Vật liệu và linh kiện bán dẫn chương 3

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
Mục tiêu:
Xác định tính chất của electron trong mạng tinh thể
Xác định tính chất của một số rất lớn electron trong tinh
thể bằng phương pháp thống kê


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Các

vùng năng lượng cho phép và vùng cấm

 Sự

hình thành các vùng năng lượng


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
Theo nguyên lý loại trừ Pauli:


Việc các nguyên tử kết thành tinh thể không làm thay đổi tổng các mức năng
lượng



Do 2 electron không thể có cùng các số lượng tử nên các mức năng lượng tách ra,
tạo thành vùng năng lượng

Trường hợp tinh thể cấu tạo từ nguyên tử
có 1 điện tử

Trường hợp tinh thể cấu tạo từ nguyên tử
có 3 điện tử


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN


Với trường hợp Silic

10/14 electron ở các lớp trong liên kết
chặt với hạt nhân
4/14 electron hóa trị ở lớp ngoài cùng sẽ
hình thành các liên kết hóa học

Trạng thái 3s ~ n=3, l=0; chứa 2e
Trạng thái 3p ~ n=3, l=1; chứa 6e
Khi các nguyên tử tiến lại đủ gần, 3s và
3p sẽ chồng chập nhau.
Tại 0K, electron sẽ điền đầy các trạng thái
nằm dưới, các trạng thái trên sẽ trống


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Mô

hình Kronig-Penney: hàm thế tuần hoàn trong tinh thể một chiều

Hàm thế cho nguyên tử có 1
điện tử với các mức năng

lượng rời rạc

Hàm thế khi các nguyên tử lại gần
nhau

Hàm thế tổng khi các nguyên
tử lại gần nhau

Hàm sóng Schrodinger + hàm thế tổng  mô hình tinh thể một chiều


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Mô

hình Kronig-Penney: hàm thế tuần hoàn trong tinh thể một chiều
Giải phương trình Schrodinger với hàm thế K-P

Mối quan hệ giữa số sóng k, năng lượng E và thế Vo
Hàm Bloch, u(x) là hàm tuần hoàn với chu kì (a+b)
Hàm sóng tổng quát

Đây không phải là hàm sóng giải từ phương
trình Schrodinger mà là điều kiện để phương
trình Schrodinger có nghiệm


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Giản

đồ E-k:

Với trường hợp điện tử tự do Vo = 0 (P’ =0)

Năng lượng của điện tử chỉ là động năng


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
Với trường hợp điện tử chuyển động trong mạng tinh thể (Vo ≠ 0)
Đặt

Hàm f(a) chỉ có giá trị trong đoạn [+1, -1]


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN


Do

Do


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Tính

chất điện của vật rắn

 Vùng

năng lượng và mô hình liên kết

Mạng tinh thể Silic 2D ở T=0K

Mạng tinh thể Silic 2D ở T≠0K

Nhiệt năng


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Khối


lượng điện tử hiệu dụng (electron effective mass)

Điện tử di chuyển trong mạng tinh thể sẽ chịu tác dụng của ngoại lực (lực tĩnh
điện-nếu có) và nội lực (do hạt nhân mang điện dương và các điện tử khác)

Do không thể xét tất cả nội lực, ta có thể viết

m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử-bao gồm khối
lượng thực của điện tử và tác dụng của nội lực lên điện tử


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Mối

liên hệ giữa khối lượng hiệu dụng và giản đồ E-k

Xét trường hợp điện tử tự do

Đạo hàm bậc 1

Đạo hàm bậc 2

Trong trường hợp này, khối lượng điện tử là hằng số (dương)


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
Nếu ta áp điện trường vào

Xét trường hợp điện tử trong tinh thể
Các mức năng lượng nằm ở đáy vùng năng lượng có thể xấp xỉ theo dạng parabol


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
Do E > E c  C1 mang giá trị dương
Lấy đạo hàm bậc 2 theo k

So sánh





LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN




Khối lượng hiệu dụng:


Đại lượng liên kết các kết quả lượng tử với các phương trình lực cổ điển



Bao gồm tác dụng của nội lực lên điện tử và khối lượng thực của điện tử

Nếu áp điện trường vào điện tử nằm ở đáy vùng năng lượng cho phép


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Lỗ

trống (hole)

 Mật

độ dòng điện trong bán dẫn:


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Phân

loại vật liệu


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
 Hàm

mật độ trạng thái-density of states

 Số

lượng hạt tải điện đóng góp vào quá trình dẫn
là hàm của số lượng các mức năng lượng cho
phép.

 Cần

xác định mật độ các mức năng lượng này
nhằm tính toán nồng độ hạt tải (electron và lỗ
trống)

Xét mô hình toán:


Electron di chuyển tự do trong vùng dẫn, nhưng bị
giam hãm trong tinh thể



Xét một electron tự do bị giam trong giếng thế sâu vô
hạn (giếng thế này thể hiện tinh thể mà electron bị
giam bên trong)

Giả sử tinh thể là khối
lập phương cạnh a


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN

Giải phương trình Schrodinger, ta có:

n x, n y, n z là các số nguyên dương
Ta vẽ các trạng thái cho phép trong không gian k


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
Khi xét mật độ trạng thái, chỉ cần xét 1/8 quả cầu không gian k
Khoảng cách giữa 2 trạng thái theo chiều k x

Thể tích V k bao quanh 1 trạng thái


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN
Vi phân thể tích trong không gian k: 4k2dk
Vi phân mật độ trạng thái trong không gian k

Trong đó:


hệ số 2: bao gồm 2 trạng thái spin cho mỗi trạng thái



Hệ số 1/8: ta đang xét 1/8 quả cầu trong không gian k



4k2dk: vi phân thể tích



(/a)3 thể tích chứa 1 trạng thái


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN

Hàm mật độ trạng thái theo thông số k

Với electron tự do

Thay dk vào hàm g(k), ta có số trạng thái năng lượng nằm trong khoảng từ E  E + dE


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN

Tổng số mức năng lượng nằm trong khoảng từ E  E + dE trong tinh thể có thể tích a3

Mật độ trạng thái trong một đơn vị thể tích của tinh thể


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN


LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ CHẤT RẮN