5 CHUYEN DE PHUONG TRINH CHO CAU V THI VAO LOP 10

PHƯƠNG TRÌNH
I. PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ
2
Bài 1. Giải phương trình: x 

Bài 1. Giải phương trình: x 
2

9 x2

 x  3

2

 40

2

 5.

4x2

 x  2

Bài 2. Giải phương trình:  x 2  1  3x  x 2  1  2 x 2  0
2

Bài 3. Giải phương trình:  x 2  x  1  4 x 4  3 x 2  x 2  x  1
4





Bài 4. Giải phương trình: x 4   x  1 x 2  2 x  2 0.
Bài 5. Giải phương trình:

4x
3x
 2
1
4 x  8 x  7 4 x  10 x  7
2

2
Bài 6. Giải phương trình:  x  3  x  5   x  6   x  10   24 x







Bài 7. Giải phương trình: x 2  3 x  3 x 2  2 x  3 2 x 2 .
Bài 8. Giải phương trình: x 4  x3  2 x 2  2 x  4  0.
Bài 9. Giải phương trình: x 4  2 x 3  2 x 2  6 x  9  0.
Bài 10.Giải phương trình:  x  3   x  5   16.
4

4

Bài 11. Giải phương trình:  x  2    x  3  1.
4

4

Bài 12.Giải phương trình:  4  x    x  2   32.
5

Bài 13.Giải phương trình:

x  x 2  56 

4  7x
toán-ĐHSP Hà Nội)
II. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

5



21x  22
 4 (Thi vào lớp 10 năm 2014 của chuyên
x3  2

Bài 1. Giải phương trình: 4  2 x  x 2  x  2
Bài 2. Giải phương trình: x  4  1  x  1  2 x
Bài 3. Giải phương trình: x  3  2 x x  1  2 x  x 2  4 x  3
Bài 4. Giải phương trình: x 2  x  5  5
Bài 5. Giải phương trình: x  3  3x  1  2 x  2 x  2
Bài 6. Giải phương trình: 3 x  1  3 x  2  3 x  3  0

Bài 7. Giải phương trình: x 2  2 x  1  4 x2  4 x  1  4
1
1 1
  2 x 3  x 2  2 x  1
4
4 2
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của TP Hà Nội)

Bài 8. Giải phương trình: x 2   x 2  x 

1


Bài 9. Giải phương trình: ( x  4)( x  1)  3 x 2  5 x  2  6
Bài 10.

Giải phương trình:

Bài 11.

x2 1
 3x  1
Giải phương trình: x  2 x
x

2 x  3  x  1  3 x  2 2 x 2  5 x  3  16
2

Giải phương trình: x 2  4 x  7   x  4  x 2  7
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011 của TP Hà Nội)

Bài 12.
Bài 13.

Giải phương trình: x 2  2( x  1) x 2  x  1  x  2  0

Bài 14.

Giải phương trình:

Bài 15.

Giải phương trình: 2( x 2  2)  5 x 3  1

Bài 16.

Giải phương trình: 2( x 2  2)  5 x 3  1

Bài 17.

2
2
4
2
Giải phương trình: 2 2 1  x  1  x  1  x  3 x  1

Bài 18.

Giải phương trình: x 2  3x  1  

Bài 19.

Giải phương trình:

8 x  1  3x  5  7 x  4  2 x  2

Bài 20.

Giải phương trình:

x  2  4  x  2 x  5  2 x2  5x

Bài 21.

Giải phương trình: 3 2 x  1  2 3 4  3 x  13.

Bài 22.

Giải phương trình: 4 x  1  x 2  5 x  14

Bài 23.

Giải phương trình: x  x  4  2 x  1  0

Bài 24.

Giải phương trình: 4 x 2  14 x  11  4 6 x  10

3

2  x  x 1  1





3 4
x  x2  1
3

Bài 25.

Giải phương trình: x 2  2 x  2 2 x  1  2  0
(Đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội năm học 2013-2014)

Bài 26.

Giải phương trình: 4 x3  3x 2  3x  1  0

Bài 27.

Giải phương trình: 2 x 2  11x  21  3 3 4 x  4

Bài 28.

Giải phương trình:

x  2  10  x  x 2  12 x  40

Bài 29.

Giải phương trình:

x2  x  1  x  x2  1  x2  x  2

PHƯƠNG TRÌNH
2


I. PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ
Dạng 1: Phương trình dạng x 
2

a2 x2

 x  a

2

b

2



ax
� ax �
b
�x 
� 2 x.

xa
� xa�
2

� x2 �
� x2 �
��

2
a
.
�
�
� b
�x  a �
�x  a �

Sau đó đặt ẩn phụ y 

x2
xa

VD: Giải phương trình
9 x2
2
x

 40 Đáp số 2;6
a)
2

 x  3
b)

x 
2

4x2

 x  2

2

 5. Đáp số 1; 2

Dạng 2: Phương trình dạng A. f  x   2  B. f  x .g  x   C. g  x   2 0
 Chia cả hai vế cho  g  x   2 , rồi đặt t 

f  x

g  x

Ví dụ: Giải phương trình:
a)
b)

x
x

2

 1  3x  x 2  1  2 x 2  0 Đáp số 1

2

 x  1  4 x 4  3 x 2  x 2  x  1 Đáp số 1

2

4





c) x 4   x  1 x 2  2 x  2 0.
Ax
Bx
 2
e.
Dạng 3.
2
ax  bx  c ax  dx  c
 Chia cả từ và mẫu số của mỗi phân số cho x rồi đặt ẩn t  x 

c

x

4x
3x

1 7
 2
 1 Đáp số ;
2 2
4 x  8 x  7 4 x  10 x  7
2

2

Dạng 4. Phương trình hồi quy ax 4  bx 3  cx 2  dx  e 0, với
Ví dụ: Giải phương trình:
a) x 4  x3  2 x 2  2 x  4  0. Đáp số 1; 2
b) x 4  2 x3  2 x 2  6 x  9  0. Đáp số 1;3
Dạng 5. Phương trình dạng  x  a    x  b   c
4

Phương pháp đặt t  x 

4

ab
2

VD: Giải các phương trình

3

a b
  .
e d

a)  x  3   x  5   16. Đáp số: 5; 3.
4

4

b)  x  2    x  3  1. Đáp số: 2;3.
4

4

c)  4  x    x  2   32. Hướng dẫn: Đặt y  x  3. Đáp số: 4; 2
5

5

II. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Phương pháp 1: Biến đổi
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Bài 1: Giải phương trình 4  2 x  x 2  x  2
Giải:
4  2x  x2  x  2
�
�x  2 �0
��
2
4  2 x  x2   x  2
�
�x �2

�� 2
2x  6x  0
�
�x �2
�
� ��
x0
��
x3
��
� x3

Vậy S   3
Bài 2: Giải phương trình

x  4  1  x  1  2x

Giải:
1
ĐKXĐ: 4 �x �
2
x  4  1  x  1  2x
�

x  4  1  x  1  2x

� x  4  2  3x  2  1  x   1  2 x 
� 2 x  1  1  3x  2 x 2
2 x  1 �0
�

�
��
2
 2 x  1  1  3x  2 x 2
�
1
�
�x �
��
2
2
�
2x  7x  0
�
� x0
Ta thấy x=0 thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình.
Vậy S   0
Dạng 2: Biến đổi đưa về phương trình tích

4


Bài 1: Giải phương trình

x  3  2x x  1  2 x  x2  4x  3

Giải:
ĐKXĐ: x �1
x  3  2x x  1  2 x  x 2  4x  3





� x  3 1 x 1  2x
�









x 1 1  0



x  3  2x 1 x 1  0

� x  3  2 x  0  1
��
�
1  x  1  0  2
�
Giải (1):
x  3  2x  0
� x  3  2x
�x �0

��
2
�x  3  4 x
�x �0
�
�x  1
� ��
�
3
��
x
��
4
�
� x 1
Giải (2):
1 x 1  0
� x0
Vậy S   0;1
Bài 2: Giải phương trình
x2  x  5  5
Giải:
ĐKXĐ: x �5
x2  x  5  5
� x 2   x  5  x  x  5  0


�  x



x  5  x 



� x x5 x x5  x x5  0



x  5 1  0

�
x x5  0
��
� x  5  x 1
�
1  21 1  17 �
;
Vậy S  �
�
2
�
� 2
Dạng 3: Biến đổi đưa về phương trình hệ quả
5


Bài 1: Giải phương trình x  3  3 x  1  2 x  2 x  2
Giải:
ĐKXĐ: x �0
x  3  3x  1  2 x  2 x  2

� 3x  1  2 x  2  2 x  x  3
� 5x  3  2

 3 x  1  2 x  2 

 3x  1  2 x  2 

�

 5x  3  4 x  x  3

 2 x  x  3

� 6 x 2  8 x  2  4 x 2  12 x
� 2x2  4 x  2  0
� x 1
Thử lại ta thấy x=1 thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy S   1
Bài 2: Giải phương trình
3

x 1  3 x  2  3 x  3  0

Giải:
ĐKXĐ: x ��
3

x 1  3 x  2  3 x  3  0

� 3 x 1  3 x  3   3 x  2

� 2x  4  33 x 1 3 x  3

3



x 1  3 x  3    x  2

 x  1  x  3     x  2
x  3   x  2     x  2

� 3 x 1 3 x  3
� 3 x 1 3



3

3

3

 x  1  x  3  x  2   x  2
3
�  x  1  x  3  x  2    x  2 
�

3

� x  2

Thử lại ta thấy x=-2 thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy S   2
Dạng 4: Biến đổi đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: Giải phương trình x 2  2 x  1  4 x 2  4 x  1  4
Giải:
x2  2x  1  4 x2  4 x 1  4
� x 1  2x 1  4

Sau đó xét 3 trường hợp rồi suy ra kết quả
1
1 1
Bài 2: Giải phương trình x 2   x 2  x    2 x 3  x 2  2 x  1
4
4 2
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của TP Hà Nội)

6


Giải:
do vt>=0 nên để phương trình có nghiệm thì vp>=0
� 2 x 3  x 2  2 x  1 �0
�  2 x  1  x 2  1 �0

1
2
Ta có phương trình:


۳ x

1
1 1
x 2   x 2  x    2 x 3  x 2  2 x  1
4
4 2
2

�

1
� 1� 1
x   �x  �   2 x 3  x 2  2 x  1
4
� 2� 2

�

x2  x 

2

� x

1 1
  2 x 3  x 2  2 x  1
4 2

1 1
  2 x3  x 2  2 x  1

2 2

suy ra kết quả
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
Dạng 1: Đặt một ẩn phụ hoàn toàn
Bài 1: Giải phương trình ( x  4)( x  1)  3 x 2  5 x  2  6
Giải:
Đặt
x 2  5 x  2  t  t �0 
�  x  4   x  1  x 2  5 x  4  t 2  2
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
t 2  2  3t  6
� t 2  3t  4  0
t  4 (tm)
�
�� �
t  1(loai)
�
Với t=4, suy ra
x2  5x  2  4
� x 2  5 x  14  0
x  7
�
��
x2
�
Vậy S   7; 2
Bài 2: Giải phương trình

2 x  3  x  1  3x  2 2 x 2  5 x  3  16

Gợi ý:
7


Đặt
Vậy S   3

2x  3  x  1  t  t  0

Bài 3: Giải phương trình x 2  2 x

x2 1
 3x  1
x

Gợi ý: Chia cả hai vế của phương trình cho x và dặt

x

1
 t  t �0 
x

�
1� 5 �
Vậy S  �
�
� 2 �
Dạng 2: Đặt một ẩn phụ không hoàn toàn

Bài 1: Giải phương trình x 2  4 x  7   x  4  x 2  7
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011 của TP Hà Nội)
Giải:
Đặt
x2  7  t  t  0
� x2  t 2  7
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
t 2  ( x  4)t  4 x  0
t4
�
��
tx
�
Với t=4, suy ra
x2  7  4
x  3
�
��
x3
�
Với t=x, suy ra
x2  7  x
� x ��
Vậy S   3;3
Bài 2: Giải phương trình x 2  2( x  1) x 2  x  1  x  2  0
Giải:
Đặt
x2  x  1  t  t  0
� x2  t 2  x  1
Khi đó phương trình đã cho có dạng:

8


t 2  2( x  1)t  2 x  1  0
t 1
�
��
t  2 x  1
�
Với t=1, suy ra
x2  x  1  1
� x2  x  0
x  1
�
��
x0
�
Với t=1-2x, suy ra
x2  x  1  1  2 x
1  2 x �0
�
�
� �2
2
�x  x  1   1  2 x 
� 1
�x �
�� 2
�

3x 2  5 x  0
�
� x0
Vậy S   1;0
Dạng 3: Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ
Bài 1: Giải phương trình 3 2  x  x  1  1
Giải: ĐKXĐ x �1 . Đặt
3

2  x  a, 1  x  b  b �0  . Khi đó ta có hệ:

a b 1
�
�3 2
a b 1
�
b  1 a
�
�
� �3
2
a   1  a  1  0
�
b  1 a
�
� �3
a  a 2  2a  0
�
�
a0

�
�
�
b 1
�
�
�
a 1
�
��
�
b0
�
�
�
a  2
�
�
�
�
b3
�
�

Vậy S   1; 2;10
Dạng 4: Đặt hai ẩn phụ đưa về một phương trình
9


Bài 1. Giải phương trình

2( x 2  2)  5 x3  1
Giải:
Đặt a  x 2  x  1, b  x  1 . Suy ra phương trình có dạng:
2a 2  5ab  2b 2  0
a  2b
�
�
�
b
�
a
� 2
5 � 37
2
Bài 2: Giải phương trình
Từ đó suy ra nghiệm x 
C
Hướng dẫn: đặt

u  1  6 x, v  x 2  3,
1 2 2 9
u  v   uv
4
4
7 3
Đáp số: x  1, x 
4
Bài 3: Giải phương trình





2 2 1  x 2  1  x 2  1  x 4  3x 2  1
Hướng dẫn:
a  1  x 2 , b  1  x 2 � 2(2a  b)  ab  2a 2  b 2
� 2a 2  (b  4)a  2b  b 2  0 � x  0
Bài 4: Giải phương trình
3 4
x 2  3x  1  
x  x2  1
3
Hướng dẫn:
Đặt:
a  x 2  x  1; b  x 2  x  1
3
ab
3
7 �3 5
Suy ra đáp số: x 
2
Phương pháp 3: nhân liên hợp:
* 3.1: Nhân liên hợp trực tiếp
Bài 1: Giải phương trình 8 x  1  3 x  5  7 x  4  2 x  2
� 2a 2  b 2  

Giải:
ĐKXĐ: x �1 . Khi đó:

10

8x  1  3x  5  7 x  4  2 x  2
�



 

8x  1  7 x  4 



3x  5  2 x  2  0

x 3
x3

0
8x  1  7 x  4
3x  5  2 x  2
x3  0
�
�
�
1
1
�

 0 (1)

3x  5  2 x  2
� 8x  1  7 x  4
�

Dễ thấy VT(1)>0 nên (1) vô nghiệm.
Vậy S   3
* 3.2: Nhân liên hợp gián tiếp
x  2  4  x  2 x  5  2 x2  5x

Bài 1. Giải phương trình

Phân tích: Dùng máy tính nhận biết được phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3
5
Giải: Điều kiện: �x �4
2
x  2  4  x  2 x  5  2 x2  5 x
�



 

x  2 1 

 

4  x 1 



2 x  5  1  2 x2  5x  3

2  x  3
x 3
x3


 (x  3)  2 x  1
x  2 1
4  x 1
2x  5  1
x3
�
�
�
2
1
� 1

 2x  1
(1)
� x  2 1
2x  5  1
4  x 1
�

Chứng minh (1) vô nghiệm dựa vào điều kiện, chú ý rằng chúng ta đã biết số nghiệm của
phương trình khi dùng máy tính
Bài 2. Giải phương trình 3 2 x  1  2 3 4  3 x  13.
Phân tích: Dùng máy tính nhận biết được phương trình có một nghiệm duy nhất x=4

1
Giải: Điều kiện: x � . Khi đó:
2
3 2 x  1  2 3 4  3 x  13
�3
�



 

2x 1  3  2

6  x  4
2x 1  3


3

3



4  3x  2  0
6  x  4

 4  3x 

2

 2 4  3x  4
3

0

x4
�
� 6
6
��

 0  1
2
� 2 x  1  3 3  4  3x   2 3 4  3x  4
�
VT(1) > 0 nên suy ra (1) vô nghiệm.

* Phương pháp 4: phương pháp đánh giá :
Bài 1. Giải phương trình
4 x  1  x 2  5 x  14
11


Giải :
4 x  1  x 2  5 x  14

�





2

x  1  2   x  3  0
2

� x3
Tương tự cách giải của bài 1 ta có các ý tương tự của bài 2
Bài 2. Giải phương trình
a) x  x  4  2 x  1  0
b) 4 x 2  14 x  11  4 6 x  10
c) x 2  2 x  2 2 x  1  2  0
(Đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội năm học 2013-2014)
d) 4 x3  3x 2  3x  1  0
Đáp số :
a) x=5
3 � 13
b) x 
4
c) x=4
1
d) x 
1 3 3
Bài 3. Giải phương trình
2 x 2  11x  21  3 3 4 x  4
Giải :
Do 2 x 2  11x  21  0 nên để phương trình có nghiệm thì 4 x  4  0 � x  1 . Khi đó áp dụng
bđt cosi ta được :
3 3 4 x  4  3 3 2.2.(x  1) �2  2  x  1  x  3 (Dấu = xảy ra khi x=3)

2 x 2  11x  21  2  x  3  x  3 �x  3 (Dấu = xảy ra khi x=3)
2

Vậy phương trình đã cho tương đương với x=3
Bài 4. Giải phương trình
x  2  10  x  x 2  12 x  40
Giải:
Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có
 x  2  .4  10  x  .4 x  2  4 10  x  4 .
x  2  10  x 

�

4
2
2
4
4
�x  2  4
� x6.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi �
10  x  4
�





x 2  12 x  40  x 2  12 x  36  4   x  6   4 �4
2

�x  2  10  x
� x  6 . Vậy phương trình có nghiệm x = 6
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi �
�x  6  0
Bài 5. Giải phương trình
x2  x 1  x  x2  1  x2  x  2
Giải:

12


Vì x 2  x  1 �0 và x  x 2  1 �0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta
x2  x 1  1 x2  x
được: x 2  x  1 .1 �
(1)

2
2
x  x2  1  1 x  x2  2
(2)
x  x 2  1 .1 �

2
2
x2  x x  x2  2
2
2
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: x  x  1  x  x  1 �


 x  1 nên theo đề
2
2
2
ta có : x 2  x  2 �x  1 �  x  1 �0 . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả .
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.









13