Quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ của lepton mang điện ei ejy trong mô hình zee babu (luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HÀ

RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ
HỆ CỦA LEPTON MANG ĐIỆN
ei → ej γ
TRONG MÔ HÌNH ZEE-BABU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ HÀ

RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ
HỆ CỦA LEPTON MANG ĐIỆN
ei → ej γ
TRONG MÔ HÌNH ZEE- BABU
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8 44 01 03
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HUY THẢO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI—2018


Lời cảm ơn
Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn đến TS. Nguyễn Huy Thảo người đã
trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Vật lý
- Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, viện Vật lý đã tận tình chỉ dạy,
trang bị cho tôi những kiến thức vô cùng quý báu trong quá trình học
tập, nghiên cứu.
Tôi xin cảm ơn bạn Nguyễn Thị Quỳnh Lâm đã hướng dẫn tôi về
Mathematica và cảm ơn các bạn cao học khóa 20 đã luôn động viên giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo, phòng sau Đại học trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để chúng tôi học
tập và làm việc.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm tới gia đình đã động viên, ủng hộ và
tạo điều kiện về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 18 tháng 06 năm 2018
Học viên

Nguyễn Thị Hà


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các luận văn đã có. Tôi cũng xin

cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ
rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 18 tháng 06 năm 2018
Học viên

Nguyễn Thị Hà


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu

1

1 Giới thiệu mô hình

5

1.1

Một số mở rộng mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Mô hình Zee - Babu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Các biểu thức giải tích tính tỉ lệ rã nhánh
2.1
2.2

11

Đỉnh tương tác liên quan đến đóng góp bậc 1 vòng và rã
vi phạm số lepton thế hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh . . . . . .

19

3 Khảo sát số

28

Kết luận

31

Phụ lục

31

A Các hàm Passarino- Veltman

32

B Biên độ tán xạ ở gần đúng một vòng của các quá trình
rã ei → ej γ

35


Danh mục các công trình

39


1

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài.
Mô hình chuẩn (Standard model-SM) được phát triển vào đầu
những năm 1970 đã giải thích thành công hầu hết các kết quả thực
nghiệm và dự đoán chính xác rất nhiều hiện tượng. Theo thời gian
và thông qua nhiều thí nghiệm, mô hình chuẩn đã trở thành một lý
thuyết vật lý được kiểm tra kỹ lưỡng. Tất cả vật chất xung quanh
chúng ta đều được tạo thành từ các hạt cơ bản, tạo nên các khối
vật chất. Các hạt này xuất hiện trong hai loại cơ bản gọi là quark
và lepton. Mỗi nhóm bao gồm sáu hạt, có liên quan tới sự kết cặp,
hoặc "thế hệ". Các hạt nhẹ nhất và bền vững nhất tạo thành thế
hệ đầu tiên, trong khi hạt nặng hơn và kém bền hơn thuộc về thế
hệ thứ hai và thứ ba. Tất cả vật chất trong vũ trụ đều được làm từ

các hạt thuộc thế hệ đầu tiên; bất kỳ hạt nặng nào đều dễ dàng bị
phân rã đến mức bền tiếp theo. Sáu quark được kết cặp trong ba thế
hệ - "quark up" và "quark down" tạo thành thế hệ thứ nhất, tiếp
theo là "quark charm" và "quark strange", sau đó là "top quark"
và "bottom quark ". Các quark cũng có ba "màu sắc" khác nhau
và chỉ pha trộn theo những cách như hình thành những vật không
màu. Sáu lepton được sắp xếp tương tự trong ba thế hệ - "electron"
và "neutrino electron", "muon" và " neutrino muon", "tau" và "


2

neutrino tau". Các electron, muon và tau đều có điện tích và khối
lượng, trong khi neutrino có điện tích trung hoà và có khối lượng
rất nhỏ so với các hạt trên.
Mặc dù mô hình chuẩn đã thành công rất lớn trong giải thích và
dự đoán nhiều kết quả thực nghiệm, tuy nhiên chúng ta cần phải
xem xét mô hình vật lý mới ( Beyond the SM- BSM) vượt ra ngoài
mô hình chuẩn, bởi vì có những hiện tượng không thể giải thích
được trong mô hình chuẩn như là dao động neutrino và sự tồn tại
của vật chất tối. Do đó, các hạt mới dự đoán bởi các mô hình BSM
đang hi vọng sẽ được tìm thấy ở máy va chạm hadron năng lượng
lớn, 13 và 14 TeV, có thể là bằng chứng trực tiếp của các mô hình
vật lý mới.
Các mô hình sinh khối lượng neutrino qua các đóng góp nhiễu
loạn bậc cao (khối lượng bổ đính) đưa ra một viễn cảnh vật lý mới
hấp dẫn để giải thích neutrino có khối lượng nhỏ được tạo ra ở các
bậc nhiễu loạn một hay nhiều vòng. Do sự xuất hiện các hệ số tích
phân vòng có giá trị nhỏ, việc sinh khối lượng neutrino cực nhỏ để
phù hợp thực nghiệm có thể cho phép khối lượng của các hạt mới

nhận giá trị ở phạm vi TeV, trong giới hạn phát hiện của LHC và
các máy gia tốc đang được dự kiến xây dựng. Hệ quả là, các dự
đoán của mô hình khối lượng neutrino bổ đính có thể được kiểm
tra trực tiếp bằng thực nghiệm va chạm. Các mô hình Zee và mô
hình Zee-Babu đã được đề xuất trong những năm 1980, trong đó
khối lượng Majorana tương ứng được tạo ra ở bậc một vòng và bậc
hai vòng.
Trong số các mô hình khối lượng neutrino khác nhau, mô hình
Zee-Babu là mô hình được xây dựng theo một cách khá đơn giản.
Mô hình chỉ thêm vào SM 2 cặp đơn tuyến Higgs mang điện đơn


3

và đôi, đủ để sinh khối lượng bổ đính cho neutrino ở bậc hai vòng.
Như ta đã biết, neutrino dao động là quá trình vi phạm sự bảo
toàn số lepton thế hệ. Các hạt mới thêm vào sinh ra các tương tác
vi phạm số lepton, sinh ra các hệ quả là các quá trình rã vi phạm
số lepton thế hệ (Lepton flavor violation-LFV) xuất hiện ở chính
các hạt lepton mang điện trong SM. Vì vậy chúng có thể được thực
nghiệm tìm kiếm dễ dàng ở mức năng lượng thấp. Những quá trình
rã vi phạm này sẽ là chứng cứ thuyết phục về tín hiệu vật lý mới
vượt ngoài phạm vi mô hình chuẩn, nếu thực nghiệm tìm thấy trong
thời gian tới. Do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Rã vi phạm
số lepton thế hệ của lepton mang điện ej → ej γ trong mô hình
Zee-Babu.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tính tỉ lệ rã nhánh ( Br – Branching ratio ) cho quá trình rã
ei → ej γ trong mô hình Zee - Babu, so sánh kết quả với thực
nghiệm.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu về mô hình Zee.
• Tính biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh của quá trình rã ei → ej γ.
• Khảo sát số và so sánh với thực nghiệm.
4. Đối tượng nghiên cứu.
• Quá trình rã ei → ej γ trong mô hình Zee - Babu.
5. Phương pháp nghiên cứu.
• Quy tắc Feynman.
• Lí thuyết trường lượng tử.


4

• Ứng dụng phần mềm Mathematica trong giải số.


5

Chương 1
Giới thiệu mô hình
1.1

Một số mở rộng mô hình chuẩn

Việc nghiên cứu tìm kiếm khối lượng neutrino đã được tiến hành cách
đây khoảng 30 năm [1, 2], tuy nhiên 10 năm gần đây chúng ta mới có
những dữ liệu thực nghiệm đủ mạnh để khẳng định rằng các neutrino
là trộn và có khối lượng [3, 4, 5, 6]. Những nghiên cứu này đã giải thích
phù hợp cho dữ liệu neutrino mặt trời, dữ liệu neutrino khí quyển, các
thí nghiệm về neutrino dựa trên giả thuyết các neutrino là trộn và dao

động. Sử dụng giả thuyết này tất cả các dữ liệu neutrino có thể được
giải thích phù hợp với chỉ hai bình phương khối lượng và ba góc trộn.
Những khám phá về neutrino ở cả lý thuyết và thực nghiệm hiện tại
là những bước tiến lớn trong hiểu biết của nhân loại về vật lý neutrino.
Đây vừa là cơ hội, cũng vừa là thách thức đối với Mô hình chuẩn (SM).
SM - Lý thuyết thống nhất tương tác phù hợp rất tốt với thực nghiệm
phải đối diện với các câu hỏi mở là neutrinos có khối lượng bằng 0 vì
một trong hai lý do: thứ nhất Mô hình này không chứa neutrinos phân
cực phải, do đó không thể có neutrino Dirac, thứ hai khi tái chuẩn hóa
Mô hình chuẩn với thành phần Higgs tối thiểu, định luật bảo toàn số
lepton sẽ không cho khối lượng majorana. Do đó, để các neutrino nhận
được khối lượng, ta cần phải thực hiện một số các cách sau:


6

• Thêm các neutrino phân cực phải.
• Thêm các trường mới có thể cho phép vi phạm số lepton trong khi
vẫn giữ được tính tái chuẩn hóa của mô hình.
• Bỏ qua điều kiện tái chuẩn hóa của mô hình.
Phương án cuối là rất tổng quát và cho phép neutrino nhận được
khối lượng mà không động chạm đến các trường của mô hình chuẩn.
Tuy nhiên theo phương án này khả năng dự đoán của mô hình là rất
giới hạn và chỉ thực có ý nghĩa khi tham số hóa ở năng lượng thấp. Trong
lý thuyết hoàn chỉnh hơn chứa những hạt nặng không phải là hạt của
mô hình chuẩn.
Phương án thêm neutrino phân cực phải có lẽ là đơn giản nhất và
có nghiệm gọn nhất: Nếu các neutrino là giống các fermion khác điều
này là hoàn toàn tự nhiên khi xét đến tương tác của các neutrino phân
cực phải, neutrino phân cực trái và vô hướng Higgs. Cũng giống như các

fermion khác neutrino trong trường hợp này nhận được khối lượng Dirac.
Trong trường hợp này người ta dễ dàng thu được tương tác Yukawa khối
lượng và các góc trộn neutrino.
Mặc dù vậy các neutrino không giống như các fermion trong mô hình,
khối lượng của chúng nhỏ hơn rất nhiều so với một eV. Thêm vào đó
sự xuất hiện của các neutrino phân cực phải là hoàn toàn tự nhiên liên
quan đến nhóm biến đổi chuẩn, do vậy sẽ xuất hiện số hạng khối lượng
majorana phân cực phải trong SM. Thực tế người ta cho rằng nếu khối
lượng neutrino là rất lớn ta có thể giải thích một cách tự nhiên neutrino
nhận khối lượng nhỏ với cơ chế seesaw. Vì tất cả các đặc điểm trên, SM
với neutrino phân cực phải sẽ trở thành cơ chế chuẩn sinh khối lượng
neutrino. Tuy nhiên mô hình này cũng không phải là toàn mỹ: Đóng góp
cho các neutrino majorana nặng là thông qua hiệu ứng một vòng, khối
lượng Higgs với số hạng tỉ lệ với bình phương của khối lượng majorana


7

phân cực phải. Nếu khối lượng này là lớn thì khối lượng của các Higgs
sẽ rất lớn điều này dẫn tới bài toán khó khác đó là vấn đề phân bậc của
SM.
Phương án thêm các trường mới vào SM là khả thi hơn cả. Nhưng
trước tiên nếu không có neutrino phân cực phải, các trường này sẽ không
bảo toàn số lepton và các neutrino nhận được khối lượng majorana. Do
các lý thuyết về siêu đối xứng giải quyết rất tốt vấn đề phân bậc nên
người ta thường mở rộng SM theo hướng siêu đối xứng để thu được khối
lượng neutrino. Một số mô hình nổi tiếng là: [7, 8, 9, 10]. Tất cả các mô
hình này đều sử dụng neutrino để sinh khối lượng cho neutrino. Các mô
hình siêu đối xứng là những lý thuyết rất tốt tuy nhiên cho đến hiện tại
chúng ta vẫn chưa tìm được hạt siêu đối xứng.

Ngoài ra ta có thể sử dụng phương án thêm các trường vô hướng mới
vào SM theo cách mà số lepton không được bảo toàn một cách tự động
[11, 12, 13, 14, 15, 16]. Cơ chế seesaw có thể coi là cơ chế tự nhiên nhất
sinh khối lượng cho neutrino. Hiện tại thực nghiệm đang gia tăng các dự
đoán chính xác cho quá trình µ → eγ. Mô hình đơn giản nhất sinh khối
lượng cho neutrino chính là mô hình Zee-Babu (ZB) [18,19,20]. Mô hình
này chỉ thêm hai đơn tuyến vô hướng phức vào SM (Mô hình này có 4
bậc tự do mới). Khi đó neutrino nhận được khối lượng ở bậc 2 vòng. Một
mô hình thú vị khác thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học
là mô hình Zee [17]; mô hình này có sự khác biệt là thêm lưỡng tuyến
vô hướng và một đơn tuyến vô hướng phức vào SM (Mô hình này có 6
bậc tự do mới), tuy nhiên phiên bản đơn giản nhất của mô hình này cho
dự đoán chưa tốt về sự trộn giữa các neutrino [24, 25, 26]. Trong luận
văn này chúng tôi tập chung vào nghiên cứu mô hình ZB. Mô hình này
neutrino nhận khối lượng ở bậc 2 vòng, tỉ lệ với tương tác Yukawa của
các hạt mới và tỉ lệ nghịch với bình phương khối lượng của các hạt. Do


8

đó khối lược các trường vô hướng không quá lớn trong khi khối lượng
neutrino nhận được lại rất nhỏ. Đây là đặc điểm khá thú vị bởi vì các
hạt vô hướng mới có thể được tìm kiếm bởi máy gia tốc LHC và quá
trình trung gian µ → eγ cũng là quá trình được quan tâm nghiên cứu
trong dự án thực nghiệm này.

1.2

Mô hình Zee - Babu

ZB là mô hình mở rộng đơn giản từ mô hình chuẩn cho khối lượng và
các góc trộn neutrino phù hợp với thực nghiệm. Mô hình Zee-BaBu vẫn
giữ nguyên nhóm đối xứng chuẩn và phổ hạt fermion giống như mô hình
chuẩn. Tuy nhiên, phần phổ Higgs trong mô hình Zee-BaBu sẽ được mở
rộng hơn mô hình chuẩn. Cụ thể, ngoài lưỡng tuyến Higgs trong mô hình
chuẩn thì Babu đã giới thiệu thêm hai đơn tuyến Higgs mang điện tích,
một hạt mang điện tích đơn h+ , và một hạt mang điện tích đôi k ++ .
Tương tác Yukawa mới trong mô hình có dạng:
+
++
e
C
C
¯
+ h.c., (1.1)
LZB
Y = ψaL Y ebR H + fab (ψaL ) iσ2 ψbL h + gab (laR ) lbR k

trong đó ψaL là lưỡng tuyến lepton và lR là các đơn tuyến lepton mang
T

điện của mô hình chuẩn. Các ký hiệu (ψaL )C = CψaL và (laR )C = ClaR

T

là các trường liên hợp điện tích tương ứng. Các hệ số tương tác fab và
gab cho tương ứng các ma trận phản xứng và đối xứng, fab = −fba và
gab = gba . Chỉ số a, b là các chỉ số thế hệ. Điều kiện bất biến chuẩn dẫn
đến h+ và k ++ không tương tác với các quark.
Phổ hạt của mô hình ZB:

• lepton:
Số lepton phân cực trái được xếp vào lưỡng tuyến của nhóm SU (2)L
và siêu tích yếu bằng tổng các điện tích của lưỡng tuyến. Số lepton


9

phân cực phải được xếp vào đơn tuyến của nhóm SU (2)L và có siêu
tích bằng hai lần tổng điện tích của lưỡng tuyến.
ψiL =

νi
ei

∼ (1, 2, −1),

liR ∼ (1, 1, −2),

(1.2)

L

với i = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ.
• quark:
Số quark phân cực trái được xếp vào lưỡng tuyến của nhóm SU (2)L
và siêu tích yếu bằng tổng các điện tích của lưỡng tuyến. Các quark
phân cực phải được xếp vào đơn tuyến của nhóm SU (2)L và có siêu
tích bằng hai lần tổng điện tích của lưỡng tuyến.

uiL

QiL =
uiR =
diR =

diL

1
∼ (3, 2, ), i = 1, 2, 3
3

4
, ui = u, c, t
3
2
3, 1, −
, di = d, s, b
3
3, 1,

(1.3)

Để cho các hạt có khối lượng cần thiết, ta phải phá vỡ đối xứng tự
phát qua các trường Higgs

H=

ϕ+
ϕ0

∼ (2, 1)

(1.4)

Thực hiện khai triển theo chuẩn Unita
1
v
ϕ 0 (x) = √ [v + h(x) + iξ(x)] ≡ √ + ϕ0
(1.5)
2
2
Trong đó √v2 là trung bình chân không của trường ϕ 0 (x). Hệ số √12
là cần thiết cho Lagrangian tự do của h(x) là trường vô hướng thực có
hệ số bằng

1
2


10

v
0|ϕ 0 (x)|0 = √
2

(1.6)

Ta viết lại lưỡng tuyến Higgs như sau:

H =

ϕ+
ϕ0

ϕ+

=

√1
2

[v + h(x) + iξ(x)]

+
ϕ


+  h(x) + iξ(x)  ≡ H + H 0
√
2


=

0
√v
2

(1.7)

Khai triển số hạng thế năng với trung bình chân không
1
H =√
2

0
v

; H

T

1
=√
2

0 v

Ta được:
H + H = 0 + v2 = v2

(1.8)

Khi đó:
VZB =mH2 v 2 + mh2 |h|2 + mk2 |k|2 + λH v 4 + λh |h|4
+ λk |k|4 + λhk |h|2 |k|2 + λhH |h|2 v 2 + λkH |k|2 v 2
+ µh2 k ++ + H.c.,
VZB =mH2 v 2 + mh2 + λhH v 2 |h|2 + mk2 + λkH v 2 |k|2 + λH v 4
+ λh |h|4 + λk |k|4 + λhk |h|2 |k|2 + µh2 k ++ + H.c.,
Từ (1.9), khối lượng vô hướng vật lý được xác định là:

m2h = mh2 + λhH v 2 ; m2k = mk2 + λkH v 2

(1.9)


11

Chương 2
Các biểu thức giải tích tính tỉ lệ rã
nhánh
2.1

Đỉnh tương tác liên quan đến đóng góp bậc 1
vòng và rã vi phạm số lepton thế hệ

Xét tương tác giữa 2 fecmion với một Higgs. Khai triển số hạng:
C l k ++
gab laL
bR

(2.1)

Ta có:
(laR )C = laC PR ,
lbR = PR lb
C
gab¯laL
lbR k ++ + H.c., = gab¯laC PR lb k ++ + H.c.,

Ta xét các lepton là các hạt : e, µ, τ trong SM. Điều kiện đối xứng ma

trận hệ số tương tác g dẫn đến gab = gba . Hệ quả là qui tắc Feynman
cho các đỉnh tương tác của số hạng Lagrangian nói trên được xác định
như sau:
Xét trường hợp 1:
a = b = e ⇒ gab laC PR lb k ++ + H.c.,


12

= gee eC PR ek ++ + H.c.,
∗
= gee eC PR ek ++ + gee
ePL eC k −− .

Do eC = CeT nên eC = eT C. Vì vậy số hạng trên biễu diễn được theo
tính hai hàm giống nhau theo e hoặc eC . Qui tắc Feynman tương ứng
sẽ xuất hiện thêm hệ số 2 ở hệ số đỉnh tương tác. Điều này đã được xác
nhận trong tài liệu [19], nhưng bị bỏ qua ở tài liệu [20]. Hệ quả là hệ số
đỉnh theo qui tắc Feynman tính được như sau:
eC ek ++ → 2i × gee PR ,

∗
eeC k −− → 2i × gee
PL ,

và được liệt kê trong bảng 2.1.
Tương tự xét cho trường hợp 2:
a = b = µ ⇒ gab¯laC PR lb k ++ + H.c.,
= gµµ µ¯C PR µk ++ + H.c.,
= gµµ µ¯C PR µk ++ + gµµ µ

¯PL µC k −−
Xét trường hợp 3:
a = b = τ ⇒ gab¯laC PR lb k ++ + H.c.,
= gτ τ τ¯C PR τ k ++ + H.c.,
= gτ τ τ¯C PR τ k ++ + gτ τ τ¯PL τ C k −−
Với các số hạng chứa hai lepton khác thế hệ, hệ số đỉnh tính được như
sau.
Xét trường hợp 4:
a=e
b=µ
⇒ gab laC PR lb k ++ + H.c.,
= geµ eC PR µ + gµe µC PR e k ++ + H.c.,


13

= 2geµ e¯C PR µk ++ + H.c.,
∗
= 2geµ e¯C PR µk ++ + 2geµ
e¯PL µC k −−
∗
= 2gµe µ¯C PR ek ++ + 2gµe
µ
¯PL eC k −− .

Trong các biến đổi trung gian, chúng tôi đã sử dụng hệ thức ψaC PL,R ψb =
ψbc PL,R ψa .
Kết quả hệ số đỉnh theo qui tắc Feyman là:
eC µk ++ → 2i × geµ PR ,

∗
e µC k −− → 2i × geµ
PL ,

µC ek ++ → 2i × gµe PR ,

∗
µ eC k −− → 2i × gµe
PL ,

và được liệt kê trong bảng 2.1.
Tương tự ta có các trường hợp còn lại.
Xét trường hợp 5:
a=e
b=τ
⇒ gab¯laC PR lb k ++ + H.c.,
= 2geτ e¯C PR τ k ++ + H.c.,
= 2geτ e¯C PR τ k ++ + 2geτ e¯PL τ C k −−
Xét trường hợp 6:
a=µ
b=τ
⇒ gab¯laC PR lb k ++ + H.c.,
= 2gµτ µ¯C PR τ k ++ + H.c.,
= 2gµτ µ¯C PR τ k ++ + 2gµτ µ
¯PL τ C k −−
Xét trường hợp 7:
a=τ
b=µ

14

⇒ gab¯laC PR lb k ++ + H.c.,
= 2gτ µ τ¯C PR µk ++ + H.c.,
= 2gτ µ τ¯C PR µk ++ + 2gτ µ τ¯PL µC k −−
Tính đỉnh tương tác của hai fermion với một higgs trung hòa.
Ta có:

√
Ye =−

2me
v
√

2me
LeY ⊃ ψ¯aL Y e ebR H + H.c. = −(¯
νaL e¯aL )
ebR
v
√
h
2me
e¯aL √ ebR + H.c.
=−
v
2
me
= − e¯a PR hPR eb + H.c.,
v

me
= − e¯a hPR eb + H.c.,
v
me
= − (¯
ea PR ea h + e¯a PL ea h)
v
me
= − e¯a ea h
v

0
√h
2

+ H.c.

Có
v=

2mW
g

Xét tương tác giữa Higgs mang điện đơn và các lepton
fab (ψaL )C iσ2 ψbL h+ + H.c.,

ψ=

νaL

; ψbL =

eaL

(ψaL )C =
σ2 =

C eC
νaL
aL

o −i
i

0

νbL
ebL

(2.2)


15

o

⇒ iσ2 =
⇒ (ψaL )C i σ2 ψbL h+ =

1

−1 0
o

C eC
νaL
aL

1

νbL

−1 0

ebL

νbL

=

C
−eCaL νaL

=

C e
−eCaL νbL νaL
bL

ebL

h+

h+
h+

Vậy khi đó biểu thức (2.2) có dạng:
fab

C e
−eCaL νbL νaL
bL

h+ + H.c.,

C e h+ + H.c.,
= −fab eCaL νbL h+ + fab νaL
bL

(2.3)

C e
eCaL νbL = νaL
bL

(2.4)

Ta lại có:

(Do đó số hạng −fab eCaL νbL trong biểu thức (2.3) có thể viết được như

C e
C
sau −fab eCaL νbL = −fab νbL
aL = −fba νaL ebL )

Do tính chất phản xứng: −fba = fab
C e
C
Suy ra : −fba νaL
bL = fab νaL ebL

Khi đó, biểu thức (2.3) được viết lại như sau:
fab

C e
−eCaL νbL νaL
bL

C e h+ + H.c., (2.5)
h+ + H.c., = 2fab νaL
bL

Mặt khác, ta lại có:
C
νaL
= PR νaC
C = νC P
νaL
a L

ebL = PL eb
Khi đó, biểu thức (2.2) được viết lại như sau:
fab (ψaL )C iσ2 ψbL h+ + H.c., = 2fab νaC PL eb h+ + H.c.,

(2.6)


16
∗
eb PR νaC h−
= 2fab νaC PL eb h+ + 2fab

Xét từng trường hợp cụ thể cho các lepton
Trường hợp 1: a = b = e thì
∗
fab (ψaL )C iσ2 ψbL h+ + H.c. = 2fee νeC PL ee h+ + 2fee
ee PR νeC h−

Trường hợp 2: a = b = µ thì
∗
fab (ψaL )C iσ2 ψbL h+ + H.c. = 2fµµ νµC PL eµ h+ + 2fµµ
eµ PR νµC h−

Trường hợp 3: a = b = τ thì
fab (ψaL )C iσ2 ψbL h+ + H.c. = 2fτ τ ντC PL eτ h+ + 2fτ∗τ eτ PR ντC h−
Trường hợp 4: a = µ, b = τ thì
∗
eτ PR νµC h−
fab (ψaL )C iσ2 ψbL h+ + H.c. = 2fµτ νµC PL eτ h+ + 2fµτ

Trường hợp 5: a = µ, b = e thì
∗
ee PR νµC h−
fab (ψaL )C iσ2 ψbL h+ + H.c. = 2fµe νµC PL ee h+ + 2fµe

Trường hợp 6: a = τ, b = e thì
fab (ψaL )C iσ2 ψbL h+ + H.c. = 2fτ e ντC PL ee h+ + 2fτ∗e ee PR ντC h−
Trường hợp 7: a = e, b = τ thì
∗
fab (ψaL )C iσ2 ψbL h+ + H.c. = 2feτ νeC PL eτ h+ + 2feτ
eτ PR νeC h−

Tại đỉnh tương tác hai Higgs mang điện và phôtôn:
Ta xét đạo hàm hiệp biến của h+ , k ++ :
Dµ h+ = (∂µ − igta Aµa − ig

Bµ
2 Y

)h+ = (∂µ − ig Bµ )h+

(Dµ h+ )† = (∂µ + ig Bµ )h−


17

Dµ k ++ = (∂µ − 2ig Bµ )k ++
(Dµ k ++ )† = (∂µ + 2ig Bµ )k −−
(do ta = 0, Y (h+ ) = 2, Y (k ++ ) = 4)
Khai triển hàm Lagrangian ta được:

L = (∂µ + ig B µ )h− (∂ µ − ig B µ )h+
+ (∂µ + 2ig Bµ )k −− (∂ µ − 2ig B µ )k ++ + H.c.,
= (∂µ h− + ig Bµ h− )(∂ µ h+ − ig B µ h+ )
+ (∂µ k −− + 2ig Bµ k −− )(∂ µ k ++ − 2ig B µ k ++ ) + H.c.,
= ∂µ h− ∂ µ h+ − ∂µ h− ig B µ h+ + ig Bµ h− ∂ µ h+ − i2 g 2 Bµ h− B µ h+
+ ∂µ k −− ∂ µ k ++ − ∂µ k −− 2ig B µ k ++ + 2ig Bµ k −− ∂ µ k ++
− 4i2 g 2 Bµ k −− B µ k ++ + H.c.,
= ∂µ h− ∂ µ h+ − ig (∂µ h− B µ h+ − Bµ h− ∂ µ h+ ) − i2 g 2 (Bµ h− B µ h+
+ 4Bµ k −− B µ k ++ ) + 2ig Bµ k −− ∂ µ k ++ − 4i2 g 2 Bµ k −− B µ k ++ + H.c.,
= ∂µ h− ∂ µ h+ − ig (∂µ h− B µ h+ − Bµ h− ∂ µ h+ ) − i2 g 2 (Bµ h− B µ h+
+ 4Bµ k −− B µ k ++ ) − 2ig (∂µ k −− B µ k ++ − Bµ k −− ∂ µ k ++ )
+ ∂µ k −− ∂ µ k ++ + H.c.,

(2.7)

Có:
Aµ3 = cos θW Zµ + sin θW Aµ
Bµ = − sin θW Zµ + cos θW Aµ
= − sin θW Zµ + cW Aµ = cW Aµ
(Vì không có thành phần Zµ )
Thay Bµ vào Lagrangian ta được:
L = − ig (∂µ h− cW Aµ h+ − cW Aµ h− ∂ µ h+ ) − 2ig (∂µ k −− cW Aµ k ++
− cW Aµ k −− ∂ µ k ++ ) + ∂µ h− ∂ µ h+ − i2 g 2 (Bµ h− B µ h+


18

+ 4Bµ k −− B µ k ++ ) + ∂µ k −− ∂ µ k ++ + H.c.,
= − ig ∂µh− CW Aµ h+ + ig cW Aµ h− ∂ µ h+ − 2ig ∂µ k −− cW Aµ k ++
+ 2ig cW Aµ k −− ∂ µ k ++ + ∂µ h− ∂ µ h+ − i2 g 2 (Bµ h− B µ h+

+ 4Bµ k −− B µ k ++ ) + ∂µ k −− ∂ µ k ++ + H.c

(2.8)

Ta chỉ xét tương tác giữa một photon và 2 Higgs. Ta có:
∂µ h+ = −ipµh+ h+ ; ∂ µ h− = −ipµh− h−

(2.9)

L = − ig (−ipµh− h− )cW Aµ h+ + ig cW Aµ h− (−ipµh+ h+ )
− 2ig (−ipk−−µ k −− )cW Aµ k ++ + ∂µ k −− ∂ µ k ++
+ 2ig cW Aµ k −− (−ipµk++ )k ++ + ∂µ h− ∂ µ h+
− i2 g 2 (Bµ h− B µ h+ + 4Bµ k −− B µ k ++ ) + H.c.,

(2.10)

Có:
xµ y µ = xµ yµ , pµ γ µ = γµ pµ
L = − g cW ph− µ h− Aµ h+ + g cW Aµ h− pµh+ h+ − 2g cW pk−− µ Aµ k ++
+ 2g CW Aµ k −− pµk++ k ++ + ∂µ h− ∂ µ h+ − i2 g 2 (Bµ h− B µ h+
+ 4Bµ k −− B µ k ++ ) + ∂µ k −− ∂ µ k ++ + H.c.,
= − g cW Aµ h− h+ (pµh+ − pµh− ) − 2g cW Aµ k −− k ++ (pk−− µ − pk++ µ )
+ ∂µ h− ∂ µ h+ − i2 g 2 (Bµ h− B µ h+ + 4Bµ k −− B µ k ++ )

(2.11)

+ ∂µ k −− ∂ µ k ++ + H.c.,
Ta lại có:
g CW = gtW CW = gsW = e
L = − e(ph+ − ph− )µ h− Aµ h+ − 2e(pk−− − pk++ )µ k −− Aµ k ++

+ ∂µ h− ∂ µ h+ − i2 g 2 (Bµ h− B µ h+ + 4Bµ k −− B µ k ++ )
+ ∂µ k −− ∂ µ k ++ + H.c.,
Đỉnh tương tác được liệt kê trong bảng 2.1.

(2.12)


19

Đỉnh

2.2

Bảng 2.1: Đỉnh tương tác
Hệ số
Đỉnh

Hệ số

τ C τ k ++

2igτ τ PR

τ τ C k −−

2igτ∗τ PL

µC µk ++

2igµµ PR

µµC k −−

∗
PL
2igµµ

eC ek ++

2igee PR

eeC k −−

∗
2igee
PL

eC µk ++

2igeµ PR

eµC k −−

∗
2igeµ
PL

eC τ k ++

2igeτ PR

eτ C k −−

∗
2igeτ
PL

µC τ k ++

2igµτ PR

µτ C k −−

∗
PL
2igµτ

τ C µk ++

2igτ µ PR

τ µC k −−

2igτ∗µ PL

ea ea h

me
−ig 2m
W

h− Aµ h+

−ie(ph+ − ph− )µ

k −− Aµ k ++

−2ie(pk−− − pk++ )µ

+

νeC ee h

2fee PL

∗
PR
2fee

νµC eµ h+

2fµµ PL

ντC eτ h+

2fτ τ PL

νµC eτ h+

2fµτ PL

νµC ee h+

2fµe PL

νeC eτ h+

2feτ PL

ντC ee h+

2fτ e PL

ee νeC h−
eµ νµC h−
eτ ντC h−
eτ νµC h−
ee νµC h−
ee ντC h−
ee ντC h−

∗
PR
2fµµ

2fτ∗τ PR
∗
PR
2fµτ
∗

PR
2fµe
∗
PR
2feτ

2fτ∗e PR

Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh

Xem xét quá trình rã vi phạm của lepton mang điện ei → ej γ, trong
đó (ei , ej ) = (τ, µ), (τ, e), (µ, e). Biên độ rã được viết dưới dạng :
M = 2(p. )[CL u¯j (p2 )PL u1 (p1 ) + CR u¯j (p2 )PR u1 (p1 )]
+ DL u¯j (p2 ) PL u1 (p1 ) + DR u¯j (p2 ) PR u1 (p1 )
với

µ

là vectơ phân cực của photon. Từ điều kiện bất biến chuẩn dẫn

tới mối liên hệ của hai số hạng DL , R và CL , R :
DL = −m1 CR − m2 CL , DR = −m1 CL − m2 CR