Vật liệu và linh kiện bán dẫn Chuong 2

Mục tiêu

• Ôn lại các kiến thức cơ bản trong học phần Vật lý lượng tử
• Giải phương trình Schrodinger cho mô hình điện tử tự do và giếng
thế sâu vô hạn


Nguyên lý cơ học lượng tử
Lượng tử năng lượng (Energy Quanta)

Max Planck

Albert Einstein


Nguyên lý cơ học lượng tử
Lưỡng tính sóng-hạt (Wave-Particle Duality)

Luis de Broglie


Nguyên lý cơ học lượng tử


Nguyên lý cơ học lượng tử
Nguyên lý bất định-The uncertainty principle

Werner Heisenberg


Nguyên lý cơ học lượng tử

Hàm sóng Schrodinger-Schrodinger wave equation

Erwin Schrodinger


Nguyên lý cơ học lượng tử
Sử dụng phương pháp tách biến để tách thành phần phụ thuộc thời gian và không gian

Thay vào hàm sóng:

Chia hai vế cho hàm sóng tổng quát

Chỉ phụ thuộc vào không gian

Chỉ phụ thuộc vào thời gian


Nguyên lý cơ học lượng tử
Thành phần chỉ phụ thuộc vào không gian

η : hệ số tách biến
Hàm sóng sin, ω =

η=Ε

Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian


Nguyên lý cơ học lượng tử
Ý nghĩa vật lý của hàm sóng

Hàm sóng tổng quát

Max Born (1926) cho rằng:

Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng x  x+ dx
Hàm mật độ xác suất-probability density function

Do

Liên hợp phức – complex conjugate


Nguyên lý cơ học lượng tử
Nên:

Trong cơ học cổ điển: vị trí của chất điểm là xác định
Trong cơ học lượng tử: xác suất tìm thấy hạt trong không gian


Nguyên lý cơ học lượng tử
Điều kiện biên của hàm sóng
Do

là xác suất tìm thấy hạt

dùng chuẩn hoá hàm sóng và là một điều kiện biên xác định hệ số hàm sóng

Hàm sóng và đạo hàm bậc 1 của nó phải thoả các điều kiện sau nếu năng lượng E và thế năng V là hữu hạn

Nguyên lý cơ học lượng tử
Một số ví dụ giải cho phương trình Schrodinger
Điện
Điện tử
tử tự
tự do
do
Nếu không có lực tác dụng, V(x) = const và E > V(x)
Giả sử V (x) = 0 ∀ x, hàm sóng không phụ thuộc thời gian có dạng

Do phần phụ thuộc thời gian

(1)

Hàm sóng tổng quát


Nguyên lý cơ học lượng tử


Hạt chuyển động trong không gian được mô tả bằng hàm sóng dịch chuyển



Phần bên trái (hệ số A): sóng dịch chuyển về phía +x



Phần bên phải (hệ số B): sóng dịch chuyển về phía –x



A, B được xác định từ điều kiện biên

Giả sử hạt đang chuyển động về phía +x, B = 0

(2)
Số sóng-wave number
Từ (1) và (2)

Theo nguyên lý lưỡng tính sóng hạt de Broglie

Một hạt có năng lượng xác định cũng sẽ có bước sóng và xung lượng xác định


Nguyên lý cơ học lượng tử
Hàm mật độ xác suất:

Một hạt tự do có xung lượng xác định có thể tìm thấy tại mọi điểm trong không gian với xác suất
như nhau

Phù hợp nguyên lý bất định Heisenberg


Nguyên lý cơ học lượng tử
Giếng
Giếng thế
thế sâu
sâu vô
vô hạn

hạn

Trong vùng 2, phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian có dạng:

Hạt tự do, V = 0

Hàm sóng tổng quát:

Trong đó

(3)


Nguyên lý cơ học lượng tử
Điều kiện biên
Hàm sóng phải liên tục

Tại x = 0, A1 = 0; tại x = a;

Trong đó

(4)
Thông qua điều kiện chuẩn hoá

Giả sử hàm sóng là thực

Phương trình mô tả sóng dừng


Nguyên lý cơ học lượng tử

Từ (3) và (4), ta có:

Hàm sóng của hạt bị giam trong giếng thế sâu vô hạn


Nguyên lý cơ học lượng tử

Bốn mức năng lượng cơ
bản

Bốn hàm sóng tương ứng

Bốn hàm mật độ tương
ứng