TONG HOP TT9 DA1

Mục lục
1 TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10
1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.
Lý thuyết và ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3
3
3
22


2

MỤC LỤC


Chương 1
TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10
CHỦ ĐỀ 1.
1.1.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương
trình

Lý thuyết và ví dụ minh họa

Dạng 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1. Đặt ẩn x, y, ghi rõ đơn vị và điều kiện (nếu có).
Bước 2. Dựa vào dữ kiện bài toán, lập hai phương trình với hai ẩn x, y.
Bước 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Bước 4. So điều kiện và kết luận bài toán.

Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ
số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới
(có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
Lời giải.
Gọi số tự nhiên có hai chữ số là x = ab, a, b ∈ 1, 9. Ta có x = 10a + b.
Do hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị nên
2b = a + 1 ⇔ a − 2b = −1

(1.1)

Khi viết ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị tức là
ba = ab − 27 ⇔ 10b + a = 10a + b − 27 ⇔ 9a − 9b = 27 ⇔ a − b = 3.
Ta có hệ phương trình
a − 2b = −1
⇔
a−b=3
✧ Vậy số cần tìm là 74.
3

a=7
b = 4.

(1.2)

4

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10
Ví dụ 2. Một chiếc xe tải đi từ Sài Gòn đến Cần Thơ, quãng đường dài 189 km. Sau khi
xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ Cần Thơ về Sài Gòn và gặp xe tải
sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc (trung bình) của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ
xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.

Lời giải.
Gọi vận tốc của xe tải và xe khách lần lượt là x, y (km/h). Ta có 1 giờ 48 phút = 1,8 h.
Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km nên
y = x + 13

(1.3)

Thời gian xe tải đi là 1 + 1,8 = 2,8 h. Quãng đường xe tải đi là 2,8x. Thời gian xe khách đi là
1,8 h. Quãng đường xe khách đi là 1,8y. Vì tổng quãng đường hai xe bằng khoảng cách Sài Gòn
- Cần Thơ nên
2,8x + 1,8y = 189
(1.4)
Ta có hệ phương trình
x − y = −13
⇔
2,8x + 1,8y = 189

x = 36
y = 49.

✧ Vậy vận tốc của xe tải là 36 km/h và xe khách là 49 km/h.
Ví dụ 3. Hai đội công nhân A và B cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong.

Mỗi ngày, phần việc của đội A nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội
làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?
Lời giải.
Gọi số ngày mà đội A và đội B một mình làm xong đoạn đường lần lượt là a, b (ngày).
1
1
Ta coi công việc bằng 1, khi đó mỗi ngày đội A làm được công việc và đội B làm được công
a
b
việc. Và phần việc của đội A nhiều gấp rưỡi đội B nên
1
1
1 3 1
= 1,5 · ⇔ − · = 0
a
b
a 2 b
Mỗi ngày, hai đội cùng làm thì hết

(1.5)

1
công việc (do hoàn thành trong 24 ngày) nên
24
1 1
1
+ =
a b
24

Từ (1.48) và (1.49) ta có hệ phương trình


1 3 1
1
1


 − · =0
 =
a 2 b
40 ⇔
⇔ a
1
1
1
1
1


 + =

=
a b
24
b
60

(1.6)

a = 40
b = 60.

✧ Vậy đội A làm một mình cần 40 ngày và đội B cần 60 ngày.
Ví dụ 4. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia
cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.
Lời giải.


1.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

5

Gọi x là số lớn, y là số nhỏ.
Điều kiện: x ∈ N; y ∈ N và x > y > 0.
Do tổng của hai số tự nhiên bằng 1006 nên
x + y = 1006

(1.7)

Do số lớn chia cho số nhỏ được thương là 2 và số dư là 124 nên
x = 2y + 124

(1.8)

Từ (1.7) và (1.8) ta có hệ phương trình
x + y = 1006
⇔
x − 2y = 124

x = 712
(thỏa điều kiện).
y = 294.

✧ Vậy hai số cần tìm là 712 và 294.
Ví dụ 5. Giải bài toán cổ sau:
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui.
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành.
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?
Lời giải.
Gọi x là số quýt, y là số cam.
Điều kiện: x, y là các số nguyên dương.
Do quýt, cam mười bảy quả tươi nên
x + y = 17

(1.9)

Do
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành.
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?
Nên
3x + 10y = 100

(1.10)

Từ (1.9) và (1.10) ta có hệ phương trình
x + y = 17
⇔
3x + 10y = 100

x = 10
(thỏa điều kiện).
y = 7.

✧ Vậy có 10 quả quýt và 7 quả cam.
Ví dụ 6. Một ô-tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến
B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của
ô-tô tại A.


6

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10

Lời giải.
Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB và y (giờ) là thời gian dự định để đi từ A đến B đúng lúc
12 giờ trưa.
Điều kiện: x > 0, y > 1 (do ô-tô đến B sớm hơn 1 giờ).
Do xe chạy với vận tốc 35 km/h sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định nên
x
−y =2
35

(1.11)

Do xe chạy với vận tốc 50 km/h sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định nên
y−
Từ (1.11) và (1.12) ta có hệ phương trình
x
 −y =2
35
⇔
 x − y = −1
50

x
=1
50

(1.12)

x = 350
(thỏa điều kiện).
y = 8.

✧ Vậy quãng đường AB là 350 km và thời điểm xuất phát của ô-tô tại A là 12 − 8 = 2 giờ.
Ví dụ 7. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi
cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 c m2 , và nếu một cạnh giảm đi 2
cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 c m2 .
Lời giải.
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Điều kiện: x > 0 và y > 0.
Do tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 c m2 nên
xy

(x + 3)(y + 3)
=
+ 36
2
2

(1.13)

Do một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 c m2 nên
(x − 2)(y − 4)
xy
=
− 26
2
2
Từ (1.13) và (1.14)

(x + 3)(y + 3)


=
2

 (x − 2)(y − 4) =
2

(1.14)

ta có hệ phương trình
xy

+ 36
2
⇔
xy
− 26
2

(x + 3)(y + 3) = xy + 72
⇔
(x − 2)(y − 4) = xy − 52

3x + 3y = 63
⇔
4x + 2y = 60

x=9
(thỏa đk).
y = 12.

✧ Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là 9 cm và 12 cm.
4
Ví dụ 8. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 4 giờ đầy
5
6
bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ
5
nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
Lời giải.

1.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

7

Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian để chỉ riêng vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy đầy bể.
Điều kiện: x > 0 và y > 0.
1
1
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được bể, vòi thứ hai chảy được bể.
x
y
4
24
Cả hai vòi cùng chảy thì đầy bể sau 4 giờ =
giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được
5
5
5
bể.
24
Ta được:
1 1
5
+ =
(1.15)
x y
24
9
bể.
x

6 1 1
6
+
Trong giờ cả hai vòi chảy được:
5
5 x y

Trong 9 giờ vòi thứ nhất chảy được

bể.

Theo đề bài vòi thứ nhất được mở chảy 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau

6
giờ nữa mới
5

đầy bể nên
9 6
+
x 5

1 1
+
x y

=1⇔

51 6
+ =5

x
y

(1.16)

Từ (1.15) và (1.16) ta có hệ phương trình

1
5
1 1
1



 =
 + =
x y
24
x
12
⇔ 1
⇔
1
6
51


 =

 + =5

y
8
x
y

x = 12
(thỏa điều kiện).
y = 8.

✧ Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ bể sẽ được bơm đầy nước.
Ví dụ 9. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất
làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Lời giải.
Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian để người thứ nhất, người thứ hai một mình hoàn thành
công việc.
Điều kiện: x > 0 và y > 0.
1
1
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được
công việc, người thứ hai làm được công việc, cả hai
x
y
1
cùng làm chung thì được
công việc.
16
Ta được:
1 1
1

+ =
(1.17)
x y
16
3
6
công việc, trong 6 giờ người thứ hai làm được công
x
y
1
việc, cả hai làm được 25% công việc hay công việc.
4
Ta được:
3 6
1
+ =
(1.18)
x y
4
Trong 3 giờ người thứ nhất làm được


8

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10

Từ (1.17) và (1.18) ta có hệ phương trình

1
1 1

1



 =
 + =
x y
16
x
⇔ 1
6
1
3


 =

 + =
y
x y
4

1
24
1 ⇔
48

x = 24
(thỏa điều kiện).
y = 48.

✧ Vậy nếu làm riêng người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ và người thứ hai hoàn
thành công việc trong 48 giờ.
Ví dụ 10. Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều
luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau,
nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống,
nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn
nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp?
Lời giải.
Gọi x là số luống rau và y là số cây rau cải bắp được trồng ở mỗi luống.
Điều kiện: x > 0 và y > 0.
Tăng 8 luống, mỗi luống trồng ít hơn 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây, ta được:
(x + 8)(y − 3) = xy − 54 ⇔ −3x + 8y = −30

(1.19)

Giảm 4 luống, mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn tăng thêm 32 cây, ta được:
(x − 4)(y + 2) = xy + 32 ⇔ 2x − 4y = 40

(1.20)

Từ (1.19) và (1.20) ta có hệ phương trình
− 3x + 8y = −30
⇔
2x − 4y = 40

x = 50
(thỏa điều kiện).
y = 15.

✧ Vậy số cây rau cải bắp nhà Lan trồng là 50 · 15 = 750 cây.
Ví dụ 11. (Bài toán cổ Ấn Độ ). Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là
107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả
thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi?
Lời giải.
Gọi x (rupi), y (rupi) lần lượt là giá tiền của mỗi quả thanh yên, mỗi quả táo rừng thơm.
Điều kiện: x > 0 và y > 0.
Do số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi nên
9x + 8y = 107

(1.21)

Do số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi nên
7x + 7y = 91
Từ (1.21) và (1.22) ta có hệ phương trình
9x + 8y = 107
⇔
7x + 7y = 91

x=3
(thỏa điều kiện).
y = 10.

✧ Vậy giá tiền mỗi quả thanh yên là 3 rupi và giá tiền mỗi quả táo rừng thơm là 10 rupi.

(1.22)


1.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

9

Ví dụ 12. Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát
cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp
nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi
vật.
Lời giải.
Gọi x (cm/s), y (cm/s) lần lượt là vận tốc của hai vật.
Điều kiện: x > y > 0.
Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường mà vật đi
nhanh đi được trong 20 giây hơn quãng đường mà vật kia đi trong 20 giây đúng bằng 1 vòng
(bằng 20π cm). Ta có phương trình:
20x − 20y = 20π ⇔ x − y = π

(1.23)

Khi chuyển động ngược chiều cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi
được trong 4 giây là đúng 1 vòng. Ta có phương trình:
4x + 4y = 20π ⇔ x + y = 5π

(1.24)

Từ (1.50) và (1.51) ta có hệ phương trình
x−y =π
⇔
x + y = 5π

x = 3π
(thỏa điều kiện).
y = 2π.

✧ Vậy vận tốc của hai vật là 3π cm/s và 2π cm/s.
Ví dụ 13. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy
trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì
2
chỉ được
bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao
15
nhiêu?
Lời giải.
Ta có: 1 giờ 20 phút = 80 phút.
Gọi x (phút) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng một mình đầy bể và y (phút) là thời gian vòi
thứ hai chảy riêng một mình đầy bể (x, y > 0).
1
1
Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được bể và vòi thứ hai chảy được bể. Ta có hệ phương trình:
x
y

1 1
1


 + =
x y
80
10 12
2



= .
 +
x
y
15
x = 120
y = 240.
Vậy vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 120 phút (2 giờ) và vòi thứ hai chảy đầy bể trong 240 phút
(4 giờ).
Giải hệ phương trình này ta được

Ví dụ 14. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế
giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ
hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu
đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?


10

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10

Lời giải.
Gọi x (triệu đồng) là số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất và y (triệu đồng) là số tiền phải trả
cho loại hàng thứ hai nếu không kể thuế VAT. Khi đó, số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể
108
110
x triệu đồng, cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế VAT 8%) là
y triệu
cả thuế VAT 10%) là
100

100
đồng. Ta có phương trình:
110
108
x+
y = 2, 17 hay 1,1x + 1,08y = 2,17
100
100
Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là:
109
(x + y) = 2,18 hay 1,09x + 1,09y = 2,18
100
Ta có hệ phương trình:
1,1x + 1,08y = 2,17
1,09x + 1,09y = 2,18.
x = 0,5
y = 1,5.
Vậy nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5
triệu đồng cho loại hàng thứ hai.
Giải hệ này ta được

Ví dụ 15. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km khởi hành cùng một lúc, đi
ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên
vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút
thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quảng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Lời giải.
Gọi vận tốc của người xuất phát từ A là v1 (m/phút), của người đi từ B là v2 (m/phút). Điều
kiện: v1 > 0, v2 > 0. Khi gặp nhau tại địa điểm cách A 2 km, người xuất phát từ A đi được 2000
m, người xuất phát từ B đi được 1600 m. Ta có phương trình:
1600

2000
=
v1
v2

(1)

Điều đó còn cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn. Khi người đi tứ B xuất phát trước người
kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quảng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8 km
= 1800 m. Ta có phương trình:
1800
1800
+6=
(2)
v1
v2
100
100
Đặt
= x và
= y, từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
v1
v2
20x = 16y
18x + 6 = 18y.
Giải hệ này ta được nghiệm (x; y) =

4 5
;
. Từ đó suy ra:

3 3

100
4
100
5
= ⇔ v1 = 75;
= ⇔ v2 = 60
v1
3
v2
3
Các giá trị tìm được của v1 và v2 thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Vậy vận tốc của người đi
từ A là 75 m/phút, của người đi từ B là 60 m/phút.


1.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

11

Ví dụ 16. Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm3 là hợp kim của đồng và kẽm.
Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng
thì có thể tích là 10 cm3 và 7 g kẽm có thể tích là 1 cm3 .
Lời giải.
Gọi x và y lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đó (x, y > 0).
Vì khối lượng của vật là 124 g nên ta có phương trình x + y = 124.
10
1
Thể tích của x gam đồng là
x (cm3 ). Thể tích của y gam kẽm là y (cm3 ).

89
7
1
10
3
x + y = 15.
Vì thể tích của vật là 15 (cm ) nên ta có phương trình
89
7

x + y = 124
Từ đó ta có hệ phương trình 10
 x + 1 y = 15.
89
7
x = 89
Giải hệ này ta được
y = 35.
Vậy trong vật có 89 gam đồng và 35 gam kẽm.
Ví dụ 17. Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12
ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ
còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp
đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu
mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
Lời giải.
Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm xong công việc trong x ngày, đội II làm xong công việc
trong y ngày (x, y > 0).
Theo dự định hai đội hoàn thành công việc trong 12 ngày nên ta có phương trình:
1
1 1

+ =
x y
12
8
2
1
= (công việc); còn lại công việc do đội II làm. Do năng
12
3
2
2
1
suất gấp đôi nên đội II làm mỗi ngày được công việc và họ hoàn thành nốt công việc nói trên
y
3
trong 3,5 ngày. Do đó, ta có phương trình:

Trong 8 ngày, cả hai đội làm được

3,5 ·

2
1
= hay y = 21
y
3


1 + 1 = 1
12 ⇔

Từ đó ta có hệ phương trình x y

y = 21
làm trong 21 ngày.

x = 28
. Vậy đội I làm trong 28 ngày và đội II
y = 21

Ví dụ 18. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm
nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái.
Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được
bao nhiêu tấn thóc?
Lời giải.


12

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10

Gọi số thóc năm ngoái của đơn vị thứ nhất, thứ hai thu hoạch được lần lượt là x và y (đơn vị:
tấn); x > 0, y > 0.
Năm ngoái, hai đơn vị thu được 720 tấn thóc, nên ta có phương trình:
x + y = 720 (1)
15x
Số thóc năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được là: x +
.
100
12y
Số thóc năm nay đơn vị thứ hai thu hoạch được là: y +

.
100
Năm nay, hai đơn vị thu được 819 tấn thóc nên ta có phương trình:
x+

15x
100

+ y+

12y
100

= 819 (2)



x + y = 720
x + y = 720
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
⇔
⇔ 15x 12y
15x
12y
 x+

+ y+
= 819
+
= 99

100
100
100 100
x + y = 720
x + y = 720
5x + 5y = 3600
y = 300
⇔
⇔
⇔
15x + 12y = 9900
5x + 4y = 3300
5x + 4y = 3300
x = 420.
Từ đó suy ra:
15x
15 · 420
= 420 +
= 483 (tấn) ;
100
100
12 · 300
12y
= 300 +
= 300 + 36 = 336 (tấn) .
y+
100
100
x+

Vậy:
• Năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được 420 tấn và đơn vị thứ hai thu hoạch được 300
tấn thóc.
• Năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được 483 tấn thóc và đơn vị thứ hai thu hoạch được
336 tấn thóc.

Ví dụ 19. Cho đa thức f (x) = −(n + m)x3 + (3n − 4m)x2 − mx + m + n + 1. Biết đa thức
f (x) chia hết cho (x − a) khi và chỉ khi f (a) = 0. Tìm m, n biết f (x) chia hết cho đa thức
x2 + 4x + 3.
Lời giải.
Ta có x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) = [x − (−1)][x − (−3)].
Vì f (x) chia hết cho x2 + 4x + 3 nên f (x) chia hết cho[x − (−1)] và f (x) chia hết cho [x − (−3)].
2

n =
f (−1) = 0
5n − m + 1 = 0
15
Từ đó suy ra
⇔
⇔

f (−3) = 0
55n − 5m + 1 = 0
m = 5 .
3
Ví dụ 20. Tìm một số có hai chữ số biết tổng hai chữ số đó bằng 13 và nếu đổi chỗ hai
chữ số đó cho nhau thì được một số lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị.
Lời giải.

1.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Gọi số có hai chữ số cần tìm là ab (Đk: a, b ∈ N; 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9).
Vì tổng của hai chữ số của số ab bằng 13 nên ta có
a + b = 13 (1)
Khi đổi chỗ hai chữ số của số ab cho nhau ta được số ba. Theo giả thiết ta có:
ab + 27 = ba
⇔10a + b + 27 = 10b + a
⇔9a − 9b = −27 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ

a + b = 13
⇔
9a − 9b = −27

a=5
(thỏa điều kiện).
b=8

Vậy số cần tìm là 58.
Ví dụ 21. Tìm một số có hai chữ số biết tổng của hai chữ số đó là một số nguyên tố nhỏ
nhất có hai chữ số và chữ số hàng chục kém hai lần chữ số hàng đơn vị là 1.
Lời giải.
Gọi số có hai chữ số cần tìm là ab (Đk: a, b ∈ N; 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9).
Số nguyên tố nhỏ nhất có hai chữ số là 11. Theo đề ta có
a + b = 11 (1)
Vì chữ số hàng chục kém hai lần chữ số hàng đơn vị là 1 nên ta có
a = 2b − 1 ⇔ a − 2b = −1 (2)
Từ (1) và (2) ta được

a + b = 11
⇔
a − 2b = −1

a=7
(thỏa điều kiện).
b=4

Vậy số cần tìm là 74.
Ví dụ 22. Tính diện tích của một hình chữ nhật biết rằng tổng của nửa chu vi với chiều
rộng của hình chữ nhật là 39 cm và hiệu của chu vi và chiều rộng hình chữ nhật là 42 cm.
Lời giải.
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a (cm) và chiều rộng của hình chữ nhật là b (cm).
Điều kiện: a > b > 0.
Vì tổng của nửa chu vi với chiều rộng của hình chữ nhật là 39 cm nên ta có
(a + b) + b = 39 ⇔ a + 2b = 39 (1)
Hiệu của chu vi và chiều rộng hình chữ nhật là 42 cm nên suy ra
2(a + b) − b = 42 ⇔ 2a + b = 42 (2)
a + 2b = 39
a = 15
⇔
(thỏa điều kiện).
2a + b = 42
b = 12
Vậy diện tích của hình chữ nhật là S = a × b = 15 × 12 = 180 (cm2 ).
Từ (1) và (2) ta có hệ

13

14

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10
Ví dụ 23. Tìm diện tích một hình chữ nhật biết rằng: tổng của nửa chu vi với chiều rộng
của hình chữ nhật là 39 cm và hiệu của chu vi và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là 42
cm.

Lời giải.
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật cần tìm lần lượt là: x, y (điều kiện: x > y > 0)
Tổng của nửa chu vi với chiều rộng của hình chữ nhật là 39 cm nên ta có phương trình:
x + 2y = 39

(1.25)

Hiệu của chu vi và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là 42 cm nên ta có phương trình:
2x + y = 42

(1.26)

Ta có hệ phương trình
x + 2y = 39
⇔
2x + y = 42

a = 15
b = 12.

✧ Vậy diện tích hình chữ nhật là: 180 cm2 .
Ví dụ 24. Một hình chữ nhật có chu vi là 200 dm. Nếu tăng chiều rộng 10 dm và tăng
chiều dài 15 dm thì diện tích tăng thêm 1450 dm2 . Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.

Lời giải.
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật cần tìm lần lượt là: x, y (điều kiện: x > y > 0)
Hình chữ nhật có chu vi là 200 dm nên ta có phương trình
x + y = 100

(1.27)

Tăng chiều rộng 10 dm và tăng chiều dài 15 dm thì diện tích tăng thêm 630 dm2 nên
(x + 10) (y + 15) − xy = 1450 ⇔ 15x + 10y = 480

(1.28)

Ta có hệ phương trình
x + y = 100
⇔
15x + 10y = 1300

x = 60
y = 40.

✧ Vậy diện tích của hình chữ nhật ban đầu là 2400 dm2 .
Ví dụ 25. Tìm diện tích một hình chữ nhật biết rằng: nếu tăng chiều dài 2 m và giảm
chiều rộng 3 m thì diện tích giảm đi 30 m2 và nếu giảm chiều dài đi 4 m và tăng chiều rộng
5 m thì diện tích tăng thêm 10 m2
Lời giải.
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật cần tìm lần lượt là: x, y (điều kiện: x > y > 0)
Tăng chiều dài 2 m và giảm chiều rộng 3 m thì diện tích giảm đi 30 m2 nên ta có phương trình
(x + 2) (y − 3) = xy − 30 ⇔ −3x + 2y = −24

(1.29)

Giảm chiều dài đi 4 m và tăng chiều rộng 5 m thì diện tích tăng thêm 10 m2
(x − 4) (y + 5) = xy + 10 ⇔ 5x − 4y = 30

(1.30)


1.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

15

Ta có hệ phương trình
− 3x + 2y = −24
⇔
5x − 4y = 30

x = 18
y = 15.

✧ Vậy diện tích của hình chữ nhật là: 270 m2 .
Ví dụ 26. Một người đi xe máy trên quãng đường dài 140 km. Khi đi được 20 phút thì xe
hư nên phải đi tiếp bằng ô tô trong 50 phút nữa thì hết quãng đường. Tính vận tốc xe máy
biết rằng vận tốc xe máy kém vận tốc ô tô là 15 km/giờ
Lời giải.
Gọi vận tốc của ô tô và của xe máy lần lượt là: x, y (điều kiện: x > y > 0)
Khi đi được 120 phút thì xe hư nên phải đi tiếp bằng ô tô trong 50 phút nữa thì hết quãng đường
nên ta có phương trình:
5
x + 2y = 140
(1.31)

6
Vận tốc xe máy kém vận tốc ô tô là 15 km/giờ nên ta có phương trình:
x − y = 15

(1.32)

Ta có hệ phương trình

 5 x + 2y = 140
6
⇔

x − y = 15

x = 60
y = 45.

✧ Vậy vận tốc xe máy và xe ô tô lần lượt là: 45 km/giờ và 60 km/giờ.
Ví dụ 27. Tìm vận tốc của xe ô tô và quãng đường AB, biết rằng nếu xe tăng vận tốc
thêm 12 km/giờ thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 12 km/giờ thì đến B
trễ hơn 2 giờ.
Lời giải.
Gọi vận tốc của ô tô và quãng đường AB lần lượt là: v, s (điều kiện: v > 0; s > 0)
Xe tăng vận tốc thêm 12 km/giờ thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ, nên ta có phương trình:
s
12s
s
−
=1⇔
= 1 ⇔ v 2 + 12v − 12s = 0

v v + 12
v (v + 12)

(1.33)

xe giảm vận tốc đi 12 km/giờ thì đến B trễ hơn 2 giờ, nên ta có phương trình:
s
s
12s
− =2⇔
= 2 ⇔ 2v 2 − 24v − 12s = 0
v − 12 v
v (v − 12)

(1.34)

Ta có hệ phương trình
v 2 + 12v + 12s = 0
⇔
2v 2 − 24v + 12s = 0

v = 36
s = 144.

✧ Vậy vận tốc của xe ô tô: 36 km/giờ và quãng đường AB: 144 km.
Ví dụ 28. Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên một khúc sông dài 40 km mất
tổng cộng 4 giờ 30 phút. Cho biết thời gian thuyền xuôi dòng là 4 km sẽ bằng thời gian
thuyền ngược dòng 4 km. Tính vận tốc thuyền và vận tốc dòng nước.

16

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10

Lời giải.
Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc dòng nước lần lượt là: v, c (điều kiện: v > c > 0)
Chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên một khúc sông dài 40 km mất tổng cộng 4 giờ 30
phút, nên ta có phương trình:
40
9
40
+
=
(1.35)
v+c v−c
2
xe giảm vận tốc đi 12 km/giờ thì đến B trễ hơn 2 giờ, nên ta có phương trình:
5
4
−
=0
v+c v−c
Ta đặt A =

(1.36)

1
1
và B =
ta có hệ phương trình

v+c
v−c


1

A =
40A + 40B = 9
20
2 ⇔


B = 1 .
5A − 4B = 0
16

Từ đó ta có:
v + c = 20
⇔
v − c = 16

v = 18
c = 2.

✧ Vậy vận tốc của thuyền: 18 km/giờ và vận tốc của dòng nước: 2 km/giờ.
Ví dụ 29. Hai vòi cùng chảy vào một cái bể cạn thì trong 6 giờ 50 phút sẽ đầy bể. Nếu
2
mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 5 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi
3
chảy một mình thì bao lâu mới đầy bể.

Lời giải.
Gọi số giờ mà vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình để đầy bể lần lượt là a, b (giờ) (điều
kiện: a, b > 0).
1
1
Ta coi công việc bằng 1, khi đó mỗi giờ vòi chảy được bể và vòi hai chảy được bể.
a
b
Hai vòi cùng chảy vào một cái bể cạn thì trong 6 giờ 50 phút sẽ đầy bể.
1 1
6
+ =
a b
41

(1.37)

Vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 5 giờ thì đầy

2
bể.
3

4 5
2
+ =
a b
3
Từ (1.48) và (1.49) ta có hệ phương trình



1 1
1
6
8


 + =
 =
a b
41 ⇔ a
123 ⇔
4
1
5
2


 + =
 = 10
a b
3
b
123

(1.38)

a = 15,375
b = 12,3.

Đổi đơn vị 15, 375 giờ = 15 giờ 22 phút 30 giây.
Đổi đơn vị 12, 3 giờ = 12 giờ 18 phút.
✧ Vậy khi chảy một mình để đầy bể thì vòi thứ nhất cần 15 giờ 22 phút 30 giây và vòi thứ hai
cần 12 giờ 18 phút.


1.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

17

Ví dụ 30. Hai đội công nhân cùng sửa một con đường. Nếu đội A làm nửa con đường rồi
giao cho đội B làm phần con đường còn lại thì mất tổng cộng 8 giờ sẽ xong. Nếu hai đội
làm chung với nhau thì chỉ sau 3 giờ đã xong con đường. Hỏi mỗi đội làm riêng thì mất bao
lâu mới làm xong con đường?
Lời giải.
Gọi số giờ mà đội A và đội B một mình làm xong con đường lần lượt là a, b (ngày).
1
1
Ta coi công việc bằng 1, khi đó mỗi giờ đội A làm được công việc và đội B làm được công
a
b
việc.
1
Đội A làm nửa con đường nên phần công việc mà đội B phải là làm: (công việc) Đội B làm
2
phần con đường còn lại thì mất tổng cộng 8 giờ sẽ xong nên ta có phương trình:
8
1
=
a

2

(1.39)

Hai đội làm chung với nhau thì chỉ sau 3 giờ đã xong con đường
1 1
1
+ =
a b
3
Từ (1.48) và (1.49) ta có hệ phương trình


1
1
8
1


 =
 =
a
2
16 ⇔
⇔ a
1
1
1
1



 + =
 = 1
a b
3
b
60

(1.40)

a = 40
b = 60.

✧ Vậy làm một mình đội A cần 40 ngày và đội B cần 60 ngày.
Ví dụ 31. Hai đội A và B cùng đào một con mương. Nếu đội một đào trong 8 giờ rồi đội
hai mới vào cùng đào thì 4 giờ nữa mới xong con mương. Nếu đội một đào trong 10 giờ 30
phút rồi đội hai mới vào cùng đào thì chỉ mất 3 giờ nữa đào xong con mương. Hỏi mỗi đội
đào riêng trong bao lâu sẽ đào xong con mương.
Lời giải.
Gọi số giờ mà đội một và đội đội hai đào riêng một mình làm xong con mương lần lượt là a, b
(giờ) (điều kiện: a, b > 0).
1
1
Ta coi công việc bằng 1, khi đó mỗi ngày đội một làm được công việc và đội hai làm được
a
b
công việc.
Đội một đào trong 8 giờ rồi đội hai mới vào cùng đào thì 4 giờ nữa mới xong con mương.
8 4
+ =1

a b

(1.41)

Đội một đào trong 10 giờ 30 phút rồi đội hai mới vào cùng đào thì chỉ mất 3 giờ nữa đào xong
con mương.
21 3
+ =1
(1.42)
2a b
Từ (1.48) và (1.49) ta có hệ phương trình


8 4
1
1


 + =1
 =
a b
18 ⇔ a = 18
⇔ a


b = 7,2.
 21 · 1 + 3 = 1
1 = 5
2 a b
b

36


18

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10

Đổi đơn vị 7,2 giờ = 7 giờ 12 phút.
✧ Vậy đội một làm một mình cần 18 giờ và đội hai cần 7 giờ 12 phút.
Ví dụ 32. Hai người thợ cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ sẽ xong. Họ
làm được với nhau trong 8 giờ thì người thợ thứ nhất bận việc nên nghỉ, người thợ thứ hai
tiếp tục làm. Do tăng năng suất gấp đôi nên công việc còn lại người thứ hai làm trong 3
giờ 20 phút thì xong. Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu
thì phải mất bao lâu mới xong công việc?
Lời giải.
Gọi số giờ mà người thứ nhất và người thứ hai một mình làm xong công việc lần lượt là a, b
(giờ) (điều kiện: a, b > 0).
1
1
Ta coi công việc bằng 1, khi đó mỗi giờ đội một làm được công việc và đội hai làm được công
a
b
việc.
Hai người thợ cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ sẽ xong.
1 1
1
+ =
a b
12

(1.43)

2
8
= (công việc).
12
3
2
1
Công việc còn lại mà thứ hai cần phải làm để xong hết công việc là: 1 − = (công việc).
3
3
2
Người thứ hai tăng năng suất lên gấp đôi nên mỗi giờ người thứ hai làm được (công việc).
b
Người thứ hai làm trong 3 giờ 20 phút thì xong việc nên ta có phương trình:

Hai người làm được với nhau trong 8 giờ nên công việc đã làm được là:

10 2
1
· =
3 b
3
Từ (1.48) và (1.49) ta có hệ phương trình


1 1
1
1

1


 + =
 =
a b
12 ⇔ a
30 ⇔
10
2
1
1


 · =
 = 1
3 b
3
b
20

(1.44)

a = 30
b = 20.

✧ Vậy người thứ nhất làm một mình cần 30 giờ và người thứ hai cần 20 giờ.
Ví dụ 33. Theo kế hoạch, để hoàn thành một lô hàng trong thời hạn dự định, mỗi ngày
xưởng sản xuất 50 cái áo. Nhưng thực tế, mỗi ngày xưởng sản xuất hơn kế hoạch 6 cái áo.
Do vậy, xưởng vượt trước thời hạn 3 ngày và làm vượt số lương sản phẩm là 120 cái áo so

với kế hoạch. Vậy theo kế hoạch phải làm bao nhiêu cái áo trong bao nhiêu ngày.
Lời giải.
Gọi x (ngày) là số ngày mà xưởng sản xuất theo kế hoạch (Điều kiện: x ∈ N∗ ).
Số cái áo cần may theo dự định là: 50x.
Số cái áo xưởng sản xuất theo thực tế là: 56(x − 4).
Xưởng vượt trước thời hạn 3 ngày và làm vượt số lương sản phẩm là 120 cái áo so với kế hoạch
nên ta có phương trình:
56 (x − 4) − 50x = 120 ⇔ x = 48
(1.45)
✧ Vậy theo kế hoạch, phải hoàn thành 2400 cái áo trong 48 ngày.


1.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

19

Ví dụ 34. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc tại hai địa điểm A, B và đi ngược chiều nhau.
Sau khi khởi hành 2 giờ thì hai xe gặp nhau các trung điểm AB là 15 km. Nếu vận tốc ô tô
chạy nhanh giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thi hai xe sẽ gặp nhau sau khi khởi hành 2
giờ 48 phút. Tìm vận tốc mỗi xe.
Lời giải.
Gọi vận tốc của hai ô tô lần lượt là là a, b ( km/h) (điều kiện: a > b > 0).
1
1
Ta coi công việc bằng 1, khi đó mỗi ngày đội một làm được công việc và đội hai làm được
a
b
công việc.
Đội một đào trong 8 giờ rồi đội hai mới vào cùng đào thì 4 giờ nữa mới xong con mương.
8 4

+ =1
a b

(1.46)

Đội một đào trong 10 giờ 30 phút rồi đội hai mới vào cùng đào thì chỉ mất 3 giờ nữa đào xong
con mương.
21 3
+ =1
(1.47)
2a b
Từ (1.48) và (1.49) ta có hệ phương trình


8 4
1
1


 + =1
 =
a b
18 ⇔ a = 18
⇔ a


b = 7, 2.
 21 · 1 + 3 = 1
1 = 5
2 a b

b
36
Đổi đơn vị 7, 2 giờ = 7 giờ 12 phút.
✧ Vậy đội một làm một mình cần 18 giờ và đội hai cần 7 giờ 12 phút.
Ví dụ 35. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc tại hai địa điểm A, B và đi ngược chiều nhau.
SAu khi khởi hành 2 giờ thì hai xe gặp nhau các trung điểm AB là 15 km. Nếu vận tốc ô
tô chạy nhanh giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thi hai xe sẽ gặp nhau sau khi khởi hành
2 giờ 48 phút. Tìm vận tốc mỗi xe.
Lời giải.
Gọi số giờ mà đội một và đội đội hai đào riêng một mình làm xong con mương lần lượt là a, b
(giờ) (điều kiện: a, b > 0).
1
1
Ta coi công việc bằng 1, khi đó mỗi ngày đội một làm được công việc và đội hai làm được
a
b
công việc.
Đội một đào trong 8 giờ rồi đội hai mới vào cùng đào thì 4 giờ nữa mới xong con mương.
8 4
+ =1
a b

(1.48)

Đội một đào trong 10 giờ 30 phút rồi đội hai mới vào cùng đào thì chỉ mất 3 giờ nữa đào xong
con mương.
21 3
+ =1
(1.49)
2a b

Từ (1.48) và (1.49) ta có hệ phương trình


8 4
1
1


 + =1
 =
a b
18 ⇔ a = 18
⇔ a


b = 7,2.
1 = 5
 21 · 1 + 3 = 1
2 a b
b
36


20

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10

Đổi đơn vị 7,2 giờ = 7 giờ 12 phút.
✧ Vậy đội một làm một mình cần 18 giờ và đội hai cần 7 giờ 12 phút.
Ví dụ 36. Theo kế hoạch, để hoàn thành một lô hàng trong thời gian dự đinh, mỗi ngày

xưởng sản xuất 50 cái áo. Nhưng thực tế, mỗi ngày xưởng sản xuất hơn kế hoạch 6 cái áo.
Do vậy, xưởng vượt thời hạn 3 ngày và làm vượt số lượng sản phẩm là 120 cái áo so với kế
hoạch. Vậy theo kế hoạch thì phải làm bao nhiêu cái áo và trong bao nhiêu ngày?
Lời giải.
Gọi số ngày và tổng số áo theo kế hoạch lần lượt là x, y (x, y ∈ N∗ ).
Ta có hệ phương trình
50x = y
⇔
56(x − 3) = y + 120

50x − y = 0
⇔
56x − y = 288

x = 48
y = 2400.

✧ Vậy cần 48 ngày và sản xuất được 2400 cái áo.
Ví dụ 37. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc tại hai điểm A, B và đi ngược chiều nhau. Sau
khi khởi hành 2 giờ thì hai xe gặp nhau cách trung điểm AB là 15 km. Nếu vận tốc ô tô
chạy nhanh giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thì hai xe sẽ gặp nhau sau khi khởi hành 2
giờ 48 phút. Tìm vận tốc mỗi xe.
Lời giải.
Gọi x, y (km/h) và s (km) (x, y, s > 0) lần lượt là vận tốc của xe đi nhanh (giả sử tại A), xe
đi chậm và quãng đường AB. Và 2 giờ 48 phút = 2,8 h.
Ta có hệ phương trình





2x − 2y = 15





2x − 2y = 15
2x − 2y = 15
x = 30

2x + 2y = s
⇔ 2x + 2y = 1,4x + 2,8y ⇔ 0,6x − 0,8y = 0 ⇔ y = 22,5




2x + 2y = s
2x + 2y = s
s = 105.

2,8 · x + 2,8y = s
2
✧ Vậy vận tốc mỗi xe lần lượt là 30 km/h và 22,5 km/h.
1
Ví dụ 38. Cho 3 bình đựng nước. Nếu ta rót lượng nước từ bình thứ nhất sang bình
3
1
1
thứ hai rồi rót lượng nước hiện có từ bình thứ hai sang bình thứ ba và cuối cùng rót
4

10
lượng nước hiện có từ bình thứ ba sang bình thứ nhất thì trong mỗi bình đều có 9 lít nước.
Hỏi lúc đầu mỗi bình chứa bao nhiêu lít nước?
Lời giải.
Gọi x, y, z > 0 (lít) là số nước ban đầu lần lượt của bình thứ nhất, thứ hai và thứ ba.
Ta có hệ phương trình



1

1
63
y
+
x
=
9






y+ x=9
y=



3




3
10






1
1
1
27
z+
y+ x =9
⇔ z+ ·9=9 ⇔ z =
4
3



4
4










1
81



1
1
1

x +
x = .
·9=9
x +
z+
y+ x
=9
10
10
10
4
3
✧ Vậy lúc đầu số nước trong bình thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là

81 63 27
, ,
(lít).

10 10 4


1.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

21

Ví dụ 39. Một xí nghiệp đã chi 2 650 000 đồng thưởng cho 11 công nhân. Giải thưởng gồm
các loại: 150 000 đồng, 250 000 đồng, 350 000 đồng, 400 000 đồng và 500 000 đồng. Hỏi có
bao nhiêu người được thưởng loại 150 000 đồng? Biết rằng tất cả các loại giải thưởng đều
trao cho ít nhất một công nhân.
Lời giải.
Do tất cả các loại giải thưởng đều trao cho ít nhất một công nhân nên số tiền đã được chi là
150 000 + 250 000 + 350 000 + 400 000 + 500 000 = 1 650 000 đồng.
Như vậy, còn 6 công nhân cùng số tiền 1 000 000 đồng. Nếu có 1 người nhận 500 000 đồng hoặc
400 000 đồng hoặc 350 000 đồng thì số tiền còn lại sẽ không đủ trao cho 5 thành viên. Do đó, chỉ
còn phương án 5 × 150 000 + 250 000 = 1 000 000 đồng.
✧ Vậy có 6 giải thưởng 150 000 đồng.
Ví dụ 40. Một vận động viên thi bắn súng. Vận động viên đã bắn hơn 11 viên và đều bắn
vào các vòng 8, 9 và 10 điểm. Tổng số điểm mà vận động viên đạt được là 100 điểm. Hỏi
vận động viên đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào từng vòng ra sao?
Lời giải.
Gọi x, y, z ∈ N∗ lần lượt là số viên đạn bắn vào vòng 8, 9 và 10 điểm. Khi đó ta có hệ phương
trình
x + y + z > 11
8x + 9y + 10z = 100.
Ta có, 100 = 8(x + y + z) + y + 2z > 88 + y + 2z. Nếu x + y + z = 13 thì 100 > 104 + y + 2z (vô
lý). Do đó, x + y + z = 12. Thay vào
8x + 9y + 10z = 100 ⇔ 96 + y + 2z = 100 ⇔ y + 2z = 4.
Nhận thấy, chỉ có trường hợp y = 2, z = 1 thỏa và suy ra x = 12 − 2 − 1 = 9.

✧ Vậy x = 9, y = 2, z = 1.
Ví dụ 41. Tìm một số có ba chữ số biết rằng tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng
đơn vị lớn hơn chữ số hàng trăm là 10 đơn vị. Tích của chữ số hàng chục và chữ số hàng
đơn vị nếu bớt đi 1 thì bằng 10 lần chữ số hàng trăm.
Lời giải.
Gọi x, y, z (x ∈ N∗ , y, z ∈ N) lần lượt là ba chữ số của số cần tìm. Tức là xyz = 100x + 10y + z
là số cần tìm. Khi đó ta có hệ phương trình
y + z = 10 + x
yz − 1 = 10x.
Nhận thấy rằng, y + z = 10 + x ≥ 11 (do x ≥ 1), giả sử y ≥ z suy ra y ≥ 6. Ta chia thành các
trường hợp y ∈ {6, 7, 8, 9} và thấy rằng y = 9 thỏa mãn, dẫn đến x = 8, z = 9.
✧ Vậy số cần tìm là 899.
3
4
tổng hai chữ số kia. Nếu cộng thêm 99 vào số đó ta được một số có 3 chữ số đứng theo thứ
tự ngược lại.
Ví dụ 42. Tìm số có ba chữ số biết rằng tổng 3 chữ số là 14, chữ số hàng đơn vị bằng


22

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10

Lời giải.
Gọi xyz = 100x + 10y + z là số cần tìm, x, y, z ∈ 0, 9, x = 0. Khi đó ta có hệ phương trình




x + y + z = 14






x = 5
x + y + z = 14

x + y + z = 14
3
⇔ 3x + 3y − 4z = 0 ⇔ y = 3
z = (x + y) ⇔ 3x + 3y − 4z = 0




4

z = 6.
x − z = −1
100x + 10y + z + 99 = 100z + 10y + x

xyz + 99 = zyx
✧ Vậy số cần tìm là 536.
Ví dụ 43. Một ca nô chạy xuôi dòng với 96 km và ngược dòng 16 km mất tổng cộng 4 giờ.
Nếu ca nô đó chạy xuôi dòng 75 km và ngược dòng 30 km thì cũng mất thời gian như trên.
Hỏi vận tốc ca nô và vận tốc dòng nước là bao nhiêu?
Lời giải.
Gọi x, y ( km/h) lần lượt là vận tốc ca nô và vận tốc nước. Khi đó, ta có hệ phương trình


16
96


+
=4

x = 25
x + y = 30
x+y x−y
⇔
⇔
30
75

y = 5.
x − y = 20

+
=4

x+y x−y
✧ Vậy vận tốc ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là 25 km/h và 5 km/h.
Ví dụ 44. Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 36 km. Lúc từ B quay về
A người ấy đi bộ nên vận tốc lúc về giảm đi 9 km/h so với vận tốc lúc đi. Biết vận tốc lúc
đi lớn hơn vận tốc trung bình của cả chuyến đi và về là 7,2 km/h. Tìm vận tốc trung bình
của cả chuyến đi.
Lời giải.
Gọi x ( km/h) là vận tốc lúc đi. Khi đó, vận tốc lúc về là x − 9 ( km/h). Gọi y ( km/h) là
36

36
vận tốc trung bình của cả chuyến đi. Thời gian lúc đi là
h và thời gian lúc về là
h. Ta
x
x−9

x = 7, 2 + y



x = 12
72
2x(x − 9) ⇔ y = x − 7,2
⇔
có y =
=

(x − 7,2)(2x − 9) = 2x(x − 9)
y = 4,8.
36
36
2x − 9


+
x
x−9
✧ Vậy vận tốc trung bình cả chuyến đi là 4,8 km/h.

CHỦ ĐỀ 2.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Dạng 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: Lập phương trình:
- Chọn ẩn số, đặt điều kiện cho ẩn số có nghĩa.
- Dùng ẩn số và các số đã biết để tìm các số chưa biết cần thiết.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Nhận xét và trả lời.


2.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

23

Ví dụ 1. Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn
thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may
trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 5 ngày trước khi hết thời hạn, xưởng may đã may
được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo?
Lời giải.
Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x (x ∈ N, x > 0).
3000
Thời gian quy định may xong 3000 áo là
(ngày).
x
Số áo thực tế may được trong 1 ngày là x + 6 (áo).
Thời gian may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có phương trình
3000
2650

−5=
x
x+6

(1.50)

Giải phương trình (1.50) ta được:
3000(x + 6) − 5x(x + 6) ⇔ x2 − 64x − 3600 = 0 ⇔

x1 = 100
x2 = −36 (Loại)

✧ Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo.
Ví dụ 2. Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn
một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn
Minh và Lan phải chọn những số nào?
Lời giải.
Gọi x là số mà một bạn (Minh hoặc Lan) đã chọn và số kia chọn là x + 5.
Khi đó tích của hai số là x(x + 5). Theo đề bài, ta có phương trình:
x(x + 5) = 150 ⇔ x2 + 5x − 150 = 0

(1.51)

Giải phương trình (1.51) ta được x1 = 10; x2 = −15.
✧ Nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại. Nếu bạn Minh chọn số −15
thì bạn Lan chọn số −10 hoặc ngược lại.
Ví dụ 3. Bác Thời vay 2000000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời
hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho
kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi
năm sau với lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2420000 đồng. Hỏi lãi

suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?
Lời giải.
Gọi x(%) là lãi suất ngân hàng cho vay trong một năm. Điều kiện x > 0.
x
Khi đó, tiền lãi sau một năm là: 2000000 ×
= 20000x (đồng)
100
Sau một năm đầu cả vốn lẫn lãi là: 2000000 + 20000x (đồng)
Tiền lãi năm thứ hai sẽ là: (20000x + 200x2 ) (đồng)
Sau hai năm bác Thời phải trả cả vốn lẫn lãi cho ngân hàng là:
2000000 + 20000x + 20000x + 200x2 = 2000000 + 40000x + 200x2


24

CHƯƠNG 1. TOÁN THỰC TẾ - ÔN THI LỚP 10

Theo đề bài ta có phương trình:
2000000 + 40000x + 200x2 ⇔ x2 + 200x − 2100 = 0
Giải phương trình ta được: x1 = 10; x2 = −210. Vì x > 0 nên ta chọn x = 10.
✧ Lãi suất ngân hàng cho vay là 10%/ năm.
Ví dụ 4. Một canô du lịch từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài
120 km. Trên đường đi, canô nghỉ lại một giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, canô đi theo
đường khác dài hơn đường lúc đi 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h.
Tính vận tốc của canô lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
Lời giải.
Gọi x ( km/h) là vận tốc canô lúc đi. Điều kiện x > 5.
Khi đó vận tốc lúc về là x − 5 ( km/h).
Thời gian đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi, trong đó có thời gian nghỉ 1 giờ tại Năm Căn,
120

+ 1 (giờ).
là
x
125
Đường về dài: 120 + 5 = 125 ( km) và thời gian về mất
(giờ).
x−5
Theo đề bài, ta có phương trình:
120
125
+1=
⇔ x2 − 10x − 600 = 0
x
x−5
Giải phương trình ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = −20 (loại).
✧ Vận tốc ca nô lúc đi là 30 km/h.
Ví dụ 5. Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với
một nửa của nó bằng một nửa đơn vị.
Lời giải.
Gọi số phải tìm là x.
Khi đó một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là:

x 1
− .
2 2

Theo giả thiết, ta có phương trình:
x 1
−
2 2

.

x
1
= ⇔ x2 − x − 2 = 0
2
2

Giải phương trình ta được x1 = −1; x2 = 2.
✧ Số phải tìm là −1 hoặc 2.
Ví dụ 6. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
Lời giải.
Gọi số tự nhiên bé là x. Điều kiện x ≥ 0.
Khi đó, số tự nhiên liền sau là: x + 1.
Tích của hai số này là x(x + 1) và tổng của chúng là x + (x + 1) = 2x + 1.
Theo đề bài , ta có phương trình:
x(x + 1) = 2x + 1 + 109 ⇔ x2 − x − 110 = 0
Giải phương trình ta được x1 = 11 (nhận); x2 = −10 (loại).
✧ Hai số phải tìm là 11 và 12.


2.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

25

Ví dụ 7. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2 . Nếu tăng chiều rộng 3 m và
giảm chiều dài 4 m thì diện tích mặt đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.
Lời giải.
Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật. Điều kiện: x > 0.

240
(m).
Diện tích mảnh đất bằng 240 m2 nên chiều dài hình chữ nhật là:
x
Khi tăng chiều rộng lên 3m và giảm chiều dài 4m thì mảnh đất mới có chiều rộng là (x + 3) (m),
240
240
− 4 (m) và diện tích là (x + 3)
− 4 ( m2 ).
chiều dài là
x
x
Theo đề bài ta có phương trình:
(x + 3)

240
−4
x

= 240 ⇔ x2 + 3x − 180 = 0

Giải phương trình ta được: x1 = 12 (nhận); x2 = −15 (loại).
✧ Chiều rộng mảnh đất là 12 (mét) và chiều dài là 240 : 12 = 20 (mét)
Ví dụ 8. Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng bên lên tỉnh trên với quãng đường dài 30
km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc của xe cô Liên là 3
km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
Lời giải.
Gọi x ( km/h) là vận tốc xe của bác Hiệp. Điều kiện x > 3. Khi đó, vận tốc xe của cô Liên là
(x − 3) ( km/h).
30

30
Thời gian Bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là
(giờ) và thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là
x
x−3
(giờ).
Theo đề bài ta có phương trình
30
1
30
−
= ⇔ x2 − 3x − 180 = 0
x−3
x
2
Giải phương trình ta được: x1 = 15 (nhận); x2 = −12 (loại)
Ví dụ 9. Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc hình vuông có cạnh
bằng 5 dm để làm thành một cái thùng không có nắp có dung tích 1500 dm3 (hình dưới).
Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
5 dm

5 dm

5 dm

5 dm
Lời giải.
Gọi x (dm) là chiều rộng của miếng tôn lúc đầu. Điều kiện x > 10. Khi đó, chiều dài của nó là 2x
(dm).