Kiến Thức Cơ Bản Toán 11

KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI TÍCH 11
**BẢNG GTLG CỦA CÁC GÓC ĐẬC BIỆT
α
0
0
30
0
6/
π
45
0
4/
π
60
0
3/
π
90
0
2/
π
180
0

π
120
0
3/2
π
135
0

4/3
π
150
0
6/5
π
360
0
π
2
sin
α
0
2
1
2
2
2
3
1 0
2
3
2
2
2
1
0
cos
α
1

2
3
2
2
2
1
0 -1
2
1
−
2
2
−
2
3
−
1
tan
α
0
3
1
1
3
// 0
3
−
-1
3
1

−
0
cot
α
//
3
1
3
1
0 //
3
1
−
-1
3
−
//
A.PT LG-PT ĐẶC BIỆT
1/Pt sinu
sinu=sinv
⇔



+−=
+=
ππ
π
2
2

kvu
kvu
sinx = 0
⇔
x = k
., zk
∈
π
sinx = 1
⇔
x =
.,2
2
zkk
∈+
π
π
sinx = -1
⇔
x =-
.,2
2
zkk
∈+
π
π

2/Pt cosu
cosu=cosv
⇔




+−=
+=
π
π
2
2
kvu
kvu
(k
)z
∈
cosx = 0
⇔
x =
.,
2
zkk
∈+
π
π
cosx = 1
⇔
x = k2
., zk
∈
π
cosx = -1

⇔
x = (2k+1)
., zk
∈
π
3/Pt tanu
tanu=tanv
π
kvu
+=⇔
(k
)z
∈
tanx = 0
⇔
x = k
., zk
∈
π
tanx = 1
⇔
x =
.,
4
zkk
∈+
π
π

tanx = -1

⇔
x = -
.,
4
zkk
∈+
π
π
4/Pt cotu
cotu=cotv
π
kvu
+=⇔
(k
)z
∈
cotx = 0
⇔
x =
+
2
π
k
., zk
∈
π
cotx = 1
⇔
x =
.,

4
zkk
∈+
π
π

cotx = -1
⇔
x = -
.,
4
zkk
∈+
π
π
5/Phương trình dạng asinx+bcosx = c
Pt
⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
⇔
2 2
sin .cos cos .sin
c
x x

a b
α α
+ =
+
⇔ sin(x+α) =
2 2
c
a b+
( với cosα=
2 2
a
a b+
,sinα=
2 2
b
a b
+
)
*Chú ý
1/Công thức cộng
*cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
*cos(a+b) = cosacosb – sinasinb
*sin(a-b) = sinacosb - cosasinb
*sin(a+b) = sinacosb + cosasinb
*tan(a – b) =
tan tan
1 tan tan
a b
a b
−

+
*tan(a + b) =
tan tan
1 tan tan
a b
a b
+
−
2/Công thức nhân đôi
*sin2a = 2sinacosa
*cos2a =cos
2
a-sin
2
a
= 2cos
2
a -1=1-2sin
2
a
*tan2a =
2
2tan
1 tan
a
a
−
3/Công thức hạ bậc
*cos
2

a =
1 cos 2
2
a
+
*sin
2
a =
1 cos2
2
a
−
*tan
2
a =
1 cos2
1 cos2
a
a
−
+
4/Công thức cơ bản
*sin
2
x=1-cos
2
x
*cos
2
x=1-sin

2
x
5/Công thức biến đổi tổng thành tích
*cosu + cosv = 2cos
cos
2 2
u v u v+ −
*cosu – cosv = -2sin
sin
2 2
u v u v+ −
*sinu + sinv = 2sin
cos
2 2
u v u v+ −
*sinu - sinv = 2cos
sin
2 2
u v u v+ −
6/Công thức biến đổi tích thành tổng
*cosacosb =
[ ]
1
cos( ) cos( )
2
a b a b− + +
*sinasinb =
[ ]
1
cos( ) cos( )

2
a b a b− − +
*sinacosb =
[ ]
1
sin( ) sin( )
2
a b a b− + +
7/Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
*tan
sin
cos
α
α
α
=

*cot
cos
sin
α
α
α
=
*sin
2
α
+ cos
2
α

= 1
*tan
.cot 1
α α
=

*1 + tan
2
α
=
2
1
cos
α

*1 + cot
2
α
=
2
1
sin
α

8/ Hai góc đối nhau:
αα
αα
sin)sin(
cos)cos(
−=−

=−
)cot()cot(
tan)tan(
αα
αα
−=−
−=−
9/ Hai góc phụ nhau
αα
π
αα
π
sin)
2
cos(
cos)
2
sin(
=−
=−
αα
π
αα
π
tan)
2
cot(
cot)
2
tan(

=−
=−
B.TỔ HỢP-XÁC SUẤT
1/ Số các hoán vị
! ( 1)...2.1
n
p n n n= = −
2/Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :

k
n
A
=
( )
!
( 0 k n)
!
n
n k
≤ ≤
−

3/Số tổ hợp chập k của n phần tử :
k
n
C
=
( )
!
( 0 k n)

! !
n
k n k
≤ ≤
−
*Chú ý
−
= ≤ ≤
k n k
n n
C C 0 k n

−
− −
+ = ≤ ≤
k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C 1 k n
5/CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN:
( )
0 1 1
..... ...
n
n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + + +
C.DÃY SỐ-CSC-CSN
I/CẤP SỐ CỘNG

1/(u
n
)là cấp số cộng
⇔
u
1+n
= u
n
+ d
2/ Số hạng tổng quát

1n
u u=
+(n-1)d
3/Tổng n số hạng đầu
+ −
=
1
n
n[2u (n 1)d]
S
2
+
=
1 n
n
n(u u )
S
2
II/CẤP SỐ NHÂN

1/
( )
n
u
là cấp số nhân
..
1
quu
nn
=⇔
+
2. Số hạng tổng quát

1
1
.
−
=
n
n
quu
3/ Tổng n số hạng đầu
( )
q
qu
S
n
n
−
−

=
1
1
1
D.GIỚI HẠN HÀM SỐ
1/Dạng
0
0
:
+Phân tích biểu thức thành tích(chia lược
đồ Hoocne)
+Nhân và chia biểu thức với lượng liên
hợp
2/Dạng
∞
∞

+Chia tử và mẫu choluỹ thừa với số mũ
cao nhất
3/Dạng
∞−∞

+Nhân và chia biểu thức với lượng liên
hợp
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
I. Đường thẳng và mặt phẳng .
1.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách
1)
- Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là

giao tuyến của hai mặt phẳng
-Chú ý : Để tìm điểm chung của hai mặt
phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đòng
phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó .
Giao điểm , nếu có của hai đường thẳng này
chính là điểm chung của hai mặt phẳng .
2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt
phẳng
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt
phẳng (P) , ta tìm trong (P) một đường
thẳng c cắt A tại điểm A nào đó thì A là
giao điểm của a và (P) .
Chú ý : Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một
mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến
của (P) và (Q) .
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng , chứng
minh 3 đường thẳng đồng quy .
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta
chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung
của hai mặt phẳng phân biệt.Khi đó chúng
sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt
phẳng đó .
- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng
quy ta chứng minh giao điểm của hai đường
nàylà điểm chung của hai mặt phẳng mà
giao tuyến là đường thẳng thứ ba .
II.Đường thẳng // .
1. Chứng minh hai đường thẳng song
song:
Có thể dùng một trong các cách sau :

- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng
phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng
minh song song rong hình học phẳng (như
tính chất đường trung bình, định lý đảo của
định lý Ta-lét ...)
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng
song song song với đường thẳng thứ 3 .
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
2 . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(cách 2 / dạng 1)
Thiết diện qua một đường thẳng song song
với một đường thẳng cho trước .:
* Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
* Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm
phương của giao tuyến (tức chứng minh
giao tuyến song song với một đường thẳng
đã có)
Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm
chung và song song với đường thẳng ấy .
-Ghi chú : Ta có 2 cách để tìm giao tuyến :
Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm
chung + phương giao tuyến) ta thường sử
dụng phối hợp 2 cách khi xác định thiết
diện của hình chóp .
III.Đường thẳng // với mặt phẳng .
1. Chứng minh đường thẳng d song song với
mặt phẳng P
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song
song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta

chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao
tuyến của (P) và (Q) .
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(Cách 2 /
dạng 2)
Thiết diện song song với một đườc thẳng cho
trước :
Nhắc lại một hệ quả : Nếu đường thẳng d song
song với một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng
(Q) nào chứa d mà cắt (P) thì sẽ cắt (P) theo giao
tuyến song song với d .
Từ đây xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
mặt phẳng song song với một hoặc hai đường
thẳng cho trước theo phương pháp đã biết .
IV.Mặt phẳng //.
1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường
thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .
-Chú ý :Sử dụng tính chất
ta có cách thứ 2 để chưngs minh đường thẳng a
song song với mặt phẳng (P) .
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 /
dạng 3)
Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với
một mặt phẳng cho trước .
- Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng
bằng định lý về giao tuyến :"Nếu hai mặt phẳng
song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì
hai giao tuyến song song với nhau " .
- Ta thường sử dụng định lý này để xác định

thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng
song song với một mặt phẳng cho trước theo
phương pháp đã biết .
- Chú ý : Nhớ tính chất