Giáo trình sóng gió PGS.TS Nghiêm Tiến Lam ĐHTL

Sóng gió
TS. Nghiêm Tiến Lam
Khoa Kỹ thuật Biển, Đại học Thuỷ lợi

1


§1.1 Mục đích và nội dung
– Cung cấp kiến thức cơ bản về sóng nước:
quá trình tạo ra, lan truyền, biến đổi và tiêu
tán của sóng nước do gió.
– Lý thuyết sóng biên độ nhỏ (lý thuyết tuyến
tính)
– Tương tác và ảnh hưởng của sóng đến công
trình và các quá trình ven bờ
– Tính toán và xử lý số liệu sóng
– Tập trung vào sóng chu kỳ ngắn

§1.2 Phân loại sóng biển
Sóng thần
Nước dâng do bão và nhiễu động khí tượng
Sóng bão

Nguyên nhân

Động đất
Mặt Trời và Mặt Trăng

Sóng gió
Sóng lừng
và các loại khác

Năng
lượng
Tần số (s-1)
Chu kỳ

10-5

10-4

Sóng triều thông
thường (T cố định)
Loại sóng

10-3

24h 12h

10-2
5 phút

Sóng chu kỳ dài

Sóng trọng lực

10-1
25s

1

10

1s

0.1s

Sóng gió

Sóng mao dẫn

2


§1.2 Phân loại sóng biển
Bảng 1.1: Chu kỳ và cơ chế thành tạo của các loại sóng khác nhau

Dạng sóng

Cơ chế vật lý thành tạo

Chu kỳ

Sóng sức căng mặt ngoài Sức căng mặt ngoài

< 10-1 s

Sóng gió

Ứng suất cắt của gió, trọng lực

< 15 s

Sóng lừng

Sóng gió

< 30 s

Sóng đập

Nhóm sóng

1 - 5 min

Seiche

Thay đổi về trường gió

5 - 30 min

Cộng hưởng cảng

Sóng đập, seiche

Sóng thần

Động đất, đất đá lở

Nước dâng bão

Ứng suất gió và biến đổi của áp
suất không khí

1 - 3 days

Sóng triều

Trọng lực gây ra do tác động
của mặt trăng, mặt trời và lực
ly tâm do trái đất quay

12 - 24 h

2 - 40 min
10 min - 2 h

§1.4 Sóng ngắn và sóng dài
Loại sóng

Sóng dài

Sóng ngắn

Tính chất dòng chảy

Dòng chảy dừng biến
đổi chậm

Dòng chảy dừng biến
đổi nhanh

Độ cong của đường
dòng theo phương
thẳng đứng

Yếu

Mạnh

Gia tốc thẳng đứng

Không đáng kể

Đáng kể

Phân bố áp suất

Xấp xỉ thuỷ tĩnh

Phi thuỷ tĩnh (thuỷ
động)

Phân bố vận tốc

Gần như đồng nhất
Rất không đồng nhất
(ngoại trừ lớp biên đáy)

Lực cản đáy

Đáng kể

Không đáng kể

3


Phân bố áp suất và vận tốc

(p)

(u)

a) Sóng dài

(p)

(u)

b) Sóng ngắn

Bản ghi đo đạc sóng:
Giản đồ sóng ký

4


§1.3 Các khái niệm cơ bản
•
•

•
•
•
•
•

Ngọn sóng (lưng sóng)
Bụng sóng
Đỉnh sóng (đầu sóng)
Chân sóng
Biên độ sóng: a
Độ cao sóng: H
Bước sóng (chiều dài
sóng): L
• Độ dốc sóng: S = H/L

ζ

L
Đỉnh sóng
H

a
Mặt nước bình x
quân
Chân sóng

§1.3 Các khái niệm cơ bản
ζ

• Chu kỳ sóng, T [s]:
khoảng thời gian giữa
hai lần đỉnh sóng xuất
hiện liên tiếp

0

T

T

t

ζ (t )

5


§1.3 Các khái niệm cơ bản
• Tần số sóng, f = 1/T [Hz]: số lượng đỉnh sóng
truyền qua một điểm cố định trong thời gian một
giây.
• Tần số góc của sóng, ω = 2π/T = 2πf [rad/s].
• Số sóng, k = 2π/L: số đo chu trình của số lượng
đỉnh sóng trên một đơn vị chiều dài.
• Tốc độ truyền sóng (vận tốc sóng, tốc độ pha),
C = L/T = ω/k =√(g/k) [m/s]: tốc độ di chuyển của
mặt sóng.

§1.3 Các khái niệm cơ bản

• Vận tốc nhóm sóng, Cg: tốc độ truyền
năng lượng sóng.

6


§1.3 Các khái niệm cơ bản
• Năng lượng sóng:
Năng lượng sóng
truyền đi trên một đơn
vị diện tích bề mặt.

1
E = ρ w gH 2
8

§1.3 Các khái niệm cơ bản
• Hướng sóng (hướng truyền sóng): góc tính từ
trục Bắc (N), theo chiều kim đồng hồ, đến
hướng từ đó sóng đi tới.

Đông (E)

Hướ
Hướng sóng

β

Đườ
ng b

ờ

Hướ
Hướng đườ
đường bờ

Hư
ớ

ng
t

ruy
ền

φ

són
g

N
Đườ
n
góc g vuôn
g
với
bờ

g
ruy

ền
són

Hư
ớ

ng
t

α

Đư
đỉ n ờ ng
són h
g

Hướng Bắc

N

Bắc
(N)

Đườ
ng b
ờ

Hướ
Hướng sóng đến

7


Sóng gió
Chương 2: Các phương trình cơ
bản của cơ học chất lỏng

§2.1 Phương pháp mô tả dòng
chảy của chất lỏng
• Phương pháp Lagrange: khảo sát chuyển
động của từng hạt chất lỏng theo không
gian và thời gian
• Phương pháp Euler: khảo sát sự biến đổi
các tính chất vật lý của chất lỏng theo thời
gian tại điểm cố định theo không gian

8


§2.2 Thế vận tốc
• Thế vận tốc (dòng chảy 3 chiều không xoáy)
u=−

∂φ
∂x

v=−

∂φ
∂y

w=−

∂φ
∂z

• Hàm dòng (dòng chảy 2 chiều không nén được)
u=−

∂ψ
∂z

w=

∂ψ
∂x

• Các điều kiện Cauchy-Riemann
∂φ ∂ψ
=
∂x ∂z

∂φ
∂ψ
=−
∂z
∂x

§2.3 Hệ phương trình cơ bản của
chất lỏng: phương trình liên tục

• Phương trình liên tục:
định luật bảo toàn vật
chất

w

0

∂ρ ∂ρ u ∂ρ v ∂ρ w
+
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
∂z

• Với chất lỏng không
nén được:

v

u

z

ρu

ρu +

∂ ( ρu )
Δx
∂x

y

∂u ∂v ∂w
+ +
=0
∂x ∂y ∂z
0

x

9


§2.4 Hệ phương trình cơ bản của chất
lỏng: phương trình chuyển động
• Phương trình chuyển động: bảo toàn động
lượng
• Áp suất thuỷ tĩnh: p = − ρ gz
• Ứng suất tiếp: phụ thuộc độ nhớt và
Du
chuyển động rối của chất lỏng
∑ Fx = m Dt
• Định luật Newton: F = ma
Dv
∑ Fy = m Dt

• Đạo hàm toàn phần:
Df ∂f
∂f
∂f
∂f
=
+u +v +w
Dt ∂t
∂x
∂y
∂z

∑F

z

=m

Dw
Dt

§2.5 Phương trình chuyển động:

Phương trình Euler
• Giả thiết: chất lỏng liên tục, không nhớt (lý
tưởng), không nén được
Du
1 ∂p
=−
Dt

ρ ∂x
Dv
1 ∂p
=−
Dt
ρ ∂y
Dw
1 ∂p
1 ∂
=−
−g =−
( p + ρ gz )
ρ ∂z
ρ ∂z
Dt

10


§2.6 Phương trình chuyển động:
Phương trình Bernoulli
• Giả thiết: chất lỏng không nhớt, không nén
được, không xoáy và không ổn định
• Thay các thế vận tốc vào phương trình
Euler
−

∂φ u 2 + w2 p
+
+ + gz = C (t )

ρ
2
∂t

• Nếu C(t) = 0
⎧⎪ ∂φ 1 ⎡⎛ ∂φ ⎞ 2 ⎛ ∂φ ⎞ 2 ⎤ ⎫⎪
⎛ ∂φ u 2 + w2 ⎞
p = − ρ gz + ρ ⎜
−
⎟ = − ρ gz + ρ ⎨ − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎬
2 ⎠
⎝ ∂t
⎪⎩ ∂t 2 ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎦⎥ ⎭⎪

§2.7 Phương trình chuyển động:
Phương trình Laplace
• Giả thiết: chất lỏng không xoáy, không nén
được
• Thay các thế vận tốc từ phương trình liên
tục vào phương trình Euler
∇ 2φ =

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến
tính dạng elliptic)

11


Sóng gió
Chương 3: Lý thuyết sóng tuyến
tính

§3.1 Các giả thiết cơ bản
• Chất lỏng: liên tục, không nhớt (lý tưởng), đồng nhất và
không nén được (mật độ không đổi), không xoáy.
• Trường lực tác dụng: chỉ có lực phục hồi là trọng lực
(không xét ảnh hưởng quay của Trái Đất).
• Điều kiện biên trên mặt: không xét đến sức căng bề mặt;
coi là mặt thoáng tự do, không có lực tác động lên bề
mặt.
• Điều kiện biên đáy: đáy rắn, nằm ngang cố định, không
thấm nước.
• Sóng tuần hoàn, đỉnh dài, lan truyền không thay đổi hình
dạng.

12


§3.2 Các thông số cơ bản
•
•
•
•
•

Khối lượng riêng (ρ)
Gia tốc trọng trường (g)
Độ sâu trung bình (h)
Độ cao sóng (H=2a)
Bước sóng (L)
C
z

z=ζ(x,t)
Mực nước tĩnh

z=0

x

w

h

u
Đáy

z=-h

§3.3 Các phương trình cơ bản
• Phương trình liên tục (chất lỏng không
nén được)
∂u ∂w
+

=0
∂x ∂z

• Phương trình động lượng
Du ∂u
∂u
∂u
1 ∂p
=
+u
+w
=−
Dt ∂t
∂x
∂z
ρ ∂x
Dw ∂w
∂w
∂w
1 ∂p
=
+u
+w
=−
−g
Dt
∂t
∂x
∂z
ρ ∂z

13


§3.4 Các điều kiện biên
• Điều kiện biên động học (không có chất
lỏng qua bề mặt
– Điều kiện biên mặt thoáng, tại z = ζ(x,t): w =
– Điều kiện biên đáy, tại z = -h:

dζ
dt

w=0

• Điều kiện biên động lực
– Điều kiện biên mặt thoáng, tại z = ζ(x,t):

p=0

§3.5 Biểu diễn qua thế vận tốc
• Phương trình Laplace
(dòng không xoáy)

∂ 2φ ∂ 2φ
+
=0
∂x 2 ∂z 2

• Phương trình Bernoulli

∂φ u 2 + w2 p
+
+ + gz = 0
∂t
2
ρ

• Điều kiện biên đáy,
tại z = -h:

∂φ
=0
∂z

• Điều kiện biên mặt, tại z
= ζ(x,t):

∂φ ∂ζ ∂φ ∂ζ
=
+
∂z ∂t ∂x ∂x
2
2
∂φ 1 ⎡⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎤ p
+ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ + + gz = 0
∂t 2 ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ ρ

14

§3.6 Tuyến tính hoá ĐKB mặt
• Bỏ qua các số hạng bậc 2, (u² và w²), điều
kiện biên mặt, tại z = ζ(x,t) trở thành
∂ζ ⎛ ∂φ ⎞
=⎜ ⎟
∂t ⎝ ∂z ⎠ z =ζ

∂φ ∂ζ ∂φ ∂ζ
=
+
∂z ∂t ∂x ∂x

1 ⎛ ∂φ ⎞
ζ =− ⎜ ⎟
g ⎝ ∂t ⎠ z =ζ

2
2
∂φ 1 ⎡⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎤ p
+ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ + + gz = 0
∂t 2 ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ ρ

• Giả thiết biên độ sóng nhỏ
1 ⎛ ∂φ ⎞
ζ =− ⎜ ⎟
g ⎝ ∂t ⎠ z =0

∂ζ ⎛ ∂φ ⎞
=⎜ ⎟

∂t ⎝ ∂z ⎠ z =0

§3.4 Nghiệm giải tích
φ ( x, z , t ) = X ( x) Z ( z )T (t )
• Giả thiết
• Thế vào phương trình Laplace
X ′′
Z ′′
=−
= −k 2
X
Z

• Nghiệm giải tích

2
⎪⎧ X ′′ + k X = 0
⎨
2
⎪⎩ Z ′′ − k Z = 0
⎧ X = B cos kx + D sin kx
⎨
kz
− kz
⎩ Z = Ee + Ge

φ ( x, z , t ) = ( B cos kx + D sin kx ) ( Eekz + Ge− kz ) T (t )

• Sóng đơn tuần hoàn theo thời gian

⎡T (t ) ~ cos ωt
⎢T (t ) ~ sin ωt
⎣

15


§3.5 Các tổ hợp nghiệm
φ = A Z ( z ) cos kx cos ωt

1
1
• Tổ hợp nghiệm thoã
φ2 = A2 Z ( z ) sin kx sin ωt
mãn phương trình
φ3 = A3 Z ( z ) sin kx cos ωt
Laplace và các điều
φ4 = A4 Z ( z ) cos kx sin ωt
kiện biên
⎛ ∂φ ⎞
• Áp dụng điều kiện
=0
⎜ ⎟
biên tại z = -h,
⎝ ∂z ⎠ z =− h
và điều kiện biên mặt
1 ⎛ ∂φ ⎞
ζ =− ⎜ ⎟
thoáng
g ⎝ ∂t ⎠ z =0

để xác định các hằng
ag cosh k ( z + h)
AZ ( z ) =
số (A, E …)
ω cosh kh

§3.5 Quan hệ phân tán
• Nghiệm giải tích φ ( x, z, t ) =
• Dao động mặt nước

aω cosh k ( z + h)
sin ( kx − ωt )
sinh kh
k

ζ ( x, t ) = a cos ( kx − ωt )

• Điều kiện biên mặt thoáng: z = 0

∂φ
∂t

+ gζ = 0
z =0

aω 2 cosh k ( z + h)
−
cos ( kx − ωt ) = − gaω cos(kx − ωt )
k
sinh kh

z =0

• Quan hệ phân tán

ω 2 = gk tanh kh

16


§3.5 Quan hệ phân tán
• Quan hệ phân tán
ω=

2π
T

k=

2π
L

ω 2 = gk tanh kh
C=

L
T

L=

• Nước sâu h >> → tanh kh = 1 → L0 =

gT 2
⎛ 2π
tanh ⎜
2π
⎝ L
gT 2
≈ 1.56T 2
2π

gT 2
⎛ 2π ⎞
tanh ⎜
L=
h⎟
2π
⎝ L ⎠

L = L0 tanh kh

gT
⎛ 2π
tanh ⎜
2π
⎝ L

C = C0 tanh kh

C=

⎞
h⎟
⎠

⎞
h⎟
⎠

7

§3.5 Các hàm hyperbolic
6

Hàm số

kh lớn kh nhỏ

ekh + e− kh
2

1 kh
e
2

e kh − e − kh
sinh kh =
2

1 kh
e

2

cosh kh =

e 2 kh − 1
tanh kh = 2 kh
e +1

1

5

4

sinh kh

kh

3

kh
cosh kh
2

1

kh
tanh kh

1

exp(kh)/2
0

kh
0

π/10

1

2

3

π

17


§3.6 Phân loại sóng theo độ sâu
Khoảng giá trị
của kh

Khoảng giá trị
của h/L

Sóng nước nông
(sóng dài)

0 ≤ kh < π/10

0 ≤ h/L < 1/20

Sóng ở vùng nước
chuyển tiếp

π/10 ≤ kh < π

1/20 ≤ h/L < ½

kh ≥ π

h/L ≥ ½

Loại sóng

Sóng nước sâu
(sóng ngắn)

§3.7 Quan hệ các đặc trưng sóng
Vùng
nước nông
Bước sóng
L = C×T

L = T gh

Vận tốc pha
C = gh

C = L/T

Vùng chuyển tiếp
gT 2
⎛ 2π h ⎞
tanh ⎜
⎟
2π
⎝ L ⎠
gT
⎛ 2π h ⎞
C=
tanh ⎜
⎟
2π
⎝ L ⎠
L=

Vận tốc góc
ω = k gh
ω = 2π/T

ω = gk tanh ( kh )

Vận tốc
nhóm

Cg =

Cg = gh

Vùng nước sâu
L0 =

gT 2
≈ 1.56T 2
2π

C0 =

gT g
= ≈ 1.56T
2π ω

ω = gk

C⎡
2kh ⎤
1
g
⎢1 +
⎥ Cg = C0 =
2 ⎣ sinh ( 2kh ) ⎦
2
2ω

18


§3.8 Vận tốc chuyển động của

chất điểm nước
• Nghiệm giải tích

φ ( x, z , t ) =

• Vận tốc theo
phương ngang

u=

u = uˆ cos ( kx − ωt )

aω cosh k ( z + h)
sin ( kx − ωt )
k
sinh kh

∂φ
cosh k ( z + h)
= aω
cos ( kx − ωt )
∂x
sinh kh

uˆ = aω

• Vận tốc theo
phương đứng

w=

w = wˆ sin ( kx − ωt )

cosh k ( z + h)
sinh kh

∂φ
sinh k ( z + h)
= aω
sin ( kx − ωt )
∂z
sinh kh

wˆ = aω

sinh k ( z + h)
sinh kh

§3.8 Vận tốc chất điểm
• Vận tốc lớn nhất

uˆ = aω
• Nước sâu

• Nước nông

cosh k ( z + h)
sinh kh

uˆ = aω e kz
uˆ =

aω a
= c
kh h

wˆ = aω

sinh k ( z + h)
sinh kh

wˆ = aω e kz
⎛ z⎞
wˆ = aω ⎜1 + ⎟
⎝ h⎠

19


§3.9 Gia tốc cục bộ của

chất điểm nước
• Vận tốc theo
phương ngang

u=

∂φ
cosh k ( z + h)

= aω
cos ( kx − ωt )
∂x
sinh kh

• Vận tốc theo
phương đứng

w=

∂φ
sinh k ( z + h)
= aω
sin ( kx − ωt )
∂z
sinh kh

• Gia tốc theo
phương ngang

∂u
cosh k ( z + h)
= − aω 2
sin ( kx − ωt )
∂t
sinh kh

• Gia tốc theo
phương đứng

∂w
sinh k ( z + h)
= aω 2
cos ( kx − ωt )
∂t
sinh kh

§3.10 Quỹ đạo chuyển động của

chất điểm nước
• Dịch chuyển theo ξ = udt = −a cosh k ( z + h) sin ( kx − ωt )
∫
sinh kh
phương ngang (x)
sinh k ( z + h)
• Dịch chuyển theo
cos ( kx − ωt )
η = ∫ wdt = a
sinh kh
phương đứng (z)
• Sử dụng quan hệ ω 2 = gk tanh kh
phân tán
ξ = ξˆ sin ( kx − ωt )

ξˆ = − a

cosh k ( z + h)
sinh kh

η = ηˆ cos ( kx − ωt )

ηˆ = a

sinh k ( z + h)
sinh kh

2

2

⎛ ξ ⎞ ⎛η ⎞
⎜ ˆ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎝ ξ ⎠ ⎝ ηˆ ⎠

20


§3.10 Quỹ đạo chuyển động của
2

2

chất điểm nước

⎛ ξ ⎞ ⎛η ⎞
⎜ ˆ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎝ ξ ⎠ ⎝ ηˆ ⎠

• Nước nông
• Nước sâu

Nước nông

cosh k ( z + h)
sinh kh
a
ξˆ =
kh
ξˆ = ae kz

ξˆ = − a

Nước sâu trung bình

sinh k ( z + h)
sinh kh
ak ( z + h)
ηˆ =
kh

ηˆ = a

ηˆ = ae kz

Nước sâu

§3.11 Chuyển động của hạt nước

21

§3.11 Chuyển động thực tế
• Nước sâu

• Nước nông

§3.12 Áp suất
• Phương trình Bernoulli tuyến tính
p = ρ ga

cosh k ( z + h)
cos ( kx − ωt ) − ρ gz
cosh kh

p = −ρ

∂φ
− ρ gz
∂t

• Áp suất do sóng gây ra
p+ = ρ ga

cosh k ( z + h)
cos ( kx − ωt )
cosh kh

• Nước sâu (kh >>)

p+ = ρ gae kz cos ( kx − ωt )

• Nước nông (kh <<)

p+ = ρ ga cos ( kx − ωt ) = ρ gζ

22


§3.13 Vận tốc nhóm sóng
•

ζ = a cos ( k1 x − ω1t ) + a cos ( k2 x − ω2t )

Xét hai sóng cùng biên độ a,
chuyển động theo hướng x:

ζ = 2a cos ⎡⎣ 12 ( k1 − k2 ) x − 12 (ω1 − ω2 ) t ⎤⎦ cos ⎡⎣ 12 ( k1 + k2 ) x − 12 (ω1 + ω2 ) t ⎤⎦
ζ = 2a cos ⎡⎣ 12 ( k1 − k2 ) x − 12 (ω1 − ω2 ) t ⎤⎦ cos ( kx − ωt )
•

Tại nút, ζ = 0
1
2

( k1 − k2 ) x − 12 (ω1 − ω2 ) t = ( 2n + 1) π2
2n + 1
x=
π
k1 − k2

•

Tại t=0, có các nút tại

•

Khoảng cách giữa các nút

•

Tốc độ lan truyền các điểm nút (=
tốc độ lan truyền của nhóm sóng,
vận tốc nhóm)

xnút =

ω1 − ω2
k1 − k2

t+

2n + 1
π
k1 − k2

n = 0,1, 2, K

2π
k1 − k2
∂xnút

ω − ω2
= Cg = 1
k1 − k2
∂t

( x2 − x1 ) = Δx =

23


§3.13 Vận tốc nhóm sóng
• Vận tốc nhóm sóng

Cg =

∂ω
∂k

ω = kC

Cg =

d (kC )
dk

C2 =

g
tanh kh
k

• Vì

• Từ quan hệ phân tán

1⎛
2kh ⎞
Cg = ⎜1 +
⎟C
2 ⎝ sinh 2kh ⎠

§3.13 Vận tốc nhóm sóng
• Vận tốc nhóm sóng
• Với

1⎛
2kh ⎞
n = ⎜1 +
⎟
2 ⎝ sinh 2kh ⎠

Cg = nC
1
≤ n ≤1
2

• Sóng đơn lan truyền nhanh hơn nhóm
sóng

24

§3.14 Năng lượng sóng
• Thế năng trung bình
ζ

∫ ( ρ gz ) dz

Ep =

=

∫ ( ρ gz ) dz

∫ ( ρ gz ) dz

+

−h

dE p = dmgz = ρ ( h + ζ ) dx ⋅ g

ρ g ⎛ h2

ζ

0

−h

x+ L

1
⎜ L + h ∫ ζ dx +
2
L ⎝ 2
x
h2
H2
Ep = ρg + ρg
2
16
1
E p = ρ gH 2
16

Ep =

Etông công = Ekhông có sóng + Ecó sóng

0

h +ζ
2
x+ L

∫ζ

2

x

⎞
dx ⎟
⎠

§3.14 Năng lượng sóng
• Động năng trung bình
⎛ u 2 + w2 ⎞
u 2 + w2
dEk = d ⎜ m
dxdz
ρ
=
⎟
2 ⎠
2
⎝

Ek =

Ek =

1
L

x+ L ζ

∫

∫ρ

x −h

1
ρ gH 2
16

u 2 + w2
ρ
dxdz =
2
2L

• Năng lượng tổng cộng

⎡⎛ ∂φ ⎞ 2 ⎛ ∂φ ⎞ 2 ⎤
∫− h ⎢⎢⎜⎝ ∂x ⎟⎠ + ⎜⎝ ∂z ⎟⎠ ⎥⎥ dxdz
⎣
⎦

x+ L ζ

∫
x

1
E = E p + E k = ρ gH 2
8

25