Đề thi và đáp án ĐH khối A năm 2006

ĐỀ THI ĐH,CĐ KHỐI A NĂM 2006
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I: ( 2 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
mx12x9x2
2
3
=+−
Câu II: ( 2 điểm)
1. Giải phương trình :
( )
.
sin
cossinsincos
0
x22
xxxx2
66
=
−
−+
2. Giải hệ phương trình :
( )
Ryx
41y1x
3xyyx

∈





=+++
=−+
,
Câu III: (2 điểm)
Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0),
A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
b) Viết ptrình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cosα =
6
1

Câu IV: (2 điểm)
1. Tính tích phân : I =
dx
x4x
x2
2
0
22
∫
π
+
sincos
sin

2. Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x
2
+ y
2
– xy
Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức
33
y
1
x
1
A
+=
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a: Theo chương trình THPT không phân ban ( 2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng :
d
1
:x + y + 3 = 0, d
2
: x – y – 4 = 0, d
3
: x – 2y = 0.
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d
1
bằng hai lần
khoảng cách từ M đến đường thẳng d

2
.
2. Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhò thức Niutơn của
n
4
x
x
1






+
, biết rằng
12CCC
20n
1n2
2
1n2
1
1n2
−=+++
+++
...
Câu V.b: Theo chương trình THPT phân ban thí điểm ( 2 điểm)
1. Giải phương trình : 3.8

x
+ 4.12
x
– 18
x
– 2.27
x
= 0
2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng hciều cao và bằng a. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích
của khối tứ diện OO’AB.


ĐÁP ÁN :
Câu I: ( 2 điểm)
2. Đặt y
1
=





≤−−−−
≥−+−
=−+−
0xnếu4x12x9x2
0xnếu4x12x9x2
4x12x9x2
23

23
2
3
,
,
Ta có đồ thò của y
1
là đồ thò của hàm số ở câu 1 khi x ≥ 0 và lấy đối xứng qua trục Oy khi x ≤ 0
PT đã cho ⇔ m – 4 =
x12x9x2
2
3
+−
Vậy số nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của đồ thò hàm số y
1
và đường thẳng y
1
và đương thẳng y
2
= m –4
Từ đồ thò ta có ycbt ⇔ 0 < m – 4 < 1 ⇔ 4 < m < 5
Câu II: ( 2 điểm)
2.Giải hệ phương trình :
( )
Ryx
41y1x
3xyyx
∈






=+++
=−+
,
Từ (1) ta có : x, y ≥ 0
(1) ⇒ x + y = 3 +
xy
≤ 3 +
2
yx
+
(Cauchy)
⇒ x + y ≤ 6 ⇒ (x +1) + (y + 1) ≤ 8
Theo B.C.S ta có :
4821y1x21y11x14
=≤++≤+++=
.))((...
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x = y =3
Câu III: (2 điểm)
1. Ta có :C(1 ; 1 ; 0), M(
2
1
; 0 ; 0), N(
2
1
; 1 ; 0)
);;(' 111CA
−=

→
);;( 010MN
=
→
);;(' 10
2
1
MA
−=
→
);;(,' 101MNCA
=








→→








→→

MNCA ,'
.
2
1
MA
−=
→
'
⇒ d(A’C, MN) =
22
1
MNCA
MAMNCA
=

















→→
→→→
,'
'.,'
2. Cách 1 :
Pt (A’C) :



=−+
=−
⇔
−
−
==
01zx
0yx
1
1z
1
y
1
x
Mp(P) chứa A’C ⇒ pt(P) : m.(x – y) + n(x + z – 1) = 0 ( m
2
+ n
2
≠ 0)
⇔ (m + n)x – my + nz – n = 0. (Oxy) : z = 0
Ta có :

222
nmnm1
n
6
1
+++
=α=
)(.
cos
⇔ m
2
+ mn – 2n
2
= 0
Chọn n = 1 ⇒ m =1 v m = -2
Vậy (P
1
) : 2x – y + z – 1 = 0 ; (P
2
) : x – 2y – z + 1 = 0
Cách 2 :
PT mp(P) có dạng x – y = 0 (loại)
Hay h(x – y) + (x + z – 1) = 0 với h ∈ R.
Vậy pt mp(P) có dạng : (h + 1)x – hy + z – 1 = 0
Ta có :
222
1h1h1
1
6
1

+++
=α=
)(.
cos
⇔ 2h
2
+ 2h + 2 = 6 ⇔ h
2
+ h – 2 = 0 ⇔ h = 1 v h = -2
Vậy (P
1
) : 2x – y + z – 1 = 0 ; (P
2
) : x – 2y – z + 1 = 0
Câu IV: (2 điểm)
2. Cách 1 :
Đặt S = x + y, P =xy với S
2
– 4P ≥ 0. Từ gt ⇒ S, P ≠ 0
Ta có SP = S
2
– 3P ⇔ P =
3S
S
2
+
22
2
33
33

33
yx
yx
yx
yx
y
1
x
1
A
)( +
=
+
=+=
2
2
2
S
3S
P
S
A






+
==

ĐK : S
2
– 4P ≥ 0 ⇔
0
3S
1S
0
3S
1S
S0
3S
S4
S
2
2
2
≥
+
−
⇔≥






+
−
⇔≥
+

−
(vì S ≠ 0)
⇔ S < - 3 v S > 1 (*)
Đặt h = f(S) =
0
S
3
h
S
3S
2
<
−
=⇒
+
'
, ∀ S thoả (*)
Từ BĐT ta có 0 < h ≤ 4 và h ≠ 1, ∀ S thoả (*) mà A = h
⇒ Max A = 16 khi x = y =
2
1
(S= 1, P =
4
1
)
Cách 2 :
(x + y)xy =
0
xy
yx

y
1
x
1
0
4
y3
2
y
x
2
2
>
+
=+⇒>+






−
y
1
x
1
A
y
1
x

1
yx
yx
y
1
x
1
A
2
33
33
33
+=⇒








+=
+
=+=
Dễ dàng C/m được :
2
ba
2
ba
33

3
+
≤






+
(với a + b > 0)
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b. p dụng với a =
x
1
, b =
y
1
ta có :
16A
2
A
2
A
2
y
1
x
1
2
y

1
x
1
3
3
3
3
≤⇔≤








⇔








+







≤












+
dấu ‘=’ xảy ra khi
2
y
1
x
1
==
. Vậy MaxA = 16
Cách 3 :
S
h’
h
+∞ -∞ -3 1
_

_
1
0
4
1
A =
2
2
P
S
, suy ra
SPS
S3
P
S
A
2
−
==
S
2
– 4P ≥ 0 ⇔
4
1
S
P
0
3
S
P

1
410
3
SPS
4S
2
2
≥⇔≥
−
−⇔≥
−
−
Neân A =
2
2
P
S
≤ 16. Vaäy MaxA = 16 (khi x = y =
)
2
1