Dáp an đề thi KS 12 trường THPT Nguyễn Du

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI KHẢO SÁT TOÁN 12
Câu 1
(3 điểm)
Cho hàm số
2x 6
y
x 1
−
=
−
(C)
§iÓm
1 Khảo sát vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
1®iÓm
+ TXĐ : R\{1}
+ Giới hạn và tiệm cận : Tìm giới hạn, TCĐ x = 1, TCN y = 2
1/4
+
( )
2
4
y' 0 x 1
x 1
= > ∀ ≠
−
, Nhận xét khoảng đb, nb và cực trị.
1/4
+ BBT
+
∞
-

∞
2
2
+
+
+
∞
1
-
∞
y
y'
x
1/4
+ Đồ thị : Giao ox,oy, vẽ nhận xét tâm đối xứng.
-5 5
x
6
4
2
-2
-4
O
y
f x
( )
=
2
⋅
x-6

x-1
1/4
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(5;10).
1®iÓm
+ Đt d qua A (5;10) và là tiếp tuyến của ( C) có pt dạng :
( )
y k x 5 10= − +
+ Đt d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ
( )
2
2x 6
k(x 5) 10
x 1
4
k
x 1
−

= − +

−



=
−


có nghiệm.
1/4

+ Từ hệ tìm được pt :
2
x x 2 0− − =
1/4
+ Tìm được x = -1, k = 1 suy ra tiếp tuyến y = x + 5
1/4
+ Tìm được x = 2, k = 4 suy ra tiếp tuyến y = 4x - 10
+ Kết luận : …
1/4
3
Tìm hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) và đối xứng nhau qua điểm B(
1
2
;1).
1®iÓm
+ M, N phân biệt thuộc (C) nên
2m 6 2n 6
M m; , N n; ,m n,m,n 1
m 1 n 1
− −
   
> ≠
 ÷  ÷
− −
   
1/4
+ A là trung điểm của MN
m n 1
2m 6 2n 6
2

m 1 n 1
+ =


⇔

− −
+ =

 − −
1/4
+ Tìm được M(2;-2)
1/4
+ Tìm được N(-1;4)
1/4
1
Câu 2
(2 điểm)
1
Giải phương trình :
1 1 2
sin 2x sin 4x
sin x
2
+ =
π
 
−
 ÷
 

1®iÓm
+ Đk :
sin( x) 0
2
k
sin 2x 0 sin 4x 0 x
4
sin 4x 0
π

− ≠


π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠


≠


1/4
+ pt
2sin x cos 2x cos2x 1⇔ + =
1/4
+
2
sinx 1
sin x(2sin x sin x 1) 0 sinx 0
1
sinx

2


=−

+ − = ⇔ =


=


1/4
+ Giải và đối chiếu điều kiện được nghiệm :
5
x k2 ,x k2
6 6
π π
= + π = + π
1/4
2
Giải hệ phương trình :
2 2
3 3 2
2x 3xy y x y (1)
x y x 2y 3 (2)

− + = −


− + = +



1®iÓm
+ (1)
( ) ( )
y x
x y 2x y x y
y 2x 1
=

⇔ − − = − ⇔

= −

1/2
+ TH1: y=x tìm được 2 nghiệm (-1;-1), (3;3)
1/4
+ Th2: y=2x-1 tìm được nghiệm (0;-1).
+ KL:…
1/4
Câu 3
(2 điểm)
1
Tìm m để đồ thị hàm số
( )
3 2
y x 3x 3 m x m 1= − + − + +
(C) cắt trục Oxtại 3 điểm phân biệt.
1®iÓm
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là :

3 2
x 3x (3 m)x m 1 0− + − + + =
(1)
1/4
+ (1)
( )
2
2
x 1 m
x 1
⇔ − + =
−
(Vì x=1 không là nghiệm của (1) ).
1/4
+ Để (C) cắt Ox tại 3 điểm pb
⇔
đồ thị hàm số
( )
2
2
y x 1
x 1
= − +
−
cắt đt y=m tại 3 điểm pbiệt.
+ BBT

3
+
∞

+
∞
+
0
__
2
1
+
∞
-
∞
+
∞
-
∞
y
y'
x
1/4
+ KL: m > 3 thì (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
1/4
2
Cho tứ diện ABCD,
AC BD,AD BC⊥ ⊥
. Chứng minh rằng
AB CD
⊥
.
1®iÓm
+ Gọi H là hình chiều của A lên (BCD)

AH BC,CD,BD⇒ ⊥
1/4
+
AD BC
BC (ADH) BC HD
AH BC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

1/4
+
AC BD
BD (ACH) BD HC
AH BD
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

1/4
+ Vậy H là trực tâm của
∆
BCD
BH CD
CD AB
AH CD

⊥

⇒ ⇒ ⊥

⊥

1/4
Câu 4 1
Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :
2 2
x y 4x 2y 0+ − − =
và đường thẳng d :
3x y 1 0− + =
.
1®iÓm
2
(2 điểm) Tìm các điểm thuộc (d ) mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đường tròn (C).
+ (C) có tâm I(2;1) , R =
5
1/4
+ M
∈
d
( )
M m;3m 1⇒ +
,
2 2
MI 10m 4m 4= − +
1/4
+ Lập luận từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc để được

2
MI 10=
1/4
+ Ta có pt :
2 2
10m 4m 4 10 10m 4m 6 0− + = ⇔ − − =
3 4
M(1;4),M( ; )
5 5
− −
⇒
1/4
2 Trong hệ toạ độ Oxy cho ba đường thẳng:
1 2
: x 2y 11 0; : x 2y 2 0;d : x y 5 0
∆ − + = ∆ + − = + − =
Tìm các điểm M thuộc (d) sao cho khoảng cách từ M đến
1
∆
bằng 2 lần khoảng cách từ M đến
2
∆
.
1®iÓm
+ M
∈
d
( )
M m;5 m⇒ −
,

1/4
+
( ) ( )
1 2
d M; 2d M; 3m 1 16 2m∆ = ∆ ⇔ + = −
1/4
+
m 3;m 17= = −
1/4
+ Tìm được M(3 ;2),M(-17 ;22)
1/4
Câu 5
(1 điểm)
Cho x, y là hai số thực thoả mãn :
2 2
2x 2y 3 4(x y)+ + = +
(*).
( )
( )
2 2
P 4 x y y x x y 1= + − + −
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P.
1®iÓm
+ (*)
( ) ( )
2
2 x y 4 x y 3 4xy⇔ + − + + =
Ta có
( )
2

x y 4xy+ ≥
( dấu bằng có khi x = y) (không dùng Côsi vì x, y có thể âm )
Đặt t = x + y
2 2 2
2t 4t 3 t t 4t 3 0 1 t 3⇒ − + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
1/4
+
( ) ( )
( )
2 3 2
P 4xy x y x y 1 2t 4t 3 t t 1 2t 4t 2t 1= + − + − = − + − − = − + −
1/4
+ Tìm GTLN, NN của hàm số
[ ]
3 2
P f (t) 2t 4t 2t 1, t 1;3= = − + − ∈


2
1
f '(x) 6t 8t 2 0 t 1;t
3
= − + = ⇒ = =

( )
( )
f 1 1
f 3 3
= −
=

1/4
+ KL:
max
P 23=
khi
3
x y
2
= =

min
P 1= −
khi
1
x y
2
= =
1/4
3