Khóa Luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và ứng dụng

TrườngSuưPhamưI
khoa khoa hưđạiưhọcưọc tự nhiên

ưKhoáưluậnưtốtưnghiệp
Chuỗiưfourierưvàưứngưdụng
ư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư


Lờiưmởưđầu
Lí thuyết chuỗi và sự khai triển một hàm số thành
chuỗi số
là đề tài rất quen thuộc trong chơng trình giải tích cổ
điển.
Ngoài phơng pháp khai triển hàm số thành chuỗi số. Từ
lí
thuyết chuỗi lợng giác_ chuỗi Fourier chúng ta có thêm một
phơng pháp khai triển hàm số nữa đó là sự khai triển hàm
số
thành chuỗi lợng giác_ chuỗi Fourier. Không chỉ với hàm
tuần hoàn mà đối với một hàm số bất kì.Thông qua sự khai
triển này, chúng ta có thể tính tổng của một chuỗi số.
Chuỗi Fourier không chỉ có giá trị về mặt lí thuyết mà
nó
còn có những ứng dụng to lớn vào các lĩnh vực nghiên cứu
khoa học khác và trong thực tiễn:


Khi giải các phơng trình đạo hàm riêng, việc áp dụng lí
thuyết Fourier và khai triển Fourier có tầm quan trọng cơ bản;

nó cho phép với những điều kiện nhất định đa về việc giải
phơng trình vi phân thờng.
Lí thuyết chuỗi Fourier( nhânDirichlet; nhân Fejer ) là một
trong những công cụ nghiên cứu lí thuyết xấp xỉ.
Lí thuyết Fourier, khai triển Fourier còn dùng để biểu diễn
những hiện tợng tuần hoàn trong cơ học, vật lí, kĩ thuật
điện...
Khoá luận này nhằm tìm hiểu việc khai triển hàm tuần
hoàn hoặc hàm bất kì thành chuỗi lợng giác và ứng dụng của
chuỗi Fourier vào việc giải các phơng trình đạo hàm riêng.
Nội dung chính của khoá luận:
Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chơng 2. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier.
Chơng 3. ứng dụng.


Chơng 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Chuỗi lợng giác
1.1.1 Khái niệm chuỗi lợng giác
Chuỗi hàm số có dạng:
a0 + a1 cosx + b1 sinx + + an cosnx + bn sinnx+ x
R
n
1.Trong đó {an },{bn } là hai dãy số thực, gọi là
chuỗi

lợng giác.
Với mỗi n, hàm số x
U(x) = an cos(nx) + b nsin(nx) có

a R và có chu kì 2 .
đạo hàm mọi cấp trên
Nếu chuỗi lợng giác hội tụ đến hàm
f(x) thì f(x) là
một
hàm số có chu kì 2 trên R. Các hằng số an , bn gọi là hệ

số
của chuỗi.






a n ; bn
Định lí 1.1. Nếu các chuỗi số
hội tụ tuyệt

n =1
n =1
a0
đối thì
+ a n cos(nx) + b n sin(nx)
chuỗi lợng giác: 2 n=1
(1.1) hội tụ
đều
trên R và tổng của nó là một hàm số liên tục trên R.
Định lý 1.2.Nếu {an };{bn } là hai dãy số dơng giảm

đến

không khi n
. Thì chuỗi lợng giác (1.1) hội tụ tại
mọi
điểm x
R\2kZ.
[ 0;2 ]
1.2 Chuỗi Fourier
Định lý 1.5. Nếu chuỗi
1 2 lợng giác (1.1) hội tụ đều trên
a 0 = f (x)dx
0
2
thì nó hội tụ đều1trên
R và có tổng bằng f(x) .
a p = f (x)cos(px)dx
Trong đó:
0
1 2
b p = f (x)sin(px)dx
0


1.2.1 Hàm số liên tục từng khúc
Hàm số f xác định trên [a;b] đợc gọi
là liên tục từng

khúc nếu tồn tại phép phân hoạch : a =
x0< x1< < xn = b

và đoạn [a;b] có tính chất sau: Với mỗi i,
hàm số f liên tục
trên (xi-1 ;xi ), i = 1; 2; ; n. Có giới hạn phải
hữu hạn tại
xi-1 và có giới hạn trái hữu hạn tại xi hay f liên
tục từng


khúc trên a[a;b]
nếu chỉ có một số hữu hạn
0
+ a n cos(nx) + b n sin(nx)
điểm gián
2 nđoạn
=1
loại I, liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn.


1 2
a 0 = f (x)dx
0
1 2
a n = f (x)cos nxdx
0
1 2
b n = f (x)sin nxdx
0

)

(n = 1;2;

Gọi là chuỗi Fourier của hàm số f với a0 ; an ; bn là
hệ số
Fourier của f.

2
+ 2
11.1. f là hàm số
1 tuần hoàn với chu kì 2
Nhận xét
a n = f (x)cos nxdx = f (x)cos nxdx
0

thì:
1 2
1 +2
(i)

bn =

(ii)

f (x)sin nxdx =

0



f (x)sin nxdx

Nhận xét 1.2.
(i) Nếu f(x) là hàm chẵn, chuỗi Fourier của f(x) có
dạng:
a0

2

+ a n cos nx.
n =1

(ii) Nếu f(x) là hàm lẻ, chuỗi Fourier của f(x) có dạng:


b sin nx
n =1

n

1.3 Điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ
1.3.1 Công thức Dirichlet
Sn(x) là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.1).
Đặt Sn (x) =a
n
0
(a k cos kx + b k sin kx)
Trong đó: a2k +=
k =1

(1.2)

1
f (t)cos ktdt
2
2n + 1
Sn (x) =
sin
z
1
2 dz
f (x + z)
z

2sin
2

; bk =

1
f (t)sin ktdt
2


2n + 1
sin
z

1

2 dz
Sn (x) = [ f (x + z) + f (x z) ]
z
(1.3)
2 0
sin
2
(1.2) và (1.3) đợc gọi là công thức Dirichlet.

2n + 1
sin
z
Hàm Dn (z) = 1
đợc gọi là nhân Dirichlet.
2
2 sin z
Bổ đề 1.1. Nếu
khả
2 tổng trên [a;b] thì
b
limmột
(x)sin
= 0.
Bổ đề 1.2(Bổ đề Rieman ). Nếu f là
hàmpxdx
số liên
p
a
tục từng
khúc trên [a;b] thì b

;b
lim f ( x) cos xdx = 0 lim f ( x) sin xdx = 0
Hệ quả của bổ đề
số tuần
Rieman. Nếu f là
hàm

a
a
hoàn với
chu kì 2 xác định trên R, liên tục từng khúc trên mỗi
đoạn bị






chặn và an , bn là các hệ số của chuỗi Fourier của hàm
số f
lima
= 0; lim
bn = 0
n
n

n

thì:
1.3.2 Điều kiện Dini.

Nh ta đã biết hàm số liên tục từng khúc trên
[0;2 ]
thì giới hạn phải f(x + 0) =
và giới hạn trái
lim
f
(x

h)
0
f(x - 0) =
tồnhtại,
hữu hạn tại mỗi điểm x
f (x + h)

[0;2 ] lim
h 0
hay f(x + 0) = f(x 0) = f(x) trừ một số hữu hạn điểm.
Ta có điều kiện Dini nh sau:
Định lý1.6. Nếu f là hàm khả tổng và với mỗi x cố định,
ta tìm

đợc > 0 sao cho tích phân : f (x + t) f (x)
(1.4)
dt

tồn tại
t

+



thì các tổng riêng Sn (x) của chuỗi Fourier của f hội tụ tại
điểm
x đó tới f(x).


Nhận xét 1.7. Định lý1.6 vẫn còn hiệu lực nếu thay điều
0
kiện
f (x + z) f (x 0)
dz

Dini
bởi
sự
hội
tụ
của
hai
tích
phân
sau:

z
f (x + z) f (x + 0)
và
dz

0
.Trong đó f(x - 0) và f(x + 0) là các giới
z
hạn trái, phải của hàm f tại x (x là điểm giới hạn loại I của f).
2
Nhận xét 1.8. Giả sử f là hàm bị chặn, tuần hoàn chu kì
,
liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn và fx(x
một
số + 0)
+ h)
f (x
f (x 0 + h) f (x 0 0) lim 0 0là
0
thực
lim
h 0+
h 0
h
h
sao cho các giới hạn:
và
tồn tại và hữu hạn. Khi đó chuỗi Fourier của nó
1 hội tụ khắp
f (x 0 + h) f (x 0 0)
nơi
2
có tổng bằng f(x) tại các điểm liên tục và bằng
tại các điểm gián đoạn. Đặc biệt f có đạo hàm tại x 0 thì
chuỗi

Fourier của f hội tụ tại x0 và có tổng bằng f(x0 ).

[

a

Định lý 1.7. Nếu f: R
R là hàm số tuần hoàn với chu kì

2
, khả vi thì chuỗi Fourier của nó hội tụ và có tổng

]


bằng f(x) với mọi x thuộc R.
1.4 Đẳng thức Parseval
Giả sử f: R
R là hàm tuần hoàn chu kì 2 , thoả


mãn
a0
định lý Dini. Khi đó f(x) =+ (a n cosnx + b n sinnx) (*)
trừ
2
2 n=1 1
những
a
1 2 2

2
0
2 f (x)dx = + n=1 (a n + bn )
điểm gián đoạn loại I của f(x)
4 2
(1.6)
(1.6) _ gọi là đẳng thức Parseval.
1.5 Định lý Fejer
kì 2 trên đờng
Bổ đề 1.3. f là hàm tuần hoàn với chu
thẳng.
a 0 một cách duy nhất bởi chuỗi
Hàm đó đợc xác định
+ (a n cosnx + b nsinnx)
Fourier:
2 n =1
1.5.1 Nhân Fejer
k
a
(x) +hàm
S1 (x) +f:... + Sn 1 (x)
Sk (x)_ tổng
của
chuỗi
FourierScủa
0
o
+ (ariêng
cosjx
+

b
sin
jx)
=
j
j
Sk (x) = 2
; n(x)
j=1
n

n(x) đợc gọi là tổng Fejer của hàm f.


2

nz
sin ữ

2 f (x + z)dz
n (x) = 1
zữ

2n

nhân Fejer) sin ữ
2

(gọi là

1.5.2 Tính chất nhân Fejer
n (z)



(i)
0
khi n
.
n (z)dz = 1

(ii)
(iii) Với > 0, cố định ta có:
n

(z)dz
=

(z)dz
=
(

)

0
n
n
n

1.5.3 Định lí Fejer. Nếu f là hàm liên tục với
chu kì 2
thì
n
dãy
các tổng Fejer của nó hội tụ đều tới f
trên toàn bộ
trục số

{ }


Chơng 2
Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier
2.1 Khai triển một hàm số tuần hoàn
Hàm f tuần hoàn chu kì 2 .

a+2
b+2
2

Nhận xét 2.1.
= f (x)dx f (x)dx = f (x)dx
a f (x)dx
Nhận xét 2.2.
Nếu b f(x) tuần
hoàn

chu kì 2m,
0

thoả mãn định

m
lý Dini trên [-m;m] bằng phép đổi
x ' biến:
= x x = x'
m

.m
x'
x
x

Ta có: f(x) = f(
) = F( ). F( ) là một hàm số
hoàn chu
[ ; ]
tuần
m
kì x2' , thoả mãn định lý Dini trên
, nên khai

a0
nx
nx
triểna 0 f(x)
=

+ (a n cosnx '+ b nsinnx ') = + (a n cos
+ b nsin
)
m
m
n =1
f(
) 2thành
chuỗi cú dạng:2 n =1
Trong đó:

1
1
x 1 m
a 0 = F(x ')dx ' = f (x)d
= . f (x)dx


m m m


1
1m
nx x 1 m
nx
a n = F(x ')cos nx 'dx ' = f (x)cos
d = f (x)cos
dx

m

m m m m
m

1
1m
nx x 1 m
nx
b n = F(x ')sinnx 'dx ' = f (x)sin
d = f (x)sin
dx

m
m m m m
m
2.2 Khaitriển
một hàm số
bất kỳ

Giả sử f(x) thoả mãn điều kiện định lý Dini trên [a;b], để
khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier, ta đi xây dựng
một
hàm tuần hoàn g(x) có chu kì lớn hơn hoặc bằng (b - a)
sao
cho: g(x) = f(x) x [a;b].
có thể khai triển thành chuỗi
Nếu hàm số g(x)
Fourier thì
tổng của chuỗi đó bằng f(x) tại mọi điểm của [a;b], trừ
những
điểm gián đoạn loại I của f(x). Có nhiều cách xây dựng

hàm
f(x) nh vậy.Với mỗi hàm g(x), có một chuỗi Fourier tơng
ứng. Do đó có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm f(x).
Nếu g(x) chẵn thì chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những
hàm
cosin,


còn nếu hàm g(x) lẻ thì chuỗi Fourier của
nó chỉ gồm
những hàm số sin.
2
x
Ví dụ 2.6. Khai
triển
1 2thành
Fourier

chuỗi
hàm số f(x) 1 ( 1) n 1
;
; 4

2
2
n = n =1 n
n =1 n2 n =
1
tuần hoàn chu kì
;f(x)

với - x

. Từ đó tính
giá trị các chuỗi:
a0
+ a n cos nx
2 n =1
Gii:
2
2 x2
2 2 x3
2 4
= fthoả
(x)dx =mãn
1 điều
dx = kiện
x |0 3 định
|0 = 2 lý
=
Hàm số af(x)
0


2 ữ
0
0

3
3 3
Dini, f(x)

là
2

2
2 x
2
2 2
= f (x)cosnxdx
=chuỗi
cosnxdx
3 x cosnxdx
1 2 Fourier
ữcosnxdx = có
hàma nchẵn
nên
dạng:


0
0
0
0
Trong đó:
4
4
=

n 2

n +1

cosn

=
(

1)
2

n 2 2


2
4
n +1
+ (=
1)
cos nx
Vậy chuỗi Fourier của f(x):
2 2
3 n =1
n

Đặc biệt:

2
0
1
n +1 4
n +1 4
+

(

1)
=
1

=
1

(

1)
=


2 2
2
+) Khi x = 0:
3 n =1
n

n 2 2 3
n =1






n =1

( 1) n
n2

2
=
12


2 4
2
1 2
+)Khi x= +
: 2 2 = 1 2 = 0 2 =
3 n =1 n
6

n =1 n

x2
+) áp dụng công thức Parseval 1
với:2 f(x) =
2



1
a
1
ta có:

f 2 (x)dx = 0 +
(a 2 + b 2 )



2

4



2 n =1

n

n

2

8
4 1 16
1 x
1 1 x3 1 x5
| =
+ 4 4 = 1 2 ữ dx = x | 2 | +
4
15
9 2 n =1 n 2
2
3

2 5x






8
4

2


1
8 4
8
1
4
=
=
4 =

4
15 9 90
90
n =1 n
n =1 n

Chơng 3
ứng dụng
3.1 ứng dụng khai triển Fourier giải bài toán Dirichlet
trong
hình tròn
3.1.1 Bài toán Dirichlet trong hình tròn đơn vị
trong R2, cho hình tròn S O1 _ tâm O bán kính đơn
vị .
u = 0
Xét bài toán Dirichlet trong hình tròn


(3.1)
2u 2u
U S1 = f (s)


u
=
+
0
với
(3.2)
2
2
x y
2 là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kì 2
. S là độ

f C

dài
cung của đờng tròn tính từ một điểm cố định nào đó và
f (s) = f (s + 2);f (0) = f (2) chuyển phơng trình (3.2) về ph
ơng
1
1
u = U xx + U yy = U + 2 U + U = 0
trình Laplacetrong
toạ
độ
cực:
x = cos
0 1



Bằng cách đặt
y = sin [ 0; 2 ]



Vậy
U(, ) = a 0 + (a n cos(n) + b n sin(n)
n =1 Dirichlet trong hình tròn đơn
Là nghiệm của bài2toán
vị.
f () cú khi trin thnh chui Fourier
2
1
Khi đó

= f ()d()
a
0
2
2
0
1
1
= f ()d()sin(n)d()
a n = f ()d() cos(n)d()
b
n
tròn
0 toán Dirichlet trong hình
3.1.2 Bài
có bán kính bất
0
kì
u = 0


Xét bài toán :
(a > 0)
= f (s)
U S

(3.3)

U : = a = f ( x ) ; U x 2 + y 2 = a 2 = f ( x )
Điều kiện biên đôi khi kí hiệu

1
0


tìm
nghiệm bài toán (3.3) chúng ta dùng phép đổi
Để
=
1
a
biến:
đa về bài toán Dirichlet trong hình tròn đơn vị.

a 0 +(3.3):
Nghiệm
1; ;
bài toán
(a n cos(n) + b n sin(n))1n

n =1
U(
)= 2


suy ra

;
U(

a0 a n
bn

+ n cos n + n sin n n
)=
2 n =1 a
a


3.2 ứng dụng khai triển Fourier
giải bài toán hỗn hợp của phơng trình
Hypebolic
0 x 1;0 t T}
{
Trong miền Q =
3.2.1 Xét bài toán đối với phơng trình dao
động của
2 ucó 2cuỡng bức:
sợi dây không
= 2.

2
t x

U(x;0) = 0 (x)
U (x;0) = (x).
1
t
U(0;t) = U(l;t) = 0

(3.4)

(3.5)
(3.6)
(3.7)


2
k
k
k
U k (x;t) = X k Tt =
sin x A k cos t + Bk sin t
l
l
l
bi toỏn l

0 (x); 1 (x)

Nếu
; Ak,Bk

l

l nghim

[ 0;l]

khai triển thành chuỗi Fourier trên

đợc xác định
2
nh sau:
k
Ak =
0 (x)sin
xdx

l0
l

l

2l
k
Bk =
1 (x)sin
xdx

k 0
l

3.2.2 Bài toán hỗn hợp
trình dao
đối
2 u với ph
2ơng
u

=
+ g(x;t)
t 2
2
(3.8)
động của

x

dây có cỡng bức
0 (x)
(3.9)
0xl
U(x;0) =
U (x;0) =
Xét bài toán hỗn hợp:
1 (x)
0 t T (3.10)
t

U(0;t) = U(l;t) = 0
(3.11)
U tt = U Ux

U(x;0) = (x)

0

Xét bài toán (1*):
cách giải ở 3.2.1.

U t(x;0) = 1 (x)
U(0;t) = U(l;t) = 0


XÐt bµi to¸n (2*)  U tt = U xx + g(x;t)

U t (x;0) = 0
 U(x;0) = 0;
 U(0;t) = U(l;t) = o
NghiÖm bµi to¸n (2*):


(3.12)
(3.13)
(3.14)

2
kπ
U k (x;t) = X(x)T(t) = ∑ Tk (t) sin x
l
l
1
g(x; t) cã khai triÓn Fourier theok =hµm
sin có d¹ng :
g(t) ∞=
kπ
g k (t)sin x
T×m Tk (t):
vµ
∑

l
k =1
Tk (0) = 0
l
kπ
l
2
kπ

Tk′′(t) + ( ) 2 Tk (t) = g k (t) = ∫ g(x;t)sin xdx
Tk′ (0) = 0

nghiÖm bµi to¸n
(2*):
U
(x;
t)
2
l
2
l0
l
Suy ra nghiÖm bµi to¸n lµ:
U(x; t) = U1 (x; t) +
U2 (x; t)
∞

3.3 ứng dông khai triÓn Fourier gi¶i bµi to¸n to¸n
®èi víi
ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt

2
(x;t)
∈
R
: 0 ≤ x ≤ l;0 ≤ t ≤ T
Trong miÒn Q =

{

}


Xét bài toán hỗn hợp đối với phơng trình truyền nhiệt
dạng :
2

U t = a U xx

C2 (0) = (l) = 0
U(x;0) = (x)
U(0;t) = U(l;t) = 0

ak 2

(
) t
k

Nghiệm của bài toán:U(x;t) =
l

A k sin( x)e

l
k =1

(3.15)
(3.16)
(3.17)

có khai triển Fourier thì:
l
2
k
A k = O, bán
(x)sin
xdxa. (x;y) là
kính
Ví
(x) dụ 3.1. Cho hình tròn tâm
l0
l
toạ độ
Đêcac;
là toạ độ cực. Tìm nghiệm bài toán Dirichlet
; )
đối (với


u = 0
phơng trình Laplace

Đặt
x
=
cos

suy ra


U =a = A + By


f () = A + B sin
a


a

y = sin

a



∞
A
NghiÖm bµi to¸n cã d¹ng:
U(ρ; ϕ) = 0 + ∑ ρn (A n cos(nϕ) + Bn sin(nϕ))
2 n =1
2π

2π

2π

1
1
Bρ
1
Bρ
A 0 = ∫ f (ϕ)dϕ = (A + sin ϕ)dϕ = A ∫ dϕ + ∫ sin ϕdϕ
π0
π
a
π 0
πa 0
2π

1
1
A n = n ∫ f (ϕ)cos(nϕ)dϕ = n
πa 0
πa
2π

2π

∫
0

1

Bρ
Aϕ 02 π=+ cos ϕ 02 π = 2A
π
aπ

Bρ
(A +
sin ϕ)cos(nϕ)dϕ
a

2π

1
1
Bρ
Bn = n ∫ f (ϕ)sin(nϕ)dϕ = n ∫ (A +
sin ϕ)sin(nϕ)dϕ
πa 0
πa 0
a
=
2π
Bρ
Khi n=1:
cos(n
+
1)
ϕ
−
cos(n − 1)ϕ] dϕ

n +1 ∫ [
2a π 0
Khi
2π

Bρ
Bρ 2 π Bρ
B
=
d
ϕ
=
ϕ0 = 2
1
2 ∫
2
VËy nghiÖm cña bµi to¸n Dirichlet:
2πa 0
2πa
a

n ≠1

Bn = 0

Bρ
Bρ2
U(ρ; ϕ) = A + ρ 2 sin ϕ = A + 2 sin ϕ
a
a

=0


Kết luận
ưKhoáưluậnưnàyưnhằmưtìmưhiểuưmộtưsốưvấnư
đềưvềưlíưthuyếtưchuỗiưFourierưvàưứngưdụngư
củaưnó.
ưưưưưưưNhữngưnộiưdungưchínhưcủaưkhoáưluậnưcóư
thểưtómưtắtưnhưưsau:ư
1.ưTìmưhiểuưvềưlýưthuyếtưchuỗiưFourierư(điềuư
kiệnưhộiưtụ,ưđẳngưthứcưPaseval,ưđịnhưlýư
Fejer).
2.KhaiưtriểnưhàmưsốưthànhưchuỗiưFourierư
3.ứngưdụng:
3.1. .ưứngưdụngưkhaiưtriểnưFourierưgiảiưbàiưtoánư
Dirichletưtrongưhìnhưtròn.ư
3.2.ứngưdụngưFourierưgiảiưbàiưtoánưhỗnưhợpưcủaư
phươngưtrìnhưHypebolic.
3.3.ưứngưdụngưFourierưgiảiưbàiưtoánưtoánưđốiưvớiư