Đề thi HSG Toán 7-3-1

Đề 1:
Trờng THCS Vinh quang
đề thi học sinh giỏi môn toán 7
Năm học 2007 2008
Câu 1: (2 điểm)
Cho phân số: A =
3. 2
4. 5
x
x
+

(x z)
a) Tìm x z để A đạt GTLN. Tìm GTLN của A.
b) B) Tìm x z để A có giá trị là một số tự nhiên.
Câu 2: (2 điểm)
Tính:
30.23
1
23.16
1
16.9
1
9.2
1
80.73
1
......
24.17
1
17.10

1
10.3
1
++++
Câu 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng: a) (2001
2001
1997
1996
) 10
c) Cho S = a + a
2
+ a
3
+ ........ + a
n
(n N)
d) Với giá trị nào của n thì S chia hết cho a + 1 (a -1)
Câu 4: (2 điểm)
Tìm x, y biết
a)
x
yxyx
6
132
7
23
5
12
++

=

=
+
b) Cho P =
yz
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yx
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Tìm giá trị của P biết rằng
zyx
t
yxt
z
xtz

y
tzy
x
++
=
++
=
++
=
++
Câu 5: (3 điểm): Cho tam giác ABC có góc B = góc C = 40
o
. Kẻ phân giác BD.
Chứng minh BD + AD = BC
Trờng pt hermann gmeiner hp
đáp án môn toán 7
Câu 1: A =
5//4
2//3

+
x
x
(x z)
a) Tìm x z để A đạt GTLN. Tìm GTLN của A.
Có A =
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
5//44

235//43
5//44
2315//12
5//44
8//2/

+
=

+
=

+
x
x
x
x
x
x
=
[ ]
5//44
23
4
3

+
x
đạt GTLN khi
[ ]

5//44
23

x
LN
* Nếu /x/ 1
[ ]
5//44
23

x
< 0
Nếu /x/ 2 thì
[ ]
5//44
23

x
>0
Vậy
[ ]
5//44
23

x
đạt GTLN khi /x/ = 2 x = 2
KL: A LN =
[ ]
52.44
23

4
3

+
=
3
2
2
12
32
=
khi x = 2
b) Theo câu a A
3
2
2
mà A là TN nên A chỉ có thể bằng 0; 1; 2
Nếu A = 0
5//4
2//3

+
x
x
= 0 không có giá trị nào của x
Vậy A = 1 khi
5//4
2//3

+

x
x
= 1 3/x/ + 2 = 4/x/ - 5
/x/ = 7 x =

7
A = 2 khi
5//4
2//3

+
x
x
= 2 3/x/ + 2 = 8/x/ - 10
/x/ = 12/5 N
Vậy A = 1 khi x = 7
Câu 2:
30.23
1
23.16
1
16.9
1
9.2
1
80.73
1
......
24.17
1

17.10
1
10.3
1
++++
=
)
30
1
23
1
23
1
16
1
16
1
9
1
9
1
2
1
(
7
1
)
80.73
7
.....

24.17
7
17.10
7
10.3
7
(
7
1
+++++++
=
48
1
)
30
1
2
1
(
7
1
)
30
1
3
1
(
7
1

=
Câu 3: CMR a) (2001
2001
1997
1996
) :10
2001
2001
có số tận cùng là 1 : A1
1997
1996
= (1997
4
)
499
1997
4
có tận cùng là 1
(1997
4
)
499
có tận cùng là 1 : B1
2001
2001
1997
1996
có tận cùng là 0 chia hết cho 10
b) n lẻ thì: (a + a
2

) + (a
3
+ a
4
) + .......... + (a
n-2
+ a
n-1
+ a
n
= a(a + 1) + a
3
(a + 1) + ...... + a
n-2
(a+1) + a
n
(a + 1)
Tơng tự n chẵn (a + a
2
+ a
3
+ .... + a
n
) : a + 1
Câu 4:
a)
x
yxyx
6
132

7
23
5
12
+
=

=
+
Có
12
132
7
23
5
12
+
=

=
+
yxyx
Thay x = 2 vào 2 tỉ số đầu ta tính đợc y = 3
Vậy x = 2 ; y = 3
b) Ta có
1111
+
++
=+
++

=+
++
=+
++
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x

zyx
tzyx
ytx
tzyx
ztx
tzyx
tzy
tzyx
++
+++
=
++
+++
=
++
+++
=

++
+++
Nếu x + y + z + t 0 y + z + t = x + t + z = x + y + z
x = y = z = t P = 4
Nếu x + y + z + t = 0 P = - 4
Câu 5
CM: BD + AD = BC
- Kẻ MD // BC (M AB)
- Lấy N BC sao cho BD = BN
6x = 12
x = 2
- Trong ∆ DBN cã gãc DBN = 20
o
⇒ BND =
2
20180
00
−
= 80
o

Mµ DNB lµ gãc ngoµi ∆ DNC ⇒ DNB = C + CDN
⇒ CDN = DNB - C = 80
o
- 40
o
= 40
o
ThÊy ∆ BMD c©n t¹i M ⇒ BM = MD mµ MD // BC ⇒ BM = DC
DÔ thÊy ∆ AMD = ∆ NDC (g.g) ⇒ AD = NC

VËy BD + AD = BD + NC = BN + NC = BC
BD + AD = BC