Đề thi thử ĐH ĐHSP 1 08 lần 2

BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút).
Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá
Đề số: Họ tên: Lớp: Trường:
Ngày:
Câu I:
Cho (C
m
): y = x
3
+ 2(m – 1)x
2
+ (m
2
– 4m + 1)x – 2(m
2
+ 1).
1. Khảo sát khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số có cực trị tại x
1
, x
2
đồng thời
( )
1 2
1 2
1 1 1
x x
x x 2
+ = +
.
Câu II:

Giải các phương trình:
1. 2cos13x + 3cos3x + 3cos5x – 8cosx cos
3
4x = 0.
2.
2
9 x
4 2x 3 4x
2x 3
−
+ − =
+
.
Câu III:
1. Tính:
3
dx
I
2 3sin x cos x
π
π
=
+ −
∫
.
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
( )
3 2
f x x 6x 9x 3= − + −
trên đoạn [– 1; 4].

Câu IV:
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có
( )
C 1; 3− −
, trọng tâm
( )
G 4; 2−
và
đường trung trực của BC có phương trình 3x + 2y – 4 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Câu V:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(1; 1; 0) và D(0;
0; m), m > 0. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của O lên AD và BD.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OE và OF.
b) Tìm m để
·
EOF 45=
o
.
2. Giải hệ phương trình
2
2
xy 2 6 x
2 3y 2xy

− = −


+ =



----------------------------- Hết ----------------------------
Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 1 -
BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút).
Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá
LỜI GIẢI
Câu I:
Cho (C
m
): y = x
3
+ 2(m – 1)x
2
+ (m
2
– 4m + 1)x – 2(m
2
+ 1).
1. Khảo sát khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số có cực trị tại x
1
, x
2
đồng thời
( )
1 2
1 2
1 1 1
x x
x x 2

+ = +
.
Giải:
1. Khi = 0, ta có y = x
3
– 2x
2
+ x – 2.
• TXĐ: D =
¡
.
• SBT: y’ = 3x
2
– 4x + 1; y’ = 0
⇔

1
x
3
=
hoặc x = 1.
Hàm số đồng biến trong khoảng
1
;
3
 
−∞
 ÷
 
và

( )
1;+∞
; nghịch biến trong khoảng
1
;1
3
 
 ÷
 
Điểm cực đại của đồ thị
1 50
A ;
3 27
 
−
 ÷
 
; điểm cực tiểu B(1; –2).
Giới hạn vô cực
x x
lim y ; lim y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
.
Bảng biến thiên
• Đồ thị: (h.1).
2. Hàm số có cực trị tại x
1
, x
2

⇔
phương trình y’(x) = 3x
2
+ 4(m – 1)x + m
2
– 4m +1 = 0 (1) có
hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

' 0
⇔ ∆ >
⇔
4(m – 1)
2
– 3(m
2
– 4m + 1) > 0
⇔
m
2
+ 4m + 1) > 0
m 2 3⇔ < − −
hoặc
m 2 3> − +
(*).
Khi đó áp dụng Viet đối với (1) suy ra thoả mãn yêu cầu:
( )
1 2

1 2
1 1 1
x x
x x 2
+ = +
1 2
1 2 1 2
2
1 2
1 2
m 1
m 1 0
x x 0
x x x x
m 1
x x 2
x x 2
m 4m 5 0
m 5
=

− =
+ =


+ +

⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = −




=
− − =



=

Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 2 -
–2
50
27
−
−∞
+∞
y’ – 0 + 0 –
x 1
y
y
x
O
1
3
–2
1
(h.1)
(C)
50
27
−

BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút).
Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá
Kết hợp (*) suy ra thoả mãn yêu cầu bài toán khi chỉ khi: m = 1 hoặc m = 5.
Câu II:
Giải các phương trình:
1. 2cos13x + 3cos3x + 3cos5x – 8cosx cos
3
4x = 0.
2.
2
9 x
4 2x 3 4x
2x 3
−
+ − =
+
.
Giải:
1. Ta có: 8cos
3
4x =
( )
4cos4x 1 cos8x 4cos4x 2cos12x 2cos4x 6cos4x 2cos12x+ = + + = +
.
2cos13x + 3cos3x + 3cos5x – 8cosx cos
3
4x = 0
⇔
2cos(12x + x) + 6cos4xcosx – cosx(6cos4x + 2cos12x) = 0
⇔

– sin12xsinx = 0
⇔
sin12x = 0
⇔
x =
k
12
π
.
2. Cách 1:
t 2x 3, t 0= + >
(*). Phương trình trở thành: 4t
2
– 4xt + x
2
– 9 = 0
⇔
x 3
t
2
±
=
.
Kết hợp (*) ta được:
( ) ( )
2
2
x 3 0
x 3
2 2x 3 x 3 x 7 2 13

x 14x 3 0
4 2x 3 x 3
− >

>


+ = − ⇔ ⇔ ⇔ = +
 
− − =
+ = −



.
Hoặc:
( ) ( )
2
2
x 3 0
x 3
2 2x 3 x 3 x 1
x 2x 3 0
4 2x 3 x 3
+ >

> −


+ = + ⇔ ⇔ ⇔ = −

 
− − =
+ = +



hoặc
x 3=
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
x 7 2 13= +
;
x 1= −
hoặc
x 3=
.
2
9 x
4 2x 3 4x
2x 3
−
+ − =
+

Cách 2:
2
9 x
4 2x 3 4x
2x 3
−

+ − =
+
( ) ( ) ( )
2 2
2
2x 3 0 2x 3 0
4 2x 3 4x 2x 3 x 9 0 2 2x 3 x 9 0
+ > + >
 
 
⇔ ⇔
 
+ − + + − = + − − =
 
 
( ) ( )
2x 3 0
2 2x 3 x 3 2 2x 3 x 3 0
+ >


⇔

+ − − + − + =


( ) ( )
( ) ( )
2
2

2 2
3
3
x
x
2
2
x 1
4 2x 3 x 3
x 2x 3 0
x 3
x 3 x 3
x 7 2 13
x 14x 3 0
4 2x 3 x 3




> −
> −






= −








+ = +
− − =

⇔ ⇔ ⇔ =






> >

 

= +






− − =
+ = −







.
Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 3 -
BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút).
Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá
Câu III:
1. Tính:
3
dx
I
2 3 sin x cos x
π
π
=
+ −
∫
.
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
( )
3 2
f x x 6x 9x 3= − + −
trên đoạn [– 1; 4].
Giải:
1.
2
3 3 3 3
dx 1 dx 1 dx 1 dx

I
x
2 2 4
2 3 sin x cos x 3 1
1 cos x sin
1 sin x cosx
3 2 6
2 2
π π π π
π π π π
= = = =
π π
   
+ −
− + +
+ −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫ ∫
2
3
3
x
2d
1 1 x 1 1
2 6
cotg
x
4 2 2 6 2
3 3 3

sin
2 6
π
π
π
π
π
 
+
 ÷
π π π
 
 
 
= = − + = + =
 ÷
 ÷
π
 
 
 
+
 ÷
 
∫
.
Cách 2:
3 3 3
dx 1 dx 1 dx
I

2 2
2 3 sin x cos x 3 1
1 sin x
1 sin x cosx
6
2 2
π π π
π π π
= = =
π
 
+ −
+ −
+ −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
2
2
3 3
1 dx 1 dx
x
2 4
x x
sin
sin cos
2 6
2 12 2 12
π π
π π

= =
π
 
 π π 
   
+
 ÷
− + −
 ÷  ÷
 
 
   
 
∫ ∫
=….
2. Gọi
( ) ( )
3 2 2
g x x 6x 9x 3;g' x 3x 12x 9= − + − = − +
, g’x) = 0
⇔
x = 1 hoặc x = 3.
Ta lại có g(– 1) < 0, g(1) > 0, g(3) < 0 và g(4) > 0; suy ra g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3

thoả mãn – 1 < x

1
< 1 < x
2
< 3 < x
3
< 4.
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
Suy ra:
[ ]
( ) ( )
1;4
max f x f 1 19;
−
= − =
[ ]
( ) ( )
i
1;4
min f x f x 0
−
= =
. Trong đó:
x
i
(i = 1,2, 3) là nghiệm của g(x) = 0.
Câu IV:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có
( )
A 1; 3− −
, trọng tâm

( )
G 4; 2−
và
đường trung trực của AB có phương trình 3x + 2y – 4 = 0. Viết phương trình đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Phương trình AB: 2(x + 1) – 3(y + 3) = 0.
Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 4 -
g’(x) 0 0
x – 1 x
1
1 x
2
3 x
3
4
1
0
0
0
1
3
19
f(x)
BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút).
Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá
Toạ độ trung điểm D của AB thoả mãn hệ:
Gọi C(x; y) ta có
CD 3GD=
uuur uuur

Phương trình trung trực của AC
Toạ độ tâm I(x; y) đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC thoả mãn hệ:
Bán kính của (C) là IA =
Phương trình (C):
Câu V:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(1; 1; 0) và D(0; 0; m),
m > 0. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên AD và BD.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa CE và CF.
b) Tìm m để
·
ECF 45=
o
.
2. Giải hệ phương trình
2
2
xy 2 6 x
2 3y 2xy

− = −


+ =


Giải:
1.
Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 5 -
G
C

d
A B
D