Hệ thống phương pháp giải phương trình vô tỉ

Phần 1: Khái niệm phơng trình vô tỉ: là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn
Phần 2: một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:
. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa.
. Phơng pháp đặt ẩn phụ.
. Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
. Phơng pháp bất đẳng thức.
. Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
I/ Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:
1. Phơng trình dạng
)()( xgxf
=
Cách giải:



=

=
)()(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
Chú ý: khi bình phơng dẫn đến phơng trình bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp đặt
ẩn phụ.
Ví dụ : giải các phơng trình sau:
a)
332
=

xx
c)
31
=+
xx
b)
452
=
xx
d)
xxxx 27126
22
=+
Giải:
a)
6
0128
3
)3(32
03
332
22
=



=+

=

=
x
xx
x
xx
x
xx

d) Đặt t=
6
7
22
2
27126

=+
t
xxxx
PT đã cho tơng đơng với PT
7;1076
2
===
tttt
từ đó suy ra x (loại t=-1)
2. Phơng trình dạng
)()()( xhxgxf

=+
hoặc
)()()()( xuxhxgxf
+=+
Phơng pháp giải: sau hai lần bình phơng đa PT đã cho về PT đã biết cách giải.
Chú ý: khi bình phơng dẫn đến PT bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp khác, chỉ bình ph-
ơng khi biết hai vế không âm, nếu không thì chú ý đến phơng trình hệ quả, có thể phân
tích thành tích nếu đợc.
Ví dụ: giải các PT
a)
322315
=
xxx
b)
3343
=+
xx
c)
52101
+++=+++
xxxx
d)
11212123492
22
+=++
xxxxx
Giải: c) gợi ý: ĐK
1

x

bình phơng hai lần khử căn, nghiệm là x=-1
d)đặt
012,049
2
==+
bxaxx
phơng trình là
baba 53
+=+
bình phơng
hai vế rút gọn đợc b=0 hoặc b=a .Nghiệm là
5;
2
1
3.áp dụng hằng đẳng thức (a+b)
3
=a
3
+b
3
+3ab(a+b)
Ví dụ: giảI phơng trình
333
3221
=+
xxx
Giải: Phơng trình tơng đơng với
[ ]
2
3

3
33
3
;2;10)32)(2)(1(
3221)2)(1(32
====
=++
xxxxxx
xxxxxx
II/ Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Tuỳ từng phơng trình cụ thể chọn ẩn phụ cho thích hợp nhằm khử căn đa về phơng trình
đã biết cách giải, sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ1: giải biện luận phơng trình:
axxx
=++++
4
1
2
1
Giải: đặt t=
4
1
2
4
1
0
=+
txx
phơng trình đã cho thành
4

1
2
1
2
2
1
0)(
==+
aatat
(loại
2
1
=
at
) khi đó
aaax
==
4
1
2
2
1
)(
Ghi chú: khi đã giải đợc PT tổng quát có thể giảI PT với a=4, a=9,...đợc kết quả khá gọn
gàng.
Ví dụ2: giải PT
7234742
2342
++=++
xxxxxx

Giải: biến đổi PT thành
35)742(16)742(7424
2222
+++++=++
xxxxxx
đặt
5;742
2
++=
txxt
đơc pt
0)12()6(035416
22224
=+=+
ttttt
Ví dụ3: giải phơng trình :
3)6)(3(63
=++++
xxxx
Giải: đặt
=
t
233,63
++
tkiBunhiacopsxx

2
9
2
2

)6)(3()6)(3(29

=+++=
t
xxxxt
PT đã cho thành
3
2
9
2
=+

t
t
, học sinh tự giải tiếp.
Ví dụ4: giải phơng trình:
xxx
xx
=+
22
77
2

Giải:
7,7:
34

xxDK
chuyển vế :
22

77
2
xx
xxx
=
bình phơng rút gọn hai lần đ-
ợc (x-2)(4x
2
+7x+14) = 0 . Đáp số x=2.
Ví dụ5:
8)1(2)3)(1(
1
3
=++

+
x
x
xxx
Điều kiện:
1;3
>
xx
Đặt y=
,1
3
)1(

+

x
x
x
phơng trình trở thành
y
2
+2y-8=0 ta đợc y=2, y=-4
với y=2, ta có
,1
3
)1(

+

x
x
x
=2 bình phơng hai vế(đk x>1) đợc x
2
+2x-7=0 chọn x=
81
+
với y=- 4, ta có
,1
3
)1(

+

x

x
x
=- 4 bình phơng hai vế (đk
3

x
) đợc x
2
+2x-19=0
chọn x=
521

.
III/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ1: Giải phơng trình
11610145
=+++++
xxxx
(1)
Giải: (1)






=+++
<=+++
<=+++

=+++=+++
)8(13121
)83(11321
)31(11312
131211)31()21(
22
xxx
xxx
xxx
xxxx
Nghiệm là:
83

x
.
Ví dụ2: giải phơng trình
2
3
1212
+
=++
x
xxxx
(1)
Gợi ý: (1)

=++
212
212
1111
khixx
xkhi
xx

nghiệm là x=1 và x=5
VI/ Phơng pháp bất đẳng thức:
1. Chứng tỏ phơng trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia:
Ví dụ: giải các phơng trình
a)
23151
=
xxx
(1) b)
211
=+
xx
(2)
Giải: a) đk:
1

x
, khi đó x<5x do đó
151
<
xx
suy ra vế trái của (1) âm còn vế

phải không âm . Phơng trình vô nghiệm,
b) ĐK:
1

x
khi đó (2)
121
++=
xx
vế trái luôn nhỏ hơn vế phải. Phơng trình vô
nghiệm.
2.Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Ví dụ1: giải phơng trình
564630527122
222
+=+++
xxxxxx
(1)
Giải: vế trái
4191)3(59)3(2
22
=++++
xx
vế phải
44)3(56
22
+=+
xxx
vậy hai vế của (1) đều bằng 4 , khi đó x=3
Ví dụ2: giải phơng trình

11642
2
+=+
xxxx
(2)
Giải: áp dụng bđt Bunhiacpôski cho 4 số
xx

42,1,1
ta có

2)42)(11(4.12.1
22
=+++
xxxx
;
22)3(116
22
+=+
xxx
do (2)
321162
2
==+==
xxxVPVT
1. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt:
Ví dụ1: giải phơng trình
2
952
22

2
)2)(74(
+
=++
xx
xxxx
Giải: áp dụng BĐT côsi
2
ba
ab
+

với
0,0

ba
có : ta c ú
22222222222222
)()())(( bcadbdacdbcbdacadcba
++=+++=++
2
952
2
)274(
22
2
22
)2)(74(
+
+++

=++
xx
xxxx
xxxx
dấu bằng xảy ra khi x
2
- 4x+7=x
2
x+2 , nghiệm là x=5/3
Ví dụ2: giải phơng trình
2
45
45
=+


x
x
x
x
(1)
Giải: đk x > 4/5 , ta có BĐT
2
+
a
b
b
a
với a>0, b>0 xảy ra đẳng thức khi a = b
với x>4/5 (1)

4;104545
2
===+=
xxxxxx
(thoả mãn đk )
V/ Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phơng trình không mẫu mực hoặc tìm điều
kiện để phơng trình có nghiệm.
1. Hớng giải: để giải phơng trình f(x)=g(x) , ta dùng tỉ số biến thiên hoặc phơng pháp
đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị của hàm f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần
tử x
0
, từ đó kết luận x
0
là nghiệm.
+ Cụ Thể: Ta sẽ chứng minh
)()( xgxf

hoặc
)()( xgxf

hoặc
Axf

)(
và
Axg

)(

hoặc ngợc lại.
+Bên cạnh đó ta sử dụng kết quả:
+Nếu f(x) tăng và g(x) giảm trên cùng một miền xác định thì đồ thị nếu cắt nhau thì
cắt tại một điểm duy nhất . Từ đó phơng trình f(x)=g(x) chỉ có thể có nghiệm duy nhất
hoặc vô nghiệm.
+ Nếu f(t) là hàm tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D thì f(x) = f(y)

x=y
2. Các ví dụ:
Ví dụ1: giảI phơng trình :
231231
+=++++
xxx
Giải: Điều kiện
2
1
012
03
01







+
+
x
x

x
x
đặt :
1231)(
++++=
xxxxf

2
1
122
1
32
1
12
1
/
0)(
>>++=
++
xxf
xxx
)(xf

tăng trên
[
)
+
;
2
1

lại có
23)1(
+=
f
nên đồ thị hàm số y=f(x) cắt đồ thị hàm số hằng
23
+=
y
tại một điểm
duy nhất x=1. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: giải phơng trình :
82315
22
++=+
xxx
Giải:
232381582315
815
7
2222
22
==++++=+
+++
xxxxxxx
xx
Ta thấy hàm
815
7
22
)(

+++
=
xx
xf
luôn giảm trên R, hàm
23)(
=
xxg
luôn tăng trên R,
do đó đồ thị hàm f(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại một điểm duynhất x=1, vậy phơng trình
đã cho có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 3: giải hệ phơng trình





=++
=++
752
725
yx
yx
Giải: điều kiện:





2

2
y
x
từ hệ

2525
+=+
yyxx

)()( yfxf
=
Xét hàm số
25)(
+=
tttf
với
2

t

0)(
2.52
52
22
1
52
1
/
<==
+

+
+
tt
tt
tt
tf
với
2

t
f(t) là hàm giảm trên
[
)
+
;2
do đó
yxyfxf
==
)()(
khi đó hệ PT
1111725
===++
yxxx
, nghiệm của hệ là (11;11).
Ví dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực

4
2
12113
=++

xxmx
Giải: đk
1

x
phơng trình đã cho
m
x
x
x
x
=+
+

+

4
1
1
1
1
23
(1) đặt
4
1
1
+

=
x

x
t
, khi đó (1) trở
thành -3t
2
+2t=m vì t=
4
1
2
4
1
1
1
++

=
xx
x
và
101
<
tx
hàm số
10,23)(
2
<+=
ttttf

có bảng biến thiên:
t o

3
1
1
f
/
(t) + 0 -

3
1
0 -1
f(t)
Phơng trình đã cho có nghiệm t
[
)
3
1
11;0
<
m
Một số bài tập tơng tự: giải các phơng trình sau:
1)
452
=
xx
6)
432
=+
xx
2)
66496

22
+=+
xxxx
7)
11)1()1(
3 2
3
2
3
2
=+++
xxx
3)
12611246
=+++++
xxxx
8)
61224
3
=++
xx
4)
661697
2
+=+
xxxx
9)
0321
333
=+++++

xxx
5) 2
222
723)134)(23( xxxxxx
++=+++
10)
x
xx
xx
=
+

6
33
33
57
57