MODUN số PHỨC MAX MIN 2019 FULL GIẢI CHI TIẾT THẦY HUY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.1 MB, 63 trang )
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
MODUN SỐ PHỨC – BÀI TOÁN MAX – MIN – 2019
TÀI LIỆU NỘI BỘ CÓ CẬP NHẬT
A.
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ.
Kỹ năng – phương pháp:
Phương pháp đại số.
Phương pháp hình học.
Phương pháp bđt modun.
Phương pháp casio.
Một số tính chất cần nhớ.
1. Môđun của số phức:
Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được
gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2
Tính chất
z a 2 b 2 zz OM
z 0, z , z 0 z 0
z
z
z.z ' z . z '
, z ' 0 z z ' z z ' z z '
z'
z'
kz k . z , k
2
2
Chú ý: z 2 a 2 b 2 2abi (a 2 b 2 ) 2 4a 2b 2 a 2 b 2 z z z.z .
Điểm M , N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 thì khi đó z1 z2 MN .
2
2
2
mz1 nz2 mz1 nz2 mz1 nz2 m 2 z1 n 2 z2 mn z1 z2 z1.z2
Suy ra hệ quả
2
2
2
z1 z2 z1 z2 z1.z2 .z1.z2
2
2
2
z1 z2 z1 z2 z1 .z2 .z1.z2
z1 z2 z1 z2 2 z1 2 z2
2
2
2
z z1 z z2
2
2
2
z1 z2
z z
2 z
1 2
2
2
2
2
Lưu ý:
z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0
z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 .
z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0
z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0
z1 z2 z1 z2 2 z1 z2
z z z z
2
2
2
2
z a bi z c di (2)
2
Tài liệu nội bộ
2
2
z
2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ x, y
ax by c 0 (1)
x a y b
2
R 2 hoặc
Quỹ tích điểm M
(1)Đường thẳng :ax by c 0
(2) Đường trung trực đoạn AB
với A a, b , B c, d
Đường tròn tâm I a; b , bán kính R
1
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
z a bi R
2
x a y b
2
Hình tròn tâm I a; b , bán kính R
R 2 hoặc
z a bi R
2
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn
tâm I a; b , bán kính lần lượt là r , R
2
r 2 x a y b R 2 hoặc
r z a bi R
Parabol
y ax 2 bx c
c 0
2
x ay by c
x a
2
y c
1
2
11 hoặc
b2
d2
z a1 b1i z a2 b2i 2 a
x a
b2
2
y c
d2
Elip
2
Elip nếu 2a AB , A a1 , b1 , B a2 , b2
Đoạn AB nếu 2a AB
Hypebol
2
1
Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đoạn thẳng, tia
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z Min . Khi đó ta có
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a; b
1
1 2 2
z Min 2 z0 2 a b
z a b i
2 2
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di . Tìm z min . Ta có
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A a; b , B c; d
z Min d O, AB
a 2 b2 c 2 d 2
2
2
a c b d
2
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng
cơ bản.
Ví dụ 1:
Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di . Khi đó ta biến đổi
z a bi z c di z a bi z c di .
Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di . Khi đó ta biến đổi
a bi
c di
z
z b ai z d ci .
i
i
TQ3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di r ,
iz a bi iz c di z
Suy biến ra MA MB AB , quỹ tích là đoạn thẳng AB .
Suy biến MA MB AB , quỹ tích là tia Bx
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R 0 z z0 R . Tìm z Max , z Min . Ta có
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a; b bán kính R
Tài liệu nội bộ
2
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2
2
z
Max OI R a b R z0 R
2
2
z Min OI R a b R z0 R
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
a bi R
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z
(Chia hai vế cho i )
i
i
z b ai R
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R (Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
a bi
R
R
c di z a bi R z
2
c di
c di
c d2
z1
R
(Chia cả hai vế cho z0 )
z0
z0
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi đó ta có
Hay viết gọn z0 z z1 R z
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là Elip:
x2
y2
1
a2 a2 c2
z Max a
2
2
z Min a c
TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z1 z z2 2a
Thỏa mãn 2a z1 z2 .
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ).
Ta có
Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z1 z z2 2a , z1 z2 2a và z1 , z2 c, ci ). Tìm Max,
Min của P z z0 .
z1 z 2 2c
Đặt 2
2
2
b a c
Nếu z0
z1 z2
0
2
z1 z2
a
z0
2
Nếu
z z k z z
0
2
0 1
z1 z2
a
z0
2
Nếu
z z k z z
0
2
0 1
Nếu z0 z1 z0 z2
Tài liệu nội bộ
PMax a
(dạng chính tắc)
PMin b
z1 z2
PMax z0 2 a
P z z1 z2 a
0
Min
2
PMax z0
z1 z2
a
2
PMin z0
z1 z2
b
2
3
B.
Câu 1:
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
BÀI TẬP MẪU
(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 3i z 2 i . Tìm số
phức có môđun nhỏ nhất?
1 2
1 2
B. z i .
C. z i .
5 5
5 5
Hướng dẫn giải
A. z 1 2i .
D. z 1 2 i .
Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Giả sử z x yi x , y
2
2
2
2
2
z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i x 2 y 3 x 2 y 1
6 y 9 4x 4 2 y 1 4x 8 y 4 0 x 2 y 1 0 x 2y 1
2
2 1
5
z x y 2 y 1 y 5 y 4 y 1 5 y
5 5
5
2
2
2
Suy ra z min
2
2
5
2
1
khi y x
5
5
5
1 2
i.
5 5
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử z x yi x , y
Vậy z
2
z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i x 2 y 3 x 2 y 1
6 y 9 4x 4 2 y 1 4x 8 y 4 0 x 2y 1 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z 3i z 2 i là đường thẳng
d : x 2y 1 0 .
Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A.
1 2
1 2
Phương án B: z i có điểm biểu diễn ; d nên loại B.
5 5
5 5
Phương án D: z 1 2 i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại B.
1 2
1 2
i có điểm biểu diễn ; d
5 5
5 5
(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và nên
thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)
Cách 3: Tính nhanh.
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình : x 2 y 1 0 .
Phương án C: z
Vậy z min d O ,
1
5
5
12 2 2
Cách 4: Công thức tính nhanh.
BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z . Tìm z min ?
1
1 2 2
z Min 2 z0 2 a b
z a b i
2 2
Tài liệu nội bộ
4
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di . Tìm z min ?
z Min
Câu 2:
a2 b2 c 2 d 2
2
2
a c b d
2
(LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z 3 z 3 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M m bằng
A. 4 7 .
B. 4 7 .
D. 4 5.
C. 7.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1 : Đại số
Gọi z x yi với x; y .
Ta có 8 z 3 z 3 z 3 z 3 2 z z 4 .
Do đó M max z 4 .
Mà z 3 z 3 8 x 3 yi x 3 yi 8
x 3
2
y2
x 3
2
y2 8 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8 1.
x 3
2
y 2 1.
x 3
2
y2
1
2
2
2
12 x 3 y 2 x 3 y 2
8 2 2 x 2 2 y 2 18 2 2 x 2 2 y 2 18 64
x2 y 2 7 x 2 y 2 7 z 7 .
Do đó M min z 7 .
Vậy M m 4 7 .
Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)
F1 3; 0 , F2 0, 3
y
x
8
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip
1 a 4
16 7
2
b a 2 c 2 4 2 3 2 7
z
a4
Max
Do vậy
Mm4 7
z Min b 7
Cách 3: Tổng quát
Cho số phức z thỏa mãn z c z c 2 a , a c ta luôn có .
2
Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip
2
y2
x2
1
a2 a 2 c 2
z
Max a
2
2
z Min a c
Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Giá trị lớn nhất của
z 1 i là
A. 13 2 .
Tài liệu nội bộ
B. 4 .
C. 6 .
Hướng dẫn giải
D. 13 1 .
5
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Chọn D
Cách 1: Gọi z x yi ta có z 2 3i x yi 2 3i x 2 y 3 i .
2
2
Theo giả thiết x 2 y 3 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn
tâm I 2; 3 bán kính R 1 .
M2
2
Ta có z 1 i x yi 1 i x 1 1 y i
Gọi M x; y và H 1;1 thì HM
x 1 y 1
2
x 1 y 1
2
.
2
.
M1
I
H
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường
tròn.
x 2 3t
Phương trình HI :
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:
y 3 2t
9t 2 4t 2 1 t
3
2
3
2
nên M 2
;3
;3
,M2
.
13
13
13
13
13
1
Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1 .
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Giá trị lớn nhất của w z 1 i
Ta có z 2 3i 1 z 2 3i 1 z 1 i 3 2i 1 w 3 2i 1 (Đường tròn
tâm I 3, 2 , R 1 )
Vậy w Max OI R 32 2 2 1 1 13
Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi R 0 , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số
phức z là đường tròn I a , b , bk R ) và
z
OI R a2 b2 R
Max
2
2
z Min OI R a b R
Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi z a bi
(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Đặt A
Câu 4:
2z i
. Mệnh đề nào sau
2 iz
đây đúng?
A. A 1 .
B. A 1 .
C. A 1 .
D. A 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Đặt Có a a bi , a , b a 2 b2 1 (do z 1 )
2 a 2b 1 i
4 a 2 2b 1
2z i
A
2
2 iz
2 b ai
2 b a2
Ta chứng minh
Tài liệu nội bộ
4 a 2 2b 1
2 b
2
a2
2
2
1.
6
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
4 a 2 2 b 1
Thật vậy ta có
2 b
2
2
2
2
1 4 a 2 2b 1 2 b a 2 a 2 b 2 1
a2
Dấu “=” xảy ra khi a2 b2 1 .
Vậy A 1 .
Cách 2 : Trắc nghiệm
1
z 1
2z i
Chọn
2 34
A 1
1 A
2 iz
z
1
2
17
Câu 5:
Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1
A. 5.
B. 4.
C. 6.
Hướng dẫn giải
5i
5i
5
Cách 1: Ta có: A 1
1
1 6. Khi z i A 6.
z
z
z
5i
.
z
D. 8.
Chọn đáp án C.
Cách 2: A 1
z 5i
5i
z 5i
z
z
Theo bài z 1 z 5i 5i 1 z 5i Max 52 1 6
Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu
thức M z 2 z 1 z 3 1 .
A. Mmax 5; M min 1.
B. Mmax 5; M min 2.
C. Mmax 4; M min 1.
D. Mmax 4; M min 2.
Hướng dẫn giải
2
3
Ta có: M z z 1 z 1 5 , khi z 1 M 5 M max 5.
Mặt khác: M
1 z3
1 z
3
1 z
1 z3
2
1 z3
2
1 z3 1 z3
2
1, khi
z 1 M 1 M min 1.
Chọn đáp án A.
Câu 7:
Cho số phức z thỏa z 2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P
3
A. .
4
B. 1.
C. 2 .
zi
.
z
2
D. .
3
Hướng dẫn giải
i
1 3
i
1
1
Ta có P 1 1
. Mặt khác: 1 1
.
z
| z| 2
z
|z| 2
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là
Câu 8:
1
3
, xảy ra khi z 2i ; giá trị lớn nhất của P bằng
xảy ra khi
2
2
z 2 i.
Chọn đáp án A.
Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z 2i.
Tài liệu nội bộ
7
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
26 6 17 .
C. 26 8 17 .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x ; y z 2i x y 2 i . Ta có:
A.
26 6 17 .
B.
2
26 4 17 .
D.
2
z 1 2 i 3 x 1 y 2 9 .
Đặt x 1 3 sin t; y 2 3 cos t; t 0; 2 .
2
2
2
z 2 i 1 3 sin t 4 3 cos t 26 6 sin t 4 cos t 26 6 17 sin t ; .
26 6 17 z 2i 26 6 17 z 2i max 26 6 17 3 17
Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z 2i.
Ta có z 1 2i 3 z 2 i 1 4 i 3 z Max 12 4 2 3 3 17 (đáp án A)
Câu 9:
Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 3 1 z .
A. 3 15
B. 6 5
C. 20
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi ; x ; y . Ta có:
D. 2 20.
z 1 x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 x
1;1 .
Ta có: P 1 z 3 1 z
1 x
2
y2 3
1 x
2
y 2 2 1 x 3 2 1 x .
Xét hàm số f x 2 1 x 3 2 1 x ; x
1;1 . Hàm số liên tục trên
1;1 và với
1
3
4
x 1;1 ta có: f x
0 x 1;1 .
5
2 1 x
2 1 x
4
Ta có: f 1 2; f 1 6; f 2 20 Pmax 2 20.
5
Chọn đáp án D.
Cách 2: (Casio)
x sin t
Từ z 1 , đặt z x yi
Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D
y cos t
Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P z 1 z 2 z 1 . Tính giá trị của M.m .
A.
13 3
.
4
B.
39
.
4
C. 3 3.
D.
13
.
4
Hướng dẫn giải
Gọi z x yi; x ; y . Ta có: z 1 z.z 1
Đặt t z 1 , ta có 0 z 1 z 1 z 1 2 t 0; 2 .
Ta có t 2 1 z 1 z 1 z.z z z 2 2 x x
Suy ra z 2 z 1 z 2 z z.z z z 1 z
t2 2
.
2
2 x 1
2
2x 1 t 2 3 .
Xét hàm số f t t t 2 3 , t 0; 2 . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
Tài liệu nội bộ
8
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
13
13 3
; min f t 3 M .n
.
4
4
Chọn đáp án A.
max f t
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4 2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng?
3 1
3 1
z
.
6
6
A.
B. 5 1 z 5 1.
2 1
2 1
z
.
3
3
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức u v u v , ta được
C. 6 1 z 6 1.
D.
2
2
2 z 4 z 2 4 4 z z 2 z 4 0 z 5 1.
2
2
2 z z z 2 4 z 2 4 z 2 z 4 0 z 5 1.
Vậy, z nhỏ nhất là
5 1, khi z i i 5 và z lớn nhất là
5 1, khi z i i 5.
Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
9 4 5.
A.
B.
11 4 5
C. 6 4 5
Hướng dẫn giải
D.
2
56 5
2
Cách 1: Gọi z x yi ; x ; y . Ta có: z 1 2i 2 x 1 y 2 4.
Đặt x 1 2 sin t ; y 2 2 cos t ; t 0; 2 .
Lúc đó:
2
2
2
z 1 2 sin t 2 2 cos t 9 4 sin t 8 cos t 9 4 2 8 2 sin t ;
2
z 9 4 5 sin t z 9 4 5 ; 9 4 5
zmax 9 4 5 đạt được khi z
5 2 5 10 4 5
i.
5
5
Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 i 2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
Ta có z 1 2 i 2 z Max 12 2 2 2 2 5 9 4 5
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 6 2 i 10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
A. 4 5
B. 3 5.
C. 3.
Hướng dẫn giải
D. 3 5
Cách 1: Gọi z x yi ; x ; y .
Ta có:
1 i z 6 2i
10 1 i . z
2
2
6 2 i
10 z 2 4 i 5 x 2 y 4 5.
1 i
Đặt x 2 5 sin t ; y 4 5 cos t; t 0; 2 .
Lúc đó:
Tài liệu nội bộ
9
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2
z 2 5 sin t
2
4 5 cos t
2
25 4 5 sin t 8 5 cos t 25
2
4 5
8 5
2
sin t ;
2
z 25 20 sin t z 5; 3 5
zmax 3 5 đạt được khi z 3 6i.
Chọn đáp án B.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 6 2i 10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
Ta có 1 i z 6 2i 10 z
6 2 i
10
z 2 4i 5
1 i
1 i
z Max 2 2 4 2 5 3 5
Câu 14: Gọi z x yi x, y là số phức thỏa mãn hai điều kiện
z
3
2
3
2
2
2
z 2 z 2 26 và
i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.
9
A. xy .
4
B. xy
13
.
2
C. xy
16
.
9
9
D. xy .
2
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt z x iy x , y . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x 2 y 2 9.
Đặt x 3 cos t , y 3 sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
P z
3
2
3
i 18 18 sin t 6.
2
4
3
3 2 3 2
Dấu bằng xảy ra khi sin t 1 t
z
i.
4
2
2
4
Chọn đáp án D.
Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
z 2i.
A.
5
B. 3 5.
C. 3 2
Hướng dẫn giải
D. 3 2
Cách 1: Gọi z x yi ; x ; y .
2
2
Ta có: z 2 i x 2
2
2
x 2 y 4 x y 2 x y 4 0 y 4 x.
y 2 x 6 x 2 x 12 x 36 2 x 3 18 18
Ta có: z 2 4i z 2i
2
2
2
2
2
2
z 2i min 18 3 2 khi z 3 i.
Chọn đáp án C.
Cách 2: z 2 4i z 2i z 2i 2 6i z 2i 4i w 2 6i w 4i
Trong đó w z 2i (quay về dạng bài toán 1)
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 1 i.
B. 2 2.
C. 2.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x ; y z 1 i x 1 y 1 i . Ta có:
A. 4.
2
2
z 1 2 i 9 x 1 y 2 9 .
Tài liệu nội bộ
10
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Đặt x 1 3 sin t; y 2 3 cos t; t 0; 2 .
2
2
2
z 1 i 3 sin t 1 3 cos t 10 6 cos t 2 z 2i 4 z 1 i min 2 , khi
z 1 i.
Chọn đáp án C.
Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)
Ta có z 1 2 i 3 z 1 i i 3 z 1 i Min
12 3 2
Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
2
z 3 4i 5 và biểu thức
2
M z 2 z i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z i.
A. z i 2 41
B. z i 3 5.
C. z i 5 2
D. z i 41.
Hướng dẫn giải
2
2
Gọi z x yi; x ; y . Ta có: z 3 4i 5 C : x 3 y 4 5 : tâm
I 3; 4 và R 5.
Mặt khác:
2
2
2
2
M z 2 z i x 2 y 2 x 2 y 1 4x 2 y 3 d : 4x 2 y 3 M 0.
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C có điểm chung
d I; d R
23 M
5 23 M 10 13 M 33
2 5
4 x 2 y 30 0
x 5
M max 33
z i 5 4i z i 41.
2
2
y 5
x 3 y 4 5
Chọn đáp án D.
m i
Câu 18: Cho số phức z
, m . Tìm môđun lớn nhất của z.
1 m m 2i
1
.
D.2.
2
Hướng dẫn giải
m i
m
i
1
Ta có: z
2
2
z
1 z max 1 z i; m 0.
2
1 m m 2i m 1 m 1
m 1
A. 1.
B. 0.
C.
Chọn đáp án A.
Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2 i 1 . Số phức z i có môđun nhỏ
nhất là:
A.
5 1
B.
5 1
C. 5 2
Hướng dẫn giải
D.
52.
Chọn A.
Tài liệu nội bộ
11
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
y
I
1
M
O
1
x
Cách 1: Gọi z x yi , x, y .
Ta có: z 2 2i 1 ( x 2) ( y 2)i 1 ( x 2) 2 ( y 2) 2 1
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C ) tâm
I (2; 2) và bán kính R 1 .
2
z i x2 y 1 IM , với I 2; 2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn.
Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm
N 0;1 Oy , I 2; 2 với đường tròn (C).
IM min IN R 5 1
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 . Số phức z i có môđun nhỏ nhất
Ta có z 2 2i 1 z i 2 i 1 z i Min
2 2 12 1 5 1
Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z 2 i 1 z i . Tìm số phức z được biểu
diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 .
A. 3 i .
B. 1 3i .
C. 2 3i .
Hướng dẫn giải
Gọi M x , y là điểm biểu diễn số phức z x yi x , y R
D. 2 3i .
Gọi E 1, 2 là điểm biểu diễn số phức 1 2i
Gọi F 0, 1 là điểm biểu diễn số phức i
Ta có : z 2 i 1 z i ME MF Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trục EF : x y 2 0 .
Để MA ngắn nhất khi MA EF tại M M 3,1 z 3 i => Đáp án A.
Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z 1 2i 5 và
w z 1 i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:
A. 2 5 .
B. 3 2 .
C.
6.
D. 5 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi z x yi
x, y
2
2
2
2
x 1 y 2 5 x 1 y 2 5
M x; y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm I 1; 2 bán
Ta có: z 1 2i 5
Suy ra tập hợp điểm
z 1 2i x 1 y 2 i
kính R 5
Dễ thấy O C , N 1; 1 C
Tài liệu nội bộ
12
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Theo đề ta có:
M x; y C là điểm biểu diễn cho số
phức z thỏa mãn:
w z 1 i x yi 1 i x 1 y 1 i
2
2
z 1 i x 1 y 1 MN
Suy ra z 1 i đạt giá trị lớn nhất MN lớn nhất
Mà M , N C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C
2
I là trung điểm MN M 3; 3 z 3 3i z 32 3 3 2
(CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của
Câu 22:
T zi z2i .
A. max T 8 2 .
B. max T 4 .
C. max T 4 2 .
Hướng dẫn giải
D. max T 8 .
Chọn B
T z i z 2 i z 1 1 i z 1 1 i .
Đặt w z 1 . Ta có w 1 và T w 1 i w 1 i .
2
Đặt w x y.i . Khi đó w 2 x 2 y 2 .
T x 1 y 1 i x 1 y 1 i
1.
2
x 1 y 1
2
1.
2
x 1 y 1
2
1 1 x 1 y 1 x 1 y 1
2 2x 2 y 4 4
2
2
2
2
2
2
2
2
Vậy max T 4 .
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Giá trị lớn nhất của z 1 i là
A. 13 2 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 13 1 .
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN)
Lời giải
Cách 1: Đặt z a bi a, b , ta có z 2 3i 1 a 2 b 3 i 1.
2
a 2 b 3
2
2
2
1 a 2 b 3 1
a 2 sin t
Đặt
(vì sin 2 t cos 2 t 1 ). Khi đó z 1 i a 1 1 b i .
b
3
cos
t
2
2
2
2
a 1 1 b xét biểu thức P a 1 1 b .
Ta có a 1 1 b sin t 3 cos t 2 sin t 6 sin t 9 cos t 4 cos t 4
2
2
2
2
2
2
sin 2 t cos 2 t 13 6 sin t 4 cos t
14 6 sin t 4 cos t P
2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được 6 sin t 4 cos t 6 2 4 2 sin 2 t cos 2 t
Tài liệu nội bộ
13
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2
6 sin t 4 cos t 52 6 sin t 4 cos t 52 2 13 P 14 2 13.
Vậy z 1 i
2
a 1 1 b
2
14 2 13
13 1
2
13 1. Chọn A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Giá trị lớn nhất của z 1 i
Ta có z 2 3i 1 z 2 3i 1 z 1 i 3 2i 1
z 1 i
Max
3 2 2 2 1 13 1
Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho các số phức z , w thỏa mãn z 2 2i z 4i , w iz 1 .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là
A.
2
.
2
C. 2 .
B. 2 2 .
D.
3 2
.
2
Lời giải
Cách 1: Đặt z a bi a, b , khi đó z 2 2i a 2 b 2 i và z 4i a b 4 i .
2
2
2
Nên ta có a 2 b 2 a 2 b 4 a b 2 b 2 a
2
2
Khi đó w iz 1 a bi i 1 1 b ai w a 2 b 1 a 2 a 1 .
2
1 1 1
2
2
Dễ thấy a a 1 2 a w
min w
. Chọn A.
2 2 2
2
2
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)
Câu 25:
(ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 4 z 4 10. Giá trị lớn nhất
2
2
và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là
A. 10 và 4
B. 5 và 4
C. 4 và 3 .
Hướng dẫn giải.
Gọi z x yi , x , y . Theo giả thiết, ta có z 4 z 4 10.
x 4 yi x 4 yi 10
x 4
2
y2
x 4
2
y 2 10
D. 5 và 3 .
Gọi M x; y , F1 4; 0 và F2 4; 0 .
Khi đó MF1 MF2 10 nên tập hợp các
điểm M z là đường elip E .
Ta có c 4 ; 2 a 10 a 5 và b 2 a2 c 2 9 .
x2 y2
Do đó, phương trình chính tắc của E là
1.
25 9
Vậy max z OA OA ' 5 và min z OB OB ' 3 . Chọn D.
Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Biết rằng số phức z x yi ,
x , y có môđun nhỏ nhất. Tính P x
A. P 10 .
2
y2 .
C. P 16 .
D. P 26 .
Hướng dẫn giải.
Cách 1: Gọi z x yi , x , y . Ta có z 2 4i z 2i x 2 y 4 i x y 2 i
2
x 2 y 4
B. P 8 .
2
2
x 2 y 2 x 2 4 x 4 y 2 8 y 16 x 2 y 2 4 y 4
4 x 4 y 16 0 y 4 x .
Tài liệu nội bộ
14
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2
2
Do đó z x 2 y 2 x 2 4 x 2x 2 8 x 16 2 x 2 8 2 2 .
Dấu " " xảy ra x 2 y 2 . Vậy P 2 2 2 2 8 . Chọn B.
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)
Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện
A. max z 1 .
2 3i
z 1 1.
3 2i
C. max z 2 .
B. max z 2 .
D. max z 3 .
Hướng dẫn giải.
2 3i
1
Ta có
z 1 1 iz 1 1 i . z
1 z i 1 .
3 2i
i
Vì i 0 1 nên max z r1 r2 1 1 2 . Chọn B.
Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
1 i z 1 7 i 2 . Tìm max z .
A. max z 4 .
B. max z 3 .
C. max z 7 .
D. max z 6 .
Hướng dẫn giải.
1 7i
Ta có 1 i z 1 7 i 2 1 i z
2 z 3 4i 1 .
1 i
Vì 3 4i 0 5 nên max z r1 r2 1 32 4 2 6 . Chọn D.
Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Đặt A
A. A 1.
B. A 1.
2z i
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2 iz
C. A 1.
D. A 1.
(THPT CHUYÊN HÀ NAM)
Lời giải
2z i
A 2 iz 2 z i 2 A Azi 2 z i
2 iz
2A i
2A i
2 A i z Ai 2 z
. Mà z 1
1 2 A i Ai 2
Ai 2
Ai 2
Từ giả thiết, ta có A
.
Đặt A x yi x, y , khi đó 2x 2 y 1 i y 2 xi
2
4 x 2 2 y 1
y 2
2
x 2 4 x 2 4 y 2 4 y 1 x 2 y 2 4 y 4 x 2 y 2 1.
Vậy môđun của A x 2 y 2 1. Chọn A.
Câu 30:
Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 z2 8 6i và z1 z2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của
P z1 z2 .
A. P 5 3 5.
B. P 2 26.
C. P 4 6.
D. P 34 3 2.
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4)
Lời giải
2
2
2
Bổ đề. Cho hai số phức z1 và z2 , ta luôn có z1 z2 z1 z2 2 z1 z2
2
2
.
2
Chứng minh. Sử dụng công thức z1 z2 z1 z2 z1 z2 và z.z z . Khi đó
Tài liệu nội bộ
15
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2
2
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 .z1 z1 .z2 z1 .z2 z2 .z2 z1 .z1 z1 .z2 z1 .z2 z2 .z2
2
2 z1 .z1 z2 .z2 2 z1 z2
2
2
đpcm.
2
2
Áp dụng , ta được z1 z2 z1 z2 4 z1 z2 4
3
2
1 z1 z2 1.
2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được P z1 z2 2 z1 z2
Câu 31:
2
2
26. Chọn B.
Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 z2 8 6i và z1 z2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của
P z1 z2 .
A. P 5 3 5.
B. P 2 26.
C. P 4 6.
D. P 34 3 2.
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4)
Lời giải
2
2
2
Bổ đề. Cho hai số phức z1 và z2 , ta luôn có z1 z2 z1 z2 2 z1 z2
2
2
.
2
Chứng minh. Sử dụng công thức z1 z2 z1 z2 z1 z2 và z.z z . Khi đó
2
2
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 .z1 z1 .z2 z1 .z2 z2 .z2 z1 .z1 z1 .z2 z1 .z2 z2 .z2
2
2 z1 .z1 z2 .z2 2 z1 z2
2
2
đpcm.
2
2
Áp dụng , ta được z1 z2 z1 z2 4 z1 z2 4
3
2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được P z1 z2 2 z1 z2
2
1 z1 z2 1.
2
2
26. Chọn B.
Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức
z 2 2 z 5 z 1 2i z 3i 1 .
Tính min| w |, với số phức w z 2 2i .
3
A. min| w | .
B. min| w | 2 .
2
z
thỏa mãn
D. min| w |
C. min| w | 1 .
1
.
2
Lời giải
2
2
2
Ta có z 2 z 5 z 1 4 z 1 2i z 1 2i z 1 2 i .
2
z 1 2i
Khi đó, giả thiết z 1 2i z 1 2 i z 1 2i z 3i 1
z 1 2i z 3i 1
TH1. Với z 1 2i , ta có w z 2 2 i 1 2i 2 2i 1 w 1.
TH2. Với z 1 2i z 3i 1
, đặt z x yi x , y , ta có
2
2
2
x 1 y 2 i x 1 y 3 i x 1 y 2 x 1 y 3
1
3
Do đó w z 2 2 i x i 2 2i x 2 i w
2
2
2
1
y .
2
9 3
. Chọn A.
4 2
1
Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức z thỏa mãn z 3 . Tổng của giá trị lớn nhất
z
Tài liệu nội bộ
x 2
2
16
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
và giá trị nhỏ nhất của z là
A. 3.
B.
5.
13.
C.
D. 5.
Lời giải
2
Ta có a z
1
1
1
1
a2 z
z z
z
z
z
z
2
z
z2 z
z
2
2
1
z
2
4
2
2
z z z 2 z 1
z
2
.
a a 2 4 a a2 4
4
2
2
Khi đó z z . a2 2 1 z z 0 z
.
;
2
2
Vậy max z
a a2 4
a a2 4
; min z
M m a 2 4 13. Chọn C.
2
2
Câu 34: (THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI)Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z
đây đúng?
3
A. z 2 .
2
B.
1
3
z .
2
2
C. z 2 .
D. z
10
2 i . Mệnh đề nào sau
z
1
.
2
Lời giải
10
2 i 1 2i z 2 i
z
10
z 2 z i2i
z 2 2 z 1 i
z
Cách 1. Từ giả thiết, ta có 1 2i z
Lấy môđun hai vế của , ta được
2
z 2 2 z 1
2
10
z
10
z
10
.
z
10
t 2 5t 2 5 10 t 4 t 2 2 0 t 1.
t
1
3
Vậy môđun của số phức z bằng 1 z .
2
2
Cách 2. Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z .
Đặt t z , ta có
2
t 2 2t 1
2
Cách 3. Đặt z a bi a, b và c z , thay vào đẳng thức đã cho thì
a bi 10 2 i
10
2 i 1 2i c
a bi
c2
a 10
b 10
c 2 2 i 2c 2 1 0
c
c
a 10
a 10
c 2 2 0
c 2 2
10 a2 b2
2
2
10
c
c
Suy ra
nên c 2 1 2c
2
4
c
c
b 10
2c b 10 1 0
1
2
c
c
c2
1
3
Giải ra ta có c 1 mà c 0 nên c 1 hay z 1 . Do đó z . Chọn B.
2
2
Gt 1 2i c
Tài liệu nội bộ
17
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M .
Số phức z(4 3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N . Biết rằng M , M , N , N
là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z 4i 5
A.
1
.
2
B.
2
5
.
1
C.
.
4
D.
2
Lời giải
13
.
N 4 x 3 y ; 3 x 4 y
Gọi M x; y M ' x; y và 4 3i z 4 x 3 y 3 x 4 y i
N ' 4 x 3 y ; 3 x 4 y
Dễ thấy MM ' NN ' vì cùng vuông góc với Ox nên để MM ' N ' N là hình chữ nhật.
MM ' NN '
Khi và chỉ khi MN M ' N ' x y 0 z x xi z 4i 5
MN Ox
2
2
Ta có x 5 x 4
2
x 5 x 4
2
2
1
1 1
1
2 x 9 z 4i 5 min
. Chọn C.
2
2 2
2
Câu 36: (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
T zi z2i .
A. max T 8 2.
C. max T 4 2.
B. max T 4.
D. max T 8.
Lời giải
Đặt z x yi x , y , ta có z 1 2 x 1 yi 2
x 1
2
y2 2
2
x 1 y 2 2 x 2 2 x 1 y 2 2 x 2 y 2 2 x 1
Lại có T z i z 2 i x y 1 i x 2 y 1 i
2
x 2 y 1
2
x 2 y 1
2
x 2 y 2 2 y 1 x2 y 2 4 x 2 y 5
Kết hợp với , ta được T 2 x 2 y 2 6 2 x 2 y 2 x y 2 2 2 x y
Đặt t x y , khi đó T f t 2t 2 6 2t với t
1;1 .
Ta có f ' t
1
2t 2
1
6 2t
; f ' t 0 t 1 f t max f 1 4 . Chọn B.
Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z 1 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu
thức
T zi z2i
A. max T 8 2 .
B. max T 8 .
C. max T 4 2 .
Hướng dẫn giải
D. max T 4 .
Chọn C
Đặt z x yi x , y , ta có:
z 1 2 x 1 yi 2
2
x 1 y 2 2 x 2 y 2 2 x 1 *
Tài liệu nội bộ
18
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Lại có: T z i z 2 i x y 1 i x 2 y 1 i
2
x 2 y 1
2
x 2 y 1
2
x 2 y 2 2 y 1 x2 y 2 4 x 2 y 5
Kết hợp với * , ta được:
T 2 x 2 y 2 6 2x 2 y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được
12 2 x 2 y 2
Vậy max T 4 .
1
2
T
2
Câu 38: Cho w sin i cos với 0
2
6 2x 2 y 4
thỏa mãn w 2 1 2 w .
2
2
Giá trị của P 26 w 3
2018
2018
A. P 23 .
B. P 23 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
2018
là
C. P 23 2018 i.
D. P 29 2018.
2
Ta có: w 2 1 sin i cos 1 1 cos 2 i sin 2 w 2 1 2 2 cos 2 .
2 w sin 2 cos 2 2 .
Từ giả thiết: w 2 1 2 w cos 2 0
vì 0 .
4
2
2
2
2
2
2
i
w
i
w 1 .
2
2
2
2
2018
Vậy P 23 .
w
2
2
Câu 39: Cho các số phức z1 2 i , z2 2 i và số phức z thay đổi thỏa mãn z z1 z z2 16.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2 m2 bằng
B. 7 .
A. 15 .
C. 11 .
Lời giải
D. 8 .
Chọn
D.
Gọi M là điểm biểu diễn của z .
Gọi A 2;1 , B 2;1 . Gọi I 0;1 là trung điểm AB .
2
2
z z1 z z2 16 MA2 MB2 16
AB2
16 MI 2
2
Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I 0;1 bán kính R 2 .
MA2 MB2 2 MI 2
Tài liệu nội bộ
19
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
y
M2
I
x
O
M1
Ta lại có : IM IO OM IM IO 1 OM 3 .
Do đó : z max 3 M M2
z min 1 M M1
M 2 m2 8 .
Bài tương tự
Câu 40: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 1 i 2 và z2 iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu
thức z1 z2 ?
A. m 2 1 .
B. m 2 2 .
D. m 2 2 2 .
C. m 2 .
Lời giải
Chọn
D.
Đặt z1 a bi ; a , b z2 b ai
z1 z2 a b b a i .
2
a b b a
Nên z1 z2
2
2. z1
Ta lại có 2 z1 1 i z1 1 i z1 2
z1 2 2 . Suy ra z1 z2 2. z1 2 2 2 .
a b
0.
1 1
Vậy m min z1 z2 2 2 2 .
Dấu " " xảy ra khi
2
2
Câu 41: Gọi số phức z x yi ; x , y thỏa điều kiện z 2 z 2 26 và z 2 5i
lớn
nhất. Tính T x y .
A. T 2 5 .
B. T 2 5 .
C. T 2 5 .
Lời giải
D. T 2 5 .
Chọn
A.
Giả sử z x yi; x , y
2
2
2
2
Ta có z 2 z 2 26 x 2 y 2 x 2 y 2 26 x 2 y 2 9 .
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C tâm là gốc tọa độ O , bán kính
R 3.
Ta có z 2 5i
Vì 2 2
Tài liệu nội bộ
5
2
x 2
2
y 5
2
9 nên điểm N 2; 5 thuộc đường tròn C .
20
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Gọi M x; y là điểm thuộc C , khi đó z 2 5i
Suy ra
z 2 5i
M 2; 5
x 2
3
y 5
2
MN .
lớn nhất MN lớn nhất MN là đường kính của
C
Vậy z 2 5i .
Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z i 2 iz , biết z1 z2 1 Tính giá
Câu 42:
trị của biểu thức: P z1 z2 .
A. P
3
.
2
C. P
B. P 2 .
2
.
2
D. P 3 .
Lời giải
Chọn D.
2
2
HD: Cách 1. Ta có: 2 z i 2 iz 2 z i 2 iz (2 z i )(2 z i) (2 iz)(2 iz)
y
4 z.z 2iz 2iz i 2 4 2iz 2iz i 2 z.z 3z.z 3
2
z.z 1 z 1 z 1 z1 1 và z2 1
M
M2
2
Chú ý: a.a a 2 2 z i (2 z i)(2 z i ) (2 z i )(2 z i )
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O
bán kính R 1 .
Gọi M1 ( z1 ), M 2 ( z2 ) OM1 OM 2 1
Ta có: z1 z2 OM1 OM 2 M 2 M1 1 OM1 M 2 đều
Mà z1 z2 OM1 OM 2 OM OM với M là điểm thỏa
M1
O
x
mãn OM1 MM2 là hình thoi cạnh 1 OM 3 P 3 .
Cách 2. Đặt z x yi , x , y , ta có 2 z i 2 x (2 y 1)i và 2 iz 2 y xi .
z1 1
Khi đó: 2 z i 2 iz 4 x 2 (2 y 1)2 ( y 2) 2 x 2 x 2 y 2 1 z 1
z2 1
2
2
2
Sử dụng công thức z1 z2 z1 z2 2 z1 z2
2
z z
1
2
2
3 z1 z2 3 . Chọn
D.
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z 2 i . Tính giá trị của tổng S M 2 m2 .
A. S 82 .
B. S 34 .
C. S 68 .
Lời giải
D. S 36 .
Chọn C.
Cách 1: (Phương pháp hình học)
Đặt số phức z x iy , x, y có điểm biểu diễn hình học là P x , y .
Ta có z 1 2i
2
x 1 y 2
2
2
2
4 x 1 y 2 16 .
Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm I 1; 2 , bán kính R 4 .
Tài liệu nội bộ
21
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Ta có z 2 i
Vậy
từ
2
x 2 y 1
hình
2
AP , với A 2; 1 .
ta
vẽ
nhận
thấy:
M AP AP IA R 3 2 4
max
2
.
m APmin AP1 IA R 3 2 4
2
Vậy ta suy ra S M 2 m 2 3 2 4 3 2 4
2
68 .
Cách 2: (Phương pháp đại số)
Công cụ cơ bản: z1 z2 z1 z2 z1 z2 , với mọi số
phức z1 , z2 . Áp dụng, ta có:
z 2 i z 1 2 i 3 3i z 1 2i 3 3i 4 3 2 M 4 3 2
z 2 i z 1 2 i 3 3i z 1 2 i 3 3i 3 2 4 m 3 2 4
2
Vậy ta có S M 2 m 2 3 2 4 3 2 4
2
68 .
Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa z1 z2 6 và z1 z2 6 2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 2 z z1 z z2 z z z1 z z z 2 .
A. 30 3 .
B. 36 2 .
D. 50 2 .
C. 50 .
Lời giải
Chọn B.
Gọi A , B, M là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z , khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác OAB
vuông cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của
P 2 MA.MB MO.MA MO.MB .
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát
Cho tam giác ABC , đặt AB c , AC b , BC a , khi đó ta có
MB.MC MC.MA MA.MB
1
bc
ca
ab
Chứng minh: dùng bài toán kinh điển x.MA 2 y.MB 2 z.MC 2
xyc 2 yza 2 zxb 2
xyz
a
b
c
aMB.MC bMC .MA cMA. MB
;y
;z
khi đó x y z
MA
MB
MC
MA.MB.MC
aMA bMB cMC
và xyc 2 yza 2 zxb 2 abc
từ đó sử dụng suy ra hệ thức .
MA.MB.MC
Đặt x
Áp dụng bài toán trên ta có P 36 2 , chọn B.
Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng ngôn ngữ số phức.
Gọi tọa độ các điểm A , B, C , M trên mặt phẳng phức là u, v , w , x khi đó a v w ,
b w u , c u v , MA x u , MB x v , MC x w . Khi đó bất đẳng thức
tương đương
Tài liệu nội bộ
22
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
x v x w x w x u
x u x v
1
uv u w v w vu w u w v
x v x w x w x u x u x v 1
u v u w v w v u w u w v
Mặt khác :
x v x w x w x u x u x v x v x w x w x u x u x v
u v u w v w v u w u w v u v u w v w v u w u w v
x v x w x w x u x u x v 1 nên suy ra .
Mà
u v u w v w v u w u w v
Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P z 2 i 2 z 2 3i
A.
3.
B. 3 .
C.
2.
D.
4 3
.
3
Lời giải
Chọn B.
Gọi điểm biểu diễn của z là M . Khi đó M nằm trên đường tròn tâm I 0; 1 , R 1. Gọi tọa
độ các điểm A
2; 1 , B
2; 3 do đó:
1
P z 2 i 2 z 2 3i MA 2 MB. Gọi K
; 1 khi đó ta có:
2
IK IM
1
. Vậy IMK và IAM là hai tam giác đồng dạng. Khi đó: MA 2 MK .
IM IA
2
Vậy P 2 MK MB .
Theo bất đẳng thức tam giác: P 2 MK MB 2 BK .
Tài liệu nội bộ
23
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Vậy Min P 2 BK 3.
Câu 46: Với hai số phức z1 và z2 thoả mãn z1 z2 8 6i và z1 z2 2, tìm giá trị lớn nhất của
P z1 z2 .
A. P 4 6 .
B. P 2 26 .
C. P 5 3 5 .
Lời giải
Chọn B.
D. P 34 3 2 .
y
A
I
3
B
O
1
4
x
Vì hai số phức z1 và z2 thoả mãn z1 z2 8 6 i và z1 z2 2 nên
z1 4 3 i 1
z1 8 6 i z 2
z2 8 6 i z1 z2 4 3i 1 * .
z z 2
1 2
z1 z2 2
Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức z1 và z2 khi đó từ * suy ra A, B
nằm trên đường tròn C có tâm I 4; 3 , bán kính R 1 và AB là đường kính của đường tròn
C .
Như vậy P z1 z2 OA OB .
Ta có
OA 2 OB2 AB2
OI 2 OA 2 OB2 2 52 1 52 .
2
4
2
Suy ra 52 OA 2 OB2 2OA.OB OA OB OA 2 OB2 2OA.OB 52 52 104
P z1 z2 OA OB 104 2 26 . Dấu bằng xảy ra khi OA OB .
Câu 47: Giả sử z1 , z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz 2 i 1 và z1 z2 2. Giá trị lớn
nhất của z1 z2 bằng
A. 4 .
B. 2 3 .
C. 3 2 .
D. 3.
Lời giải
Chọn A.
Tài liệu nội bộ
24
BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z i 2 1 1 .
Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 , R 1 .
Gọi M , N là điểm biểu diễn z1 , z2 nên MN 2 là đường kính. Dựng hình bình hành
OMNP ta có z1 z2 OP 2 3 .
Ta có z1 z2
2
2
2 z1 z2
2
z z
1
2
2
2
z1 z2 16 z1 z2 4 . Dấu bằng xảy ra
khi z1 z2 MN OI .
Câu 48: Cho hai số phức z , thỏa mãn z 1 z 3 2 i ; z m i với m là tham số. Giá trị
của m để ta luôn có 2 5 là:
m 7
A.
.
m 3
m 7
B.
.
m 3
C. 3 m 7 .
D. 3 m 7 .
Lời giải
Chọn B.
Đặt z a ib, a , b có biểu diễn hình học là điểm M x; y
z 1 z 3 2i x 1 iy x 3 y 2 i
x 1
2
y2
2
x 3 y 2
2
2 x 1 6 x 9 4 y 4 2 x y 3 0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng : 2 x y 3 0 .
Ta có: 2 5 z m i 2 5 x m y 1 i 2 5
2
2
x m y 1
Mà ta có MI d I ,
2 5 MI 2 5 với I m; 1 .
Nên MI 2 5 d I , 2 5
2 m 4
5
2 5 2 m 4 10
2 m 4 10
m 3
.
2 m 4 10
m 7
Tài liệu nội bộ
25
