Khóa Luận tốt nghiệp Phân lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính

TRƯỜNG ĐH SP I
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHÂN LỚP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH


MỞ ĐẦU
Khóa luận được chia thành 3 phần:
PHẦN MỘT: Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ sở cho những
phần tiếp theo.
PHẦN HAI: Sự ổn định nghiệm của hệ vi phân
Ở phần này đưa ra một số khái niệm về ổn định nghiệm của hệ vi phân.
PHẦN BA: Phân lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Ở phần này, chúng tôi đi vào nghiên cứu theo hai hướng chính:
Hướng 1: Nghiên cứu sự phân loại điểm kì dị thông qua ngôn ngữ luồng.
Hướng 2: Nghiên cứu sự tương đương. Cụ thể: Tương đương tuyến tính,
Tương đương vi phân và tương đương Tôpô. Qua đó, tìm ra mối liên hệ
giữa chúng.


PHẦN MỘT: Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này, chúng tôi đã hệ thống lại các kiến thức về :
- Không gian tuyến tính , không gian Mêtric, không
gian định chuẩn
- Khái niệm toán tử tuyến tính.
- Hệ vi phân.
- Phân loại ánh xạ trên R.

- Luồng trên đường thẳng và luồng trên Rn
Chúng ta, đi vào khái niệm luồng.
1.Luồng trên đường thẳng.
2. Luồng trên Rn:
Tương tự như trong trường hợp định nghĩa luồng trên đường
thẳng ta có định nghĩa luồng trên mặt phẳng và luồng trên
Rn


PHẦN HAI
Sự ổn định nghiệm của hệ vi phân

2.1. Nghiệm của hệ phương trình vi phân.
2.2. Các khái niệm cơ bản.
2.2.1. Khái niệm về sự ổn định.
Xét hệ phương trình vi phân :
(2.1)
Z = I+× Dx; I+ = (a,+∞) , Dx  Rn , Dx là miền mở, f  C0,1 (Z)
Hệ (1) tồn tại duy nhất nghiệm trên Z.
Ta giả sử rằng nghiệm y(t) của hệ (1) thác triển nghiệm vô hạn được về
phía bên phải.
2.2.2. Định nghĩa hệ nghiệm ổn định.
Ta nói rằng nghiệm  = (t) của hệ (1) t I+ là ổn định theo nghĩa Lipunov
khi t  +∞ nếu  > 0,  to  I+,  (to, ) > 0 với sao cho :
i) Nghiệm x = x(t) kể cả  = (t) thoả mãn ||x(to) - (to) || đều phải xác định
trên nửa đoạn [to, +∞)
ii) Các nghiệm đó đồng thời thoả mãn : ||x(t) - (t) ||   ,  t [to, +∞)
Nếu trong định nghĩa số  ( ) chỉ phụ thuộc  thì ta nói rằng hệ nghiệm
 (t) ổn định đều .

2.2.3.Định nghĩa không ổn định.

2.2.4. Định nghĩa ổn định tiệm cận.

2.2.5. Ổn định toàn thể.


2.3. Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính.

2.3.1. Định nghĩa hệ ổn định.


2.3.2. Định nghĩa hệ ổn định tiệm cận, ổn định đều

2.4. Sự ổn định của hệ tuyến tính thuần nhất


2.5. Hệ với ma trận hằng.

2.6. Các điểm kì dị đơn giản.


PHẦN BA
Phân lớp hệ phương trình vi phân
3.1. Phân loại các điểm kì dị.
Trong phần này, chúng tôi chỉ xét đến những hệ mà phương tình đặc trưng không
có nghiệm bội. Và biểu diễn quỹ đạo nghiệm trong R 3
3.2. Tương đương tuyến tính, tương đương vi phân và tương đương Tôpô.
Vì bất cứ sự phân lớp nào cũng tạo nên một mối quan hệ tương đương . Tồn tại ít

nhất 3 quan hệ tương đương có thể có đối với hệ tuyến tính chúng tương đương
với quan điểm đại số, vi phân và tôpô.
3.2.1.Định nghĩa:
Cho{ft},{gt} , : Rn  Rn là những luồng
Luồng {ft} được gọi là tương đương với luồng {g t} nếu tồn tại một song ánh
h: Rn  Rn biến {ft}  {gt}
Sao cho hoft = gtoh . Điều đó nói rằng những luồng {f t} biến thành luồng {gt} . Khi
ta thay đổi toạ độ của h.


3.2.2.Tương đương tuyến tính, tương đương vi phân và tương đương
Tôpô.
3.2.2.1.Tương đương tuyến tính
Ta nói luồng {ft}là tương đương tuyến tính với luồng {gt} nếu ánh xạ h
là một đẳng cấu tuyến tính.
3.2.2.2. Tương đương vi phân.
Ta nói luồng {ft}là tương đương vi phân với luồng {gt} nếu ánh xạ h là
một vi phôi..
3.2.2.3. Tương đương Tôpô.
Ta nói luồng {ft}là tương đương vi phân với luồng {gt} nếu ánh xạ h là
một đồng phôi..

Các ví dụ:
Ví dụ . Chứng minh rằng:
Tương đương tuyến tính kéo theo tương đương vi phân và tương đương
vi phân kéo theo tương đương Tôpô.
Chú ý rằng : ánh xạ h liên kết quỹ đạo của {ft} với quỹ đạo luồng {gt}.


Chứng minh

Thật vậy : Giả sử luồng {ft} tương đương tuyến tính với luồng
{gt}. Suy ra tồn tại một đẳng cấu tuyến tính h biến luồng {ft}
thành luồng {gt}.
Mặt khác, do h là đẳng cấu tuyến tính nên h là vi phôi .
Do h là vi phôi nên {ft} tương đương vi phân với {gt}.
 Giả sử {ft} tương đương vi phân với {gt}.
Suy ra tồn tại vi phôi h : Rn  Rn
h{ft}
{gt}
Do vi phôi h luôn là đồng phôi nên {ft} tương đương Tôpô với
{gt}.


Như vậy, ta có thể minh họa bằng sơ đồ sau:
Tương đương tuyến tính  Tương đương vi phân  Tương
đương Tôpô


Ví dụ 3
Ta khẳng định rằng quan hệ tương đương tuyến tính , vi phân,
Tôpô thực sự là quan hệ tương đương có nghĩa là : f ~ f; f ~ g  g
~ f; f ~ g;g ~ k  f ~ g . Ta kiểm tra các điều kiện của quan hệ
tương đương trên cho khái niệm tương đương tuyến tính . Tương
đương vi phânGiả
và tương
đương
topo
sử có hai
luồng
{ft}làm

, {gttương
} tươngtự.đương tuyến
tính với nhau.
Chứng minh : 10. {ft} ~ {ft} hay ta chứng minh tồn tại đẳng cấu
tuyến tính h:
h({ft}) = {ft}
idft = ft .
Thật vậy , h = id 
Hiển nhiên , id là đẳng cấu tuyến tính . Vậy {ft} ~ {ft}.


2o. {ft} ~ {gt} {gt} ~ {ft}
Do {ft} ~ {gt}  h: Rn  Rn
h{ft}
{gt}
h là đẳng cấu tuyến tính.
Mặt khác , ta có : h({ft}) = gt  h-1h ({ft}) = h-1 (gt)  ft = h-1 (gt) .
h-1 là đẳng cấu tuyến tính .
h-1:
R n  Rn
h{ft}
{gt}
Vậy : {gt} ~ {ft}.
3o. {ft} ~ {gt} ; {gt} ~ {kt}  {ft} ~ {kt}
Do {ft} ~ {gt}   đẳng cấu tuyến tính h : h({ft}) = {gt}.
{gt} ~ {kt}  đẳng cấu tuyến tính p : p({gt}) = {kt}.
Xét ánh xạ  =poh: Rn  Rn
Ta có : ({ft}) = poh(ft) = p[h(ft)] = p(gt) = kt.
 =poh cũng là đẳng cấu tuyến tính biến {ft} {kt}.
Vậy {ft} ~ {kt}.

Nhận xét
Quan hệ tương đương mà ta đưa ra ở trên thực chất là quan
hệ tương đương theo nghĩa đại số. Tức là thoả mãn các
tính chất :

1.Tính phản xạ.
2. Tính đối xứng.
3. Tính bắc cầu.


3.3 Sự phân lớp hệ vi phân
3.3.1 Sự phân lớp tuyến tính
Chúng ta đi nghiên cứu tiêu chuẩn tương đương của các hệ phương trình qua các định lý .
Định lý : Cho A,B là 2 toán tử tuyến tính từ Rn vào Rn mà những giá trị riêng của chúng
là đơn.
Hệ x’ = Ax x Rn (1)
y’= By y Rn (2)
Hệ (1) và (2) tương đương tuyến tính nếu và chỉ nếu các giá trị riêng của toán tử A và B
là như nhau.
Chứng minh

3.3.2. Sự phân lớp vi phân.

Định lý : Hai hệ tuyến tính :
x’ = Ax
(1)
x’ = Bx ; x Rn (2)
Tương đương vi phân nếu và chỉ nếu chúng tương đương tuyến tính.

3.3.3. Phân lớp Tôpô

Định lý: Hai hệ phương trình tuyến tính mà phần thực của các giá
trị riêng khác 0 tương đương Tôpô khi và chỉ khi các giá trị
riêng có phần thực âm, dương ở hai hệ là như nhau.
Điều này có nghĩa là: m+(A) = m-(B)
m-(A) = m+(B)
Để chứng minh được định lý trên ta cần chứng minh các bổ đề và
định lý bổ trợ.
Bổ đề 1: Tích trực tiếp của hệ tương đương Tôpô là tương đương
đương Tôpô
Bổ đề 2: Nếu những giá trị riêng của toán tử A: Rn  Rn không
thuần ảo thì không gian Rn được phân tích thành tổng trực tiếp
của 2 không gian Rm+,Rm- không gian này bất biến với toán tử A,
sao cho những phần thực âm của những giá trị riêng của A trên
Rn tương ứng với phần thực của các giá trị riêng thu hẹp của A
trên Rm+,RmBổ đề 3:Cho A là một toán tử tuyến tính : Rn  Rn mà phần thực
của tất cả các giá trị riêng dương thì hệ: x’ = Ax , x  Rn tương
đương Tôpô với hệ chuẩn x’ = x , x  Rn


3.6. Chứng minh định lý phân lớp Tôpô
Từ ba bổ đề 1, 2, 3 Ta có kết luận sau: Mọi hệ tuyến tính x’ = Ax mà
những phần thực của các giá trị riêng của toán tử A khác không là
tương đương TôPô với hệ yên ngựa nhiều chiều chuẩn

Hình 17: Nút cổ
chai.

x1’= -x1 x1 Rmx2’ = x2 x2 Rm+

Hình 18: Đa tạp bất biến nút cổ chai
ba chiều


(Nếu toán tử A có các giá trị riêng có phần thực âm thì PT: x’= Ax tương đương
Tôpô với x1’= -x1 ) Do đó, hai hệ cùng m-,m+ tương đương Tôpô với nhau.
Chú ý rằng hai không gian con R m- và Rm+ bất biến với luồng {gt}. Khi t tăng, mọi điểm
của Rm+ tiến tới 0.
Ta có thể chứng minh được gt x  0 (khi t ) nếu và chỉ nếu x  Rm- do gt là luồng của
phương trình chuẩn nên: gtx = e-tx  0(khi t  ) x Rm-. Rm- được gọi là đa tạp
bất biến bị hút về yên ngựa.
Tương tự, Rm+ được gọi là đa tạp bất biến giãn. Đa tạp bất biến giãn đựoc xác định bởi
gtx 0. (khi t ).
Bây giờ, ta chứng minh phần thứ hai của định lý phân lớp TôPô.
Ta chứng minh hai hệ tương đương TôPô thì nhận cùng số những giá trị riêng có phần
thực âm ( dương).
Số m- chính bằng số chiều của đa tạp bất biến hút như nhau đối với các nút yên ngựa
tương đương TôPô.
Chú ý rằng tất cả các đồng phôi h, chuyển luồng của nút yên ngựa này thành luồng của
nút yên ngựa khác cần phải biến đổi đa tạp bất biến hút của một trong chúng thành đa
tạp bất biến hút bởi yên ngựa khác. (Vì sự chuyển qua giới hạn 0 khi t được bảo tồn
bởi một đồng phôi). Vì vậy, đồng phôi h được thực hiện như một đồng phôi của đa tạp
bất biến hút của một yên ngựa trên sự bất biến hút của yên ngựa khác.


Kết luận
Đề tài:“PHÂN LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH”
Đề cập đến việc phân lớp hệ phương trình vi phân qua luồng của

chúng, sự ổn định nghiệm của hệ vi phân.
Ta có thể tóm tắt các kết quả của đề tài như sau :
 Xây dựng khái niệm luồng trên đường thẳng và luồng trên Rn.
 Đưa ra các khái niệm về sự ổn định nghiệm của hệ vi phân. Cụ
thể : hệ vi phân tuyến tính thuần nhất và hệ vi phân với ma
trận hằng.
 Phân loại các điểm kì dị của hệ vi phân tuyến tính dựa trên
ngôn ngữ luồng.
 Xây dựng khái niệm tương đương tuyến tính, tương đương vi
phân, tương đương Tôpô.Qua đó, tìm mối liên hệ giữa các
khái niệm đó.


LỜI KẾT
Em xin tỏ lòng cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Văn Cần –
Thạc sĩ toán – Khoa khoa học tự nhiên – trường ĐH Hồng
Đức đã tận tình hướng dẫn dìu dắt em hoàn thành khóa luận
này. Em cũng xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo
trong khoa Khoa Học Tự Nhiên đã tạo điều kiện cho em trong
quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin chân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo đã dìu dắt em trong
suốt 4 năm học vừa qua, đó là những đóng góp cơ sở để em
thực hiện khóa luận này.


Định nghĩa:
Cho phương trình vi phân đơn giản sau : dx /dt = kx ;k R
(1)
Nghiệm  của phương trình này thoả mãn điều kiện ban đầu  (0) = xo
là:  (t) = ektxo

Chúng ta xác định một ánh xạ gt : R  R trong khoảng thời gian t với
điều kiện ban đầu xo là giá trị nghiệm  tại thời điểm t là : gt : R R
xo gtxo = ektxo
Họ những ánh xạ {gt} được gọi là luồng tương ứng của phương trình
(1)
Vậy luồng {gt} là nhóm một tham biến của những vi phôi hay phép biến
đổi tuyến tính của một đường thẳng. Nhóm này còn được gọi là nhóm
một tham biến của những phép biến đổi tuyến tính.
Luồng {gt} tương ứng với phương trình (1) là một nhóm tham biến
những phép biến đổi tuyến tính. Những chuyển động của những điểm
dưới tác động của luồng này là nghiệm của phương trình (1). (Quay lại)


Chứng minh
 ) Giả sử hai hệ : x’ = Ax
x  Rn
(1)
y’ = Bx
y  Rn
(2)
(A , B là hai toán tử hằng mà các giá trị riêng của chúng đơn) Là tương
đương tuyến tính.
Ta cần phải chứng minh các giá trị riêng của chúng là như nhau.
Thật vậy, do giả thiết : x’ = Ax
x  Rn và y’ = Bx
y  Rn là tương
đương tuyến tính nên tồn tại 1 đẳng cấu tuyến tính h : h(x) = y
 y’ = (hx)’ = hAx = hAh-1 Vậy hAh-1 = B.
Do các giá trị riêng của A và hAh -1 là như nhau nên toán tử A và B có cùng
các giá trị riêng.

 ) Giả sử các giá trị riêng của toán tử A , B là như nhau . Chứng minh hệ
(1) tương đương tuyến tính với hệ (2).
Do giả thiết các giá trị riêng của toán tử A , B là như nhau và hơn nữa
chúng là đơn nên chúng được phân tích thành tích trực tiếp của những
hệ 1 và 2 chiều đồng nhất nên chúng tương đương tuyến tính. (Quay lại)