những bài toán khó và hay ( có HD)

1. Cho hai s a v b khỏc 0 th a món : 1/a + 1/b = 1/2 Ch ng minh ph ng trỡnh n x sau luụn cú nghi m :
(x
2
+ ax + b)(x
2
+ bx + a) = 0.
2
2 2
2
0 (*)
( )( ) 0
0 (**)
x ax b
x ax b x bx a
x bx a

+ + =
+ + + + =

+ + =



(*)


4b
2
=
, Để PT có nghiệm
2 2

1 1
4 0 4
2
a b a b
a
b

(3)
(**)


2
4b a =
Để PT có nghiệm thì
2
1 1
4 0
2
b a
b
a

(4)
Cộng 3 với 4 ta có:
1 1 1 1
2 2
a b
a b
+ +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 4 4 4 4 8 4
2 2
a b a b
a b

+ + +
ữ

(luôn luôn đúng với mọi a, b)
2Cho phơng trình: x
2
-( 2m + 1)x + m
2
+ m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3
2
3
1
xx

=50
Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
( )
( )

<+=+
>+=
++=
012
06
06412
21
2
21
2
2
mxx
mmxx
mmm

3
2
1
0)3)(2(
025
<

<
>+
>=

m
m
mm

b. Giải phơng trình:
( )
50)3(2
3
3
=+
mm

=
+
=

=+=++
2
51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m
mmmm

3. Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x
1
, x
2
Chứng minh:
a,Phơng trình ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t
1
và t
2

.
b,Chứng minh: x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2


4
a. Vì x
1
là nghiệm của phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 nên ax
1
2
+ bx
1
+ c =0. .
Vì x
1
> 0 => c.
.0
1
.
1
1

2
1
=++






a
x
b
x
Chứng tỏ
1
1
x
là một nghiệm dơng của phơng trình: ct
2
+ bt + a = 0; t
1
=
1
1
x
Vì
x
2
là nghiệm của phơng trình: ax
2

+ bx + c = 0 => ax
2
2
+ bx
2
+ c =0
vì x
2
> 0 nên c.
0
1
.
1
2
2
2
=+








+

a
x
b
x
điều này chứng tỏ
2
1
x
là một nghiệm dơng của phơng trình ct
2
+ bt + a = 0 ; t
2
=
2
1
x

Vậy nếu phơng trình: ax
2
+ bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x
1
; x
2
thì phơng trình : ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai

nghiệm dơng phân biệt t
1
; t
2
. t
1
=
1
1
x
; t
2
=
2
1
x
b. Do x
1
; x
1
; t
1
; t
2
đều là những nghiệm dơng nên
t
1
+ x
1
=

1
1
x
+ x
1


2 t
2
+ x
2
=
2
1
x
+ x
2


2
Do đó x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2

4
4. Giải hệ phơng trình :







=++
=++
=++
27
1
111
9
zxyzxy
zyx
zyx
( )
( )







=++
=++

=++
327
)2(1
111
19
xzyzxy
zyx
zyx
ĐKXĐ :
.0,0,0

zyx

( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
81 2 81
81 2 27
2( ) 2 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0

( ) 0
x y z x y z xy yz zx
x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
x y y z z x
x y
x y
y z y z x y z
z x
z x
+ + = + + + + + =
+ + = + + + + =
+ + = + + + + + + =
+ + =

=
=



= = = =


=
=


Thay vào (1) => x = y = z = 3 .
Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3.
5. Cho

Rzyx

,,
thỏa mãn :
zyxzyx
++
=++
1111
Hãy tính giá trị của biểu thức : M =
4
3
+ (x
8
- y
8
)(y
9
+ z
9
)(z
10
- x
10
) .
Từ :
zyxzyx
++
=++
1111
=>

0
1111
=
++
++
zyxzyx
=>
( )
0
=
++
++
+
+
zyxz
zzyx
xy
yx

( )
( )
( )
( )( )
0)(
0
)(
0
11
2
=+++

=








++
+++
+
=








++
++
xzzyyx
zyxxyz
xyzzyzx
yx
zyxzxy
yz
Ta có : x

8
y
8
= (x + y)(x-y)(x
2
+y
2
)(x
4
+ y
4
).= y
9
+ z
9
= (y + z)(y
8
y
7
z + y
6
z
2
- .......... + z
8
)
z
10
- x
10

= (z + x)(z
4
z
3
x + z
2
x
2
zx
3
+ x
4
)(z
5
- x
5
)
Vậy M =
4
3
+ (x + y) (y + z) (z + x).A =
4
3
6. 1) Giải phơng trình: 2x
4
- 11 x
3
+ 19x
2
- 11 x + 2 = 0

2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A =
x
+
y
1)A = (n + 1)
4
+ n
4
+ 1 = (n
2
+ 2n + 1)
2
- n
2
+ (n
4
+ n
2
+ 1)
= (n
2
+ 3n + 1)(n
2
+ n + 1) + (n
2
+ n + 1)(n
2
- n + 1)
= (n
2

+ n + 1)(2n
2
+ 2n + 2) = 2(n
2
+ n + 1)
2
Vậy A chia hết cho 1 số chính phơng khác 1 với mọi số nguyên dơng n.
2) Do A > 0 nên A lớn nhất

A
2
lớn nhất.
Xét A
2
= (
x
+
y
)
2
= x + y + 2
xy
= 1 + 2
xy
(1) Ta có:
2
yx
+

xy

(Bất đẳng thức Cô si)=> 1 > 2
xy

(2)
Từ (1) và (2) suy ra: A
2
= 1 + 2
xy
< 1 + 2 = 2
Max A
2
= 2 <=> x = y =
2
1
, max A =
2
<=> x = y =
2
1
7. Cho biểu thức :
2 2
5 4 2014M x x y xy y= + + +
.Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị
nhỏ nhất đó
Ta có :
( ) ( )
( )
2 2
4 4 2 1 2 2 2007M x x y y xy x y= + + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2 1 2007M x y x y= + + +
( ) ( ) ( )
2
2
1 3
2 1 1 2007
2 4
M x y y

= + + +


Do
( )
2
1 0y và
( ) ( )
2
1
2 1 0
2
x y

+

,x y

2007M


min
2007 2; 1M x y = = =

8. Cho a, b là các số thực dơng. Chứng minh rằng :
( )
2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + +
Ta có :
2 2
1 1
0; 0
2 2
a b


ữ ữ



a , b > 0

1 1
0; 0
4 4
a a b b + +

1 1
( ) ( ) 0
4 4
a a b b + + +


a , b > 0
1
0
2
a b a b + + + >
Mặt khác
2 0a b ab+ >

Nhân từng vế ta có :
( ) ( )
( )
1
2
2
a b a b ab a b

+ + + +

( )
( )
2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + +

9 Cho tam giác ABC có phân giác AD. Chứng minh : AD
2
= AB . AC - BD . DC
Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp
ABCV

Gọi E là giao điểm của AD và (O)
d
e
c
b
a
Ta có: ABD CED:V V (g.g)
. .
BD AD
AB ED BD CD
ED CD
= =

( )
2
. .
. .
AD AE AD BD CD
AD AD AE BD CD
=
=

Lại có :
( )
.ABD AEC g g:V V

2
. .
. .
AB AD
AB AC AE AD
AE AC
AD AB AC BD CD
= =
=

10. Cho phơng trình 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

thỏa mãn: 3x
1
- 4x
2
= 11
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thì > 0<=> (2m - 1)
2
- 4. 2. (m - 1) > 0
Từ đó suy ra m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:










=

=

=+
114x3x

2
1m
.xx
2
12m
xx
21
21
21










=



=
=
11
8m-26
77m
4
7

4m-13
3
8m-26
77m
x
7
4m-13
x
1
1

Giải phơng trình
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3 =


ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa
mãn: x
1
+ x
2
= 11
11. : a) Xác định x

R để biểu thức :A =
xx
xx
+
+
1
1
1
2
2
Là một số tự nhiên
b. Cho biểu thức: P =
22
2
12
++
+
++
+
++
zzx
z
yyz
y
xxy
x
Biết x.y.z = 4 , tính
P
.
a.A =

xxxxx
xxxx
xx
xx 2)1(1
)1).(1(
1
1
22
22
2
2
=+++=
+++
++
+
A là số tự nhiên

-2x là số tự nhiên

x =
2
k
(trong đó k

Z và k

0 )
b.Điều kiện xác định: x,y,z

0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta đợc x, y, z > 0 và

2
=
xyz

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với
x
; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi
xyz
ta đợc:
P =
1
2
2
2(
2
22
=
++
++
=
++
+
++
+
++
xxy
xyx
xyxz
z
xxy

xy
xxy
x
(1đ)


1
=
P
vì P > 0
12. Tính giá trị của biểu thức:
A =
53
1
+
+
75
1
+
+
97
1
+
+ .....+
9997
1
+
B = 35 + 335 + 3335 + ..... +

399

35.....3333
số
1) A =
53
1
+
+
75
1
+
+
97
1
+
+ .....+
9997
1
+

=
2
1
(
35

+
57

+
79

+ .....+
9799

) =
2
1
(
399

)
2) B = 35 + 335 + 3335 + ..... +

399
35.....3333
số
=
=33 +2 +333+2 +3333+2+.......+ 333....33+2
= 2.99 + ( 33+333+3333+...+333...33)
= 198 +
3
1
( 99+999+9999+.....+999...99)
198 +
3
1
( 10
2
-1 +10
3

- 1+10
4
- 1+ ....+10
100
1) = 198 33 +
B =









27
1010
2101
+165
13 1)ứng minh : (ab+cd)
2


(a
2
+c
2
)( b
2
+d

2
)
2) dụng : cho x+4y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x
2
+ 4y
2

1) Ta có : (ab+cd)
2


(a
2
+c
2
)( b
2
+d
2
) <=>
a
2
b
2
+2abcd+c
2
d
2

a
2
b
2
+ a
2
d
2
+c
2
b
2
+c
2
d
2
<=>
0

a
2
d
2
- 2cbcd+c
2
b
2
<=>
0

(ad - bc)
2
(đpcm )
Dấu = xãy ra khi ad=bc.
2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có :
5
2
= (x+4y)
2
= (x. + 4y)

(x
2
+ y
2
)
)161(
+
=>
x
2
+ y
2



17
25
=> 4x
2

+ 4y
2



17
100
dấu = xãy ra khi x=
17
5
, y =
17
20
14. Cho P =
x
xx

+
1
34
2
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.
Để P xác định thì : x
2
-4x+3

0 và 1-x >0
Từ 1-x > 0 => x < 1
Mặt khác : x
2

-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < 1 nên ta có :
(x-1) < 0 và (x-3) < 0 từ đó suy ra tích của (x-1)(x-3) > 0
Vậy với x < 1 thì biểu thức có nghĩa.
Với x < 1 Ta có :
P =
x
xx

+
1
34
2
=
x
x
xx
=


3
1
)3)(1(
15.cho pt
01
2
=+
mmxx
a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với
m

.
b. Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt.
( )
12
32
21
2
2
2
1
21
+++
+
=
xxxx
xx
P
cm
m

0
B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:



=
=+

1
21
21
mxx
mxx

2
12
2
+
+
=
m
m
P
(1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn.
11
2
2
1
1
2
1
==
==

mGTNN
mGTLN
P