Tổng hợp công thức lượng giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (976.69 KB, 2 trang )

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng:
cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 . cos 𝑏 ∓ sin 𝑎 . sin 𝑏
sin(𝑎 ± 𝑏) = sin 𝑎 . cos 𝑏 ± sin 𝑏 . cos 𝑎
tan 𝑎 ± tan 𝑏
tan(𝑎 ± 𝑏) =
1 ∓ tan 𝑎 tan 𝑏
2. Công thức nhân đôi:
sin  (𝑘 chẵn)
sin 2𝑎 = 2sin 𝑎 cos 𝑎
 sin( + 𝑘𝜋) = {
2
2
− sin  (𝑘 lẻ)
cos 2𝑎 = cos 𝑎 − sin 𝑎
cos  (𝑘 chẵn)
= 2cos 2 𝑎 − 1
 cos( + 𝑘𝜋) = {
− cos  (𝑘 lẻ)
= 1 − 2 sin2 𝑎
2 tan 𝑎
 tan( + 𝑘𝜋) = tan  ∀𝑘 ∈ 𝑍
tan 2𝑎 =
 cot( + 𝑘𝜋) = cot 
∀𝑘 ∈ 𝑍
1 − tan2 𝑎
𝜋
3. Công thức hạ bậc:
 sin ( ∓ ) = cos 
2
1 + cos 2𝑎

𝜋
cos 2 𝑎 =

cos
(
∓ ) = ±sin 
2
2
1
−
cos
2𝑎
𝜋
 tan ( ∓ ) = ±cot 
sin2 𝑎 =
2
2
𝜋
3 cos 𝑎 + cos 3𝑎
 cot ( ∓ ) = ±tan 
3
2
cos 𝑎 =
4
3 sin 𝑎 − sin 3𝑎
sin3 𝑎 =
4
Hai cung đối nhau:
cos 4𝑎 + 4 cos 2𝑎 + 3
4

 cos(−) = cos 
cos 𝑎 =
8
 sin(−) = −sin 
cos 4𝑎 − 4 cos 2𝑎 + 3
4
 tan(−) = −tan 
sin 𝑎 =
8
 cot(−) = −cot 
1 − cos 4𝑎
sin2 𝑎 cos2 𝑎 =
8
4. Công thức nhân ba:
Hai cung bù nhau:
sin 3𝑎 = 3 sin 𝑎 − 4 sin3 𝑎
 sin(𝜋 − ) = sin 
cos 3𝑎 = 4 cos 3 𝑎 − 3 cos 𝑎
 cos(𝜋 − ) = −cos 
3 tan 𝑎 − tan3 𝑎
 tan(𝜋 − ) = −tan 
tan 3𝑎 =
1 − 3 tan2 𝑎
 cot(𝜋 − ) = −cot 
5. Công thức tính theo t = 𝐭𝐚𝐧(𝒂/𝟐):
1−𝑡 2

6. Công thức biến tích thành tổng:
1
sin 𝑎 . sin 𝑏 = − [cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏)]

2
1
cos 𝑎 . cos 𝑏 = [cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]
2
1
sin 𝑎 . cos 𝑏 = [sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)]
2
7. Công thức biến tổng thành tích:
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos
cos
2
2
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
cos 𝑎 − cos 𝑏 = −2 sin
sin
2
2
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin
cos
2
2
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
sin 𝑎 − sin 𝑏 = 2 cos
sin

2
2
☆ Cơ bản:
sin 𝑥
cos 𝑥
tan 𝑥 =
cot 𝑥 =
cos 𝑥
sin 𝑥
sin2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1
tan 𝑥 . cot 𝑥 = 1
1
1
1 + tan2 𝑥 = 2
1 + cot 2 𝑥 = 2
cos 𝑥
3+cos 4𝑥

sin 𝑥

5+3cos 4𝑥

sin4 𝑥 + cos 4 𝑥 =
sin6 𝑥 + cos 6 𝑥 =
4
8
2
1 ± sin 2𝑥 = (sin 𝑥 ± cos 𝑥)
☆ Đặc biệt:
𝜋

𝜋
sin 𝑥 + cos 𝑥 = √2 sin (𝑥 + ) = √2 cos (𝑥 − )
4
4
𝜋
𝜋
sin 𝑥 − cos 𝑥 = √2 sin (𝑥 − ) = −√2 cos (𝑥 + )
4
4
𝜋
𝜋
sin 𝑥 ± √3 cos 𝑥 = 2 sin (𝑥 ± ) = ±2 cos (𝑥 ∓ )
3
6
𝜋
𝜋
√3 sin 𝑥 ± cos 𝑥 = 2 sin (𝑥 ± ) = ∓2 cos (𝑥 ∓ )
6
3
2
tan 𝑥 + cot 𝑥 =
tan 𝑥 − cot 𝑥 = −2 cot 2𝑥
sin 2𝑥

2𝑡

cos 𝑎 = 1+𝑡 2

sin 𝑎 = 1+𝑡 2

2𝑡

tan 𝑎 = 1−𝑡 2

cot 𝑎 =

1−𝑡 2
2𝑡

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1) Phương trình dạng đặc biệt: cos  = 1 ⇔  = 𝑘2𝜋

cos  = −1 ⇔  = 𝜋 + 𝑘2𝜋

𝜋

𝜋

cos  = 0 ⇔  = + 𝑘𝜋
2

𝜋

sin  = 1 ⇔  = + 𝑘2𝜋
sin  = −1 ⇔  = − + 𝑘2𝜋
sin  = 0 ⇔  = 𝑘𝜋
2
2
𝑢 = 𝑣 + 𝑘2𝜋
𝑢 = 𝑣 + 𝑘2𝜋

2) Phương trình lượng giác cơ bản:sin 𝑢 = sin 𝑣 ⇔ [
cos 𝑢 = cos 𝑣 ⇔ [
𝑢 = 𝜋 − 𝑣 + 𝑘2𝜋
𝑢 = −𝑣 + 𝑘2𝜋
tan 𝑢 = tan 𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣 + 𝑘𝜋
cot 𝑢 = cot 𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣 + 𝑘𝜋
3) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝒄 (1)
𝑎
𝑏
𝑐
Chia hai vế cho √𝑎2 + 𝑏 2 ta có: pt (1) ⇔ 2 2 sin 𝑥 + 2 2 cos 𝑥 = 2 2.
Gọi  là góc thỏa: cos  =

𝑎
√𝑎2 +𝑏 2

√𝑎 +𝑏
𝑏

, sin  =

√𝑎2 +𝑏 2
2
2

√𝑎 +𝑏

√𝑎 +𝑏

; pt (1) ⇔ sin(𝑥 + ) =

𝑐
√𝑎2 +𝑏 2

 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑐 có nghiệm x ⇔ 𝑎 + 𝑏 ≥ 𝑐 2 ⇒ −√𝑎2 + 𝑏 2 ≤ 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 ≤ √𝑎2 + 𝑏 2
4) Phương trình đẳng cấp theo sin và cos:
 Đẳng cấp bậc 2: 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 + 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 = 𝒅 (2)
𝜋
 TH1: Xét cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋.

(∀𝑥 ∈ 𝑍)

2

 TH2: Xét cos 𝑥 ≠ 0:
Chia hai vế pt (2) cho cos 2 𝑥 ta được phương trình bậc 2 theo tan 𝑥 → Giải phương trình → Kết luận nghiệm: gộp 2 trường hợp.
 Đẳng cấp bậc 3: 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝟑 𝒙 + 𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 + 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 + 𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟎 (3)
𝜋
 TH1: Xét cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋.
2

 TH2: Xét cos 𝑥 ≠ 0:
Chia hai vế pt (3) cho cos 3 𝑥 ta được phương trình bậc 3 theo tan 𝑥 → Giải phương trình → Kết luận nghiệm: gộp 2 trường hợp.
5) Phương trình đối xứng theo sin và cos: 𝒂(𝐬𝐢𝐧 𝒙 ± 𝐜𝐨𝐬 𝒙) + 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄 = 𝟎; 𝒇(𝐬𝐢𝐧 𝒙 ± 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ; 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙) = 𝟎 (4)
Đặt 𝑡 = sin 𝑥 ±cos 𝑥 với 𝑡 ∈ [−√2; √2] → sin 𝑥 cos 𝑥 = ±
pt (4) ⇔ 𝑎𝑡 ± 𝑏

𝑡 2 −1
2

+ 𝑐 = 0 hay 𝑓 (𝑡; ±

𝑡 2 −1
2

𝑡 2 −1
2

)=0
𝒙

𝑥

𝟐

2

6) Phương trình dạng: 𝒇 (𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝐭𝐚𝐧 , 𝐭𝐚𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐭 𝒙) = 𝟎, ta đặt t = tan , nếu pt thay x bởi 2x thì ta đặt t = tan 𝑥.

sin

tan
√3

−√3

-1

𝝅/𝟐