300 câu trắc nghiệm chương vectơ có đáp án và lời giải chi tiết

6

VECTÔ

BÀI
1.

ĐỊNH NGHĨA VECTƠ

1. Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm
cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn
thẳng có hướng.
Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu
uuu
r
là AB và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ được vectơ
uuu
r
AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở
đầu nút B.
r r r r
a
Vectơ còn được kí hiệu là , b, x, y, ... khi không
cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của
vectơ đó.
Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song

song hoặc trùng nhau.
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ
uuur
uuu
r
AB và AC cùng phương.

3. Hai vectơ bằng nhau
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB ,
AB = AB.
vectơ đó. Độ dài của AB được kí hiệu là
như vậy
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
r
r
Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng
r r
độ dài, kí hiệu a = b
r
Chú ý. Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A
uur r
duy nhất sao cho OA = a.

4. Vectơ – không
Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn
được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

1


Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm
uuu
r
đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là AA và được gọi là vectơ
– không.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ
Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là
uuur
uuur
uuur
DE .
A. DE .
B.
C. ED.
D. DE .
Câu 2. Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm
đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C ?
A. 3.

B. 6.

C. 4.

D. 9.

Câu 3. Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu
và cuối là các đỉnh của tứ giác?
A. 4.
B. 6.
C. 8.
D. 12.
Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó:
uuur
uuu
r
A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC.
uuur
B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với
uuu
r
AB.
uuur
C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với
uuu
r
AB.

uuu
r uuur
D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB = AC.
Câu 6. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác
đều ABC . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
uuuu
r
uur
uuur
uuur
uuur
uur
uuur
uuur
A. MN và CB. B. AB và MB.
C. MA và MB.
D. AN và CA.
Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ - không,
uuu
r
cùng phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU
uuur
Câu 8. Với DE (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn ED được gọi là
uuu
r

uuur
A. Phương của ED.
B. Hướng của ED.

2


uuur
uuu
r
C. Giá của ED.
D. Độ dài của ED.
Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuu
r r
r
A. AA = 0.
B. 0 cùng hướng với mọi vectơ.
uuu
r
r
AB > 0.
C.
D. 0 cùng phương với mọi vectơ.
Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 12. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Điều kiện nào trong các đáp án A,

uuu
r uuu
r
B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để AB = CD ?
A. ABCD là hình bình hành.
B. ABDC là hình bình hành.
C. AC = BD.
Câu 13. Cho bốn điểm phân biệt A,
nào sau đây sai?
uuu
r
uuu
r
A. AB cùng hướng CD.
uuu
r
uuu
r
AB = CD .
C.
Câu 14. Gọi O là giao điểm của hai

D. AB = CD.

uuu
r uuu
r
B, C, D thỏa mãn AB = CD . Khẳng định
uuu
r

uuu
r
B. AB cùng phương CD.
D. ABCD là hình bình hành.
đường chéo của hình bình hành ABCD .

Đẳng thức nào sau đây sai?
uuu
r uuur
uur uuur
uur uuu
r
uur uuur
A. AB = DC.
B. OB = DO.
C. OA = OC.
D. CB = DA.
Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB,
BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây sai?
uuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuuu
r uuu
r
uuur uuu

r
QP = MN .
MN = AC .
MN
=
QP
.
MQ
=
NP
.
A.
B.
C.
D.
Câu 16. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uuu
r
uuu
r uuu
r
A. AC = BD.
B. AB = CD.
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuur
AB = BC .

AB
, AC cùng hướng.
C.
D. Hai vectơ
Câu 17. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh
đề nào sau đây đúng?
uur uuu
r
A. OA = OC.

uur
uuu
r
B. OB và OD cùng hướng.
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
AC = BD .
C. AC và BD cùng hướng.
D.
M
,
N
Câu 18. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác
đều ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng?

3


uuu
r
uuuu
r
uuu
r uuur
uuuu
r uuu
r
BC = 2 MN .
B. AB = AC.
C. MN = BC.
D.
Cõu 19. Cho tam giỏc ABC u cnh a . Gi M l trung im BC . Khng
nh no sau õy ỳng?
uuuu
r a 3
uuuu
r a 3
uuur uuur
uuuu
r
AM =
.
AM =
.
2

2
A. MB = MC.
B.
C. AM = a.
D.
ã
Cõu 20. Cho hỡnh thoi ABCD cnh a v BAD = 60 . ng thc no sau õy
ỳng?
uuu
r
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
BD = a.
A. AB = AD.
B.
C. BD = AC.
D. BC = DA.
uuur uuur
A. MA = MB.

Cõu 21. Cho lc giỏc u ABCDEF cú tõm O. ng thc no sau õy sai?
uuu
r
uuur
uuu
r uuur

uuu
r uuu
r
uur uuu
r
AB = AF .
A. AB = ED.
B.
C. OD = BC.
D. OB = OE .
uuu
r
Cõu 22. Cho lc giỏc u ABCDEF tõm O. S cỏc vect bng OC cú im u
v im cui l cỏc nh ca lc giỏc l
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 6.
Cõu 23. Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H . Gi D l im i xng vi B qua
tõm O ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC . Khng nh no sau õy
ỳng?
uuu
r uuu
r
uuur uuur
uuu
r uuu
r
uuur uuur
A. HA = CD v AD = CH .

B. HA = CD v AD = HC .
uuu
r uuu
r
uuur uuur
uuu
r uuu
r
uuur uuur
uur uuu
r
C. HA = CD v AC = CH .
D. HA = CD v AD = HC v OB = OD .
uuu
r r
Cõu 24. Cho AB ạ 0 v mt im C. Cú bao nhiờu im D tha món
uuu
r
uuu
r
AB = CD ?
A. 0.

B. 1.
C. 2.
D. Vụ s.
uuu
r r
Cõu 25. Cho AB ạ 0 v mt im C. Cú bao nhiờu im D tha món
uuu

r uuu
r
AB = CD ?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vụ s.

BAỉI
2.

TONG
VECTễ

VAỉ

HIEU

1. Tng ca hai vect

CUA

HAI

r
uuu
r r
r
nh ngha. Cho hai vect a v b. Ly mt im A tựy ý, v AB = a v
uuu

r r
uuur
r
r
BC = b. Vect AC c gi l tng ca hai vect a v b. Ta kớ hiu tng ca
r
uuur r r
r r
r
hai vect a v b l a + b. Vy AC = a + b.
Phộp toỏn tỡm tng ca hai vect cũn c gi l phộp cng vect.

4


B

r
b

r
a

r
a

C
r r
a +b

A
r
b

2. Quy tắc hình bình hành

uuu
r uuur uuur
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC.
B

C

A

D

3. Tính chất của phép cộng các vectơ
r r r
a
Với ba vectơ , b, c tùy ý ta có
r r r r
a + b = b + a (tính chất giao hoán);
r r
r r
r r
a +b + c = a + b + c
(tính chất kết hợp);
r r r r r
a + 0 = 0+ a = a (tính chất của vectơ – không).

(

)

(

)

4. Hiệu của hai vectơ
a) Vectơ đối
r
r
Cho vectơ a. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ
r
r
đối của vectơ a, kí hiệu là - a.
uuu
r
uuur
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB là BA, nghĩa là
uuu
r uuu
r
- AB = BA.
r
r
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0.
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
r

r
r
r
Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là
r
r
r r r
r
a- b = a + - b .
r r
a+ - b ,
vectơ
kí hiệu a - b. Như vậy

( )

( )

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có
uuu
r uur uur
AB = OB - OA.

5


A

B
O

Chú ý
1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có
uuu
r uuu
r uuur
AB + BC = AC (quy tắc ba điểm);
uuu
r uuur uur
AB - AC = CB (quy tắc trừ).
Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.

5. Áp dụng

uur uur r
a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0.
uuu
r uuu
r uuu
r r
b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ

Câu 1. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuu
r
uuur uuuu

r uuu
r
uur uuu
r uur
A. AB + AC = BC.
B. MP + NM = NP. C. CA + BA = CB. D.
uuu
r uur uuu
r
AA + BB = AB.
r
r
r
r
r
Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định
nào sau đây sai?
r r
r r
a
,
b
a
A. Hai vectơ
cùng phương.
B. Hai vectơ , b ngược hướng.
r r
r r
C. Hai vectơ a, b cùng độ dài.
D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu.

Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uur uuu
r uuu
r
uuu
r uuur uuu
r
A. CA - BA = BC.
B. AB + AC = BC.
uuu
r uur uur
uuu
r uuu
r uur
C. AB +CA = CB.
D. AB - BC = CA.
uuu
r
uuu
r
Câu 4. Cho AB = - CD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
A. AB và CD cùng hướng.

B. AB và CD cùng độ dài.
uuu
r uuur r
C. ABCD là hình bình hành.
D. AB + DC = 0.
uuuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r
MN
+
PQ
+
RN
+
NP
+
QR
Câu 5. Tính tổng
.
uuur
uuuu
r
uuu
r
uuur
A. MR.
B. MN .
C. PR.

D. MP.
Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:

6


A. IA = IB.

uur uur
B. IA = IB.

uur
uur
C. IA = - IB.

uur uur
D. AI = BI .

Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn
thẳng AB ?
uur uur r
uur uur r
uur uur
A. IA = IB.
B. IA + IB = 0.
C. IA - IB = 0.
D. IA = IB.
Câu 8. Cho tam giác ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây
sai?
uuu

r
uuur
uuu
r uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
AB = AC .
A. AB = AC.
B. HC = - HB.
C.
D. BC = 2HC.
Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur
uur
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
AD = CB .
A. AB = BC.
B. AB = CD.
C. AC = BD.

D.
Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuur uuur r
A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0.
uuu
r uuu
r uuu
r r
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB +GC = 0.
uur uuu
r uur
C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB +CD = CA.
D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì
uuu
r uuu
r
uuur
AB + BC = AC .
Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
uur uur uuu
r
A. OA - OB = CD.
B.
uur uuu
r uuu
r uur
OB - OC = OD - OA.
uuu
r uuu
r uuur uuur

uuu
r uuur uuu
r
C. AB - AD = DB.
D. BC - BA = DC - DA.
Câu 12. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
A. AB - BC = DB.
B. AB - BC = BD.
uuu
r uuu
r uur
uuu
r uuu
r uuur
C. AB - BC = CA.
D. AB - BC = AC.
uur uuu
r
Câu 13. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB - OC .
uur uuu
r uuur
uur uuu

r uuu
r
OB
OC
=
BC
.
OB
OC
= DA.
A.
B.
uur uuu
r uuu
r uur
uur uuu
r uuu
r
C. OB - OC = OD - OA.
D. OB - OC = AB.
Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uur
uur
uuu
r
A. AB = BC = CA.
B. CA = - AB.
uuu

r
uuu
r
uur
uur
uuu
r
AB = BC = CA = a.
C.
D. CA = - BC.
Câu 15. Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
uuuu
r uuur uuu
r r
uuur uuur uuu
r
A. AM + MB + BA = 0.
B. MA + MB = AB.

7


uuur uuur uuur
C. MA + MB = MC.

uuu
r uuur uuuu
r
D. AB + AC = AM .

Câu 16. Cho tam giác ABC với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB .
Khẳng định nào sau đây sai?
uuu
r uuu
r uur r
uuu
r uuur uuu
r r
A. AB + BC + CA = 0.
B. AP + BM +CN = 0.
uuuu
r uuu
r uuur r
uur uuur uuur
C. MN + NP + PM = 0.
D. PB + MC = MP .
Câu 17. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uur r
A. AB + BC = AC.
B. AB + BC + CA = 0.
uuu
r uuu
r
uur
uuu
r
uuu
r uur uuu

r
AB = BC Û CA = BC .
C.
D. AB - CA = BC.
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau
đây đúng?
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur r
A. AB + AC = AH .
B. HA + HB + HC = 0.
uuu
r uuur r
uuu
r uuur
C. HB + HC = 0.
D. AB = AC.
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định
nào sau đây sai?
uuur uuu
r
uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
AH + HB = AH + HC .
A.
B. AH - AB = AH - AC.
uuur

uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur uuu
r
AH = AB - AH .
C. BC - BA = HC - HA.
D.
M
,
N
,
P
Câu 20. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác
uuur uuur
ABC. Hỏi vectơ MP + NP bằng vectơ nào trong các vectơ sau?
uuu
r
uuu
r
uuuu
r
A. AP.
B. BP.
C. MN .
D.
uuur uuu
r

MB + NB.
Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với

( O) tại hai điểm A và B. Mệnh đề nào sau đây đúng?

uur
uur
A. OA = - OB.

uuu
r
uur
B. AB = - OB.

C. OA = - OB.
D. AB = - BA.
¢
Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT ( T và T ¢ là hai tiếp
điểm). Khẳng định nào sau đây đúng?
uuuu
r
uuuu
r uuuur
uuur
A. MT = MT ¢.
B. MT + MT ¢= TT ¢. C. MT = MT ¢.
D. OT = - OT ¢.
Câu 23. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu

r uuur uur
uuu
r uuu
r uuu
r uuur
A. AB +CD = AD +CB.
B. AB + BC +CD = DA.
uuu
r uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r uur
C. AB + BC = CD + DA.
D. AB + AD = CD +CB.
Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới
uur
đây bằng CA ?
uuu
r uuu
r
uur uuu
r
uuu
r uuur
uuur uur
A. BC + AB.
B. - OA +OC.
C. BA + DA.

D. DC - CB.

8


Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?
uur uuu
r uuu
r r
uur uuu
r uur uuu
r
A. OA +OC +OE = 0.
B. OA +OC +OB = EB.
uuu
r uuu
r uuu
r r
uuu
r uuu
r uuur
C. AB +CD + EF = 0.
D. BC + EF = AD.
Câu 26. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Hỏi
uuur uuur
AO - DO
vectơ
bằng vectơ nào trong các vectơ sau?
uuu
r

uuu
r
uuur
uuur
A. BA.
B. BC.
C. DC.
D. AC.
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo.
Đẳng thức nào sau đây sai?
uur uur uuu
r uuu
r r
uuur uuu
r uuur
A. OA +OB +OC + OD = 0.
B. AC = AB + AD.
uuu
r uuu
r
uuur uuur
uuu
r uuu
r uuu
r uur
BA + BC = DA + DC .
C.
D. AB +CD = AB +CB.
Câu 28. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi
E , F lần lượt là trung điểm của AB, BC . Đẳng thức nào sau đây sai?

uuu
r uuu
r uuu
r
uuur uuu
r uuu
r
A. DO = EB - EO.
B. OC = EB + EO.
uur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r r
uuu
r uuu
r uuur r
C. OA +OC +OD +OE +OF = 0.
D. BE + BF - DO = 0.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r

A. GA +GC +GD = BD.
B. GA +GC +GD = CD.
uuu
r uuu
r uuur ur
uuu
r uuur uuu
r uuu
r
C. GA +GC + GD = O.
D. GA +GD +GC = CD.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur r
A. AC = BD.
B. AB + AC + AD = 0.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
AB - AD = AB + AD .
BC + BD = AC - AB .
C.

D.
Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
uuu
r uuur
AB + AC .
Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính
uuu
r uuur a 3
uuu
r uuur
AB + AC =
.
AB + AC = a 3.
2
A.
B.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.
AB + AC = 2a 3.
C.
D.
uuu
r uuur
AB + AC .
Câu 32. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a . Tính
uuu
r uuur a 2

uuu
r uuur
AB + AC =
.
AB + AC = a 2.
2
A.
B.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.
AB + AC = a.
C.
D.

(

)

Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB = 2. Tính độ dài của
uuu
r uuur
AB + AC.

9


A.

C.

uuu
r uuur
AB + AC = 5.
uuu
r uuur
AB + AC = 3.

B.
D.

uuu
r uuur
AB + AC = 2 5.
uuu
r uuur
AB + AC = 2 3.
uur uuu
r
CA + AB

Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = 3, AC = 4 . Tính
.
uur uuu
r
uur uuu
r
uur uuu
r

uur uuu
r
CA + AB = 2.
CA + AB = 2 13.
CA + AB = 5.
CA + AB = 13.
A.
B.
C.
D.
uuu
r uuur
AB + AC .
·
Câu 35. Tam giác ABC có AB = AC = a và BAC = 120° . Tính
uuur uuur
uuu
r uuur
AB + AC = a.
AB + AC = a 3.
A.
B.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
a
AB + AC = .
AB + AC = 2a.
2

C.
D.
a
,
ABC
H là trung điểm của BC . Tính
Câu 36. Cho tam giác
đều cạnh
uur uuur
CA - HC .
uur uuur 2 3a
uur uuur a 7
uur uuur
uur uuur 3a
a
CA - HC =
.
CA - HC =
.
CA - HC = .
CA - HC = .
3
2 B.
2
2
A.
C.
D.
Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12.
r uuu

r uuu
r
Tính độ dài của vectơ v = GB + GC .
r
r
r
r
v = 2.
v = 2 3.
v = 8.
v = 4.
A.
B.
C.
D.
uuur uuu
r
AC + BD
Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC = 2a và BD = a. Tính
.
uuur uuu
r
uuur uuu
r
AC + BD = 3a.
AC + BD = a 3.
A.
B.
uuur uuu
r

uuur uuu
r
AC + BD = a 5.
AC + BD = 5a.
C.
D.
uuu
r uuur
AB - DA .
Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB - DA = 0.
AB - DA = a.
AB - DA = a 2.
AB - DA = 2a.
A.
B.
C.
D.
uur uuu
r
OB +OC
ABCD

a
O
.
Câu 40. Cho hình vuông
cạnh , tâm
Tính
.
uur uuu
r a 2
uur uuu
r
uur uuu
r
uur uuu
r
a
OB +OC =
.
OB +OC = .
OB +OC = a.
OB +OC = a 2.
2
2
A.
B.
C.
D.
Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
uuur uuur uuur r
Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác

định vị trí điểm M .
A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .

10


B. M l trung im ca on thng AB.
C. M trựng vi C.
D. M l trng tõm tam giỏc ABC.
Cõu 42. Cho tam giỏc ABC. Tp hp tt c cỏc im M tha món ng thc
uuur uuur
uuur uuu
r
MB - MC = BM - BA
l
AB
.
A. ng thng
B. trung trc on BC.
C. ng trũn tõm A, bỏn kớnh BC. D. ng thng qua A v song song vi
BC.
Cõu 43. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD . Tp hp tt c cỏc im M tha món
uuur uuur uuur uuuu
r
ng thc MA + MB - MC = MD l
A. mt ng trũn.
B. mt ng thng.
C. tp rng.
D. mt on thng.
uuur uuur uuu

r
Cõu 44. Cho tam giỏc ABC v im M tha món MB + MC = AB . Tỡm v trớ
im M .
A. M l trung im ca AC.
C. M l trung im ca BC.
ABCM .

B. M l trung im ca AB.
D. M l im th t ca hỡnh bỡnh hnh

uuur uuur uuur r
ABC
M
Cõu 45. Cho tam giỏc
v im
tha món iu kin MA - MB + MC = 0
. Mnh no sau õy sai?
uuuu
r uuu
r uuur
A. MABC l hỡnh bỡnh hnh.
B. AM + AB = AC.
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuu
r
C. BA + BC = BM .
D. MA = BC.

BAỉI
3.

TCH CUA VECTễ VễI MOT
SO

1. nh ngha

r r
r
k ạ 0 v vect a ạ 0. Tớch ca vect a vi s k l mt vect, kớ hiu
Cho
s
r
r
r
l ka, cựng hng vi a nu k > 0, ngc hng vi a nu k < 0 v cú di
r
k.a.
bng

2. Tớnh cht
cú

r
r
Vi hai vect a v b bt kỡ, vi mi s h v k, ta

r
r r

r
k a + b = ka + kb

(

)

r
r
r
( h+ k) a = ha + ka
r
r
h( ka) = ( hk) a

;
;

;
r r
r
r
1.a = a, ( - 1) .a = - a.

11


3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có

uuur uuur
uuu
r
MA + MB = 2 MI .

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có

uuu
r uuu
r uuu
r
uuur
GA +GB +GC = 3MG.

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
r
r
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b
k để

r

r

( b ¹ 0)

cùng phương là có một số

r
r

a = kb.

Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác
0 để

uuu
r
uuur
AB = k AC.

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

r
r
r
Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân
r
r
tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp
r
r
r
số h, k sao cho x = ha + kb.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Tính
A. a.

uur uur
2OA - OB .

( 1+ 2) a.

C. a 5.
D. 2a 2.
Câu 2. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Khẳng định nào sau
đây sai ?
uur
uur
uur
uur
3OA + 4OB = 5a.
2OA + 3OB = 5a.
A.
B.
uur
uur
uur
uur
7OA - 2OB = 5a.
11OA - 6OB = 5a.
C.
D.
Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ
B.

Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của
AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
uur
uur uur r

uur uur
uur r
A. IB + 2IC + IA = 0.
B. IB + IC + 2IA = 0.
uur uur uur r
uur uur uur r
C. 2IB + IC + IA = 0.
D. IB + IC + IA = 0.
Câu 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của

12


AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
uur 1 uuu
r uuur
uur 1 uuu
r uuur
AI = AB + AC .
AI = AB - AC .
4
4
A.
B.
uur 1 uuu
r 1 uuur
uur 1 uuu
r 1 uuur
AI = AB + AC.
AI = AB - AC.

4
2
4
2
C.
D.
Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của
tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
uuur 2 uuu
r uuur
uuur 1 uuu
r uuur
AG = AB + AC .
AG = AB + AC .
3
3
A.
B.
uuur 1 uuu
r 2 uuur
uur 2 uuu
r
uuur
AG = AB + AC.
AI = AB + 3AC.
3
2
3
C.
D.

Câu 6. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuur uuu
r
uuuu
r
cho 3 AM = 2 AB và 3DN = 2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC.
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuuu
r 1 uuur 2 uuu
r
MN = AD + BC.
MN = AD - BC.
3
3
3
3
A.
B.
uuuu
r 1 uuur 2 uuu
r
uuuu

r 2 uuur 1 uuu
r
MN = AD + BC.
MN = AD + BC.
3
3
3
3
C.
D.
ABCD
CD
.
AB
Câu 7. Cho hình thang
có đáy là
và
Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuuu
r uuuu
r uuur uuur
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
A. MN = MD +CN + DC.
B. MN = AB - MD + BN .
uuuu
r 1 uuu

r uuur
uuuu
r 1 uuur uuu
r
MN = AB + DC .
MN = AD + BC .
2
2
C.
D.
ABCD
M
Câu 8. Cho hình bình hành
có
là trung điểm của AB. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r
DM = CD + BC.
DM = CD - BC.
2
2
A.
B.

uuuu
r 1 uuur uuu
r
uuuu
r 1 uuur uuu
r
DM = DC - BC.
DM = DC + BC.
2
2
C.
D.
Câu 9. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3AM = AB và N
uuuu
r
uuur
uuu
r
là trung điểm của AC. Tính MN theo AB và AC.
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
MN = AC + AB.
MN = AC - AB.
2
3
2

3
A.
B.
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
MN = AB + AC.
MN = AC - AB.
2
3
2
3
C.
D.
M
,
N
Câu 10. Cho tam giác ABC. Hai điểm
chia cạnh BC theo ba phần bằng
uuur
uuuur
uuur
nhau BM = MN = NC. Tính AM theo AB và AC.
uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
uuuu

r 1 uuu
r 2 uuur
AM = AB + AC.
AM = AB + AC.
3
3
3
3
A.
B.

(

)

(

(

(

)

)

(

)

)

(

13

)


uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
AM = AB - AC.
3
3
C.

uuuu
r 1 uuu
r 2 uuur
AM = AB - AC.
3
3
D.
uuur
uuuur
Câu 11. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM
uuu
r
và BC.
uuu

r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r uuu
r 1 uuuu
r
AB = AM + BC.
AB = BC + AM .
2
2
A.
B.
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r uuu
r 1 uuuu
r
AB = AM - BC.
AB = BC - AM .
2
2
C.
D.
ABC
Câu 12. Cho tam giác
, gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên

cạnh AC sao cho NC = 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
AK = AB + AC.
AK = AB - AC.
6
4
4
6
A.
B.
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
AK = AB + AC.
AK = AB - AC.
4
6
6
4
C.
D.
uuur
uuu
r
uuu
r

Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD.
uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
AB = AC + BD.
AB = AC - BD.
2
2
2
2
A.
B.
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r 1 uuur uuu
r
AB = AM - BC.
AB = AC - BD.
2
2
C.
D.
u
u

u
r
r
uuur
r
Câu 14. Cho tam giác ABC và đặt a = BC, b = AC. Cặp vectơ nào sau đây
cùng phương?
r
r
r
r r r
r r r
r r
r
r r r r
2
a
+
b
,
a
+
2
b
.
2
a
b
,
a

2
b
.
5
a
+
b
,
10
a
2
b
.
a
A.
B.
C.
D. + b, a - b.
uuur uuur uuur
Câu 15. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA = MB + MC. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A. Ba điểm C, M , B thẳng hàng.
B. AM là phân giác trong của góc
·
BAC
.
C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.
uuuu
r uuu
r r

D. AM + BC = 0.
Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 16. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC.
Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uur
1 uur
uuu
r
uur
uuu
r uuu
r
uur
uuu
r uuu
r uuu
r
IG = - IA.
3
A. GA = 2GI .
B.
C. GB +GC = 2GI . D. GB + GC = GA.
Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng
định nào sau đây sai ?
uuu
r
r
2 uuuu
uuu
r uuur

uuur
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuuu
r
GA =- AM .
3
A.
B. AB + AC = 3AG. C. GA = BG +CG.
D. GB +GC = GM .

14


Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng
định nào sau đây đúng ?
uuuu
r uuur uuur
uuur uuur
A. AM = MB = MC.
B. MB = MC.
uuu
r
uuuu
r BC
uuur

uuur
AM =
.
2
C. MB = - MC.
D.
Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và
AC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuu
r
1 uuur
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
CN
=
AC.
2
A. AB = 2AM .
B. AC = 2NC.
C. BC = - 2MN .
D.
Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

uuu
r uuur 2 uuur
uuu
r uuu
r
uuu
r
AB + AC = AG.
3
A.
B. BA + BC = 3BG.
uur uur uuu
r
uuu
r uuur uuu
r r
C. CA +CB = CG.
D. AB + AC + BC = 0.
uur
uur
Câu 21. Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA = 2IB. Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
uur
uur
uur
uur
uur CA - 2CB
uur CA + 2CB
CI =
.

CI =
.
3
3
A.
B.
uur
uur
uur CA + 2CB
uur
uur
uur
CI =
.
- 3
C. CI = - CA + 2CB.
D.
Câu 22. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng
?
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r
uuur uuur
uuur
uuur uuu
r
A. 2MA + MB - 3MC = AC + 2BC.
B. 2MA + MB - 3MC = 2AC + BC.
uuur uuur

uuur
uur uur
uuur uuur
uuur
uur uur
C. 2MA + MB - 3MC = 2CA +CB.
D. 2MA + MB - 3MC = 2CB - CA.
Câu 23. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?
uuur uuur
1 uur
uuu
r uuur
uuur
AD + DO = - CA.
2
A. AB + AD = 2AO.
B.
uur uur 1 uur
uuur uuu
r
uuu
r
OA +OB = CB.
AC
+
DB
=
2
AB
.

2
C.
D.
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uuur uuu
r
uuu
r
uuur uuu
r uuu
r
A. AC + BD = 2BC.
B. AC + BC = AB.
uuur uuu
r
uuu
r
uuur uuur uuu
r
C. AC - BD = 2CD.
D. AC - AD = CD.
Câu 25. Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo.
Mệnh đề nào sau đây sai ?
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur
A. AB + BC = AC.
B. AB + AD = AC.

uuu
r uuu
r
uuur
uuur uuur uuur uuuu
r
C. BA + BC = 2 BM .
D. MA + MB = MC + MD.
Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

15


uuur uuur uur
Câu 26. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA. Khẳng định
nào sau đây là đúng ?
A. M trùng A.
B. M trùng B.
C. M trùng C.
D. M là trọng tâm của tam giác ABC.
uuur r uuu
r r
GA
=
a
,
GB
= b . Hãy tìm m, n
G
ABC

Câu 27. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Đặt
uuu
r
r
r
để có BC = ma + nb.
A. m= 1, n = 2.

B. m= - 1, n = - 2.
C. m= 2, n = 1.
D. m= - 2, n = - 1.
Câu 28. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng
uuur
uuur
uuur
thức vectơ MA = x MB + yMC.
Tính giá trị biểu thức P = x + y.
C. P = - 2.
D. P = 3.
Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tập hợp các điểm M thỏa
uuur uuur uuur uuuu
r
MA
+
MB
+
MC
+

MD
= k là
mãn đẳng thức
A. một đoạn thẳng.
B. một đường thẳng.
C. một đường tròn.
D. một điểm.
ABCD
Câu 30. Cho hình chữ nhật
và I là giao điểm của hai đường chéo. Tập
uuur uuur
uuur uuuu
r
hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB = MC + MD là
A. trung trực của đoạn thẳng AB.
B. trung trực của đoạn thẳng AD.
A. P = 0.

B. P = 2.

AC
.
I
,
C. đường tròn tâm
bán kính 2 D. đường tròn tâm I , bán kính
AB + BC
.
2
Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.

uuur uuur
uuur uuur
MA + MB = MA - MB
Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
là
AB
.
I
,
A. đường tròn tâm
đường kính 2
B. đường tròn đường kính AB.

C. đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. đường trung trực đoạn thẳng IA.
Câu 32. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
uuur uuur
uuur
uuur
2MA + MB = MA + 2MB
Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
là
A. đường trung trực của đoạn thẳng AB.
B. đường tròn đường kính AB.
C. đường trung trực đoạn thẳng IA.
D. đường tròn tâm A, bán kính AB.

16

Cõu 33. Cho tam giỏc u ABC cnh a, trng tõm G. Ttp hp cỏc im M tha
uuur uuur
uuur uuur
MA + MB = MA + MC
món
l
A. ng trung trc ca on BC.
B. ng trũn ng kớnh BC.
a
C. ng trũn tõm G, bỏn kớnh 3 .
D. ng trung trc on thng AG.
ABC
Cõu 34. Cho tam giỏc u
cnh a. Bit rng tp hp cỏc im M tha
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
2MA + 3MB + 4MC = MB - MA
món ng thc
l ng trũn c nh cú bỏn
R
.
a
.
kớnh
Tớnh bỏn kớnh R theo
a
a
a

a
R= .
R= .
R= .
R= .
3
9
6
2
A.
B.
C.
D.
Cõu 35. Cho tam giỏc
uuur uuur uuur
MA + MB + MC = 3
?
A. 1.
B. 2.

BAỉI
4.

ABC .

Cú

bao

nhiờu

im

C. 3.

M

tha

món

D. Vụ s.

HE TRUẽC TOẽA ẹO

1. Trc v di i s trờn trc
a) Trc ta (hay gi tt l trc) l mt ng
thng trờn ú ó xỏc nh
r
mt im O gi l im gc v mt vect n v e.
r
( O;e) .
Ta kớ hiu trc ú l
O

r
e

M

r
M l mt im tựy ý trờn trc ( O;e) . Khi ú cú duy nht mt s k
Cho
uuur
r
sao cho OM = ke. Ta gi s k ú l ta ca im M i vi trc ó cho.
r
A v B trờn trc ( O;e) . Khi ú cú duy nht s a sao cho
c)
Cho
hai
im
uuu
r
r
uuur
AB = ae. Ta gi s a l di i s ca vect AB i vi trc ó cho v kớ hiu
a = AB.
b)

Nhn xột.
uuu
r
uuu
r
r
r
ã Nu AB cựng hng vi e thỡ AB = AB, cũn nu AB ngc hng vi e
AB =- AB.
thỡ

r
ã Nu hai im A v B trờn trc ( O; e) cú ta ln lt l a v b thỡ
AB = b- a.

2. H trc ta
a) nh ngha. H trc ta

r r

( O;i , j )

r

gm hai trc

17

( O;i )

r

v

( O; j )

vuụng


y
góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.

r
O
;
j
Ox
,
được gọi là trục rhoành và kí hiệu là
trục1
được gọi là trục
x
j
r
r
r i
Oy
.
j
Ox
hiệu là
Các O
vectơ
và
là các vectơ đơn vị trên
và Oy và
r ir
O
1
O;i , j
Hệ trục tọa độ
còn được kí hiệu là Oxy.

(

(

)

r

Trục

( O;i )

tung và kí
r
r
i = j = 1.

)

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt
phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ
uur r
r
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA = u và gọi A1, A2 lần
uur uuur uuur
lượt là hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA = OA1 +OA2 và
uuur
r

r
r uuur
r
r
( x; y) để OA1 = xi , OA2 = y j . Như vậy u = xi + y j .
cặp số duy nhất
r
( x; y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ
r u đối với hệ tọa độ
Cặp số
u
r
r
Oxy và viết u = ( x; y) hoặc u( x; y) . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y
r
A
A2
gọi là tung độ của vectơ u.
Như vậy
r
r
u
r
r
j
r
r
r
u = ( x; y) Û u = xi + y j
A1

O i
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của
vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và
chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và
tung độ bằng nhau.

ur
u¢= ( x¢; y¢)

r ur ìï x = x¢
u = u¢Û ïí
.
ïïî y = y¢

r
u = ( x; y)
Nếu
và
thì
Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
c) Tọa độ của một điểm

uuur
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM
đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.
uuur
x; y)
OM
= ( x; y) .
(

Như vậy, cặp số
là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi
Khi
M ( x; y)
M = ( x; y) .
đó ta viết
hoặc
Số x được gọi là hoành độ, còn số y được
gọi là tung độ của điểm M . Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM ,
y .
tung độ của điểm M còn được kí hiệu là M

18


uuur
r
r
M = ( x; y) Û OM = xi + y j
M ( x; y)

M2

r
j
O

r
i

M1

Chú ý rằng, nếu MM 1 ^ Ox, MM 2 ^ Oy thì x = OM 1, y = OM 2.
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt
phẳng
A ( xA ; yA )
B( xB ; yB ) .
Cho hai điểm
và
Ta có

uuu
r
AB = ( xB - xA ; yB - yA ) .
r

r r

r

r

3. Tọa độ của các vectơ u+ v, u- v, ku
Ta có các công thức sau:

r
r
u = ( u1;u2 ) , v = ( v1;v2 )

Cho

Khi đó:
r r
u + v = ( u1 + u2 ;v1 + v2 )

r r
u - v = ( u1 - u2 ;v1 - v2 )
r
ku = ( ku1;ku2 ) , k Î ¡ .

;
;

r
r
r r
u = ( u1;u2 ) , v = ( v1;v2 )
Nhận xét. Hai vectơ
với v ¹ 0 cùng phương khi và chỉ
khi có một số k sao cho u1 = kv1 và u2 = kv2.

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của
tam giác
A ( xA ; yA ) , B ( xB ; yB ) .
a) Cho đoạn thẳng AB có
Ta dễ dàng chứng minh
được tọa độ trung điểm

I ( xI ; yI )

của đoạn thẳng AB là

xA + xB
y + yB
, yI = A
.
2
2
A ( xA ; yA ) , B( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) .
b) Cho tam giác ABC có
Khi đó tọa độ của
G ( xG ; yG )
trọng tâm
của tam giác ABC được tính theo công thức
xI =

19


xG =

xA + xB + xC
y + yB + yC
, yG = A
.
3
3
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

C HIỆM

Vấn đề 1. TỌA ĐỘ VECTƠ
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
r
r
r
u
r
a = ( - 5;0) , b = ( - 4;0)
c = ( 7;3)
d = ( - 7;3) .
A.
cùng hướng. B.
là vectơ đối của
r
r
r
r
u = ( 4;2) , v = ( 8;3)
a = ( 6;3) , b = ( 2;1)
C.
cùng phương. D.
ngược hướng.
r
r
r
r r
a = ( 2;- 4) , b = ( - 5;3) .
Câu 2. Cho
Tìm tọa độ của u = 2a- b.
r

r
r
r
u = ( 7;- 7) .
u= ( 9;- 11) .
u = ( 9;- 5) .
u = ( - 1;5) .
A.
B.
C.
D.
r
r
r r
a = ( 3;- 4) , b = ( - 1;2) .
Câu 3. Cho
Tìm tọa độ của vectơ a + b.
( - 4;6) .
( 2;- 2) .
( 4;- 6) .
( - 3;- 8) .
A.
B.
C.
D.
r
r
r r
a = ( - 1;2) , b = ( 5;- 7) .
Câu 4. Cho

Tìm tọa độ của vectơ a- b.
A.

( 6;- 9) .

B.

( 4;- 5) .
rr

C.

( - 6;9) .

( O;i ; j ) , tọa độ của vectơ
Câu 5. Trong hệ trục tọa độ
A.

( 0;1) .

B.

( 1;- 1) .

C.

D.

( - 5;- 14) .

r r
i + j là

( - 1;1) .

D.

( 1;1) .

r
r
u = ( 3;- 2) , v = ( 1;6) .
Câu 6. Cho
Khẳng định nào sau đây là đúng?
r
r r
r r
a= ( - 4;4)
u
u
+
v
A.
và
ngược hướng. B. , v cùng phương.
r
r r r
r r
b= ( 6;- 24)
C. u- v và

cùng hướng. D. 2u + v, v cùng phương.
r r
r
r
r r
r
r
u
=
2
i
j
v
=
i
+
xj
Câu 7. Cho
và
. Xác định x sao cho u và v cùng phương.
x =-

1
2.

x=

1
4.

A. x = - 1.
B.
C.
D. x = 2 .
r
r
r r
a = ( - 5;0) , b = ( 4; x) .
Câu 8. Cho
Tìm x để hai vectơ a, b cùng phương.
A. x = - 5.
B. x = 4.
C. x = 0.
D. x = - 1.
r
r
r
r
r
r
a = ( x;2) , b = ( - 5;1) , c = ( x;7) .
Câu 9. Cho
Tìm x biết c = 2a+ 3b .
A. x = - 15.
B. x = 3.
C. x = 15.
D. x = 5.
r
r
r

a = ( 2;1) , b = ( 3;4) , c = ( 7;2) .
Câu 10. Cho ba vectơ
Giá trị của k, h
r
r
r
c = k.a + hb
. là
A. k = 2,5; h = - 1,3.
B. k = 4,6; h = - 5,1.
C. k = 4,4; h = - 0,6.

D. k = 3,4; h = - 0,2.

20

để


Vấn đề 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
uuu
r
A ( 5;2) , B( 10;8) .
Câu 11. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
Tìm tọa độ của vectơ AB ?
uuu
r
uuu
r
uuu

r
uuu
r
AB = ( 15;10) .
AB = ( 2;4) .
AB = ( 5;6) .
AB = ( 50;16) .
A.
B.
C.
D.

A ( 1;3) , B( - 1;2) , C ( - 2;1) .
Câu 12. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
Tìm tọa độ
uuu
r uuur
của vectơ AB - AC.
A.

( - 5;- 3) .

B.

( 1;1) .

C.

( - 1;2) .

D.

( - 1;1) .

Oxy, cho hai điểm A ( 2;- 3) , B ( 4;7) . Tìm tọa độ trung
Câu 13. Trong hệ tọa độ
điểm I của đoạn thẳng AB.
A.

I ( 6;4) .

B.

I ( 2;10) .

C.

I ( 3;2) .

D.

I ( 8;- 21) .

A ( 3;5) , B( 1;2) , C ( 5;2) .
Câu 14. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
Tìm
G
ABC
?
tọa độ trọng tâm

của tam giác
æ9 9ö
÷.
Gç
; ÷
ç
÷
ç
G ( - 3;- 3) .
G ( 9;9) .
G ( 3;3) .
A.
B. è2 2ø
C.
D.
A ( 6;1) , B ( - 3;5)
Câu 15. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
và trọng
G ( - 1;1)
tâm
. Tìm tọa độ đỉnh C ?
C ( 6;- 3) .
C ( - 6;3) .
C ( - 6;- 3) .
C ( - 3;6) .
A.
B.
C.
D.
A ( - 2;2) , B( 3;5)

Câu 16. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
và trọng
O( 0;0) .
tâm là gốc tọa độ
Tìm tọa độ đỉnh C ?
C ( - 1;- 7) .
C ( 2;- 2) .
C ( - 3;- 5) .
C ( 1;7) .
A.
B.
C.
D.
A ( 1;- 1) N ( 5;- 3)
Câu 17. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
,
và C
thuộc trục Oy , trọng tâm G của tam giác thuộc trục Ox . Tìm tọa độ điểm
C.
C ( 0;- 4.)
D.
C ( - 2;- 4)
Câu 18. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
, trọng tâm
G ( 0;4)
M
2;0
.
(
)

và trung điểm cạnh BC là
Tổng hoành độ của điểm A và B
là
A. - 2.
B. 2.
C. 4.
D. 8.
A.

C ( 0;4.)

B.

C ( 2;4.)

C.

C ( 0;2.)

A ( - 1;1) , B ( 1;3) , C ( - 2;0) .
Câu 19. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
Khẳng định
nào sau đây sai?
uuu
r
uuur
A. AB = 2AC.
B. A, B, C thẳng hàng.
uuu
r 2 uuu

r
uuu
r
uur r
BA = BC.
3
C.
D. BA + 2CA = 0.

21


A ( 3;- 2) , B ( 7;1) , C ( 0;1) , D ( - 8;- 5) .
Câu 20. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm
Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
A. AB, CD là hai vectơ đối nhau.
B. AB, CD ngược hướng.
uuu
r uuu
r
C. AB, CD cùng hướng.
D. A, B, C, D thẳng hàng.
A ( - 1;5) , B ( 5;5) , C ( - 1;11) .
Câu 21. Trong hệ tọa độ Oxy, cho

Khẳng định nào
sau đây đúng?
uuu
r uuur
AB
, AC cùng phương.
A
,
B
,
C
A.
thẳng hàng.
B.
uuu
r uuur
uuur uuur
C. AB, AC không cùng phương.
D. AB, AC cùng hướng.
A ( 1;1) , B ( 2;- 1) , C ( 4;3) , D ( 3;5) .
Câu 22. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm
Khẳng định nào sau đây đúng?
G ( 9;7)
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B.
là trọng tâm tam giác BCD.
uuur uuur
uuu
r uuu
r
C. AB = CD.

D. AC, AD cùng phương.
A ( 1;1) , B( - 2;- 2) , C ( 7;7) .
Câu 23. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
Khẳng định nào sau đây đúng?
G ( 2;2)
A.
là trọng tâm tam giác ABC.
B. B ở giữa hai
điểm A và C.
uuur uuur
C
.
A
B
C.
ở giữa hai điểm
và
D. AB, AC cùng hướng.
M ( 3;- 4) .
Câu 24. Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm
Gọi M 1, M 2 lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M trên Ox,Oy. Khẳng định nào đúng?
A. OM 1 = - 3.
uuuur uuuur
OM 1 - OM 2 = ( - 3;- 4) .
C.

B. OM 2 = 4.
uuuur uuuur
OM 1 +OM 2 = ( 3;- 4) .

D.

Câu 25. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC , điểm C thuộc trục
hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r
A. AB có tung độ khác 0.
B. Hai điểm A, B có tung độ khác
nhau.
C. C có hoành độ bằng 0.

D. xA + xC - xB = 0.

A ( - 5;- 2) , B ( - 5;3) , C ( 3;3) , D ( 3;- 2) .
Câu 26. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm
Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r
A. AB, CD cùng hướng.
B. ABCD là hình chữ nhật.
uur uur uuu
r
I ( - 1;1)
C.
là trung điểm AC.
D. OA +OB = OC.
Oxy,
Câu
27.

Trong
hệ
tọa
độ
cho
bốn
điểm
A ( 2;1) , B ( 2;- 1) , C ( - 2;- 3) , D ( - 2;- 1) .
Xét hai mệnh đề:

22


( I ) . ABCD là hình bình hành.

( II ) . AC cắt BD tại M ( 0;- 1) .

Khẳng định nào sau đây đúng?

( I ) đúng.
( I ) và ( II ) đều đúng.
C. Cả

( II ) đúng.
( I ) và ( II ) đều sai.
D. Cả
A ( 1;1) , B ( 3;2) , C ( 6;5) .
Câu 28. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
Tìm tọa độ
A. Chỉ

B. Chỉ

điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
A.

D ( 4;3) .

B.

D ( 3;4) .

C.

D ( 4;4) .

D.

D ( 8;6) .

A ( 0;- 3) , B( 2;1) , D ( 5;5)
Câu 29. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
Tìm tọa độ
C
ABCD
điểm
để tứ giác
là hình bình hành.
A.

C ( 3;1) .

B.

C ( - 3;- 1) .

C.

C ( 7;9) .

D.

C ( - 7;- 9) .

A ( 0;3) D ( 2;1)
Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có
,
và
I ( - 1;0)
là tâm của hình chữ nhật. Tìm tọa độ tung điểm của cạnh BC.
A.

( 1;2) .

B.

( - 2;- 3) .

C.

( - 3;- 2) .

D.

( - 4;- 1) .

B ( 9;7) , C ( 11;- 1) .
Câu 31. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
Gọi M , N
uuuu
r
lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tìm tọa độ vectơ MN ?
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
MN = ( 2;- 8) .
MN = ( 1;- 4) .
MN = ( 10;6) .
MN = ( 5;3) .
A.
B.
C.
D.
M ( 2;3) , N ( 0;- 4) , P ( - 1;6)
Câu 32. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB . Tìm tọa độ đỉnh A ?
A.

A ( 1;5) .

B.

A ( - 3;- 1) .

C.

A ( - 2;- 7) .

D.

A ( 1;- 10) .

A ( 1;2) , B( - 2;3)
Câu 33. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm
. Tìm tọa độ đỉểm I
uur
uur r
sao cho IA + 2IB = 0.
A.

I ( 1;2) .

æ 2÷
ö
Iç

1; ÷
.
ç
÷
ç
B. è 5ø

æ 8÷
ö
Iç
- 1; ÷
.
ç
÷
ç
C. è 3ø

D.

I ( 2;- 2) .

A ( 2;- 3) , B ( 3;4) .
Câu 34. Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm
Tìm tọa độ điểm
M thuộc trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng.
æ 5 1÷
ö
æ
17 ö
Mç

- ;- ÷
.
Mç
;0÷
÷
÷.
ç
ç
÷
ç
ç
M ( 1;0) .
M ( 4;0) .
è 3 3ø
è7 ø
A.
B.
C.
D.
A ( 1;0) , B ( 0;3)
C ( - 3;- 5) .
Câu 35. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
và
Tìm
uuur
uuur
uuur
P = 2MA - 3MB + 2MC
điểm M thuộc trục hoành sao cho biểu thức
đạt giá

trị nhỏ nhất.

23


M ( 4;0) .

B.

A.

M ( - 4;0) .

C.

M ( 16;0) .

D.

M ( - 16;0) .

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

6

VECTÔ

BAØI
1.

ÑÒNH NGHÓA

Câu 1. Chọn D.

uuu
r uuu
r uuu
r uur uur uuur
AB
,
BA
,
BC
, CB, CA, AC.
Câu 2. Chọn B. Đó là các vectơ:
Câu 3. Xét các vectơ có điểm A là điểm đầu thì có các vectơ thỏa mãn bài
uuu
r uuur uuur
AB
, AC, AD ¾¾
® có 3 vectơ.
toán là
Tương tự cho các điểm còn lại B, C, D. Chọn D.
Câu 4. Chọn A. Vì vectơ - không cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5. Chọn A.
Câu 6. Chọn B.
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu

r uur
AB
,
BA
,
DE
,
ED
,
FC
, CF .
Câu 7. Chọn B. Đó là các vectơ:
B

C
D

O

A

E
F
Câu 8. Chọn D.
Câu
Câu
Câu
Câu

9. Chọn C. Vì có thể xảy ra trường hợp

10. Chọn D.
11. Chọn B.
12. Ta có:

uuu
r
AB = 0 Û A º B.

24


uuu
r uuu
r ïì AB P CD
AB = CD Þ ïí
Þ ABDC
ïïî AB = CD

là hình bình hành.
uuu
r uuu
r
ïì AB P CD
Þ ïí
Þ AB = CD
ïïî AB = CD
 Mặt khác, ABDC là hình bình hành
.
uuu
r uuu

r
Do đó, điều kiện cần và đủ để AB = CD là ABDC là hình bình hành. Chọn B.
Câu 13. Chọn D. Phải suy ra ABDC là hình bình hành (nếu A, B, C, D không
thẳng hàng) hoặc bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.
Câu 14. Chọn C.
Câu 15. Chọn D.
A
ïìï MN P PQ
1
í
AC
ïïî MN = PQ
Q
Ta có
(do cùng song song và bằng 2
).
MNPQ
Do đó
là hình bình hành.
Câu 16. Chọn C.
D
uuu
r
uuu
r
AB = BC Û AB = BC .
P
Vì
C
Câu 17. Chọn D.

Câu 18.
A
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC .
uuu
r
uuuu
r
BC = 2MN ¾¾
® BC = 2 MN .
M
Do đó
Chọn D.
Câu 19. Chọn D.
B
Câu 20.

M
B
N

N
C

B
A

C
D

uuu

r
BD = a ¾¾
® BD = a.

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a nên
Chọn B.
Câu 21. Chọn D.
Câu 22. Chọn A. Đó là các vectơ:
uuu
r uuu
r
AB, ED .
C

A

D

D
D

F

Câu 23.

H
B

O

E

25
C

A

O

OA
E

B

C

B

F