Đề cương ôn tập có đáp án TOÁN 8 HK 2 THCS NGHĨA tân 2018 2019

1)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS

MỤC LỤC
A. ĐỀ BÀI ........................................................................................................................................................................ 2
1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ........................................................................................................................... 2
2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH .................................................................. 3
3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNHV ............................................................................... 4
4. DẠNG 4. HÌNH HỌC ........................................................................................................................................... 5
5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC ...................................................................................................................... 7
B. HƯỚNG DẪN GIẢI ...................................................................................................................................................... 8
1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ........................................................................................................................... 8
2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ................................................................14
3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ................................................................................19
4. DẠNG 4. HÌNH HỌC .........................................................................................................................................22
5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC ....................................................................................................................28

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội


2)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
PHÒNG GD & ĐT CẦU GIẤY
TỔ TOÁN

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 HỌC KÌ II
Năm học 2018 – 2019

A. ĐỀ BÀI

1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
x  11   3  x



36

x 3

Bài 1. Cho biểu thức Q  1 


:
 với x  3; x  3
x  1   x  3 9  x2 x  3 

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn Q
b) Tính giá trị của Q biết 2x2  6x  0
c) Tìm điều kiện của m để luôn có giá trị của x thỏa mãn Q  m
d) Tìm x để Q   x
e) Tìm x để Q  1
x2  2x  x  2
1
6  x2 
Bài 2. Cho biểu thức A  2
:


 với x  0; x  2; x  2
2  x x2  2 x 

x  4x  4  x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị biểu thức A biết 2x  1  3

c) Tìm x để A  0
e) Tìm GTNN của A với x  2

d) Tìm các giá trị x nguyên để B nhận giá trị nguyên

9  3x



x5

x  1  7 x  14

Bài 3. Cho biểu thức B   2
với x  1; x  2; x  5


: 2
 x  4x  5 1  x x  5  x  1
a) Chứng minh B 

x 1
x2

b) Tính giá trị B biết  x  5 – 9 x – 45  0
2

3
.
4

c) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

d) Tìm x để B 

e) Tìm x để B  0 .

f) Tìm GTLN của M biết M 

g) Với x  2, tìm GTNN của B.
2 x
4 x2
2  x  x 2  3x
với x  0; x  2; x  3
 2

: 2
3
 2  x x  4 2  x  2x  x

Bài 3. Cho biểu thức P  
a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P biết x – 5  2

c) Tìm x để P  0
e) Tìm GTNN của P khi x  3

d) Tìm x thỏa mãn P  8

Bài 4. Cho biểu thức M 

x2
5
1
 2

với x  3; x  2
x3 x  x6 2 x

a) Chứng minh M 

x4
x2

b) Tìm x biết M  3

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội

2
:B
x2

3)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
c) Tính giá trị của M biết x2  2 x  1   3x – 5

2

d) Tìm giá trị của tham số m để phương trình M  m có nghiệm duy nhất.
1
x2  8
4
Bài 5. Cho biểu thức P 
với x  2
 3
 2
x  2 x  8 x  2x  4

a) Rút gọn biểu thức P
c) So sánh P với 0
Bài 6. Cho 2 biểu thức A 

b) Tính giá trị của biểu thức P biết 2x2  x – 6  0
d) Tìm GTNN của P

1
x2  x
1
x

và

với x  1; x  1; x  
B

2
2
x 1 1 x
2x  1

a) Tính giá trị của biểu thức B khi 4 x 2  1
c) Tìm giá trị x để M < 1
Bài 7. Cho biểu thức A 

b) Rút gọn M  A.B

x2  2x
x2 x2
16


và B 
với x  2; x  1
x  2 x  2 4  x2
x 1

a) Tính giá trị của A khi x –1  2

b) Đặt P  A.B . Rút gọn biểu thức P

c) Tìm x để P  8
2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Bài 8. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 5 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 7
giờ. Tính quãng đường từ bến A đến bến B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 2km/giờ.
Bài 9. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 45km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 40km/h
nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 10. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B người đó nghỉ
20 phút rồi quay về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả
đi và về là 5h 50 phút.
Bài 11. Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km/h. Sau đó 30 phút, một xe con xuất
phát từ B để đi đến A với vận tốc 60km/h. Biết quãng đường AB dài 80km/h. Hỏi sau bao lâu kể từ
khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau?
Bài 12. Một ô tô đi từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc trung bình 30km/h. Trên quãng đường từ
đền Hùng về Hà Nội, vận tốc ô tô tăng thêm 10km/h nên thời gian về ngắn hơn thời gian đi 36 phút.
Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng.
Bài 13. Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm trong 1 ngày. Do cải tiến kỹ thuật, anh đã làm
được 80 sản phẩm một ngày. Vì vậy, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày và còn làm thêm được
40 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch.
Bài 14. Một tổ dự định mỗi giờ dệt 28m vải. Nhưng thực tế mỗi giờ, tổ đó đã dệt ít hơn 4m vải. Do
vậy, tổ đã làm quá thời gian dự định 2h mà còn thiếu 5m vải nữa mới hoàn thành kế hoạch. Tính số
vải tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch.

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội


4)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Bài 15. Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Trước khi thực
hiện, xí nghiệp giao thêm cho người đó 29 sản phẩm nữa. Do đó mặc dù mỗi giờ người đó đã làm
thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.
Bài 16. Hai công nhân cùng làm một công việc trong 4 ngày thì xong. Biết rằng nếu một mình xong

công việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai 6 ngày. Tính thời gian mỗi người làm
một mình xong công việc.
Bài 17. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều
dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.
Bài 18. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ
thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời
gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là
bao nhiêu?
Bài 19. Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm qui định. Vì trong đội có
2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc
đầu.
Bài 20. Một hình chữ nhật có chu vi là 78cm. Nếu giảm chiều dài đi 3cm và tăng chiều rộng thêm
4 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu.
3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 21. Giải các phương trình và bất phương trình sau:

 x  5 x –1  2x  x –1
2
2
2.  x 2 – 5 x  7  –  2 x – 5   0
1.

3. 3x2 – 7 x  4  0
4. 2  x  3 – x2 – 3x  0
5. x  27   x  3 x – 9  0

12.
13.

3

6.
7.
8.
9.
10.

x  5 2x  3 2x 1


4
3
12
2x  5
4
3x  1
1  2

x3
x  2x  3 1 x
x2
3
3


1
x  1 x  2 ( x  1)( x  2)
x3 x2

2

x 1
x
x 1
x
7x  3


x  3 x  3 9  x2

96
2 x  1 3x  1


x  16 x  4 x  4
2x
x
4

 1
2x 1 2x  1
(2 x  1)(2 x  1)
x2 1
2
  2
x  2 x x  2x
x
x
2x  4

 2

2x  6 2x  2 x  2x  3
x 7x  5 4x


 8
2
3
5

11. 5 

14.
15.

2

16. 3x+ 3 < 5(x + 1) – 2
2x  3 x 1 1 3  x

 
4
3
2
5
x 1
1
18.
x3

17.

19.  x2  1  3x – 2   0
20.  x – 2 x  1  0

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội


5)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
21.

2x 1
2
x3

4. DẠNG 4. HÌNH HỌC
Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  6cm, AC  8cm, đường cao AH , phân giác
BD cắt nhau tại I .
a) Chứng minh: ABH ” CBA
c) Chứng minh: AB.BI  BD.HB
d) Tính diện tích BHI
b) Tính AD, DC
Bài 23. Cho góc xOy. Trên Ox lấy 2 điểm A và B sao cho OA  3cm, OB  8cm. Trên Oy
lấy 2 điểm C và D sao cho OC  4cm, OD  6cm.
a) Chứng minh: OAD ” OCB
b) Gọi I là giao điểm của AD và BC . Chứng minh: IA.ID  IB.IC
c) Tính tỉ số diện tích của IAB và ICD
Bài 24. Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng:
a) AE. AB  AD. AC

b) AED = ACB
c) Tính diện tích ABC biết AC  6cm, BC  5cm, CD  3cm
d) BE.BA  CD.CA  BC 2
Bài 25. Cho MNP vuông tại M , đường cao MH , trung tuyến MD. Biết MN  6cm,
MP  8cm.

a) Tính NP, MH
b) Chứng minh MHN ” PMN
c) Chứng minh rằng: MH .MP  MN .PH
d) Tính diện tích tam giác MHD
Bài 26. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC, M là 1 điểm tùy ý trên BC. Qua M
kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đoạn AB tại I và cắt tia CA tại D. Chứng minh rằng:
a) ABC ” MDC
b) BI .BA  BM .BC
c) CI cắt BD tại K . Chứng minh BI .BA  CI .CK không phụ thuộc vào vị trí của
điểm M.
d) MAI  BDI , từ đó suy ra AB là tia phân giác của góc MAK .
Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A có AB  AC  5cm, BC  6cm. Phân giác của góc B
cắt AC tại M , phân giác của góc C cắt AB tại N .
a) Tính AM , MC
b) Tính MN
c) Tính tỉ số diện tích của AMN và ABC
d) Tính diện tích tam giác BMN
Bài 28. Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kì trên cạnh BC . Kẻ tia Ax vuông góc
với AE cắt CD tại F . Kẻ trung tuyến AI của tam giác AFE và kéo dài cắt CD tại K . Qua
E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AI tại G. Chứng minh rằng:
a) AE  AF
b) Tứ giác EGHF là hình thoi
c) FIK ” FCE
Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội

6)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
d) EK  BE  DK và khi E chuyển động trên BC thì chu vi tam giác ECK không
thay đổi
Bài 29. Cho tam giác đều ABC. Gọi O là trung điểm của BC . Tại O dựng góc xOy  600
Tia Ox cắt cạnh AB tại M , tia Oy cắt cạnh AC tại N . Chứng minh:
a) BOM ” CNO
c) BOM ” ONM và OM là phân giác của BMN

b) BC 2  4BM .CN
d) ON 2  CN.MN

Bài 30. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu
của H trên AB, AC.
a)
b)
c)
d)

Chứng minh AMH ” AHB và AM .AB  AH 2
Chứng minh AM . AB  AN . AC
Cho AH  6cm, BC  9cm. Tính diện tích tam giác AMN
Gọi P là điểm đối xứng với H qua AB, đường thẳng qua B và vuông góc với BC
cắt AP tại I . Chứng minh MN , AH , CI đồng quy.

Bài 31. Cho tam giác ABC  AB  AC  có đường phân giác AD. Hạ BH , CK vuông góc
với AD. Chứng minh rằng:

a) BHD ” CKD

b) AB. AK  AC. AH

c)

DH BH
AB


DK CK
AC

d) Qua trung điểm M của cạnh BC kẻ đường thẳng song song với AD và cắt cạnh
AC tại E, cắt tia BA tại F. Chứng minh BF  CE
Bài 32. Cho hình chữ nhật ABCD. M là hình chiếu của A trên BD.
a) Chứng minh: ∆ ABD đồng dạng với ∆ MAD
b) Nếu AB  8cm, AD  6cm, tính đoạn DM .
c) Đường thẳng AM cắt các đường thẳng DC và BC thứ tự tại N và P. Chứng minh:
AM 2  MN.MP

d) Lấy điểm E trên cạnh AB, F trên cạnh BC, EF cắt BD ở K . Chứng minh:
AB BC BD


BE BF BK

Bài 33. Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  . D là trung điểm của BC . Đường thẳng
qua D và vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC và AB theo thứ tự tại E và F .
a) Chứng minh ∆ AEF đồng dạng với ∆ DEC từ đó suy ra EA.EC  ED.EF

b) Chứng minh: ADE  ECF
c) Chứng minh CE.CA  BA.BF  BC 2

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội


7)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
d) Trên tia đối của tia CB lấy điểm K bất kì, đường thẳng d tùy ý đi qua K cắt các
đoạn FC và FB lần lượt tại M và N . Chứng minh

BK CK

không phụ thuộc vị
BN CM

trí điểm K và đường thẳng d.
Bài 34. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH .
a) Chứng minh ∆ ABH đồng dạng với ∆ CAH , từ đó suy ra AH 2  BH .CH
b) Cho BH  4cm, BC  13cm. Tính AH , AB
c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt
cạnh AC tại F . Chứng minh: AE.CH  AH .FC
d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.
5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC
Bài 29. Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau:
a)
b)
c)
d)

e)

A  1  6 x – x2
B  2 x2  6 x  8
C  x 2  3 y 2 – 2 xy – 2 y

g) G 

6 x  17
x2  2

 2  x 8  x 
h) H 
2

D  2 x 2  y 2  2 xy – 2 x  2 y  2

E  x 2  2 y 2  9 z 2 – 2 x  12 y  6 z  24
7
f) F =
10 x  x 2  30

x2
3x 2  6 x  10
i) I = 2
x  2x  3

Bài 30. Tìm giá trị của m để:
m( x  1)  2 x
 1 có nghiệm lớn hơn 1.

x2
m( x  1)  x
 2 có nghiệm nhỏ hơn 1.
b) Phương trình
x 1

a) Phương trình

Bài 31. Chứng minh với mọi x phương trình x  1  2 – x  4x2  12x –10 vô nghiệm.
Bài 32. Tìm các giá trị nguyên của x để A 

10 x 2  7 x  5
có giá trị nguyên.
2x  5

Bài 33. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 1


2
2
2
b) a  b  c  ab  bc  ca với ∀a,b,c
1
c) a2 + b2 ≥ với a  b  1
2
2
2
d) a  5b – 4ab  2a – 6b  2  0 a, b

a) P  (a  b)     4 với a, b  0
a b

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội

2


8)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
e)

a 2 b2 c 2 a b c
 
   với a, b, c  0 .
b2 c 2 a 2 b c a

Bài 34. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:
a
b
c


2
bc ca ab

Bài 35. Cho a, b, c  0 thỏa mãn điều kiện a  b  c 
A abc

3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

1 1 1
 
a b c

Bài 36. Cho x  1; y  1 và x  y  6. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S  3x  4 y 
B. HƯỚNG DẪN GIẢI
1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1. Thiếu
Bài 2: Thiếu
Bài 3.1
x  5 x  1  7 x  14
 9  3x
a. B   2


: 2
 x  4x  5 1  x x  5  x 1

 9  3x   x  5 2   x  1 x  1   x  1 x  1

.
 x  5 x  1

 7  x  2 
9  3x  x 2  10 x  25  x 2  1  x  1 x  1


.
7  x  2
 x  5 x  1

b.

7  x  5

 x  1  x  1
 x  5 7  x  2  x  2
2
 x + 5 – 9x – 45 = 0
.

  x + 5 – 9  x + 5 = 0
2

  x + 5  x + 5 – 9  = 0
  x + 5  x – 4  = 0
 x  5

x  4

Kết hợp ĐKXĐ : x   1; x  2; x   5  x = 4 ( thỏa mãn điều kiện)

5
9

x 1 y 1

9)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Thay x = 4 vào biểu thức B , ta có : B 
Vậy x = 4 thì B 

4 1 5

42 2

5
.
2

c. Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên :
B nhận giá trị nguyên 

x 1

x2



x23
3
 1

x2
x2

mà 1

  x  2  Ư( 3)= 1;  3  x   1;3;5

Kết hợp ĐKXĐ : x  1; x  2; x   5  x  3;5 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy x 3;5 thì B nhận giá trị nguyên.
3
4
3
x  1 3
2
B


 4 x  4  3 x  6  7 x  2  x  ( thỏa mãn điều kiện) .
4
x2 4
7
2
Vậy x  .
7

d. Tìm x để B 

e. Tìm x để B < 0
x 1
 0   x  1 x  2   0  1  x  2
x2
Kết hợp ĐKXĐ : x   1; x  2; x   5

B  0

 1  x  2; x  1 thì B < 0.
2
:B
x2
2
2
x 1
2 x2
M
:B
:

.
x2
x  2 x  2 x  2 x 1
2
M
x 1

f. Tìm GTLN của biểu thức M biết M 

Để biểu thức M đạt GTLN thì  x  1 có giá trị dương nhỏ nhất  x  0
g. Với x > 2, tìm GTNN của B
9
a.

 2  x 4 x2
2  x  x 2  3x

P=
 2

: 2 3
 2  x x  4 2  x  2x  x


10)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
  x  2 2  4 x 2   2  x 2  x 2  2  x 

.
 2  x  x  2 

 x  x  3
x2  4x  4  4x2  4  4 x  x2
x

.
 x  2
 x  3


4x  x  2
4 x2  8x
x
x
4x2

.

.

 x  2   x  3  x  2   x  3 x  3
x  5  2
 x  7 (tmđk) hoặc x  3 ( không thỏa mãn
 x  5  2

b. Biết x – 5  2  x  5  2  
ĐKXĐ).

Thay x  7 vào biểu thức P , ta có : P 
c. P  0 

4 x2
 0, mà 4 x 2  0 x 
x 3

4.72
 49 .
73

 x 3  0  x  3.

Kết hợp ĐKXĐ : x  0; x   2; x  3 , ta có P  0  x  3 .
d. Tìm x thỏa mãn P = - 8
4 x2
P = 8 
 8

x 3

 4 x 2  8 x  24  0
 x2  2 x  6  0



  x  1  7   7
2



2

 x  7 1

 x   7  1

e. Tìm GTNN của P khi x > 3





2
4 x2 4 x  9  36
36
36
P


 4  x  3 
 4  x  3 
 24
x 3
x 3
x 3
x 3

Với x  3  x  3  0 .Áp dụng BĐT Cô si với hai số không âm : 4  x  3 và

36
, ta có:
x3


11)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
36
36
 2 4  x  3 .
 2.2.6  24
x 3
x 3
36
 4  x  3 
 24  24  24  48
x 3
 P  48

4  x  3 

 Pmin  48

Dấu “ = ” xảy ra  4  x  3 

x  6
36
2
2
  x  3  9   3  
x 3
 x  0 l 

Vậy Pmin  48  x  6 .
Bài 4.
a. Chứng minh M 

x4
x2

x2
5
1
 2

x3 x  x6 2 x
 x  2  x  2   5   x  3

M



 x  3 x  2 



 x  3 x  4 
x2  4  5  x  3
x 2  x  12


 x  3 x  2   x  3 x  2   x  3 x  2 



x4
x2

b. Tìm x biết M  3 :
x4
 3
x2
 x  4  3x  6
 4 x  10
5
 x  (tmđk)
2

M  3 

c. Tính giá trị của M biết :
x 2  2x  1 

 3x

– 5

2

 x 2  2x  1  9 x 2  30 x  25
 8x 2  32 x  24  0
 x2  4x  3  0  x2  4x  4 1  0
  x  2

2

 1=  1

x  2  1

 x  2  1

2


12)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
x  3

(thỏa mãn ĐKXĐ).
x  1

d. Tìm giá trị của tham số m để phương trình M = m có nghiệm duy nhất.
x4
m
x2
 x  4  mx  2m

M m

  m  1 x  4  2m (*)

Để phương trình M = m có nghiệm duy nhất  m  1  0  m  1 .
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là : x 
Bài 5.
a, Rút gọn P
Có:
P

x 2  2 x  4  ( x 2  8)  4( x  2)
 x  2  x2  2x  4



2 x  4
 x  2  x2  2x  4



2( x  2)
 x  2  x2  2x  4



2
x  2x  4
2

Vậy với x  2  P 

2
x  2x  4
2

b, Tính giá trị của P biết 2 x2  x  6  0
Có:

2 x 2  x  6  0   x  2  2 x  3  0
 x  2

(t / m)
x  3

2
+) Với x  2  P 

2

 2

2

 2.(2)  4



1
2

4  2m
.
m 1


13)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
3
2
8
P

2
2
37

3
3
   2.  4
2
2

+) Với x 

Vậy P  

8
1
hoặc P  
khi 2 x2  x  6  0
37
2

c, So sánh P với 0.
Có: P 

2
2
2


0
2
x  2 x  4  x  1  3 3
2

Vậy P < 0 x  2
d, Tính GTNN của P
Có P 
=> P 

2
2
2


2
x  2 x  4  x  1  3 3
2

2
 x  1 (t/m)
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P 

2
khi x  1
3

Bài 6.
Tính giá trị của biểu thức B khi 4 x 2  1

a)

1

1 
4 x 2  1  x   do x  
2
2
2

 1  1 1
  
1
 2  2  4  1
Với x   B 
.
1
2
2
8
2.  1
2

b) Rút gọn M  A.B

1
x

x 1 1  x2
x 2  x x  x  1
x 1 x
B



 x  1 x  1 ; 2 x  1 2 x  1

A



2x 1
 x  1 x  1
A.B 

Vậy

x
x 1

x  2


14)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
c) Tìm giá trị x để M < 1
x
1
x 1
1

0
x 1

 x 1  0
 x  1
M

Kết hợp với điều kiện xác định thì x > - 1 và x  1; x  

1
để M < 1
2

Bài 7:
 x 1  2
 x  3(TM )

 x  1  2
 x  1( KTM )

a)Ta có: x  1  2  

Thay x = 3 vào biểu thức A ta được: A 
Vậy khi x = 3 thì A 

32  2.3 3

3 1
4

3
4

b)ĐKXĐ: x  2; x  1
x2  2x x  2 x  2
16
.(


)
x  1 x  2 x  2 4  x2
x( x  2) ( x  2) 2  ( x  2) 2  16
P
.
x 1
( x  2).( x  2)

P  A.B 

x( x  2) x 2  4 x  4  x 2  4 x  4  16
.
x 1
( x  2).( x  2)
x( x  2)
8 x  16
x 8( x  2)
P
.

.
x  1 ( x  2).( x  2) x  1 x  2
8x
P

x 1

P

c)Ta có P < 8 

8x
8x
8x  8x  8
8
8
8  0 
0
0
x 1
x 1
x 1
x 1

Vì – 8 < 0 nên x + 1> 0 Hay x > -1.
Vậy khi x  1; x  2 thì P < 8.
2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Bài 8:
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h, ĐK:x> 2)


15)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x+2(km/h)
Vận tốc ngược dòng là x – 2 (km/h)
Quãng đường xuôi dòng là 5(x + 2) (km)
Quãng đường ngược dòng là 7(x – 2) (km)
Vì quãng đường xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình:
5( x  2)  7( x  2)
 5 x  10  7 x  14
 5 x  7 x  14  10

 2 x  24

 x  12(T / m)

Vậy Quãng đường từ A đến B là 5(12+2) = 70 (km)
Bài 9:
Đổi 10 phút =

1
h
6

Gọi x (km) là khoảng cách từ A đến B. (x > 0).
Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là
Thời gian người đi xe máy đi từ B về A là

x
h
45

x

h
40

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút, nên ta có phương trình:
(tm đk)
Vậy quãng đường AB dài 60km.
Bài 10.
Gọi x (km) là khoảng cách từ A đến B. (x > 0).
Đổi 5h 50 phút =

1
35
h, 20 phút = h
3
6

Theo giả thiết ta có: t AB 

x
x
, t BA 
30
25

x
x 1

  x  60
40 45 6

16)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Vì tổng thời gian từ khi đi từ A đến lúc quay về A là 5h 50 phút (tính cả thời gian 20 phút nghỉ tại
B) nên ta có phương trình:

t AB  t B  t BA 

35
x 1 x 35

 

 x  75
6
30 3 25 6

Chú ý: Bài này cần sửa đề thành tổng thời gian từ khi đi từ A đến lúc quay về A là 5h 50 phút chứ
nếu chỉ ghi là thời gian cả đi và về là 5h50 phút, học sinh sẽ nhầm là t AB  t BA 

35
.
6

Bài 11:
Gọi thời gian kể từ khi xe khách khởi hành đến khi hai xe gặp nhau là x (h), (x > 0,5)
Ta có quãng đường xe khách đi được là 50 x (km)
Thời gian xe con đi từ B đến khi gặp xe khách là x - 0,5 (h)

Quãng đường xe con đi được là 60 (x - 0,5) km
Vì hai xe gặp nhau nên hai xe phải đi hết quãng đường 80 km nên ta có phương trình

50x  60  x  0,5  80  50 x  60 x  30  80
 110 x  110  x  1 (thỏa mãn)
Vậy sau một giờ kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau.

Bài 12:
Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là x (km), ( x  0 )
Ta có thời gian ô tô đi là
Thời gian ô tô về là

x
(h)
30

x
(h)
40

Vì thời gian về ngắn hơn thời gian đi 36 phút 

36 3
 (h) nên ta có phương trình
60 5

x
x 3

  4 x  3x  72  x  72 (thỏa mãn)

30 40 5

Vậy quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là 72 km
Bài 13:
Sản phẩm

Năng suất

Thời gian


17)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Kế hoạch

x

60

x
60

Thực tế

x  40

80

x  40
80



Gọi số sản phẩm mà anh công nhân phải làm theo kế hoạch là: x (sản phẩm) x 

*



Số sản phẩm anh công nhân đã làm được trong thực tế là: x  40 (sản phẩm)

x
(ngày)
60
x  40
Thời gian mà anh công nhân đã làm được trong thực tế là:
(ngày)
80
Thời gian mà anh công nhân phải làm theo kế hoạch là:

Vì anh công nhân đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày nên ta có phương trình:

x x  40

2
60
80

4 x  3 x  40 
 2  x  120  480  x  600 (thỏa mãn)
240
Vậy số sản phẩm mà anh công nhân phải làm theo kế hoạch là: 600 sản phẩm.


Bài 14:
Số vải

Năng suất

Thời gian

Kế hoạch

x

28

x
28

Thực tế

x 5

28  4  24

x5
24

Gọi số vải mà tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch là: x (m)  x  5
Số số vải mà tổ đó đã dệt được trong thực tế là: x  5 (m)
Trong thực tế, mỗi giờ tổ đó dệt được: 28  4  24 (m)
Thời gian mà tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch là:
Thời gian mà tổ đó đã dệt được trong thực tế là:

x
(giờ)
28

x5
(giờ)
24

Vì tổ đó đã làm quá thời gian quy định 2 giờ nên ta có phương trình:


18)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
x5 x

2
24
28
x5 x

 2  7  x  5   6 x  336  x  35  336  x  371 (thỏa mãn)

24
28
Vậy số vải mà tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch là: 371 m


Bài 15, Bài 16. Chưa giải
Bài 17.
Nửa chu vi của hình chữ nhật là 48: 2  24  m .
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (đơn vị : m ). Điều kiện 0  x  24.
Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 24  x  m .
Sau khi tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chiều rộng mới là:
4  24  x   m và chiều dài mới là: 3x  m .

Theo bài ra, chu vi của khu vườn 162m , nên ta có phương trình:
4  24  x   3x  .2  162

Hay 96  4 x  3x  81  x  15.
Ta thấy giá trị x  15 thỏa mãn điều kiện đặt ra.
Do đó chiều dài của hình chữ là 15m , chiều rộng của nó là 9m .
Vậy diện tích khu vườn ban đầu 15.9  135  m2  .
Bài 18.
Gọi số sản phẩm mà tổ I được giao là x  x  N *  .
Thì số sản phẩm được giao của tổ II là 600  x .
Vì tổ I sản xuất vượt mức so với kế hoạch là 18% nên số sản phản vượt mức là 18%x  0,18x .
Vì tổ II sản xuất vượt mức so với kế hoạch là 21% nên số sản phản vượt mức là
21%  600  x   126  0, 21x .

Theo bài ra ta có phương trình: 0,18x  126  0, 21x  120  0,03x  6  x  200 (thoả mãn).
Vậy số sản phẩm của tổ I được giao là 200 (sản phẩm).
Vậy số sản phẩm của tổ II được giao là 400 (sản phẩm).

19)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Bài 19, Bài 20. Chưa giải
3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 21: Giải các phương trình sau:
1.  x  5 x  1  2x  x  1   x  1 x  5  2x   0   x  15  x   0  x  1 hoac x  5

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 1;5
2.  x 2  5 x  7    2 x  5   0   x 2  5 x  7  2 x  5  x 2  5 x  7  2 x  5   0
2

2

x  1
x  2
2
2
  x  3 x  2  x  7 x  12   0   x  1 x  2  x  3 x  4   0  
x  3

x  4

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 1;2;3;4
x  1
3. 3x  7 x  4  0   x  1 3x  4   0  
x  4

3

2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 3;2
 x  3
4. 2  x  3  x 2  3x  0  2  x  3  x  x  3  0   x  3 2  x   0  
x  2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 3;2
5. x 3 27   x  3 x  9   0   x  3  x 2  3x  9    x  3 x  9   0
  x  3  x 2  3 x  9  x  9   0   x  3   x 2  2 x   0
x  0
 x  x  3 x  2   0   x  3
 x  2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 0; 3;2
3  x  5  4  2 x  3 2 x  1
x  5 2x  3 2x  1





4
3
12
12
12
12

 3 x  5  4  2 x  3  2 x  1  3x  8 x  2 x  1  15  12  7 x  28  x  4

6.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 4


20)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
7.

2x  5
4
3x  1
1  2

ĐKXĐ: x  1; x  3
x3
x  2x  3 1 x

  2 x  5 x  1  x 2  2 x  3  4   3x  1 x  3
 2 x 2  2 x  5 x  5  x 2  2 x  3  4  3x 2  9 x  x  3  3x  9  x  3(ko t/m)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=  
8.

x2
3

3


 1 ĐKXĐ: x  1; x  2
x  1 x  2  x  1 x  2 

  x  2 x  2  3 x  1  3   x  1 x  2
 x 2  4  3x  3  3  x 2  x  2  4 x  2  x 

1
 t/m DK 
2

1
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=  

2

9.

x3 x2

 2 ĐKXĐ: x  1; x  0
x 1
x

 x  x  3   x  1 x  2  2x  x  1  x2  3x  x2  x  2  2x2  2x  0x  2

Vậy phương trình vô nghiệm.
x 1

x
7x  3


; dkxd: x  3
x  3 x  3 9  x2
  x  1 x  3  x  x  3  (7 x  3)  x 2  4 x  3  x 2  3x  3  7 x  0 x  0

10.

Vậy phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn đk x  3
96
2 x  1 3x  1


; DKXD: x  4
x  16 x  4 x  4
 5  x 2  16   96   2 x  1 x  4    3x  1 x  4 

11. 5 

2

 5 x 2  80  96  2 x 2  9 x  4  3x 2  11x  4  2 x  16  x  8  t/m dk 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 8


21)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
12.

2x
x
4
1

1
; DKXD:x  
2x  1 2x  1
2
 2 x  1 2 x  1

 2 x  2 x  1  x  2 x  1   2 x  1 2 x  1  4  4 x 2  2 x  2 x 2  x  4 x 2  1  4
 x  1(t/m)
x 1  0
 2 x  x  3  0   x  1 (2 x  3)  0  

 x   3  t/m 
2 x  3  0

2
2

3
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 1;  


13.

2

x2 1
2
  2
; DKXD: x  0; x  2
x  2 x x  2x

 x  0 (ko t/m DK)
 x  x  2    x  2   2  x 2  2 x  x  2  2  x 2  x  0  x  x  1  0  
 x  1 t / m 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1
x
x
2x  4

 2
; DKXD: x  3;x  1
2x  6 2x  2 x  2x  3
 x  x  1  x  x  3  2  2 x  4   x 2  x  x 2  3x  4 x  8  2 x 2  6 x  8  0

14.

 x  1 t / m 
  x  1 2 x  8   0  
 x  4  t / m 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 1; 4
x 7 x  5 4x
15 x 10  7 x  5 24 x 240


 8 



2
3
5
30
30
30
30
190
 15 x  70 x  50  24 x  240  79 x  190  x 
79

15.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S   x | x 


190 

79 

16. 3x  3  5 x  1  2  3x  5x  5  2  3  2x  0  x  0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x | x  0
17.

15  2 x  3 20  x  1 30 12  3  x 
2x  3 x  1 1 3  x

 




4
3
2
5
60
60
60
60

 15  2 x  3  20  x  1  30  12  3  x   30 x  45  20 x  20  30  36  12 x  59  2 x  x 

59
2


22)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S   x | x 


59 

2 

x 1
 1; DKXD: x  3
x3
x 1 x  3
x 1 x  3
2


0
0
 0  x  3  0  x  3(t / m)
x3 x3
x3
x3

18.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x | x  3
19.  x 2  1  3x  2   0

Vì x2  0 x  x2  1  1 x
Vậy để :  x 2  1  3x  2   0

 3x  2  0  x 

2
3

2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S   x | x  


3

20.  x  2  x  1  0
 x  2  0
 x  2


x 1  0
 x  1  x  2




 x  2  0
 x  2
 x  1


  x  1  0
  x  1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x | x  1; x  2
2x  1
2 x  1 2  x  3
2x  1  2x  6
 2;DKXD: x  3 

0
0
x3
x3
x3
x3
5

 0  x  3  0  x  3 (t / m)
x3

21.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x | x  3
4. DẠNG 4. HÌNH HỌC
Bài 22.


23)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
a) Chứng minh: ABH ∽CBA

C

- Do AH là đường cao của ABC  AHB  90
Xét ABH và CBA , ta có:

  ABH ∽ CBA  g  g 
AHB  CAB  90

B chung

H

D
I

b) Tính AD, DC
A

Xét ABC vuông tại A , ta có:

B

BC 2  AB2  AC 2 (định lý pytago)
BC 2  62  82  100  BC  10 cm

- Ta có : BD là phân giác của B


DC BC 10 5



 (tính chất đường phân giác trong tam giác)
DA AB 6 3

 DC 

5
DA
3
5
3

8
3

Mà DC  DA  AC  DA  DA  8  DA  8  DA  3 cm
 DC  AC  DA  8  3  5 cm

c) Chứng minh: AB.BI  BD.HB
Ta có BD là tia phân giác của B
 CBD  ABD hay HBI  ABD

Xét ABD và HBI ta có :
HBI  ABD  cmt 

  ABD ∽ HBI  g  g 
BAD  BHI  90 



AB BD

 AB.BI  BD.HB (đpcm)
HB BI

d) Tính diện tích BHI
Ta có: SABC 

1
1
AB. AC 6.8
AB. AC  AH .BC  AB. AC  AH .BC  AH 

 4,8 cm
2
2
BC
10


24)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Xét AHB vuông tại H ta có : AB2  AH 2  HB2 (định lý pytago)
 HB 2  AB 2  AH 2  62  4,82  12,96  HB  3, 6 cm

Mà S ABD 

1

1
AB. AD  .6.3  9 cm 2
2
2
2

2

S
 AB   6  25
Lại có : ABD ∽ HBI  cmt   ABD  

 
SHBI  HB   3,6 
9

Bài 23, 24. 25: Chưa giải


25)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS

Bài 26.
C
M

A

B

I

K
D

a) Xét ABC và MDC có : BAC  DMC  900 ; góc C chung nên ABC ∽ MDC  g.g 
b) Xét ABC và MBI có: BAC  BMI  900 ; góc B chung nên :
ABC ∽ MBI  g.g  

AB BC

 BI .BA  BM .BC (1)
BM BI

c) Vì AB  CD; DM  BC  I là trực tâm CDB  CK  DB tại K.
Xét CIM và CBK có: CMI  CKB  900 ; góc C chung nên :
CIM ∽ CBK  g .g  

CI CM

 CI .CK  CM .BC (2)
CB CK

Từ (1)(2) suy ra BI .BA  CI .CK  BM .BC  CM .BC  BC  BM  CM   BC 2
Vậy BI .BA  CI .CK không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
d) Xét IMB và IAD có: IMB  IAD  900 ; AID  MIB ( đối đỉnh)
Suy ra IMB ∽ IAD  g.g  
Xét IMA và IBD có:

IM IB

IA ID

IM
IB

(cmt) và AIM  DIB ( đối đỉnh)
IA ID

Suy ra IMA ∽ IBD  c.g.c   MAI  BDI
Xét DBA và DCK có: DAB  DKC  900 ; D chung nên DBA ∽ DCK  g.g 


DA DB

DK DC