giao an boi duong hoc sinh gioi toan lop 7

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

Đề khảo sát
Cõu 1:
a, cho A = 4 + 22 + 23 + 24 + ... + 22 0
Hỏi A có chia hết cho 128 không?
b, Tính giá trị biểu thức
12

2 .13 + 2 1 2 .65

3 1 0 .11 + 3 1 0 .5

------------------- + ------------------2 1 0 .104

3 9 .2 4

Bài 2 :
a, Cho A = 3 + 32 + 33 + ...+ 32 0 0 9
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục
bằng trung bình cộng của hai chữ số kia
Bài 3: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) .
Chứng minh rằng p + 8 là hợp số Bài 4: Tìm hai số tự nhiên
biết tổng của chúng bằng 84 ,
ƯCLN của chúng bằng 6 .
Bài 5: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm;
OB = 6 cm. Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm.
So sánh AB với AC

1

Hướng dẫn chấm
Bài
21

1

Hướng dẫn chấm
: 27

Điểm
0.5
0.5

a, 2A - A = 2
A: 128 2
310.16
78
b,
—+
39.16
210.104
—3+3—6

0.5

a, Tìm được n = 2010
b, Gọi số phải tìm là abc theo bài ra ta có a + b +

0.5
1
0.5

c : 9 và
2

2b — a + c nên 3b : 9 ^ b : 3 vậy b e {0;3;6;9} abc : 5

3

^ ce {0;5}
Xét số abo ta được số 630
Xét số ab5 ta được số 135 ; 765__________________
P có dạng 3k + 1; 3k + 2
keN
Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài
^ p — 3k + 1 p + 8 — 3k + 9 : 3
^ p + 8 là hợp số

4

Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a < b) ta có (a,b) — 1 nên a
— 6 a/ b— 6 b trong đó (a7 ,b7) — 1 ( a,b,a/,b/eN)
^ a/ + b/ — 14
a7
1
3
5
b

13
11
9
a
30
6
18
b
78
54
66
O

5

C

A

B

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1

x

Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA< OB (4<6) nên
điểm A năm giữa O và B suy ra AB = OB - OA AB — 6
- 4 — 2 (cm)
Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC ( 2<3 ) nên
điểm A năm giữa hai điểm B và C Suy ra AC — BC BA — 3 - 2 — 1 (cm)
Vậy AB > AC ( 2 >1)

0.5
0.5
0.5
0.5


Ôn tập số hữu tỉ số thực
Phần 1: Lý thuyết
1. Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ
Với x=—, y= b ( a,b,m eZ m ^ 0 ) m m

b .c

2,Giá tri tuyệt đối của một số hữu tỉ +/
Với x e Q Ta có
í x neỏu x > 0
l

-x neỏu x < 0

Nhaọn xeựt : Vụựi moùi x e Q, ta coự:

I x I> 0 , I x I = I -x I vaứ I x I> x
+/ Với x,y e Q Ta có
\x — y| < |x| — Iy\ ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y > 0 )
lx—y| > H—I y| ( //

.... //

)

Phần II: Bài tâp vân dung
Bài 1. Thực hiện phép tính:
,
1
1
1
1 ,1 — 3 — 5 — 7 — ... —
49
(—— I-------—---I------—- - -— ... —- - -—- -)--------------------- --------

11
1
2 — (12.50 +25)
(
)
5 4
49 .
89
Bài 2: Thực
hiện phộp
tớnh: 10 3

12 5
6 2
5
2

2 .3 — 4 .9

5 .7 — 25 .49

(22.3)6 + 84.35

(125.7)3 + 59.143

5.9.7.89
5.4.7.7.89

A =---------=-----------------------—---—--.

212.35 — 46.92

510.73 — 255.492

( 22.3 )6 + 84.35

(125.7 )3 + 59.143

212.35
212.36

— 212.34

510.73 — 510.74
+ 212.35 59.73 + 59.23.73

9
28


212.34.
212.35.

(3 — 1) 510.73. (1 — 7 )
(3 +1) 59.73. (1 + 23 )

212.34.2
510.73. ( —6)
212.35.4
59.73.9
1 —10 _ 7
6
3 =2
Bài 3. a) Tìm x biết: |2 x + 3| = x + 2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |x — 2 0 0 6 +12007— x| Khi x thay
đổi
Giải
a) Tìm x biết:

|2 x + 3 = x + 2

Ta có: x + 2 > 0 => x > - 2.
+ Nếu x > - — thì |2x + 3 = x + 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả

mãn) + Nếu - 2 < x < - — Thì |2x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2 => x
= - 5 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |x — 2 0 0 6 +12007— x| Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 - x = - 2x + 4013
4


b. (X - 7) x + 1 -(X - 7) X + 1 1 = 0 - GV: Hướng dẫn giải

Khi đó: - x > -2006 => - 2x

a, + 4013 > - 4012 + 4013 = 1
—16 2
=> A > 1 + Nếu 2006 < x <
—+ —
55
2007 thì: A = x - 2006 + 2007

1
4
2
1
4
X---- + — (—3,2 ) +
X +—
3
5
5
3

5
X1
Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- GV: Gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tỡm X biết:
1 4
X
R2)
a.
+
=
- 3
5

+
-

- x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x - 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 - 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 < x < 2007
4 _ 14
3
1
X—
3

5 =5
X-

3=2

X-

3=-2


=2+1=7

X
X

2

33
2ì 5
2
33

= +

X= —
X

=

=

+ =—

+

( X —. X+
7)1X+1 — ( X —
b)

7)X+1 1 = 0 o( X — 7) X+1 [1 = 0
— ( X — 7 )1 0 '


_ X+ 1

a, Rút gọn A và B
b, Tìm xe Z để A < x < B.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=
|X - 2 0 0 2 | + |X - 2 0 0 1 |
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7

Chuyên đê: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
I. Lý thuyết
1/ Định nghĩa +/ Với x e Q Ta
có
í x neỏu x > 0
l -x neỏu x < 0
2, Tính chất : Vụựi moùi x e Q, ta coự:
I x I> 0 , I x I = I -x I
vaứ I x I> x +/ Với x,y
e Q Ta có
|x + y\ < |x| +1y| ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa
là x.y > 0 )

a, B= 6 x3 - 3x2 + 2x| + 4 với x= -2/ 3

b, C= 2 | x| - 3 y| với x=1/2 và y=-3
5 x2 - 7 x với I x I = 1 (vê nhà )
+1
Tương tự phần
a giáo viên yêu cầu học sinh làm và chữa phần b và c
3x -1
e, E=

c, D=2 | x - 2 - 31 - x| với x=4
KQ:
B=20/ 9
C=
-8 D
= -5


Bài
2:
a,

x-7+2x+5=
6

|x - 7 =1 -2 x

Tìm
x
biết
Do |x - 7 > 0 với mọi x nên xét với 1 - 2x > 0 o x < 1
2

11


Trường hợp 1:

x-7 = 1-2x => 3x = 8 => x=- (loại do không thoả mãn điều kiện
3
x < 1) 2

Trường hợp 2:
x - 7 = 2x -1 ^ x = - 6 ( thoả mãn điều kiện của x)
b, |2 X - 31 — X = 1 2 - XI
c, |x + 3 + |x +1 = 3x
GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày Bài 3:
Tìm x và y biết
a, 2 |2 x- 3 = 1
b, 7,5-3|5-2x| = -4,5
c, |3x - 4 + |5y + 3 = 0

GV: Tổ chức cho học sinh làm bài - Học sinh lên bảng trình bày Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
a, A=3,7 +14,3-x|
Ta có
|4,3 - x| > 0 với mọi x ^|4,3-x| + 3,7 >3,7 Hay A> 3,7
|4,3 - x| = 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4,3 - x = 0
x = 4,3
Vậy giá tri nhỏ nhất của A= 3,7 khi x= 4,3
Tương tự giáo viên cho học sinh làm phần b, c

b, B= |3x + 8,4 - 24,2
c, C= |4x - 3 +15 y + 7,5| +17,5 Bài tâp về nhà
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a, D = 5,5 -12 x -1,5|
b, E = -10,2 - 34 -14
c, F = 4 - |5x - 2 -13 y +12|


Chuyên đê:Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Lý thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x e Q Ta có
í x neỏu x > 0
l -x neỏu x < 0
2, Tính chất

Vụựi moùi x e Q, ta coự:
I x I> 0 , I x I = I -x I vaứ I x I> x +/
Với x,y e Q Ta có
\x + y\ < |x| +1y| ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y > 0 )

II.
a)

a)
a)
d)
a)
b)

e)

c)

lx - y\ > lxl-| y| (//
..... //
)
Bài tâp :
Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điêu kiện sau:
a = |a|;
b) a < |a|;
c) a > |a|;
d) |a| = - a;
e) a < |a|.
Bài 2: Bổ sung thêm các điêu kiện để các khẳng định sau là đúng:
|a| = |b| ^ a = b; b) a > b ^ |a| > |b|.
Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
x2y > 0 ;
b) x + y = 0 ;
c) xy < 0 ;
1 1
x
- = 0;
d) + 1 = 0 .
x

y

y

Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3.
C = 2|x - 2| - 311 - x| với x = 4;
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) |a| + a;
b) |a| - a;
c) |a|.a;
d) |a|:a;
3(x - 1 ) - 2 |x + 3|;
^
g) 2 |x - 3| - |4x -1|.
Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau:
a) |2x - 3| = 5;
b) |2x - 1| = |2x + 3|;
|x - 1| + 3x = 1; d) |5x - 3| - x = 7.
Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điêu kiện sau: a) a
+ b = |a| + |b|;
b) a + b = |b| - |a|.
Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điêu kiện sau:
a) |x| + |y[ = 2 0 ; _ b) |x| + |y| < 2 0 .
Bài 9: Điên vào chỗ trống (...) các dấu >, <, = để các khẳng định sau đúng với mọi a và
b.


Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu đẳng
thức ?
a) |a + b|...|a| + |b|; b) |a - b|...|a| - |b| với |a| > |b|;
c) |ab|...|a|.|b|;

d)

a|a|
b "'Ỵb\ .

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 2|3x - 2| - 1; b) B = 5|1 - 4x| - 1; c) C = x2
+ 3|y - 2| - 1; d) D = x + |x|.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
1
a) A = 5 - |2x - 1|;
b) B =
| X - 1| +3

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.
Bài 13: Cho |a - c| < 3, |b - c| < 2. Chứng minh rằng: |a - b| < 5.
Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A = |2x + 1| + |x - 1| - |x - 2|.


\

Chuyên đê:Luỹ thừa của số hữu tỉ
A--Lý thuyết

x

x

3,

(.

x
xm .y

x )n
4,

(x ^ o, m > n)

x

2,

(

x.y)
1, xm
- GV: Cho học sinh ghi lại nội dung các công thức B - Bài tâp Bài 1:
a, Có thể khẳng định được x2 luôn luôn lớn hơn x hay không ? Không khẳng định được như vậy chẳng hạn

x=1/2 thì ( ^ ) 2 < b, Khi nào x2< x

x2< x ^ x 2 — x < 0 ^ x (x — 1 ) < 0 xảy ra nếu x và x- 1 trái dấu Vì x-1 < x nên x-1 < 0 và x > 0 suy ra 0 < x
<1 Vậy 0 < x <1 thì x2 < x
Bài 2:
Tính
a, (32)2 — (23)2 — (—52)2

b,23 + 3.(—11)20 —

( ) .4 + 22
c, (4.2 ):(2 i
5

(—
2)2:

:

8

3

16

GV : Yêu cầu học sinh làm và gọi học sinh lên bảng trình bày

a- 6(-1) —

3(- ỉ)..,

b-

:(—
1 —
1
)

(!)’{—3■)'<—
( 2 )2 (

5 )3

Bài 3: _Thực hiện phép tính :
V 5 ) V 12)


? Hãy nêu thứ tự thực hiện phép tính


GV: yêu cầu học sinh làm bài , gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tính

ỉ(9'5 j| °i.^
v
’
3 124
a, 7 15 3
-.—

b,

+

1°4.81-16.152
44.675

Gv: Hướng dẫn học sinh giải
15
+1.(9

j
v1
7
15
3
a,

b,

Bài 5:

1°4.81-16.152
4

4 .675

1 68
312 4 =

1 28 .38
1
'3'28 .34
= 35

24 .54 .34 -24 .32 .52
8

3

2

=
2 .3 .5
_ 124 _ 217^ 14
= 24.3 = 24.3 = T _ 43

24 .32 .52 (52 .32
8

=

3

2 .3 .5

-1 )

2

2

a,Tính tổng A = 1+5+52 +53+... +5 2 °°8 +5 2 ° ° 9
b B= 21 0 °-29 9 +29 8 -297+ +22

suy ra 2B = 21 °1 -21 °°+29 9 -29 8 +.+23 -22suy ra 2B+B= 2101-2 3B = 2( 21 0 °-1)
Suy ra B = 2(21 0 °-1)/3 C, Bài tâp về nhà
Bài 1: Chứng minh rằng: 76 + 75 - 74 chia hết cho 55
Bài 2: Tính tổng_ C = 310°- 39 9 + 39 8 - 39 7 + .... +32 - 3 + 1 Bài 3: Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
2, 4, 6 , 8 ,
,1°°

x + x + x + x + ... + x


Chuyên đề : LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ (Tiếp theo)
I. Muc tiêu.
- Kiến thức: Nắm được các kiến thức, quy tắc và công thức cơ bản về biến đổi các lũy thừa của một số hữu tỉ và
một số kiến thức bổ sung nâng cao
- Biết vận dụng linh hoạt các công thức, kiến thức để biến đổi các biểu thức lũy thừa của một số hữu tỉ trong
quá trình làm bài tập
- Kỹ năng :- Có kĩ năng thành thạo trong việc biến đổi các lũy thừa và trình bày chính xác khoa học một biểu
thức có chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
- Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu thức có cả lũy thừa qua đó có thái
độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài
II. Chuẩn bi :
- Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
- Các tài liệu, tư liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề
III.
Tiến trình tiết dạy:
Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia.
Bài 2: Tính:
a) (0,25)3.32;

b) (-0,125)3.804; c) ; d)

o2 A 5

0^1.17

.

Bài 3: Cho x e Q và x Ỷ 0. Hãy viết x1 2 dưới dạng:
a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x9 ?
b) Luỹ thừa của x4 ?
c) Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x1 5 ?
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(l9'4:6) (:9A7)-(1-9-9-9);
b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )...(1000 - 503).
Bài 5: Tính giá trị của:
a) M = 1002 - 992 + 982- 972 + ... + 22 - 12;
b) N = (202 +182 + 162 + ... + 42 + 22) - (192 + 172 + 152 + ... + 32 + 12);
c) P = (-l)n.(-1 )2n+1.(- 1)n+1.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x - 1) 3 = 27;
b) x2 + x = 0;
c) (2x + 1) 2 = 25; d) (2x - 3) 2 = 36;
e) 5x + 2 = 625; f) (x - 1 )x + 2 = (x - 1 )x + 4;
g) (2 x - 1 ) 3 = -8 .
/ .1 2 3 4 5
30 31 _ ~ x
h)7
=2 ;
4 6 8 10 12

62 64

Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2n < 128; b) 2:16 > 2n > 4; c) 9:27 < 3n < 243:
Bài 8: Cho biểu thức P = ( x - 4) ( x-5)<'6)
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:

a) 99 và 9999 ; b) 3 và 2 ; c) 2 + 3 + 4° và 3.24 .
Bài 10: Chứng minh rằng nếu a = x3 y; b = x2 y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta


cũng có: ax + b2 - 2 x4 y4 = 0 ?
Bài 11: Chứng minh đang thức: 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29 9 + 21 0 0 = 21 0 1 - 1.
Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết bằng các
chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 .


Chuyên đề: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (Tiết 1)
I. Muc tiêu
Kiến thức : Nắm được các kiến thức liên quan để giải các dạng toán cơ bản nhất :
- Tính giá trị của một biểu thức. Thực hiện phép tính một cách hợp lý. Bài toán về dãy có quy luật
- Một số bài toán khác về biểu thức đại số
Kĩ năng: Giải được hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán cơ bản. Biết vận dụng vào các bài toán khác tương
tự. Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và tổng quát hóa cho các bài toán
Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài. Cẩn thận, cầu tiến, không nao núng khi làm bài IlChuẩn
bi:
GV: Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đưa ra các bài tập đầy đủ và đa dạng
Hsinh: - Ôn tập kiến thức cũ có liên quan .
III.
Tiến trình tiết dạy:
Phần 1 . Mỏt số dang chính
Dang 1
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật A- Kiến thức cần nắm vững:
B- Bài tập ỏp dung
I. Dãy số cộng
Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ 1; 3; 5; 7;...
Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số

b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số
c) Tớnh: Ẩ' = l+3+5+---+2«+l với (neN)
d) Tớnh: s = 2+4+6+---+2n với (n e N * )
Bài 3: Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng?
1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 — 2 + 3 + 4;...
Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng: ———
Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4. Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận
cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6 .
Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tính tổng các chữ số của A
b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thờm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xột
số 100. Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;... mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18.
Tổng cỏc chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1. ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
S
1 =1 + 2 S 2 = 3 + 4 + 5,
Bài 5 : Cho S 3 = 6 + 7 + 8 + 9,
S = 10 +11 +12 +13 +14,
Tớnh ?
Hướng dẫn: Số số hạng của S1 v.., S9 9 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; ...100 ĐS: S1 0 0 = 515100
Bài 6 : Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số 100! chứa thừa số nguyờn tố 7 với số mũ băng bao nhiờu?


Bài 7 : Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8; ...
b) 1.4; 4.7; 7.10;...
Bài 8 : Cho A = 1 + 3 + 3 2 + 3 3 +... + 3 2 0 ; B =
Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau:

Tớnh B - A

3 2 1 :2

A = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +... + 2 2 0 0 7 B = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +... + 2 n C = 1 + 2 2 + 2 4 +... + 2 2 0 0 8
D = 1 + 2 2 + 2 4 +... + 2 2 n

n = 2 + 2 3 + 2 5 +... + 2 2 0 0 7

F = 2 + 2 3 + 2 5 +... + 2 2 n 1

Bài 10: Tổng quỏt của bài 8
Tớnh : a) S = 1 + a + a2 + a3 +... + an , với (a > 2, n G N )
b) S = 1 + a 2 + a 4 + a6 +... + a2n, với (a > 2, n G N)
c) S = a + a 3 + a5 +... + a 2 n + 1 , với (a > 2, n G N* )
Bài 11: Cho A =

1

+ 4 + 4 2 + 4 3 +... + 4 9 9 , B =

4

100

. Chứng minh rằng: A < — .

Bài 12: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
a)A = 9 + 99 + 999 + ...+ 999 ...9
50 ehr- sè

b) B = 9 + 99 + 999 + ...+ 999...9
200 ch-í- sè

Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật ( tiếp )


II. Dãy phân số có quy luật
1. Cỏc cụng thức cần nhớ đến khi giải cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số viết theo qui luật:
n

1

.

2)- = k •1
1
n(n + 1 ) V 1
n n
3 ) 1 = 1 •( + 1 )
n(n + k ) k 1
V
n
n
+
4) -k— '
1 1
n(n + k ) V n n +
k ) = 1 =1
5 ) 1 -------------1
2n(2n + 2) 4n(n +1) 2 ^ 2n 2n + 2 ) 4

1 ( 1 Ị_'
V n n
+1

6) 1 1 (1 1
(2n + 1)(2n + 3) 2n +1 2n +
2 3
7)---------< —<---------1 1 1
n.(n +1 ) n (n - 1 ).n
(Trong đú: n, k e N*, n > 1 )
* 1 11
2. Bài tập

TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :
Bài toỏn A :
Tởnlì tổng :
,

11

1 . 2

Lời giải:
1.2

11
2 . 3

4 3 . 4 4

_ 2-1 3-2

44.45

44-43 45-44

A = --------h ------+ . A -------------+ ----------

1_ 1 2 1

2.3

=

ĩ _ 2 + 2 _ 3
"ĩ 45 " 45

43-44

+ +

43

_

44

44.45

+

44

_

45 _ 1_ J_ _ 44

Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2.3 = 6 ; ... ; 43.44 = 1892 ; 44.45 = 1980 ta có bài toán khó hơn chút xíu.
Bài 1 : Tớnh tổng :
111 1 1

■-\----h--+ tfr» +- -+-----2

6 12

1892 1980

Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược.
Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết :


11

1

44

—— H —H ... H----------- ---- - = —

1 1 1 — 7 + —7 + -+---------------7
2l 32

452

1-2 2.3

Hơn nữa ta có :
11 11 11

X(X+1)

45

' 4S2 < 44.45

2* < 1,2 ’ 32 < 2,3 ’

ta cú bài toỏn Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khó”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng
tổng : khụng phải là số
nguyờn.
11
44
Chỳng ta cũng nhận ra
45
11 111 1 + „+...+
2 ẩ 2Ĩ+32

rằng nếu ai ; a2 ; ... ;
2
2 +, +
^ 12 "« 24 5
«M
a a và Khú sau :
Giúp ta đến với bài toán Hay
Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏe nhau ãị ; a2; a3;... ; a43; a4 4 sao cho
1
1
1
2 + — + +------ = 1
a,« 1a3 a« 2
Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn ãị ; a2; ... ; a4 4 thỏa món
1
1
1
,+_ ++
=1
2 r ^ ai a 2
^
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a4 4 ; a4 5 thỏa món a1 < a2 a3 < ... < a4 4
< a4 5 và
a4 4 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thỡ
----- + ----- T ... + ------ + ------- + ------a

i- a 2 a 2- a ỉ ^

a

*2- a *3

a

43

- au

a

« 'a«


Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Tớnh nhanh: s = - + -^ + 4r+ -*= + • •• + —'— + — ; (ỈĨGN*; a + 0 ).
a a2 a3 a4 a"-1 an

Bài toỏn 2: Tớnh nhanh:
1 1 1
1

1 1

—1—7 H—r
H—T H—
■ - - -T ^---ỈT •

1

3 32 33

*

34

37 38

1 1(Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 2)
Bài toỏn1 3:
1

1
.. 4- 4-

3 32 33
34

32007 ý

1 1 1
1

1 1

—1—T "1—r
H—~7 H—
••11

3 32 33
34

3„-i 3»

Bài toỏn 3: Tớnh tổng 100 số hạng đầu tiờn của cỏc dóy saug:
a)

—
1 .2’ 2 .3’ 3.4 ’ 4.5 ’ " '

h

;i 1
1
1
6’ 66’ 176’ 336’ " '

Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 6 6 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,... Do đú số hạng thứ n của dóy cú dạng (5n - 4)
(5n + 1).
Bài toỏn 4: Tớnh tổng:
.

„

1

1

1

1

a) s — — + ———b ——— H— + ——————.
1 .2.3
1 .2.3
c)

1 1

2.3 .4

2.3 .4 3.4 .5
37 .38.39
1
200 6.2007.2008

1
3 .4.5

s = - + - i —+ -'— + ■■■ + ------------ --------; (n
1 .2.3

G N*).
n.(n + ï).(n + 2)

2.3 .4 3.4 .5

Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
1

1

1

1

1 + — + — + * * * + —— + ——

Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
1..1 1..1 1 .,1 1

(1

x

100 100 100 100

H- ) + (— I- ) + ( — I- -) H----b ( -- - -1 ) —----1 -----1 ------1 -------99

3

97

5

95

49

51

1 .99 3 .97

Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.

5 .95

49 .51


100-1 100-2 100-3

100-99

--------1 --- -- - -1 - - -- - -h • • • H —— —
b) Biến đổi số chia:

1
fioo

2
3
99
100
100
1003 ( ì 2 3
— ---------------1 ------------1 ------------1 -------1 ---------— - H ---------------1 ------1 -------1 ------—
{l

2 3
99 J U
2 3
99 J

993

= 100 + 100 - + - + ••• + — -99 = 1 + 100 - + - + ••• + — +
—u 3
99)
\2 3
99 100 )

Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B

1
100
.

Bài toỏn 6 : Tỡm tớch của 98 số hạng đầu tiờn của dóy: 4; 4, 1-1; 1-1; 1-!,..
3 8
15 24
35
Hướng dẫn: cỏc số hạng đầu tiờn của dóy được viết dưới dạng:
9 16 25 36 3’ 8’ 15’ 24’ 35’...


22 32 42
52 6 2
Hay

1.3 ’ 2.4’ 3.5 ’ 4.6’ 5.7’...
992
98.100
2
2
2
2
62
2
3
4
5
Ta cần tớnh: A = 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7

Do đú số hạng thứ 98 cú dạng

992
98.100

99
50

Bài toỏn 7: Cho A = 1 + - +1 + • - + ^—. Hóy chứng minh rằng A khụng phải là số tự
nhiờn.
Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu cỏc phõn số của A ta chọn mẫu chung là tớch của 26 với cỏc
thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k k 2 , ..., k1 0 0 là cỏc thừa số phụ tương ứng, tổng A cú dạng:
B = — 6+ - 2 +—+— L. Trong 100 phõn số của tổng A, chỉ cú duy nhất phõn số 1/64
2 .3.5.7.9...99
cú mẫu chứa 2 6 nờn trong cỏc thừa số phụ k1,..., k1 0 0 chỉ cú k6 4 là số lẻ, cũn cỏc thừa số
phụ khỏc đều chẵn.

Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 7: Cho A = 1 + - + - + — +1. Hóy chứng minh rằng
2 3n
A khụng phải là số tự nhiờn.

Dãy Số viết theo qui luật - Dãy các phân số viết theo qui luật ( tiếp )
Phần 2 . Các dang khác.


Bài 2: Tớnh a)

81 Các bài toán c)
b) 42

(2 2 )
(2 2 1'

4

5 n (n >1)
V 7 )
(5
3

V 7)
24

Bài 2: So sỏnh

2

và 3

16

Bài 3: Tớnh giỏ trị biểu thức
45 1 0 .5 1 0
75 1 0

a)

b)

( 0,8
)5
(0,4 ) 6

c)

2 1 5 .9 4

d)

' 6 3 .8 3

810 + 410
8 4 + 4 11

Bài 1: Khai triển các tích sau: a) (x 2)(
y + 3);
2 310 X - 27

b) — X + 2 , -1|; c)
-X + -y 15 22 ) V 2 )
5 5 33) )
V
V
/
Bài 3: Viết các tổng sau thành tích:
a) ax2 - bx2 + bx - ax + a - b;
b) y2 - 5y + 6 ;
c) x2 - 7x + 12;
^ d) 2a2 + 4a + 2.
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
M = ax + ay + bx + by + x + y biết x + y = -9/4 và a + b = 1/3; N =
ax + ay - bx - by - x - y biết x - y = -1/2 và a - b = 1/2.
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
P=

1

3.10

+

1

-+

10.17

1

+
17.24

+

1

73.80

1

1

1

1

2.9 9.16 16.23 23.30

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:

Bài 8: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên:
K=

3x

( x + y)

— 6

(x + y) +1
x — 2

Bài 9: Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
1996x +1
1997x —1997


Bài 10: Tìm mối quan hệ giữa các số nguyên a; b; c (b ^ 0; c ^ 0) để có đẳng thức sau:
a a a b c
b .c

Bài 2: Tính:

02,5
0,11017
a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c) 8 £; d) 81Ẹr .
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 20o8(1.9-4 6).(.9.4.7)^(1.9.9.9);
b) B=(1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)...(1000 - 503)
Bài 5: Tính giá trị của:
M = 1002 - 992 + 982 - 972 + ... + 22 - 12;
N = (202 + 182 + 162 + ... + 42 + 22) - (192 + 172 + 152 + ... + 32 + 12); P = (-l)n.(-1)2n+1.(1)n+1.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x - 1)3 = 27; b) x2 + x = 0;
c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x - 3)2 = 36;
e) 5x + 2 = 625;
f) (x - 1)x + 2 = (x - 1)x + 4;
X

g) (2x - 1)3 = -8. 12 3 A A 30 31 =2 4 6 8 10 12. .. 62.64 = ;
Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng: a) 32
< 2n < 128;
b) 2.16 > 2n > 4;
c) 9.27 < 3n < 243.
Bài 8: Cho biểu thức P = (x - 4)( x-5)<'6)
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 99 và 9999 ; b) 3 và 2 ; c) 23 + 3 + 4 và 3.24 .
Bài 10: Chứng minh nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta
cũng có:
ax + b2 - 2x4y4 = 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 299 + 2100 = 2101 - 1.

Chuyên đề: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
I. Mục tiêu
- Kiến thức Nắm được các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy tỉ số bằng nhau
và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp