HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :- Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực
- Định lý Viete : Nếu phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3
nghiệm x
1
, x
2
, x
3
thì : x
1
+ x
2
+ x
3
= -b/2a
x
1
x
2
+ x
2

x
3
+ x
3
x
1
= c/a
x
1
x
2
x
3
= -d/a
I. Những dạng thông thường
1. Nếu x = x
0
là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng :
(x - x
0
)(ax
2
+ bx + c) = 0
Đặc biệt :- Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm
- Nếu (d/a) = (c/b)
3
→ x = -c/b là nghiệm
2. Phương trình dạng A
3
+ B

3
= (A + B)
3
pt ↔ A
3
+ B
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0
II. Những dạng tổng quát
1. Phương trình 4x
3
- 3x = q
* Với │q│ ≤ 1
- Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q
- Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα
- Ta chọn t
1
= α/3 ; t
2,3
= (α ± 2π)/3
- Kết luận phương trình có 3 nghiệm x
1,2,3
= cos t
1,2,3
Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt "ép" ẩn phụ, ta không cần chứng minh
rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết

luận ngay.
* Với │q│ > 1 :
- Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có nghiệm
x
0
không thuộc [-1;1] thì x
0
là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x
3
- 3x = ½ (a
3
+ 1/a
3
) bằng cách :
q = ½ (a
3
+ 1/a
3
) ↔ a
6
- 2qa
3
+ 1 = 0 (→ tìm được a)
- CM x
0
= ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình
2. Phương trình 4x
3
+ 3x = q

- Giả sử phương trình có nghiệm x
0
, dùng đạo hàm ta CM được x
0
là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x
3
+ 3x = ½ (a
3
- 1/a
3
) rồi CM x
0
= ½ (a - 1/a) là
nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên)
3. Phương trình x
3
+ px + q = 0 (Công thức Cardan - Tartaglia)
- Đặt x = u - v sao cho uv = p/3
- Từ pt, ta có : (u - v)
3
+ 3uv(u - v) = u
3
- v
3
= q
- Hệ phương trình uv = p/3 và u
3
- v
3

= q cho ta một phương trình trùng phương theo
u (hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + v
Chú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (u
hoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới là
dạng đầy đủ của công thức trên)
Ngoài ra, các phương trình 4x
3
± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PP này
4. Phương trình bậc ba tổng quát X
3
+ AX
2
+ BX + C = 0
Đặt X = x - A/3, pt trở thành x
3
+ px + q = 0 (#)
Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan - Tartaglia
Cách 2 : - Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k
3
t
3
+ pkx + q = 0 (chọn k sao cho k
3
/4
1
= pk/3 nếu p > 0 hoặc k
3
/4 = -pk/3 nếu p < 0)
- Phương trình được đưa về dạng 4t
3

± 3t = Q
B.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN:ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 (a ≠ 0)
I. Những dạng đặc biệt
1/ Pt trùng phương ax
4
+ bx
2
+ c = 0: Đặt t = x
2
(t ≥ 0), phương trình trở về dạng
bậc hai
2/(x + a)
4
+ (x + b)
4
= c: Đặt t = x + ½(a + b), pt có dạng : (t + m)
4
+ (t - m)
4
=
c, khai triển sẽ được pt trùng phương
3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) với a + b = c + d
pt ↔ [x
2

+ (a + b)x + ab].[x
2
+ (c + d)x + cd] = m
Đặt t = x
2
+ (a + b)x = x
2
+ (c + d)x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)
Phương trình trở về dạng bậc hai
4/ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
± kbx + k
2
a = 0 (a ≠ 0)
- Xét x = 0 có phải nghiệm pt không
- Với x ≠ 0 : Chia 2 vế pt cho x
2
pt ↔ a (x
2
+ k
2
/x
2
) + b(x ± k/x) + c = 0
Đặt t = x ± k/x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)
5/ a[f

2
(x) + 1/f
2
(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0
Đặt t = f(x) ± 1/f(x) (tổng quát hơn so với dạng phương trình 4)
6/ a.f
2
(x) + b.f(x).g(x) + c.g
2
(x) = 0 (a ≠ 0)
- Với g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0
- Với g(x) ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho g
2
(x)
- Đặt t = f(x)/g(x), pt trở về dạng bậc hai theo t
7/ x = f(f(x)): pt ↔ hệ đối xứng loại 2 : t = f(x) và x = f(t)
* Chú ý : Nếu trong phương trình có chứa tham số, trong vài trường hợp ta có
thể đổi vai trò của ẩn và tham số (xét phương trình theo tham số a, tính a
theo x rồi suy ra x theo a)
II. Pt bậc 4 tổng quát X
4
+ AX
3
+ BX
2
+ CX + D = 0 (công thức Ferrari)
- Đặt X = x - A/4, phương trình trở về dạng khuyết bậc ba :x
4
= ax
2

+ bx + c
- Cộng 2 vế pt cho 2mx
2
+ m
2
(m thuộc R), ta được : (x
2
+ m
2
)
2
= (2m + a)x
2
+ bx +
c + m
2
- Xét vế phải pt, ta sẽ chọn m sao cho vế phải là bình phương 1 nhị thức bằng cách :
Δ
VP
= b
2
- 4(2m + a)(c + m
2
) : pt bậc ba theo m → luôn có nghiệm thực
- Khi đó pt có dạng : (x
2
+ m
2
)
2

= f
2
(x)
C.PTRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - CĂN THỨC
I. Phương trình - bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
│A│ = │B│ ↔ A = B hay A = -B
│A│ = B ↔ (A ≥ 0 và A = B) hay (A ≤ 0 và -A = B) ↔ (B ≥ 0 và A = B) hay (B ≥ 0
và A = -B)
│A│ < │B│ ↔ A
2
< B
2
↔ (A + B)(A - B) < 0
│A│ < B ↔ (A ≥ 0 và A < B) hay (A ≤ 0 và -A = B) ↔ -B < A < B
│A│ > B ↔ A < -B hay A > B
* Chú ý :│A + B│ = │A│ + │B│ ↔ AB ≥ 0
│A│ + │B│ = A + B ↔ A ≥ 0 và B ≥ 0
II. Phương trình - bất phương trình chứa căn
2
√A = √B ↔ A ≥ 0 (có thể thay bằng B ≥ 0) và A = B
√A = B ↔ B ≥ 0 và A = B
2
3
√A =
3
√B ↔ A = B
3
√A = B ↔ A = B
3
√A < B ↔ A ≥ 0 và B > 0 và A < B

2
√A ≤ B ↔ A ≥ 0 và B ≥ 0 và A ≤ B
2
√A > B ↔ (A ≥ 0 và B < 0) hay (B ≥ 0 và A > B
2
)
√A ≥ B ↔ (A ≥ 0 và B ≤ 0) hay (B > 0 và A ≥ B
2
)
* Chú ý : A > B ↔ A
2
> B
2
với mọi A,B ≥ 0
A > B ↔ A
3
> B
3
với mọi A,B thuộc R
- Phương trình f(x) = g(x) , với mọi x thuộc MXĐ của pt, tồn tại M thuộc R sao cho f(x)
≤ M ≤ g(x). Khi đó pt ↔ f(x) = g(x) = C
- Phương trình
3
√A +
3
√B =
3
√C
Lấy tam thừa 2 vế của pt và thay (
3

√A +
3
√B) bằng
3
√C ta được pt hệ quả :
A + B +
3
√(ABC) = C (sau đó thử lại nghiệm)
D.HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Đặt
- D ≠ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất x = D
x
/D và y = D
y
/D
- D = 0 và (D
x
≠ 0 hay D
y
≠ 0) : hệ vô nghiệm
- D = D
x
= D
y
= 0 : hệ có vô số nghiệm (theo công thức nghiệm tổng quát)
Nhân tiện mình sẽ trình bày hệ phương trình tuyến tính (n phương trình n ẩn)
theo phương pháp Cramer (tham khảo)
Đặt:

Ta gọi A
i
là ma trận được thành lập bằng cách thay phần tử cột i của ma trận A bằng
3
cột của ma trận B (với i = 1,2,....,n)
- Nếu │A│ ≠ 0 ↔ hệ có nghiệm duy nhất (x
1
, x
2
, ... , x
n
) với x
i
= │A
i
│/│A│
- Nếu │A│ = 0 và tồn tại │A
i
│ ≠ 0 → hệ vô nghiệm
- Nếu │A│ = 0 và với mọi i = 1,2,...,n thỏa │A
i
│ = 0 → hệ không có nghiệm duy nhất
(hệ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm)
II. Những dạng hệ phương trình đặc biệt thường gặp
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Thông thường,ta đặt S=x+y&P=xy,được hpt theo S,P→ x,y.Chú ý
với mỗi (S,P), để tồn tại (x,y) thì phải thỏa : S
2
- 4P ≥ 0
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2:

Thông thường,trừ vế với vế 2 pt, ta có pt dạng (x - y).h(x,y) = 0
3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
* Với y = 0 , giải và tìm nghiệm của hệ
* Với y ≠ 0,giả sử (x,y) là 1nghiệm của hệ thì luôn tồn tại 1
số thực k sao cho x = ky
Thay x = ky ta được hệ 2 pt mới
Chia 2 pt trên cho nhau ta được một pt chỉ chứa k.
Tìm được k , suy ra y và x
E.Một số bảng giá trị cần nhớ
4
Nguyễn Tấn Thành sưu tầm
Nguồn:Olympiavn.org
5