08 đề 08 lời giải chi tiết image marked

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT
LƯỢNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2018 - 2019
Môn thi: TOÁN

ĐỀ VIP 08

Thời gian làm bài: 90
phút
Câu 1. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một
hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương
án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = x 4 - 2 x 2 .

B. y = -x 4 + 2 x 2 - 3.
C. y = x 4 - 2 x 2 - 3.

D. y = x 3 - 3 x 2 + 2.

(1)
(2 )

Lời giải. Dựa vào dáng điệu đồ thị suy ra a > 0.
Khi x = 0 thì y = -3.

Từ (1) và (2), suy ra đáp án C thỏa mãn. Chọn C.

Câu 2. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên  ?
A. y =

2 x -1

.
x +1

B. y = 2 x 4 + 4 x + 1. C. y = x 3 + 3 x + 3 4. D. y = x 3 - 3 x + 1.

Lời giải. Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi y ¢ ³ 0 "x Î .
Loại đáp án A (do đặc trưng của hàm trùng phương) và loại đáp án B (do TXĐ
không là  ).
Loại đáp án D do y ¢ đổi dấu. Chọn C.
® y ¢ = 3 x 2 + 3 > 0 "x Î .
Cách 2: Xét đáp án C, ta có y = x 3 + 3 x + 3 4 ¾¾

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tại x 0 và có bảng biến thiên sau

x

-¥

y'

y

+¥

-

x0

x2

x1

+

0

-

-¥ -¥
Đồ thị hàm số đã cho có
A. Hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
B. Một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.
1

-

+¥
+¥


C. Mt im cc i, hai im cc tiu.
D. Mt im cc i, mt im cc tiu.
Li gii. Ti x = x 2 hm s y = f ( x ) khụng xỏc nh nờn khụng t cc tr ti
im ny.
Ti x = x1 thỡ d thy hm s t cc i ti im ny.
Ti x = x 0 , hm s khụng cú o hm ti x 0 nhng liờn tc ti x 0 thỡ hm s
vn t cc tr ti x 0 v theo nh bng bin thiờn thỡ ú l cc tiu.
Vy th hm s cú mt im cc i, mt im cc tiu. Chn D.
Cõu 4. Cho hm s y = x 4 - 2 x 2 - 3 cú th nh
hỡnh bờn. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m

phng trỡnh x 4 - 2 x 2 - 3 = 2m - 4 cú hai nghim
phõn bit.

ổ
1ự
A. m ẻ ỗỗ-Ơ; ỳ .
ốỗ
2 ỳỷ
ổ 1ử
C. m ẻ ỗỗ0; ữữữ.
ỗố 2 ứ

ỡ1ù
ỹ
ù
B. m ẻ (-Ơ;0) ẩ ớ ý.
ù
2
ù ù
ù
ợ
ỵ
ổ1
ử
D. m ẻ {0} ẩ ỗỗ ; +Ơữữữ.
ỗố 2
ứ

Li gii. T th hm s, suy ra phng trỡnh x 4 - 2 x 2 - 3 = 2m - 4 cú hai
ộm = 0

ộ 2m - 4 = 4
ờ
nghim phõn bit khi v ch khi ờ
. Chn D.
ờ
ờ 2 m - 4 > -3 ờ m > 1
ở
ờở
2
Cõu 5. Cho hm s bc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cú
th nh hỡnh v bờn. Giỏ tr nh nht ca biu thc
P = a 2 + c 2 + b + 1 bng

1
.
5
5
C. .
8
A.

B.

1
.
3

D. 1.

Li gii. Ta cú f  ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .

ỡa ạ 0
ù
ỡ
ù
aạ0
ù
ù
Da vo th ta suy ra ớ
ù
ớ
b2 .
2
ù
Ây ' = b - 3ac Ê 0 ù
D
ac

ù
ù
ợ
ù
3
ù
ợ
2
2b
5
+ b + 1 . Chn C.
ỏnh giỏ P = a 2 + c 2 + b + 1 2ac + b + 1

3
8

Cõu 6. S thc x > 1 tha món log 2 (log 4 x ) = log 4 (log 2 x ) + a vi a ẻ . Tớnh giỏ tr
ca log 2 x theo a.
2


A. log 2 x = 4 a +1.

B. log 2 x = a 2 .

C. log 2 x = 2 a.

D. log 2 x = 2 a +1.

ổ log x ử 1
Li gii. Ta cú log 2 (log 4 x ) = log 4 (log 2 x ) + a log 2 ỗỗ 2 ữữữ = log 2 (log 2 x ) + a
ốỗ 2 ứ 2
log 2 (log 2 x ) -1 =

1
log 2 (log 2 x ) + a log 2 (log 2 x ) = 2a + 2 log 2 x = 2 2 a +2 = 4 a +1.
2

Chn A.
Cõu 7. o hm ca hm s y = ln 2 (ln x ) ti x = e bng
A. 0.

B.

2
.
e

C. 1.

D. e.

Li gii. Nhn thy cú dng u a ắắ
đ (u a ) = a.u a-1 .u / vi u = ln (ln x ).
/

p dng, ta c y / = 2.ln (ln x ). ộở ln (ln x )ựỷ .

(1)

/

/
u/
/
Tớnh ộở ln (ln x )ựỷ . Nhn thy cú dng (ln u ) =
vi u = ln x .
u
1
/
ln x )
(
/

1
= x =
.
p dng, ta c ộở ln (ln x )ựỷ =
(2 )
ln x
ln x x ln x
2 ln (ln x )
2 ln (ln e ) 2.ln1
ắắ
đ y / (e ) =
=
= 0. Chn A.
T (1) v (2) , ta cú y / =
x ln x
e.ln e
e.ln e

Cõu

8.

Tng

giỏ

tr

tt

c

cỏc

nghim

ca

phng

trỡnh

2
log 3 x .log 9 x .log 27 x .log 81 x = bng
3
A. 0.

B. 9.

C.

82
.
9

D.

80
.
9

Li gii. iu kin: x > 0.

ổ1
ử ổ1
ử ổ1
ử 2
Phng trỡnh ó cho tng ng vi log 3 .ỗỗ log 3 x ữữữ.ỗỗ log 3 x ữữữ.ỗỗ log 3 x ữữữ =
ốỗ 2
ứ ốỗ 3
ứ ốỗ 4
ứ 3
ộx = 9
ộ log 3 x = 2
ờ
(log 3 x ) 4 = 16 ờ
ờ
1 . Chn C.
ờ log 3 x = -2
ờx =
ở
9
ởờ

Cõu 9. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s m nh hn 10 phng trỡnh

m + m + e x = e x cú nghim thc?
A. 9.

B. 10.

C. 11.

Li gii. Phng trỡnh m + m + e = e
x

2x

D. Vụ s.

m + e + m + e = e 2x + e x .

Xột hm f (t ) = t 2 + t vi t 0 v i n kt qu

x

x

m + e x = e x m + e x = e 2x

1 m ẻ
BBT
m = e 2 x - e x ắắắ
đ m - ắắắ
đ cú 10 giỏ tr tha món. Chn B.
4 m<10

3

Câu 10. Một người mỗi đầu tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền
M theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% /tháng. Biết đến cuối tháng thứ 15

thì người đó có số tiền là 10 triệu đồng (cả vốn và lãi). Hỏi số tiền M gần với số
tiền nào nhất trong các số sau?
A. 535.000 đồng.B. 613.000 đồng.

C. 635.000 đồng.
D. 643.000 đồng.
ìïT = 10
ïï
Tr
Lời giải. Áp dụng M =
với ïír = 0,6%. Chọn C.
n
ïï
(1 + r ) éëê(1 + r ) -1ùûú
ïïîn = 15
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số
A. -

ò sin

sin 2019 x
cos 2019 x
+ C . B.
+C.
2019
2019

ò sin

Lời giải. Ta có

2018

x .cos xdx = ò

2018

x .cos xdx là

sin 2019 x
cos 2019 x
+C.
+C.
D. 2019
2019
sin 2019 x
sin 2018 x .d (sin x ) =
+ C . Chọn C.
2019

C.

8

Câu 12. Cho tích phân I = ò 16 - x 2 dx và x = 4 sin t . Mệnh đề nào sau đây
0

đúng?
p
4

p
4

A. I = -16 ò cos 2 tdt .

B. I = 8 ò (1 + cos 2t )dt .

0

0

p
4

p
4

C. I = 16 ò sin 2 tdt .

D. I = 8 ò (1 - cos 2t )dt .

0

0

ïìdx = 4 cos tdt

Lời giải. Với x = 4 sin t , suy ra ïí
.
ïï 16 - x 2 = 16 -16 sin 2 t = 16 cos 2 t = 4 cos t
ïî
ìx = 0 ® t = 0
ï
ï
Đổi cận: ïí
p.
ï
x = 8®t=
ï
ï
4
î
p
4

p
4

p
4

0

0

0

Khi đó I = ò 16 cos t cos tdt = ò 16 cos 2 tdt = 8 ò (1 + cos 2t )dt . Chọn B.
Câu 13. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường

y = x2,

y = 0,

x = 0,

x = 4.

Đường thẳng

y=k

(0 < k < 16) chia hình H thành hai phần có diện tích
S1 , S2 (hình vẽ). Tìm k để S1 = S2 .

A. k = 3 .
C. k = 5.

B. k = 4 .
D. k = 8 .

4


x >0
® x = k . Ta có:
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 = k ¾¾¾

4

● S1 + S2 = ò x 2 dx =
0

4

x3
3

=

0

64
.
3

æx3
ö
● S1 = ò ( x 2 - k ) dx = ççç - kx ÷÷÷
è3
ø÷
k
4

4

= -4 k +

k

2 k k 64
+ .
3
3

1
2 k k 64 32
Theo giả thiết S1 = S2 ¾¾
® S1 = (S1 + S2 ) Û -4 k +
+
=
2
3
3
3
(
)
Û 2 k k -12 k + 32 = 0 ¾¾¾¾¾
® 2t 3 -12t 2 + 32 = 0 ® t = 2 ¾¾
® k = 4. Chọn B.
t = k 0
Câu 14. Nhà trường dự định làm một vườn hoa
dạng hình Elip được chia ra làm bốn phần bởi
hai đường Parabol có chung đỉnh, đối xứng với
nhau qua trục của Elip như hình vẽ bên. Biết độ
dài trục lớn, trục nhỏ của Elip lần lượt là 8 m và
4 m; F1 , F2

là hai tiêu điểm của Elip. Phần A, B dùng để trồng hoa; phần C , D dùng để
trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông trồng hoa và trồng cỏ lần lượt là
250 000 đồng và 150 000 đồng. Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm

tròn đến hàng nghìn).
A. 4 656 000 đồng.

B. 4 766 000 đồng.

C. 5 455000 đồng.

D. 5676 000 đồng.

Lời giải. Diện tích Elip: S = p.4.2 = 8p m 2 .
Chọn hệ trục tọa độ và gọi các điểm như hình.
Phương trình Elip là: ( E ) :

x 2 y2
+
= 1. Suy ra đường
16
4

Elip nằm trên trục Ox là: y =

16 - x 2
.
2

Giao điểm của đường thẳng d : x = 2 3 đi qua tiêu điểm F2 và nửa Elip nằm bên

(

)

(

)
M (2 3;1), O (0;0), N (-2

trên trục Ox là M 2 3;1 ¾¾
® N -2 3;1 .
Parabol

đi

(P ) : y =

x2
.
12

qua

các

Khi đó diện tích S A =

điểm

æ 16 - x 2 x 2 ö÷
8p + 2 3
çç
- ÷÷÷ dx =
.
çç
2
12
3
÷
ç
ø
3è

2 3

ò

-2

5

)

3;1

có

phương

trình


Vậy số tiền cần chi phí:
T = 2S A ´ 250000 + (S - 2S A )´150000 » 5676 000 đồng. Chọn D.

Câu 15. Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu
tăng tốc với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị
là đường cong Parabol có hình bên. Biết rằng sau 10s thì xe
đạt đến vận tốc cao nhất 50m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ
lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã
đi được quãng đường bao nhiêu mét?
A.

1000
m.
3

B.

1100
m.
3

C.

1400
m.
3

D. 300m.

1
Lời giải. Dựa vào đồ thị suy ra v (t ) = - t 2 + 10t (m/s).
2
10
10
æ 1
ö
1000
m. Chọn A.
Quảng đường: s = ò v (t ) dt = ò çç- t 2 + 10t ÷÷÷ dt =
çè 2
ø
3
0
0

Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn z =

1
và điểm A
2

trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . Biết rằng
trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w =

1
z

là một trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu
diễn của số phức w là
A. Điểm M .

B. Điểm Q.

C. Điểm N .
D. Điểm P .
ì
ï
ïx 2 + y 2 = 1
Lời giải. Gọi z = x + yi ( x ; y Î  ). Từ giả thiết, ta có ïí
4.
ï
ï
x
>
0;
y
>
0
ï
î
1
1
x - yi
= 2
= 4 ( x - yi ) = 4 z suy ra điểm biểu diễn số phức w là
Ta có w = =

z x + yi x + y 2
điểm Q . Chọn B.
Câu 17. Cho hai số phức z1 = 5 - 7i và z 2 = 2 + 3i. Tìm số phức z = z1 + z 2 .
A. z = 7 - 4i.
B. z = 2 + 5i.
C. z = 3 -10i.
D. -2 + 5i.
Lời giải. Ta có z = z1 + z 2 = (5 - 7i ) + (2 + 3i ) = 7 - 4i. Chọn A.
Câu 18. Cho số phức z =
A. z Î  .

1 + i 1- i
+
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1- i 1 + i

C. Môđun của z bằng 1 .

B. z có số phức liên hợp khác 0 .
D. z có phần thực và phần ảo đều khác

0.
6


(1 + i )
(1 - i )
(-2i )
2i
+

=
+
= 0 .Chn A.
(1 - i )(1 + i ) (1 - i )(1 + i ) (1 - i )(1 + i ) (1 - i )(1 + i )
2

Li gii. Ta cú z =

2

Cõu 19. Gi z1 ; z 2 l hai nghim ca phng trỡnh z 2 - 2 z + 4 = 0. Giỏ tr ca biu
thc P =
A. -

z12 z 22
+
bng
z 2 z1
11
.
4

B. -4.

C. 4.

D. 8.

ộ z = 1 + 3i
.

Li gii. Ta cú z 2 - 2 z + 4 = 0 ờờ
ờở z = 1 - 3i
z2 z2
Trong biu thc P = 1 + 2 , thỡ z1 , z 2 cú tớnh i xng.
z 2 z1

(

) (
2

)

2

1 + 3i
1 - 3i
z2 z2
Gi s z1 = 1 + 3i , z 2 = 1 - 3i nờn P = 1 + 2 =
+
= -4. Chn
z 2 z1
1 - 3i
1 + 3i
B.
Cõu 20. Tỡm giỏ tr n ẻ tha món C nn++83 = 5 An3+6 .
A. n = 15.

B. n = 17.

Li gii. p dng cụng thc C = C
k
n

n -k
n

C. n = 6.

, ta cú C

= 5A

n +3
n +8

3
n +6

C

D. n = 14.
5
n +8

= 5. An3+6

ộ n = 17 (thoỷa maừn)
= 5 n 2 + 15n - 544 = 0 ờờ
. Chn B.

5!
ờở n = -32 (loaùi)
3 n +1
ổ1
ử
Cõu 21. Tỡm h s ca x 6 trong khai trin ỗỗ + x 3 ữữữ
vi x ạ 0 , bit n l s
ỗố x
ứ


(n + 8)(n + 7)

nguyờn dng tha món 3C n2+1 + nP2 = 4 An2 .
A. 210 x 6 .

B. 120 x 6 .

Li gii. T phng trỡnh 3C
ổ1
ử
Vi n = 3 , ta cú ỗỗ + x 3 ữữữ
ốỗ x
ứ

3 n +1

2
n +1

C. 120.

D. 210.

+ nP2 = 4 A ắắ
đ n = 3.
2
n

10
ổ1
ử
ổ1ử
= ỗỗ + x 3 ữữữ = ồ C10k .ỗỗ ữữữ
ốỗ x
ứ
ốỗ x ứ
k =0

10-k

10

.( x 3 ) = ồ C10k .x 4 k -10 .
k

10

k =0

H s ca x ng vi 4 k -10 = 6 k = 4 ắắ
đ h s cn tỡm C104 = 210. Chn D.
6

Cõu 22. Mt on tu cú 10 toa cú ỏnh s th t t 1 n 10, cú 7 ngi vo
ngu nhiờn cỏc toa. Cú bao nhiờu cỏch toa s 1 cú 2 ngi v nhng ngi
cũn li khụng vo toa ny?
A. 317520.
B. 635040.

C. 1240029.

D. 2480058.

2
7

Li gii. Chn 2 ngi xp vo toa s 1, cú C cỏch.
Cũn 5 ngi cũn li, mi ngi c chn 9 toa cũn li, cú 95 cỏch.
Vy cú C 72 .95 = 1240029 cỏch.

7


ìum = n
ï
. Tính u2018 .
Câu 23. Cho cấp số cộng (un ) thỏa ïí
ï
ï

îun = m

1
1
A. u2018 = (m + n + 2018).
B. u2018 = (m + n - 2018).
2
2
C. u2018 = m + n - 2018.
D. u2018 = m + n + 2018.
ìïu1 + (m -1) d = n
ïìum = n
Û ïí
Þ (m - n ) d = n - m Þ d = -1.
Lời giải. Ta có ïí
ïîïun = m ïïu1 + (n -1) d = m
î
ì
ïu1 + (m -1) d = n
Þ 2u1 + (m + n - 2) d = m + n Þ u1 = m + n -1.
Mặt khác ï
í
ï
u
+
n
1
d
=
m

(
)
ï
1
î

Vậy u2018 = u1 + 2017d = m + n - 2018. Chọn C.

Câu 24. Một sinh viên ra trường đi phỏng vấn xin việc tại một công ty. Sau khi
phỏng vấn xong các kiến thức chuyên môn, giám đốc đưa ra 3 lựa chọn.
• Một là anh sẽ vào làm việc trong công ty với lương tháng cố định 5.000.000 đồng
mỗi tháng.
• Hai là anh sẽ làm việc với mức lương khởi điểm 3.000.000 đồng cho tháng đầu,
sau mỗi tháng anh sẽ được tăng thêm 400.000 đồng cho các tháng sau.
• Ba là anh sẽ làm việc với mức lương khởi điểm 4.000.000 cho tháng đầu, sau
mỗi tháng anh sẽ được tăng thêm 200.000 đồng cho các tháng sau.
Thời gian thử việc theo cả 3 phương án là 12 tháng. Hỏi anh sinh viên sẽ lựa
chọn phương án nào để có lợi nhất về thu nhập trong thời gian thử việc?
A. Phương án 1.

B. Phương án 2.

C. Phương án 3.

D. Cả 3 phương án

như nhau.
Lời giải. Phương án 1. Số tiền người đó nhận được là 5000000  12  60000000
đồng.
Phương án 2. Tiền lương là cấp số cộng với u1  3000000 và d  400000.

Số tiền người đó nhận được là S12 

2u1  11d
 12  52000000 đồng.
2

Phương án 3. Tiền lương là cấp số cộng với u1  4000000 và d  200000.
Số tiền người đó nhận được là S12 

2u1  11d
 12  61200000 đồng.
2

Do đó ta sẽ chọn phương án 3. Chọn C.

8


ỡ
ù
x2 - x -2
ù
ù
Cõu 25. Cho hm s f ( x ) = ớ x - 2
ù
ù
ù
ù
ợ2m + 1

hm s liờn tc ti x = 2.
A. m = 0.
B. m = 1.

khi x ạ 2
khi x = 2

C. m = 2.

Li gii. Tp xỏc nh: D = .

Yờu cu bi toỏn f (2) = lim f ( x ) 2m + 1 = lim
2m + 1 = lim
x đ2

( x - 2)( x + 1)
x -2

. Tỡm giỏ tr ca tham s m

x đ2

x đ2

D. m = 3.

x2 - x -2
x -2

2m + 1 = lim ( x + 1) 2m + 1 = 3 m = 1. Chn B.

x đ2

Cõu 26. Cho hm s y = f ( x ) cú o hm ti x = 1. Gi d1 , d 2 ln lt l tip
tuyn ca th hm s y = f ( x ) v y = g ( x ) = xf (2 x -1) ti im cú honh

x = 1. Bit rng hai ng thng d1 , d 2 vuụng gúc nhau, khng nh no sau õy
ỳng?
A. 2 < f (1) < 2.
B. f (1) Ê 2.
C. f (1) 2 2.

D. 2 Ê f (1) < 2 2.

Li gii. Ta cú g  ( x ) = f (2 x -1) + 2 xf  (2 x -1).

H s gúc ca d1 l k1 = f  (1); ca d 2 l k2 = g  (1) = f (1) + 2 f  (1).

M d1 ^ d 2 nờn k1 k2 = -1 f  (1) ộở f (1) + 2 f  (1)ựỷ = -1 2 ộở f  (1)ựỷ + f (1) f  (1) + 1 = 0.
2

tn ti f  (1) thỡ D = f 2 (1) - 8 0 f (1) 2 2. Chn C.

Cõu 27. Cho hỡnh chúp S . ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh tõm O . Gi
M , N ln lt l trung im SA, AB . Thit din to bi mt phng (OMN ) v

hỡnh chúp S . ABCD l hỡnh gỡ ?
A. Hỡnh bỡnh hnh.
C. Hỡnh vuụng.

B. Hỡnh thang.

D. Tam giỏc.

Li gii. Tham kho hỡnh v bờn.
Gi P , Q ln lt l trung im ca CD, SD . Khi ú
thit din to bi mt phng (OMN ) vi hỡnh chúp l
hỡnh thang MNPQ . Tht vy:
ỡù MQ AD
ắắ
đ NP MQ . Chn B.
Ta cú ùớ
ùùợNP AD

Cõu 28. Cho hỡnh lp phng ABCD. A ÂB ÂC ÂD Â. Gúc gia hai ng thng AC v

A ÂD bng
A. 30.

B. 45.

C. 60.

9

D. 90.


Lời giải. Ta có A ¢D  B ¢C ¾¾
® (
AC , A ¢D ) = (
AC , B ¢C ).

Tam giác AB ¢C
¢ = 60 0.
ACB

là tam giác đều nên suy ra

¢ = 60 0. Chọn C.
Vậy (
AC , A ¢D ) = (
AC , CB ¢) = ACB
Câu 29. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a.
Cạnh bên SA = a 2 và vuông góc với đáy ( ABCD ). Khoảng cách từ điểm B đến
mặt phẳng (SCD ) bằng

a 3
a 6
.
D.
.
2
3
Lời giải. Do AB  CD nên d éë B, (SCD )ùû = d éë A, (SCD )ùû . Kẻ AE ^ SD tại E .
Khi đó d éë A, (SCD )ùû = AE .

A. a.

B. a 3.

C.

SA. AD

Tam giác vuông SAD, có AE =

SA + AD
2

2

=

a 6
.
3

a 6
Vậy d éë B, (SCD )ùû = AE =
. Chọn D.
3

Câu 30. Cho tứ diện ABCD với AC =

3
 = DAB
 = 60°, CD = AD. Gọi j là
AD, CAB
2

góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chọn khẳng định đúng về góc j.
A. j = 30°.

1
C. cos j = .
4

B. j = 60°.

3
D. cos j = .
4

Lời giải. Ta có biến đổi sau:
    
   
AB.CD = AB. AD - AC = AB. AD - AB. AC

(

)

= AB. AD.cos 60°- AB. AC .cos 60°
1
1
AB
= AB. AD - AB. AC =
.( AD - AC )
2
2
2
1

1
= - AB. AD = - AB.CD.
(1)
4
4
 
 
Lại có: AB.CD = AB.CD.cos AB, CD .
(2 )

(

)

 
1
1
® cos j = . Chọn C.
Từ (1) và (2), suy ra cos AB, CD = - ¾¾
4
4

(

)

Câu 31. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và

AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) , góc tạo bởi hai mặt

phẳng ( ABC ) và (SBC ) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
bằng
10


a 3
.
2
.
Li gii. Xỏc nh c 60 = (
ABC ), (SBC ) = SBA

A. a.

B.

a 2
.
2

C.

D.

a 3
.
3

Khi ú ta tớnh c SA = AB.tan 60 = a 3

Trong mt phng ( ABC ) ly im D sao cho ABCD
đ AB (SCD ) nờn
l hỡnh ch nht ắắ

d [ AB, SC ] = d ộở AB, (SCD )ựỷ = d ộở A, (SCD )ựỷ .

K AH ^ SD ( H ẻ SD ).

(1)

ỡ
ùCD ^ AD
ị CD ^ AH .
Ta cú ù
ớ
ù
ù
ợCD ^ SA

(2 )

T (1) v (2), suy ra AH ^ (SCD ) nờn d ộở A, (SCD )ựỷ = AH .
Xột tam giỏc vuụng SAD cú AH =

SA. AD
SA + AD
2

2

=

SA.BC
SA + BC
2

2

Cõu 32. Hỡnh lp phng cú bao nhiờu trc i xng?
A. 7.
B. 9.
C. 11.

=

a 3
. Chn C.
2

D. 13.

Li gii. ng thng ni cỏc nh i din ắắ
đ cú 4.
ng thng i qua hai tõm ca hai mt i din ắắ
đ cú 3.
ng thng ni trung im hai cnh i din ắắ
đ cú 6.
Chn D.
Cõu 33. Cho hỡnh chúp u S . ABC cú cnh ỏy bng a , cnh bờn gp hai ln
cnh ỏy. Tớnh th tớch V ca khi chúp ó cho.

A. V =

11 a 3
.
4

B. V =

11 a 3
.
6

C. V =

11 a 3
.
12

D. V =

13 a 3
.
12

Li gii. Gi I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC . Vỡ S . ABC l khi
chúp u nờn suy ra SI ^ ( ABC ).
Gi

M

BC ị AI =

l

trung

im

2
a 3
AM =
.
3
3

Tam giỏc SAI vuụng ti I , cú
ổ a 3 ửữ
2
ữữ = a 33 .
SI = SA 2 - SI 2 = (2a ) - ỗỗỗ
ỗố 3 ữứ
3
2

Din tớch tam giỏc ABC l SDABC =

a2 3
.
4

11

ca


1
11 a 3
Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = SDABC .SI =
. Chọn C.
3
12

Câu 34. Một khối nón và một khối trụ có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1 .
Tổng thể tích của khối nón và khối trụ đó là
A.

2p
.
3

B.

4p
.
3

C.

10p
.

3

D. 4 p.

1
1
Lời giải. Thể tích khối nói V1 = .p.12.1 = p. Thể tích khối trụ V2 = p.12.1 = p.
3
3
1
4
Tổng thể tích V = p + p = p. Chọn B.
3
3
Câu 35. Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc
thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình
chữ nhật (phần tô đậm) sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ dưới đây. Hai hình
tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng
đựng dầu (vừa đủ). Biết thùng đựng dầu có thể tích bằng 50,24 lít (các mối ghép
nối khi gò hàn chiếm diện tích không đáng kể. Lấy p = 3,14 ). Diện tích của tấm
thép hình chữ nhật ban đầu gần với giá trị nào sau đây nhất.

A. 1,2 (m 2 ).

B. 1,5 (m 2 ).

C. 1,8 (m 2 ).

D. 2,2 (m 2 ).

Lời giải. Dựa vào hình vẽ ta suy ra đáy của hình trụ có bán kính là
Theo đề, ta có VT = 50,24 (dm 3 ) Û

p 3
h = 50,24 (dm 3 ) ¾¾
® h = 4 (dm ).
4

h
.
2

Suy ra kích thước của hình chữ nhật là 12 và 4 p.

Diện tích của hình chữ nhật là 12.4 p = 150,72 (dm 2 ) » 1,5 (m 2 ). Chọn B.

Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A ¢B ¢C ¢D ¢. Biết
A (2;4;0), B (4;0;0), C (-1;4; -7) và D ¢ (6;8;10). Tọa độ điểm B ¢ là

A. (10;8;6).

B. A (1; -2;0).

Lời giải. Do ABCD. A ¢B ¢C ¢D ¢ nên
 
• AB = DC , suy ra D (-3;8; -7).

C. (13;0;17).

12

D. (8;4;10).


 
• BB ¢ = DD ¢, suy ra B ¢ (13;0;17). Chọn C.
Câu

37.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

Oxyz ,

độ

cho

mặt

phẳng

( P ) : 3 x + y - 3 z + 6 = 0 và mặt cầu (S ) : ( x - 4 ) + ( y + 5) + ( z + 2) = 25. Mặt phẳng
2

2

2

( P ) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến

này có bán kính r bằng
A. r = 5.

D. r = 6.

C. r = 5.

B. r = 6.

Lời giải. Mặt cầu (S ) có tâm I (4; -5; -2), bán kính R = 5.
Ta có d éë I , ( P )ùû =

3.4 + (-5) - 3.(-2) + 6
32 + 12 + (-3)

2

= 19.

Bán kính đường tròn giao tuyến: r = R 2 - d 2 éë I , ( P )ùû = 52 -19 = 6. Chọn B.
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz ,

cho hai mặt phẳng

( P ) : x + 2 y - z + 3 = 0 và (Q ) : x - 4 y + (m -1) z + 1 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả

các giá trị của tham số thực m để mặt phẳng ( P ) vuông góc với mặt phẳng (Q ).
A. m = -6.

B. m = -3.

C. m = 1.

D. m = 2.

Lời giải. Ta có VTPT của hai mặt phẳng ( P ) và (Q ) lần lượt là u1 = (1;2; -1) và

u2 = (1; -4; m -1).
 
® m = -6. Chọn A.
Để ( P ) ^ (Q ) Û u1 .u2 = 0 Û 1.1 + 2.(-4 ) + (-1).(m -1) = 0 ¾¾
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (2;0;0), N (1;1;1).
Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua M , N cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại B (0; b;0), C (0;0; c )

(b ¹ 0, c ¹ 0). Hệ thức nào sau đây là đúng?
1 1
A. bc = 2 (b + c ). B. bc = + .

b c

C. bc = b + c .

D. bc = b - c .

Lời giải. Do M (2;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c ) thuộc ( P ) nên ( P ) :
Lại có N (1;1;1) Î ( P ) nên
Câu

40.

Trong

x y z
+ + = 1.
2 b c

1 1 1
+ + = 1 Û bc = 2 (b + c ). Chọn A.
2 b c

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

cho

đường

thẳng

x -1 3 - y
d:
=
= z + 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương
2
-1

trình tham số của d ?
ì
ì
x = 1 + 2t
x = 1 + 2t
ï
ï
ï
ï
ï
ï

ï
A. í y = 3 - t .
B. ï
í y = -3 + t .
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î z = -1
î z = -1 + t

ìï x = 1 + 2t
ïï
C. ïí y = -3 - t .
ïï
ïïî z = -1 + t
13

ìï x = -1 + 2t
ïï
D. ïí y = 2 + t .
ïï
ïïî z = -2 + t


ỡ

ỡ
x = 1 + 2t
x = -1
ù
ù
ù
ù
x -1 y - 3 z + 1
ù
ù
cho
t
=1
ù
Li gii. Vit li d :
=
=
ắắ
đù
y
=
3
+
t
ắắắắ
đ
ớ
ớy = 2 .
ù
ù

2
1
1
ù
ù
ù
ù
ù z = -1 + t
ù z = -2
ợ
ợ
ỡ
x = -1 + 2 t
ù
ù
ù
ù
iu ú chng t d i qua im cú ta (-1;2; -2) nờn d : ớ y = 2 + t . Chn
ù
ù
ù
ù
ợ z = -2 + t
D.

Cõu

41.

Trong

khụng

gian

vi

h

( P ) : x + 3 y - 2 z + 2 = 0 v ng thng d :

ta



Oxyz ,

cho

mt

phng

x -1 y + 1 z - 4
=
=
. ng thng qua
2
-1
1

A (1;2; -1) v ct ( P ), d ln lt ti B, C (a; b; c ) sao cho C l trung im ca AB.

Tng a + b + c bng
A. -15.
B. -12.

C. -5.

đ C (1 + 2t ; -1 - t ;4 + t ).
Li gii. Ta cú C ẻ d ắắ

D. 11.

đ B (4 t + 1; -2t - 4;2t + 9).
Do C l trung im ca AB ắắ

ổ
9
7 1ử
đ (4 t + 1) + 3 (-2t - 4 ) - 2 (2t + 9) + 2 = 0 t = - ắắ
đ C ỗỗ-8; ; - ữữữ.
M B ẻ ( P ) ắắ
ỗ
ố
2
2 2ứ
7 1
Suy ra a + b + c = -8 + - = -5. Chn C.
2 2

Cõu 42. Cho hm s

y = f ( x ).

th hm s

y = f  ( x ) nh hỡnh bờn. Hi hm s g ( x ) = f (3 - x 2 )

ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau?
A. (2;3).

B. (-2; -1).

C. (0;1).

Li gii. Ta cú g  ( x ) = -2 xf  (3 - x ).

D. (-1;0).

2

ộùỡ x > 0
ờù
ờớù f  3 - x 2 < 0
)
ờù (
Hm s g ( x ) ng bin g  ( x ) > 0 ờợ
ờùỡ x < 0
ờù

ờớù Â
2
ờởùợ f (3 - x ) > 0
ộùỡ x > 0
ộù
ỡx > 0
ờùù
ờù
ờùộ3 - x 2 < -6
ờù
ùộ x 2 > 9
ộx > 3
ờớùờ
ờớ
ờ
ờ
ờùờ
ờù
ù
2
2
ờ
ù
ù
ờ2 > x > 1
ờùở
ờùở
ờ-1 < 3 - x < 2
ờ4 > x > 1
theo do thi f '( x )

ợ
ợ
ờ
ờ
ơắắắắđ

ờờ
. Chn D.
ờùỡ x < 0
ờù
x <0
ờ-3 < x < -2
ờù
ờỡ
ù
ờ-1 < x < 0
ờùùộ
ờù
2
ùộ 4 < x 2 < 9
ởờ
ờớờ-6 < 3 - x < -1
ờớ
ờ
ù
ờùùờ
ờ
ù
2
2

ờ
ờùùởờ3 - x > 2
ờù
ợờ x < 1
ởợ
ởùở
14


éx = 0
éx = 0
ê
ê
ê 3 - x 2 = -6
éx = 0
ê x = ±3
theo do thi f '( x )
ê
ê
ê
¢
¬¾¾¾¾® ê
Û
Cách 2. Ta có g ( x ) = 0 Û ê
2
2
ê x = ±2 .
ê 3 - x = -1
êë f ¢ (3 - x ) = 0
ê

ê
ê x = ±1
êë3 - x 2 = 2
ëê

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Câu 43. Cho hàm số f ( x ) xác định trên  và có đồ

thị f ( x ) như hình vẽ bên. Hàm số g ( x ) = f ( x ) - x đạt
cực đại tại
A. x = -1.
C. x = 1.

B. x = 0.
D. x = 2.

Lời giải. Ta có g ¢ ( x ) = f ¢ ( x ) -1; g ¢ ( x ) = 0 Û f ¢ ( x ) = 1.

Suy ra số nghiệm của phương trình g ¢ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị
của hàm số f ¢ ( x ) và đường thẳng y = 1.

é x = -1
ê
Dựa vào đồ thị ta suy ra g ¢ ( x ) = 0 Û ê x = 1 .
ê
êx = 2
ë
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x ) đạt cực đại tại x = -1. Chọn A.
Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị hàm số y = f ¢ ( x )

như hình bên. Biết rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (5). Giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f ( x ) trên đoạn [0;5] lần
15


lt l

A. f (0); f (5).

B. f (2); f (0).

C. f (1); f (5).

D. f (2); f (5).

Li gii. T th hm s y = f  ( x ) trờn on [0;5], ta cú bng bin thiờn ca
hm s y = f ( x ) nh hỡnh bờn.

Suy ra min f ( x ) = f (2) v max f ( x ) = max { f (0); f (5)}.
[0;5]

[0;5]

T gi thit, ta cú f (5) - f (3) = f (0) - f (2).

(1)

đ f (3) > f (2). (2)
Hm s f ( x ) ng bin trờn [2;5] ắắ

đ max f ( x ) = { f (0), f (5)} = f (5). Chn D.
T (1) v (2) , suy ra f (5) > f (0) ắắ
[0;5]

Cõu 45. Cho hai s thc x , y tha món e x -4 y +

1- x 2

-e y

2

+ 1- x 2

-y=

y2 - x
. Giỏ tr
4

ln nht ca biu thc P = x 3 + 2 y 2 - 2 x 2 + 8 y - x + 2 bng
A. 2.

B.

58

.
27

C.

115
.
27

D.

122
.
27

Li gii. iu kin: -1 Ê x Ê 1.
T gi thit ta cú 4 e x -4 y +

1- x 2

+ x - 4 y + 1- x 2 = 4e y

2

+ 1- x 2

+ y 2 + 1- x 2 .

Xột hm f (t ) = 4 e t + t trờn v i n kt qu x - 4 y + 1 - x 2 = y 2 + 1 - x 2 hay
ổ 1 ử 58

x = y 2 + 4 y. Khi ú P = x 3 - 2 x 2 + x + 2 = f ( x ) Ê max f ( x ) = f ỗỗ ữữữ = . Chn B.
ỗố 3 ứ 27
[-1;1]

Cõu 46. Cho hm s y = f ( x ) cú o hm f  ( x ) liờn tc
trờn . Hm s y = f  ( x ) cú th nh hỡnh bờn. Tng

giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s

g ( x ) = f ( x 2 ) trờn on [-2;2 ] bng
A. f (1) + f (0).

C. f (1) + f (4 ).

B. f (4 ) + f (0).

D. f (1) + f (0) - f (4 ).

ộx = 0
.
Li gii. Ta cú g  ( x ) = 2 xf  ( x 2 ); g  ( x ) = 0 ờờ
2
ờở f  ( x ) = 0
ộ x 2 = -1
ờ
ộx 2 = 1
ộ x = 1
Da vo th ta suy ra f  ( x 2 ) = 0 ờờ x 2 = 1 ờờ 2
ờ
.

ờ x = 2
ờ 2
ờở x = 4
ở
ờở x = 4

16


• Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g ( x ) = f (1).
[-2;2 ]

•

Dựa
4

ò
0

vào

đồ

thị

hàm

f ¢ ( x ),

số

ta

thấy

4

f ¢ ( x ) dx < 0 Û f ( x ) < 0 Û f (4 ) - f (0) < 0 Û f (4 ) < f (0). Kết hợp với bảng biến
0

thiên ta suy ra min g ( x ) = f (4 ).
[-2;2 ]

Vậy max g ( x ) + min g ( x ) = f (1) + f (4 ). Chọn C.
[-2;2 ]

[-2;2 ]

Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị
như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
tham số m để phương trình f (sin x ) = 3sin x + m có nghiệm
thuộc khoảng (0; p ). Tổng các phần tử của S bằng
A. -10.
C. -6.

B. -8.
D. -5.

Lời giải. Đặt t = sin x , do x Î (0; p ) Þ sin x Î (0;1] Þ t Î (0;1].

● Gọi D1 là đường thẳng qua điểm (1; -1) và song song với
đường thẳng y = 3 x nên có phương trình y = 3 x - 4 .

● Gọi D2 là đường thẳng qua điểm (0;1) và song song với
đường thẳng y = 3 x nên có phương trình y = 3 x + 1 .
Do đó phương trình f (sin x ) = 3sin x + m có nghiệm thuộc khoảng (0;p ) khi và chỉ
khi phương trình f (t ) = 3t + m có nghiệm thuộc nửa khoảng (0;1] Û -4 £ m < 1.
Chọn A.
Câu 48. Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có bốn
phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì
được 1 điểm, trả lời sai thì bị trừ 0,5 điểm. Một thí sinh do không học bài nên
làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Xác
suất để thí sinh đó làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 là
A.

7
.
10

æ1ö
B. C108 çç ÷÷÷
çè 4 ø

8

æ 3 ö÷
çç ÷ .
çè 4 ÷ø

æ1ö
C. A108 çç ÷÷÷
çè 4 ø

2

8

æ 3 ö÷
çç ÷ .
çè 4 ÷ø
2

D.

109
.
262144

Lời giải. Gọi x là số câu người đó trả lời đúng.
Theo đề bài ta có bất phương trình: x - 0,5 (10 - x ) ³ 7 Û x ³ 8.
æ1ö
Khi đó xác suất cần tìm là P = C108 .çç ÷÷÷
çè 4 ø

8

æ3ö
æ1ö
.çç ÷÷÷ + C109 .çç ÷÷÷

çè 4 ø
çè 4 ø
2

17

9

æ3ö æ1ö
.çç ÷÷÷ + çç ÷÷÷ . Chọn D.
çè 4 ø çè 4 ø
1

10


Câu 49. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm AB, BC và điểm P là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng ( MNP ) chia
tứ diện thành hai phần có tỉ số thể tích là
A.

1
.
2

B.

Lời giải. Do

E, F

7
.
11

C.

7
.
18

D.

lần lượt là trọng tâm các tam giác

11
.
18

ABP , BCP

nên

DE DF 1
=
= .
DA DC 3
ì
VBMNP
BM BN BP

1 1
1
ï
ï
=
.
.
= . .2 =
ï
ï
VBACD
BA BC BD 2 2
2
Ta có ï
í
ï
VDEFP
DE DF DP 1 1
1
ï
=
.
.
= . .1 =
ï
ï
V
DA
DC
DB

3
3
9
ï
î DACB
¾¾
®

VBMNDEF
V
1 1
7
7
nên BDMNFE = . Chọn B.
= - =
VDACB
2 9 18
VACMNFE 11

Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 3 .

Một mặt phẳng (a ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) và cắt các tia Ox , Oy, Oz tương ứng

1
1
1
+
+
.
2

2
OA
OB
OC 2
1
C. T = .
D. T = 3.
9

tại A, B, C . Tính giá trị của biểu thức T =
A. T =

1
3

.

1
B. T = .
3

ì
ï
(a ) Ç Ox = A (a;0;0)
ï
ï
x y z
x y z
ï
Lời giải. Gọi í(a ) Ç Oy = B (0; b;0) ¾¾

® (a ) : + + = 1 hay (a ) : + + -1 = 0.
ï
a
b
c
a
b c
ï
ï
ï
î(a ) Ç Oz = C (0;0; c )

Mặt cầu ( S ) có tâm I = (0;0;0) , bán kính R = 3 .
Do

(a )

d éë I , (a )ùû = R Û

tiếp
-1

= 3Û

xúc

với

1
1

1
1
+ + =
.
a2 b2 c 2
3

1
1
1
+ +
a2 b2 c 2
1
1
1
1
1
1
1
Suy ra T =
+
+
= + + = . Chọn B.
OA 2 OB 2 OC 2 a 2 b 2 c 2 3

18

(S )

nên