Kinh nghiệm dạy chứng minh 3 điểm thẳng hàng giúp học sinh lớp 7 tránh sai lầm khi giải dạng toán này

I. MỞ ĐẦU.
1. Lý do chọn đề tài.
Giáo dục và đào tạo chúng ta đã qua một số lần đổi mới, thay sách giáo
khoa, với định hướng chương trình giảm tải kiến thức và tăng thêm ứng dụng
thực tiễn. Nhưng ta thấy rằng kiến thức gần như không giảm mà chỉ là sắp xếp
lại, đặc biệt là các cuộc thi chưa giảm về nội dung kiến thức và yêu cầu kĩ năng
đôi lần còn thấy tăng thêm, khó thêm. Chính vì vậy khi học sinh tham gia các kỳ
thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10, đôi khi cả bài thi học kỳ nội dung bài thi vẫn
yêu cầu cao và kiến thức khó so với khả năng của học sinh đối với môn Toán nói
chung, phân môn hình học nói riêng. Chính vì vậy chỉ dạy đơn thuần như
chương trình sách giáo khoa thì chưa đáp ứng được yêu cầu các kì thi. Chính vì
vậy giáo viên phải tìm tòi, nghiên cứu thêm tài liệu để soạn giảng lồng ghép vào
các tiết dạy chính khóa và soạn giảng các chuyên đề bồi dưỡng đại trà (học
thêm) cũng như các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi vào lớp
10 THPT, để nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường và đáp ứng nhu cầu học
tập tích cực của học sinh.
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học nói chung và hình học 7
nói riêng là một nội dung khó đối với nhiều học sinh cũng một số giáo viên; mà
tài liệu về nội dung này gần như chưa có để đáp ứng nhu cầu dạy và học của
thầy và trò. Nên khi gặp dạng toán này học sinh còn lúng túng, khó tìm ra cách
giải vì học sinh chưa nắm được phương pháp. Khi học sinh đi thi gặp dạng toán
này gần như các em không làm được.
Từ những trăn trở và suy nghĩ trên tôi đã mạnh dạn tìm tòi và nghiên cứu
viết chuyên đề “Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học 7”, giúp các em
nắm được các phương pháp chứng minh và tránh được những sai lầm khi làm
dạng toán này. Tôi cũng không tham vọng nhiều mà chỉ mong giải quyết được
phần lớn những khó khăn trên, vấn đề mà nhiều học sinh và thầy cô đang trăn
trở.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh yêu thích bộ môn Toán nói chung và phân môn hình học
nói riêng. Giúp các em có được phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng và

tránh được những sai lầm mà nhiều học sinh khác trước đây mắc phải, hy vọng
góp phần giúp học sinh có kĩ năng tốt để giải các bài toán hình học và giúp học
sinh học ngày càng tốt hơn với môn hình học mà đa số các em rất sợ vì nếu
không tích luỹ được một số kiến thức cơ bản, tư duy và kĩ năng thì các em se
không học được môn hình học. Qua đó nâng cao thành tích học tập cũng như
thành tích trong các kỳ thi của học sinh trong trường.
- Giúp tôi cùng đồng nghiệp có thêm tài liệu về phương pháp chứng minh
3 điểm thẳng hàng để tự tin mỗi khi lên lớp, không còn ngại dạy phân môn hình
1


học.
- Nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 7 trường THCS Thọ Hải học chứng minh 3 điểm thẳng hàng
trong phân môn hình học 7.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế.
- Phương pháp thu thập thông tin
- Phương pháp thống kê
- Phương pháp xử lý số liệu.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức
và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế
cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát
triển.
Nội dung môn Toán thường mang tính trừu tượng khái quát. Do đó, để
hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự

cân đối giữa “học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào thực tiễn giải quyết vấn
đề cụ thể.
Giải toán hình học là hình thức tốt để rèn khả năng tư duy, kĩ năng ve
hình, kĩ năng suy luận, tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học
sinh tăng cường học tập thực hành, rèn khả năng tính toán.
Hình học là môn suy diễn bằng lí luận chặt che, từ những nguyên nhân
nhất thiết phải suy ra kết luận chính xác, không mơ hồ. Mỗi một câu nói trong
lúc chứng minh đều phải có lí do xác đáng, tuyệt đối không qua loa, không nói
dư. Làm cho học sinh có thói quen nhìn nhận đúng sự việc. Nói đến kĩ năng giải
toán chứng minh hình học chính là những thao tác tư duy chính xác, khoa học,
những suy diễn có logic, chứng minh hình học không giống số học chỉ áp dụng
những qui tắc cố định hoặc như đại số đã có sẵn công thức, mà phải nắm vững
phương pháp suy xét vấn đề, tìm hiểu và suy đoán từng bước một cách khoa
học, logic.
Môn Toán là môn học hay, có nhiều ứng dụng nhưng có nhiều nội dung
còn trừu tượng khái quát nên nhiều em còn ngại học môn này, đặc biệt là phân
môn hình học. Vì vậy tôi đã tìm tòi và nghiên cứu về nội dung và phương pháp
chứng minh 3 điểm thẳng hàng tạo hứng thú học tập cho học sinh. Đặc biệt lưu ý
cho học sinh những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải dạng toán này.
2


Sau khi học xong chương II tôi đã hệ thống các bài tập có liên quan đến
chứng minh 3 điểm thẳng hàng và đưa ra các phương pháp giải (6 phương pháp)
như sau:
1. Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng:
2. Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một
điểm và cùng song song với một đường thẳng cho trước.
3. Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm.
4. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc

với một đường thẳng cho trước.
5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc.
6. Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia của một góc.
Sang chương III tôi chỉ ra cho các em các phương pháp chứng minh 3
điểm thẳng hàng tiếp theo (5 phương pháp tiếp theo):
7. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng.
8. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.
9. Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung
của chúng.
10. Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác
đó.
11. Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai
đường trung trực của hai cạnh còn lại.
Sau khi hướng dẫn học sinh các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng
hàng tôi thường lưu ý cho học sinh các sai lầm cần tránh hoặc đưa ra lời
giải bài toán có sai lầm mà tưởng như đúng để các em tìm ra lỗi sai của bài
toán đó. Qua đó củng cố kiến thức, kĩ năng cho dạng toán này.
2. Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 7 và kết hợp tham khảo các ý kiến
của đồng nghiệp, tôi nhận thấy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán:
"chứng minh ba điểm thẳng hàng " thì phần lớn học sinh rất khó khăn trong
việc vận dụng các kiến thức đã học để giải dạng toán này. Sự vận dụng lý
thuyết vào việc giải bài tập của học sinh còn thiếu linh hoạt. Khi gặp một bài
toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được
phương hướng để giải bài toán dẫn đến không làm được bài hoặc giải sai.
Để nắm bắt được học sinh của mình có giải được dạng toán này không tôi
đã mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi "chứng minh ba điểm thẳng hàng" vào bài
kiểm tra một tiết (Tiết 46- có 1 câu 3,0 điểm/10 điểm).
Kết quả làm câu chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Sĩ

Làm
Tỉ lệ
Làm
Tỉ lệ
Không
Tỉ lệ
Năm học
Khối
số đúng
(%)
sai
(%)
làm
(%)
3


2014 - 2015

7

56

3

5,36

24

42.86

29

51,78

3. Các giải đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
3.1. Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng:
A

B

C

=180

0

� Ba điểm A, B, C thẳng

hàng
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông ở A có �
ABC  600 . Ve tia Cx  BC (tia
Cx và điểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE =
CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm
E, A, F thẳng hàng.
* Gợi ý: Muốn chứng minh 3
điểm E, A, F thẳng hàng ta cần chứng
minh

+

= 1800

+

Bài giải
= 600

ABC vuông tại A, có
nên

= 300.
BAF cân tại B, có

= 1200 nên

ACE cân tại C, có

= 900 – 300= 600 nên

Suy ra

=

+

+

=

= 300
=

= 600

= 1800

Vậy 3 điểm E, A, F thẳng hàng
* Sau khi chứng minh xong GV cho Bài giải, yêu cầu các em tìm ra sai
lầm trong cách chứng minh sau:
Ta có CEF vuông tại C nên

= 900

+

Mà BAF cân tại B (vì BA = BF) nên
CAE cân tại C (vì CA = CE) nên
Suy ra

=

+

+

= +

= ,
=

+

= 1800

4


Vậy 3 điểm E, A, F thẳng hàng
Trả lời: Sai lầm trong bài toán trên là đã thừa nhận góc BFA của ABF bằng
góc CFE của CEF trong khi 3 điểm E, A, F chưa thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của
mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD
lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng
hàng.
Bài giải
- GV hướng dẫn học sinh: Chứng minh

+

+

= 1800 suy ra 3

điểm M, C, N thẳng hàng.
- GV đưa ra 2 bài giải, yêu cầu học sinh cho biết các lời giải sau đúng hay sai?:
Bài giải 1:
Dễ dàng chứng minh
∆AOD = ∆COB (c.g.c) => BC // AD suy ra

=

(đồng vị)

∆AOB = ∆COD (c.g.c) => DC // AB suy ra

=

(đồng vị)

mà

=

Suy ra

+

+

=

+

=1800

Vậy 3 điểm M, C, N thẳng hàng.
Trả lời: Bài giải này sai.
Sai lầm là đã vô tình thừa nhận 3 điểm M, C, N thẳng hàng nên mới có:
BC // AD suy ra

=

(đồng vị)

DC // AB suy ra

=

(đồng vị)

Bài giải 2:
� . Do đó BD // MN.
Chứng minh  DAB =  CBM (c.g.c). Suy ra �
ABD  BMC
Suy ra

=

,

=

(so le trong)

5


Nên

+

+

=

1800 . Vậy 3 điểm M, C, N

+

thẳng hàng.
Trả lời: Bài giải sai
�
Sai lầm là �
chỉ suy ra được BD//MC, chưa suy được BD // MN vì 3
ABD  BMC
điểm M, C, N chưa thẳng hàng.
- Qua đây giáo viên cần chú ý cho học sinh khi làm dạng toán này cần phải suy
nghĩ 3 điểm đó(E,A,F hoặc M,C,N) chưa thẳng hàng, có những trường hợp cần
vẽ hình trên nháp 3 điểm đó không thẳng hàng để khi chứng minh không ngộ
nhận các yếu tố chỉ có khi 3 điểm đó thẳng hàng.
Bài giải đúng:
∆AOD = ∆COB (c.g.c) => BC // AD suy ra

=

(đồng vị)

∆AOB = ∆COD (c.g.c) => DC // AB suy ra

=

(đồng vị)

mà
Suy ra

=

+

+

=

+

=1800

Vậy 3 điểm M, C, N thẳng hàng.
Ngoài cách giải trên ta có thể sử dụng tiên đề Ơ clit => sang phần 3.2

3.2 Sử dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh 3 điểm thẳng hàng
(tiếp ví dụ 2) Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng
hàng.
Bài giải
Xét  AOD và  COD có:
OA = OC (vì O là trung điểm AC)
�
�
(hai góc đối đỉnh)

AOD  COB
OD = OB (vì O là trung điểm BD)
Vậy  AOD =  COB (c.g.c)
�  OCB
� .
Suy ra: DAO
�  CBM
� (ở vị trí đồng vị)
Do đó: AD // BC. Nên DAB
�  CBM
� ,
Xét  DAB và  CBM có : AD = BC ( do  AOD =  COB), DAB
6


AB = BM ( B là trung điểm AM).
� . Do đó BD // CM. (1)
Vậy  DAB =  CBM (c.g.c). Suy ra �
ABD  BMC
Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho
M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng
hàng.
Hướng dẫn: Ta chứng minh AD // BC và AE // BC suy ra 3 điểm E, A, D thẳng
hàng.
Bài giải.
 BMC và  DMA có:

A

E

MC = MA (do M là trung điểm AC)
N

�  DMA
�
(hai góc đối đỉnh)
BMC

MB = MD (do M là trung điểm BD)

D

=

/

M

=

/

C

B

Hình 7

Vậy:  BMC =  DMA (c.g.c)
� , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Suy ra: �
ACB  DAC

Chứng minh tương tự : BC // AE (2)
Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)
và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.
- GV hướng dẫn học sinh có thể làm bài này theo phương pháp 1, chứng minh
góc EAD = 1800.
�
(1’), tương tự
ACB  DAC
…  BMC =  DMA (c.g.c) Suy ra: �

Suy ra

+

+

=

(2’)

= … = 1800. Suy ra 3 điểm D, A, E thẳng hàng.

- GV cho bài tập: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các

cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E
sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh A là trung
điểm của DE.
Với yêu cầu của bài toán này nhiều bạn sai lầm sẽ không chứng minh 3 điểm D,
A, E thẳng hàng mà chỉ chứng minh AD =AE rồi kết luận A là trung điểm của
DE.

7


Để chứng minh A là trung điểm của DE ta cần chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng
hàng và AD = AE.
3.3. Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung
điểm BD thì K’ �K thì A, K, C thẳng hàng.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối
tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba
điểm B, K, C thẳng hàng
A
BÀI GIẢI
M
Cách 1: Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F � BC)
=
BME và CNF vuông tại E và F có:
K'
F
C
B
E
K

=
�  NCF
�
BM = CN (gt), MBE
( cùng bằng �
ACB )
hình 11
N
Do đó: BME = CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra: ME = NF.
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
� '  FNK
� ' ( so le
 MEK’ và  NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), EMK
trong của ME // FN) . Vậy  MEK’ =  NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ .
Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K �K’
Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
- Lưu ý: Nhiều học sinh dễ mắc sai lầm sử dụng
minh MEK = NFK suy ra

=

=

= 900 để chứng

, hai góc ở vị trí đối đỉnh nên 3 điểm

B, K, C thẳng hàng.
Sai lầm là 3 điểm B, K, C chưa thẳng hàng nên

=

= 900 là chưa

khẳng định.
�
Cách 2. Kẻ ME // AC (E � BC) � �
(hai góc đồng vị)
ACB  MEB
�  MEB
� . Vậy ΔMBE cân ở M.
Mà �
ACB  �
ABC nên MBE
A
Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được ME
= CN.
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
ΔMEK’ và ΔNCK’ có:
M
�' ME  K
�' NC (so le trong của ME //AC)
K
=
K'
ME = CN (chứng minh trên)
C
B
E

K
�
�
'
'
MEK  NCK (so le trong của ME //AC)
=
Hình 12
’
’
’
’
N
Do đó : ΔMEK = ΔNCK (g.c.g) � MK = NK .

8


Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K �K’
Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Lưu ý: Nhiều học sinh dễ mắc sai lầm không sử dụng điểm K’ mà sử dụng
=

(so le trong của ME//AC)để chứng minh ΔMEK = ΔNCK, vô tình

thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý nhưng không biết là
sai.
- GV hướng dẫn học sinh có thể làm theo phương pháp 1, khắc phục sai
A
lầm ở trên, kẻ hình tương tự cách 2.

�
Kẻ ME // AC (E � BC) � �
(hai góc đồng vị)
ACB  MEB
�  MEB
� . Vậy ΔMBE cân ở M.
Mà �
ACB  �
ABC nên MBE
M
Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC
=
K'
ta được ME = CN.
C
B
E
K
Xét ΔMEK và ΔNCK có:
=
Hình 12
=

N

(so le trong của ME //AC)

ME = CN

(chứng minh trên)

MK = NK (K là trung điểm MN)
Do đó : ΔMEK = ΔNCK (c.g.c) �

=

.

Mà 2 góc này ở vị trí đối đỉnh có M, K, N thẳng hàng
Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
3.4. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc
với một đường thẳng cho trước:
A

a

B

AB  a

BC  a

=> A, B, C thẳng hàng

C

Ví dụ 5: Cho V ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Ve AH vuông góc BC ( H
� BC). Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. chứng minh ba điểm A, H,
K thẳng hàng.
Lời giải sau đúng hay sai?

Xét V ADE và V ABC
�  BAC
�
Có AE = AC, AD = AB, DAE
nên V ADE = V ABC (c.gc)

E

K
D

A

9

B

C
H


�B
�
� D
� DE // BC � AK  BC

Xét V AHB và V AKD
�K
� = 900

Có AB= AD, BH= DK, H
Nên V AHB = V AKD (ch-cgv)
Suy ra góc DAK = góc BAH mà 3 điểm B, A, D thẳng hàng nên 3 điểm H, A,
K thẳng hàng
Khi có học sinh trả lời là “Lời giải sai” GV yêu cầu chỉ ra lỗi sai trong lời
giải trên.
Lời giải sai ở chỗ khi DE // BC � AK  BC , nếu suy ra như vậy đã vô
tình thừa nhận 3 điểm H, A, K đã thẳng hàng.
Hướng dẫn giải.

Xét V ADE và V ABC
�  BAC
�
Có AE = AC, AD = AB, DAE
nên V ADE = V ABC (c.gc

E

K
D

�B
�
� D
� DE // BC

V AHB = V AKD (vì AB= AD, BH= DK,

A

�B
�
D

)

B

C
H

��
AKD  �
AHB  900
� AK  BC

mà AH  BC suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng.
- GV hướng dẫn học sinh có thể chứng minh theo phương pháp 1.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
a)
Chứng minh AM  BC.
b) Ve hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt
nhau tại hai điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Gợi ý:.
A
- Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC
- hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
BÀI GIẢI.
=
=


a) Chứng minh AM BC.
P
ΔABM và ΔACM có:
/
/
C
B
M
AB =AC (gt)
AM chung
Q
Hình 9

10


MB = MC (M là trung điểm BC)
� (hai góc tương ứng)
Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra: �
AMB  AMC
Mà �
AMB  �
AMC  1800 (hai góc kề bù) nên �
AMB  �
AMC  900
Do đó: AM  BC (đpcm)
b)
Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).

�  PMC
� (hai góc tương ứng), mà PMB
�  PMC
�  1800 nên
Suy ra: PMB
�  PMC
� = 900
PMB
Do đó: PM  BC.
Lập luận tương tự QM  BC
Từ điểm M trên BC có AM  BC,PM  BC, QM  BC nên ba điểm
A, P, Q thẳng hàng (đpcm)
* Qua dạng toán này củng cố cho các em cách chứng minh hai tam giác bằng
nhau, các đường thẳng vuông góc từ đó suy ra 3 điểm thẳng hàng.
3.5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:
BA là tia phân giác

x

=> A, B, C thẳng hàng

CA là tia phân giác

C
B
A

y

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam

giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A,
M, N thẳng hàng.
Bài giải.
ABM  ACM (vì AM chung, AB = AC, MB = MC )
�  CAM
�
 BAM

A

�
 AM là tia phân giác BAC
(1)
M

Tương tự ABN  ACN (c.c.c)
�  CAN
�
BAN
�
 AN là tia phân giác BAC
(2)

C
B

N

Từ (1), (2) suy ra ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 9: Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C

sao cho OB = OC. Ve đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho
chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm
O, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy
11


Bài giải:
ΔBOD và ΔCOD có:
B
OB = OC (gt)
=
=
/
A
OD chung
D
O
/
=
=
BD = CD (D là giao điểm của hai đường
C
tròn tâm B và tâm C cùng bán kính).
Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c).
Hình 10
�  COD
� .
Suy ra : BOD
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.

� .
Do đó OD là tia phân giác của xOy

x

y

� .
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của xOy
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau.
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
* Qua dạng toán này củng cố cho các em kiến thức, kĩ năng chứng minh tia
phân giác của một góc từ đó suy ra 3 điểm thảng hàng.
3.6. Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia của một góc:
Chứng minh tia OA và OB cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, và
cùng tạo với Tia Ox một góc bằng nhau.
1.

AOx = 

0

BOx = 

0

 O, A, B thẳng hàng.
�  1080 , Gọi O là một điểm
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC cân ở A , BAC
�  120 . Ve tam giác đều BOM ( M

nằm trên tia phân giác của góc C sao cho CBO
và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh ba điểm C, A, M
thẳng hàng.
�  OCM
�
Hướng dẫn: Chứng minh OCA
từ đó suy ra tia CA và tia CM
trùng nhau.
Bài giải.
1800  1080
ABC  �
ACB 
 360
Tam giác ABC cân ở A nên �
2

(tính chất của tam giác cân). Mà CO là tia phân giác của �
ACB ,
M
�  180 . Do đó BOC
�  1500
nên �
ACO  BCO
=

=
/
12

B

//

A
108

12

O /

Hình 13

C


�
ΔBOM đều nên BOM
 600 .

�  3600  (1500  600 )  1500
Vậy : MOC

ΔBOC và ΔMOC có:
OB = OM ( vì ΔBOM đều)
�  MOC
�
BOC
 1500

OC chung

Do đó : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)
�  OCM
�
�  OCA
�
�  OCM
� .
Suy ra: OCB
mà OCB
(gt) nên OCA
�  OCM
�
Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và OCA
nên tia CA và tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm)
* Qua bài toán này luyện tập củng cố cho các em cách chứng minh 2 tam
giác bằng nhau, chứng minh góc bằng nhau từ đó chứng minh ba điểm thẳng
hàng.
3.7. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn
thẳng
A
A thuộc đường trung trực của MN
=> A, B, C thẳng hàng
B thuộc đường trung trực của MN
B
C thuộc đường trung trực của MN
C
M

N

Ví dụ 11: Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng
minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
BÀI GIẢI
V ABC cân tại A suy ra AB = AC
A thuộc đường trung trực của BC (1)

A

V DBC cân tại D suy ra DB = DC

D thuộc đường trung trực của BC (2)

V EBC cân tại E suy ra EB = EC

D
B

 E thuộc đường trung trực của BC (3)

C
E

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng.
* Qua phần này củng cố tính chất đường trung trực của 1 đoạn thẳng từ đó
chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
3.8. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng
A
tâm.
G là trọng tâm tam giác ABC
AM là trung tuyến tam giác ABC

G
C
B

M

13


=> A, B, C thẳng hàng
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy hai điểm P,
Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh
ba điểm
M
B, P, E thẳng hàng.
Bài giải
V ABC có AM là trung tuyến
mà AQ = QP = PM (gt)
AP =

2
AM
3

P là trọng tâm

A
Q

V ABC

E
P

Vì E là trung điểm của AC nên BE
B
là trung tuyến của V ABC
BE đi qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng.

C

3.9. Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm
chung của chúng:
)

�
I là giao điểm 2 đường phân giác B, C
AD là phân giác của �
A
D thẳng hàng.

A

I
C
D

B

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại

I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng
minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Bài giải
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại A nên K cách đều hai cạnh Ax
và AC (1)
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại C nên K cách đều hai cạnh Cy
x
và AC (2)
Từ (1) và (2) suyC ra K cách đều 2 cạnh Ax và Cy
K
A
Hay K cách đều hai cạnh BA và BC
)
 KB là tia phân giác B
I
B
y
� nên:
C
vì I là giao điểm của hai tia phân giác �
A, C
)
BI là tia phân giác B (gt) => Ba điểm B, I, K thẳng hàng
3.10. Chứng minh đường cao của tam giác thì điA qua trực tâm của tam
14

H

B

C
D


giác đó:
H là trực tâm  ABC
AD là đường cao  ABC
=> A, H, D ba điểm thẳng hàng
Ví dụ 14: Cho tam giác ABC cân tại A, ve đường cao BH và CK cắt nhau tại
I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.
A
Bài giải
Vì I là giao điểm hai đường
cao BH và CK nên I là trực tâm  ABC
K
H
I
 ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên
B
C
cũng là đường cao.
M
=> Đường cao AM đi qua trực tâm I
=>Ba điểm A, I, M thẳng hàng.
3.11. Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm
A
hai đường trung trực của hai cạnh còn lại:
E
O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC
F

O
EF là đường trung trực của cạnh AB
B
=> E, F,O thẳng hàng
Ví dụ 15: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Đường
trung trực của AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh A, D, M thẳng hàng.
Bài giải
ABC cân tại A có MB = MC nên: AM là đường trung tuyến  ABC
A
=> AM cũng là đường trung trực của  ABC
Mà D là giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC
Nên AM đi qua D
D
=> Ba điểm A, D, M thẳng hàng.
B

M

C

* Sau khi học các đường (cao, phân giác, trung trực, trung tuyến) giúp
học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng dễ dàng hơn khi học ở chương II,
các bài chứng minh trở nên ngắn gọn hơn .

Trên đây là những định hướng ban đầu nhằm giúp cho học sinh làm quen
với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Vì đây là kiến thức mới và khó
đối với học sinh nên bước đầu bản thân tôi chỉ chọn những bài tập nhỏ, đơn
15

C

giản, những bài tập chủ yếu vận dụng kiến thức đã học để qua đó giới thiệu
cách chứng minh ba điểm thẳng hàng. Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần
phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh
những lập luận sai hoặc lập luận quanh co dẫn đến những sai lầm đáng tiếc.
BÀI TẬP CỦNG CỐ .
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD
= AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối
của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và
K thuộc đường thẳng BC).Gọi M là trung điểm HK.Chứng minh ba điểm D, M,
E thẳng hàng.
Bài 3: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng
ABy .Trên Ax lấy hai điểm C
đối nhau bờ AB, kẻ Hai tia Ax và By sao cho B�Ax  �
và E(E nằm giữa A và C),trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao
cho AC = BD, AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E,
O, F thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC. Ve cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn
tâm B bán kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và
tâm B lần lượt tại E và F. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A)
Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.
Bài 5.Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho
M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng
hàng
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM  AC, CN  AB (
M �AC , N �AB ), H là giao điểm của BM và CN.

a) Chứng minh AM = AN.
b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa
mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC
chứa B kẻ tia Cy vuông AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A,
H, E thẳng hàng.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi tìm tòi, nghiên cứu và viết chuyên đề này đã giúp tôi củng cố
kiên thức bộ môn, làm tăng niềm đam mê môn Toán nói chung và phân môn
hình học nói riêng. Làm cho tôi tự tin hơn trước học sinh, yêu nghề hơn từ đó
nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường. Hàng năm chất lượng của
16


môn Toán được nâng lên trong đó số học sinh giỏi môn Toán 7, Toán 8 tăng
lên. Chính vì vậy tôi luôn đạt lao động tiên tiến và 2015-2016 đạt CSTĐ cấp cơ
sở. Sáng kiến kinh nghiệm này sau khi thử thành công năm học 2014 – 2015
tôi mạnh dạn áp dụng vào năm học 2015 – 2016 đồng thời chia se cho các
đồng nghiệp trong nhà trường để áp dụng không chỉ cho lớp 7 mà còn mở rộng
cho lớp 8 và lớp 9. Và sau đó tôi tiếp tục tìm tòi, nghiên cứu để viết chuyên đề
này cho lớp 8 và lớp 9. Kết quả là tôi cùng các đồng nghiệp sử dụng vào giảng
dạy rất thành công. Qua đó nâng cao phong trào viết các chuyên đề bộ môn
phù hợp với đối tượng học sinh của mình không chỉ trong bộ môn Toán mà còn
các môn khác cũng vậy.
Khi bổ sung thêm câu hỏi "chứng minh ba điểm thẳng hàng" vào bài
kiểm tra một tiết (Tiết 46- có 1 câu 3,0 điểm/10 điểm).
Kết quả làm câu chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Sĩ
Làm

Tỉ lệ
Làm
Tỉ lệ
Không
Tỉ lệ
Năm học
Khối
số đúng
(%)
sai
(%)
làm
(%)
2015 – 2016

7

64

40

62.5

19

29.7

5

7.8

2016 – 2017

7

62

42

67.7

14

22.6

6

9.7

Như vậy ta thấy rằng chất lượng làm bài đã tăng lên rõ rệt, qua đó chất
lượng học môn Toán nói chung phân môn hình nói riêng trong nhà trường được
nâng lên. Giúp các em yêu thích môn Toán hơn, đặc biệt không nhại học môn
hình.
Bên cạnh chất lượng đại trà được nâng lên, chất lượng học sinh giỏi môn
Toán cấp huyện cũng tăng lên, cụ thể:
Năm học
HSG Toán 7
HSG Toán 8
1 Nhì, 2 Ba, 1 KK
2 giải KK

2014 - 2015
(4/5 thí sinh)
(2/2 thí sinh)
1 Nhất, 1 Nhì, 2 Ba
1 Nhất, 1 Nhì
2015 - 2016
(4/4 thí sinh)
(2/2 thí sinh)
2 Nhì
2016 – 2017
(2/2 thí sinh)
Và chất lượng thi vào 10 trong 2 năm 2015 – 2016, 2016 – 217 đều xếp thứ
3/42 trường trong huyện.

3. KÊT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giảng dạy bộ môn Toán nói
chung và môn hình học nói riêng là một việc làm cần thiết.
17


Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những
kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức
độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt
tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài
tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình
bày của học sinh.
Với mỗi dạng tuy không có qui tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên
nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp dạng tương tự
học sinh có thể liên hệ được.

Nội dung chứng minh ba điểm thẳng hàng là một kiến thức rộng và sâu,
tương đối khó đối với học sinh. Vì vậy đòi hỏi người học phải có đầy đủ kiến
thức, phải có đầu óc phân tích, tổng hợp. Đây là một tiền đề giúp học sinh có
khả năng tích hợp kiến thức cũ để phát hiện kiến thức mới.
Khi sử dụng chuyên đề này trong quá trình giảng dạy, tôi thấy đạt hiệu
quả tốt. Nó chỉ ra cho học sinh con đường đi, tránh phải mất thời giờ suy nghĩ
lan man, nhiều khi dẫn đến ngõ cụt. Khi có được hướng suy nghĩ đúng, phần lớn
các em giải quyết được yêu cầu của bài toán, tránh được những sai lầm khi
chứng minh. Điều này tạo cho các em niềm say mê, hứng thú trong học tập bộ
môn.
3.2. Kiến nghị
Qua đề tài này tôi cũng xin đề xuất với các cấp quản lí giáo dục là nên tổ
chức các chuyên đề về giải toán và triển khai những đề tài SKKN để giáo viên
có cơ hội học tập, trao đổi.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy
chuyên đề này. Chắc chắn nó chưa được hoàn chỉnh và còn có chỗ khiếm
khuyết. Trong khi vấn đề phát triển tư duy cho học sinh đối với giáo viên THCS
còn gặp nhiều khó khăn thì bản thân tôi muốn đóng góp một kinh nghiệm nhỏ
của mình. Qua đây, tôi rất mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp để
những năm học tới giảng dạy môn Toán được tốt hơn, đáp ứng yêu cầu của sự
nghiệp giáo dục nước nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thọ Xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2018
XÁC NHẬN
CỦA HIỆU TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI VIẾT

TÀI LIỆU THAM KHẢO.
- Sách giáo khoa Toán 7 – Nhà xuất bản GD
- Sách bài tập Toán 7– Nhà xuất bản GD
18


-

Sách nâng cao và phát triển Toán 7 – Nhà xuất bản GD
Các dạng toán và phương pháp giải Toán 7 – Nhà xuất bản GD
Cẩm nang chứng minh 3 điểm thẳng hàng - – Nhà xuất bản HN
Diễn đàn toán học (diendantoanhoc.net).
Một số tài liệu trên mạng Internet.

MỤC LỤC

19


Trang
I. Mở đầu ..........................................................................................

1

1. Lí do chọn đề tài ..........................................................................

1

2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................

1

3. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................

2

4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................

2

II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ...............................................

2

1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ....................................

2

2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .....

3

3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

4

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

15

III. Kết luận, kiến nghị .......................................................................

17

1. Kết luận .......................................................................................

17

2. Kiến nghị ....................................................................................

17

20