x + y + z = 0)
x
y
z
1
1
Giải phương trình 2 +
=3
( x + 1) 2
x

ĐK: x ≠ 0 và x ≠ -1
1
1
+
=3
( x + 1) 2
x2
1
1
1
=>
=4
2 +
2 +
(− x)
( x + 1)
(−1) 2
(

2

1
1 
 1
=> 
+
+
 = 4 vì – x + x + 1 – 1 = 0
 − x x + 1 −1
1

1
1
1
1
1
+
+
= 2
+
+
= -2
=>
hoặc
− x x +1 −1
− x x +1 −1
1
1
1
1
+
+
=>
=3
=>
= -1
− x x +1
− x x +1

=> - x - 1 + x = 3x2 + 3x
=> 3x2 + 3x + 1 = 0 vô nghiệm

=>
- x - 1 + x = - x2 - x
=> x2 + x – 1 = 0

−1+ 5
−1− 5
; x2 =
2
2
−1+ 5
−1− 5
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 =
; x2 =
2
2

x1 =

Bài 2 (2điểm)
a)Giải hệ phương trình:
Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An

2


2 x 2 y − xy = xy 2 − 2 x + y

2
 2

1 
2 
( x + 2 y )1 +  = 3
xy 



ĐK: xy ≠ 0
1

b) Giải phương trình: 5x2 – (3x + 1) 2 x 2 + 3 - x + 3 = 0
2
Bài 3 (2,5điểm)
a) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + 2013x + 2 = 0, x3, x4 là các
nghiệm của pt x2 + 2014x + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức
Q = (x1 + x3) (x2 - x3) (x1 + x4) (x2 – x4)
b) Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x 2 và đường thẳng
(Dab) có phương trình y = ax + b với a,b là tham số. Với mỗi giá trị b > 0, có thể
có bao nhiêu giá trị của a để (Dab) và (P) cắt tại hai điểm A, B sao cho AB = 2?
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (Dab) là:
x2 = ax + b ⇔ x2 – ax – b = 0 (1). Do b > 0 nên – b < 0
=> PT (1) luôn luôn có hai nghiệm x1; x2 phân biệt.
=> Theo định lý Vi-ét ta có x1 + x2 = a ; x1 .x2 = - b
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1.x2 = a2 + 4b
Gọi A(x1; x12); B(x2; x22) là hai giao điểm của (P) và (Dab)
AB = ( x1 − x 2 ) 2 + a 2 ( x1 − x2 ) 2 = a 2 + 4b + a 2 (a 2 + 4b) =2
a2 + 4b + a4 + 4a2b = 4
a4 + (4b+1) a2 + 4b - 4 = 0
Bài 4 (2,5 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) với tâm O, AB và CD không
song song, I là giao điểm của AC và BD. Gọi H, K là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác IAB và ICD
a) Chứng minh rằng OHIK là hình bình hành.
b) Giả sử M là một điểm tùy ý chạy trên (O). Gọi E, F là hình chiếu của M
trên AB và BD. Xác định vị trí của M trên (O) để EF lớn nhất.
Giải:

Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An

3


a) C/m OHIK là hình bình hành.
Gọi IK cắt AB tại P; HI cắt DC tại Q
1
Ta có ABD = ACD = IKD
2
1
1
PIB = KID = KDI = (1800 – IKD) = 900 2
2
IKD
=> PBI + PIB = 900
=> IK ⊥ AB mà OH ⊥ AB
=> OH//IK
Tương tự HI//OK
Vậy OHIK là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của M trên (O) để EF lớn
nhất.

Ta có: BEM = BFM = 900 => tứ giác BEFM
nội tiếp trong đường tròn đường kính BM gọi
L là tâm.
=> ELF = 2EBF mà EBF = ABD không đổi
=> Nên ELF không đổi
1
Vẻ LJ ⊥ EF => JE = JF = EF
2
=> EF = 2EJ = 2ELsinELJ = BMsinABD
EF lớn nhất khi BM là đường kính của đường
tròn (O).
Vậy vị trí của điểm M trên đường tròn sao cho
BM là đường kính thì EF lớn nhất bằng
2RsinABD

Bài 5 (1 điểm)
Với 13 số nguyên dương bất kì khác nhau, mỗi số nguyên dương đó có 3 chữ số,
lấy 2 số bất kì trong 13 số đó viết liền kề nhau (số này viết trước hoặc sau số
kia) ta được một số có 6 chữ số (ví dụ với 2 số abc , def ta có thể viết thành
abcdef hoặc defabc . Hỏi có ít nhất bao nhiêu số được viết liền kề nhau chia hết
cho 11?
Giải:
Ta có:
abcdef = 100000a + 10000b +1000c + 100d + 10e + f
= 99990a + 10a + 9999b + b + 990c + 10c + 99d + d + 10e + f
= B(11) – a + b – c + d – e + f
Do abcdef  11 nên – a + b – c + d – e + f  11
Mặt khác def - abc = 100d + 10e + f - 100a – 10b - c
= 99d + d + 10e + f – 99a – a – 10b - c
= B(11) + d + f + b – a – e – c  11

Hoàn toàn tương tự trong trường hợp viết ngược lại
Trong 13 số khác nhau có 3 chữ số thì có ít nhất có 2 cặp số có cùng số dư khi
chia hai số đó cho 11. Do đó có thể có ít nhất hai cặp số có hiệu chia hết cho 11.
Vậy: với hai cặp số đó ta có thể viết được ít nhất 4 số có 6 chữ số chia hết cho
11 (kể cả viết trước và sau)
Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An

4


Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An

5