BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 10

Các mục :
1 : Bất đẳng thức : Tính chất cơ bản
2 : Bất đẳng thức Côsi
3 : Ứng dụng bất đẳng thức Côsi
4:
5:

Bất đẳng thức chứa dấu trò tuyệt
đối
Bất đẳng thức
Bunhicốpxki


1)
2)
3)
>b

3: BẤT ĐẲNG THỨC
Các tính chất cơ bản bất
đẳng thức
a>b;b>c ⇒ a>c
a>b ⇔ a+c>b+c
Hệ quả :
a>b+c⇔ a–c

a.c> b.c nếuc > 0
4) aa
> b> ⇔
b và c > d ⇒ a + c > b +
c< 0

a.c< b.c
d
5) a > b > 0 vàc > d > 0 ⇒ a.c> b.d

6) a > b > 0⇒ an > bn ; n∈ Z+
7) a > b > 0⇒ n a > n b ; n∈ Z+


Sử dụng các bất đẳng thức
sau“ = “ xảy ra khi và chỉ khi a
Dấu
a) (a ± b)2 ≥ 0
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ k
b) (a ± b)2 + M ≥DấuM“ = “ xảy ra khi và chỉ k
2
c)
M
(a
±
b)
≤
M
Bất đẳng thức Co
( a ≥ 0 ; b ≥ 0)
d) a+ b ≥ 2 ab
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi

(

)(

e) ( ac+ bd) ≤ a2 + b2 . c2 + d2
2

)

a=b

( a ; b ∈aR ) c

Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ
khi
=

f) a − b ≤ a+ b ≤ a + b

b

d

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ k
hoặc a.b ≤


Baøi 7 : Chöùng minh baát ñaúng
thöùc2 : 2
∀a; b∈ R
a) a + b + 1≥ ab+ a+ b

2a2 + 2b2 + 2 − 2ab − 2a −
a
2b
2
2
2
2
= (a − 2ab + b ) + (a − 2a + 1) + (b − 2b + 1)
2
a
– 2a + 1
2
2
2
= (a − b) + (a − 1) + (b − 1)≥
⇒ ñpcm b2 – 2b + 1
•Daáu “=” ⇔ a − b = a − 10 = b − 1 = 0 ⇔ a = b =
1

b) a+ b+ 1≥ a + b + ab

2a + 2b + 2 − 2 a − 2 b − 2 ab
2
2
= 2 a + 2 b + 2 − 2 a − 2 b − 2 ab

( ) ( )
= {( a ) − 2 ab + ( b ) } + {( a ) − 2 a + 1} − {( b ) − 2
≥
⇒ ñpcm

= ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) 0
2

2

2

2

2

2

2

Daáu “=” ⇔ a = b = 1

}

b +1


Chöùng minh baát ñaúng thöùc :
b
a
+
≥ a+ b
a
b

c)

∀a; b > 0

 a 
 b 
= a 
− 1 + b 
− 1
 b 
 a 

b
a
+
− a− b
a
b

a− b
b− a
= a.
+ b.
=
b
a
=

(

(
a) −( b)
b ).
2

a−

(vì a; b > 0 ⇒

2

=

ab

(

a+ b >0;

Daáu “=” ⇔ a = b

(

)

 a
b

a − b .
−


b
a



)

a+ b
a− b .
≥0
ab

ab > 0

2

)


2. Bất đẳng
Côsi
Đònh thức
lí :
2 số
không âm a và b thì
trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng
trung bình nhân của 2 số đó.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ
a+ b

" =" ⇔ a = b
≥ ab
khi
b
∀
a; b ≥a0= ⇒

2

.
.

Chứng minh
a+b
1
− ab =
a − 2 ab + b =
2 thức xảy2
Đẳng

(

ra ⇔
a+ b+ c 3
Lưuý
:
≥ a.b.c
3
a;b;c;d ≥ 0

)

a− b =0

1
2

(

a− b

)

2

≥ 0

⇔a=b

a+ b+ c + d 4
≥ a.b.c.d
4


Ví dụ về bất đẳng
Côsi
Ví dụthức
1:
Cho
4 số không âm ;

thoã a1.a2.a3.a4 = 1 Chứng minh
rằng : (1+ a1) (1+ a2) (1+ a3) (1+ a4) ≥
4
2Chứng
Theo
BĐT
Dấu
“=“ xảy
minh
a + b ra khi nào ?

.

.

≥ ab ⇒ 1 + a1 ≥ 2. 1.a1
có
Côsi
2 tự
tương
1 + a2 ≥ 2. 1.a2
có
1 + a3 ≥ 2. 1.a3
…………………………..............................
1 + a4 ≥ 2. 1.a4
...................
(1 + a1 )(1 + a2 )(1 + a3 )(1 + a4 ) ≥ 24. a1.a2 .a3 .a4
Vì
a1a2a3a4 = 1
4

⇒ ( đpcm)
2
≥
Đẳng
thức
xảy
nên
1 = a1 ; 1 = a2 ; 1 = a3 ; 1 = a4
ra ⇔
⇒ a1 = a2 = a3 = a4 = 1


Ví dụ về bất đẳng
Côsi
Ví dụthức
2:
Cho
3 số dương a ; b ; c
Chứng minh rằng
1 1 :1

(a + b + + +  ≥ 9
 a b c
c)
Chứng

Theo
minhBĐT
. Côsi
tương tự

có

.

Dấu “=“ xảy ra khi na

cóa + b + c ≥ 3 a.b.c ⇒ a + b + c ≥ 3.3 abc
3
1 1 1
1 1 1
3
+ + ≥ 3. . .
a b c
a b c
…………………………..............................
...................
1
1 1 1
3
3
( a + b + c )  + +  ≥ 3. abc .3.
abc
a b c
≥ 9
⇒ ( đpcm)
Đẳng thức xảy
1 1 1
a=b=c ; = =
ra ⇔
a b c

⇒

a= b= c


Ứng dụng : Bất
đẳng thức Côsi

Hệ quả 1 : Nếu 2 số không âm
có tổng không đổi thì tích của
chúng
khi 2 số đó bằng
∀
a; b ≥ 0 ;lớn
a+ bnhất
= const
khi a = b
⇒ a.b lớn
nhất
nhau
Ví dụ Tìm x để giá trò f(x)
f(x)lớn
= (xnhất
+ 3) ( 5 − x)
với − 3
:

;5−
a ;đẳng

b≥0
⇒Co
. −3 < x < 5 ⇒ x + 3 > 0áp
dụng bất
thức
x>0
2a + b ≥
f(x) = (x + 3) (5 −
x +3+5− x
2
= ( 4 ) = 16
2

x)
≤ 
2.
2

. Vậy giá trò lớn nhất ⇔
= 5 −⇔
x x=1
: max
a⇔f(x)
.xb+=≤316

Bài
tập :

a) f(x) = 4x(8 – 5x)
< x < 8/5x − 4

b) f(x)

2x

với

với

a.b
a+b


2 
0 

x>4


Hệ quả 2 : Nếu 2 số không âm
có tích không đổi thì tổng của
chúng
2 số đó bằng
∀
a; b ≥ 0 nhỏ
; a.b = nhất
const⇒khi
khi a = b
a+ b nhỏ
nhất
nhau

Ví dụ Tìm x để giá trò f(x)
f(x)
= 3x
với x >
4
:
nhỏ
nhất

+
x+ 1 - 1
−1 < x ⇒ x + 1 > 0 ; 4/(x+1)
áp dụng bất đẳng thức Co
.
>0
a
;
b
≥
0
⇒
f(x) = 3(x + 1) – 4
4
≥ 2. 3( x + 1). a
− 3 b= 4≥ 3 − 3
+
3 +
x+ 1
x +1

.Vậy giá trò nhỏ nhất

2.
4
:= 4min
3 −f(x)
3 ⇔ 3(x + 1) =

ab

2 3 x +1
⇔ (x + 1) = 4/3⇔ x =
−1
3
2

Bài
tập :

a) f(x) = x + 3/x

0
b) f(x) = x 1 − 4 x 2

với

với

x>

0

4
⇔ 3(x + 1) =
x +1
4
2
⇔
( x + 1) =
3
⇔

⇔

⇔

4
( x + 1) = ±
3

møa

( x + 1) ≥ 0

4
2
2 3
( x + 1) = = =
3

3
3
2 3
x=
−1
3


3.Bất đẳng thức chứa dấu
giá
đối
Đònhtrò
lí : tuyệt
Với mọi
số thực a và b
thì :

a+ b ≤ a + b Đẳng thức khi chỉ khi
a.b ≥ 0
Đẳng thức khi chỉ khi

a− b ≤ a + b

a.b ≤ 0

Chứng minh (sgk)
Ví

Chứng minh

dụ : ⇒
cóx − z

.

=

(xx −−yy) + ( yy−−z )z



a
+
Đẳng thức |xảy

ra

⇔

∀a ; b ∈xR− y +


b|

y − z ≥ x- z

≤ x− y + y−z
≤ a

+

⇒ đpcm

b

a.b ≥ 0 ⇔ ( x − y ) ( y − z ) ≥ 0
x ≥ y ≥ z
⇔
x ≤ y ≤ z


4. Bất đẳng thức
Bunhiacốpxki
Đònh
lí :
Với mọi số thực a ; b ; c ;
d thì :

( a.c+ b.d)

2

(
)(
)
≤ ( a + d )( b + c )

≤ a2 + b2 c2 + d2
2

2

2

2

a c
=
b d

Đẳng thức
xảy ra

Chứng minh (sgk)

4
Cho x + 2y = 2
Chứngx + y ≥
5
dụ : minh
2
2
22
2 22
2c
2
2
d
theoBunhiacốp
xki ( x + 2 y ) 2= 2 ≤ (ax ++y b

)(1 +.2) + 
Ví

2

=

(a.c + b.d)
( 1.x+ 2.y ) 2

.

Đẳng thức xảy
ra

⇔

a.d = b.c
y = 4 / 5
⇔
x = 2 / 5

≤
4 ≤

2

(   ) (
(1

2

+2

2

)

5 (x2 + y2)

(x

2

+ y2

)

⇒ đpcm

y = 2x
⇔ 1. y = 2.x ⇔ 

 x + 2.( 2 x ) = 2

)


Baøi 8 : Chöùng minh baát ñaúng
thöùc :

a
b
c
3
d)
+
+
≥
b+ c c + a a+ b 2

∀a; b > 0

e) a ≥ 1 ; b ≥ 1⇒ a. b− 1+ b. a− 1 ≤ ab
1
1
4
4
f) a+ b ≥ 1 ⇒ a + b ≥
; a +b ≥
2
8
1
1
4
1
g)
+
≥
Chöùng
minh ab≤

1+ a 1+ b 3
4
2

2


a
b
c
3
d)
+
+

b+ c c + a a+ b 2
b + c = x

ẹaởt
c + a = y x + y + z = 2( a + b + c )
a + b = z


a; b > 0

2 a = y + z x

vaứ 2b = x + z y
2c = x + y z

a
b
c
y+zx x+z y x+ yz
+
+
=
+
+
b+c c+a a+b
2x
2y
2z
y
z
x
z
x
y 3
=
+
+
+
+
+

2x 2x 2 y 2 y 2z 2z 2
TheoCoõ
si

6.6

Daỏu =

y z x z x y
3
. .
.
. .

2x 2x 2 y 2 y 2z 2z 2

x=y=z a=b=c

1 3 3
= 6. =
3 2 2


Chứng minh bất đẳng thức :
e) a ≥ 1 ; b ≥ 1⇒ a. b− 1+ b. a− 1 ≤ ab
a = (a − 1) + 1 ≥ 2 (a − 1).1

b = (b − 1) + 1 ≥ 2 (b − 1).1 

b.a ≥ b.2 a − 1
⇒
a.b ≥ a.2 b − 1

(

⇒ 2ab ≥ 2 a b − 1 + b a − 1

)

)
⇒ ( đpcm
Dấu “=” ⇔ a − 1 = 1 ⇔ a = b = 2


b − 1 = 1

ùng Côsi cho 2 số không âm
a – 1 ≥ 0 và 1
Tương tự

(a – 1). 1 ≥ 2. ( a − 1).1
b–1≥0
⇒ (b – 1). 1 ≥ 2. ( b − 1).1
và 1


Chứng minh bất đẳng thức :
1
1
4
4
f) a+ b ≥ 1 ⇒ a + b ≥
; a +b ≥

2
8
2

a) Có
Cộng 2
vế có :

2

1 ≤ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
0 ≤ (a − b )2 = a2 + b2 − 2ab
1 ≤
2( a2 + b2)
⇒ a2 + b2 ≥ ½ (đpcm)
Dấu “=” ⇔ a = b = ½

ùng câu a)

có :

(1/2 )2 ≤ (a2 + b2)2 = a4 + b4 + 2a2b2
0 ≤ (a2 - b2)2 = a4 + b4 - 2a2b2

Cộng 2 vế có :

2

1
4

4
4
4
  ≤ 2.( a + b ) ⇒ a + b ≥ 1/8
2

Dấu “=” ⇔ a = b = ½


Chứng minh bất đẳng thức :
1
1
4
g)
+
≥
1+ a 1+ b 3

1
Chứng
minh ab≤
4

1
1
4
+
≥
⇔ 2 ≥ a + b + 4ab
1+ a 1+ b 3

4

3

3

.b ≥ 4.
Áp dụng Côsi có 2 ≥ a + b + 2ab 4
+a2ab
⇔ 24 ≥
⇔ ab ≤ 1/
44.4a3b3
4
4
Áp dụng Côsi cho 4 số dương
a + b + 2ab
4a3+
.b32ab


PHẠM QUỐC KHÁNH

Quy
ết
phe
nà
n
y
theo
nà

ng
mộ
phe
t
n
i là bạn