Trắc nghiệm phương trình hệ phương trình có lời giải chi tiết

3

PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ PHÖÔNG
TRÌNH
BÀI
1.

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f ( x) = g( x)

f ( x)
g( x)
là những biểu thức của x. Ta gọi
là vế trái,
( 1) .
là vế phải của phương trình
f ( x0 ) = g( x0 )
Nếu có số thực x0 sao cho
là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là
( 1) .
một nghiệm của phương trình
( 1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập
Giải phương trình
nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô

nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
trong đó

f ( x)

( 1)

và

g( x)

2. Điều kiện của một phương trình
( 1) , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số
Khi giải phương trình

x để f ( x)

g( x)
và
có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là
điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương
trình).

3. Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn
số, chẳng hạn
3x + 2y = x2 - 2xy + 8,
( 2)

4x2 - xy + 2z = 3z2 + 2xz + y2.

( 3)

( 2) là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn ( 3) là phương trình
Phương trình
ba ẩn ( x, y và z ).
( 2) có giá trị bằng nhau, ta nói
Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình
( x; y) = ( 2;1) là một nghiệm của phương trình ( 2) .
cặp
( x; y; z) = ( - 1;1;2) là một nghiệm của phương trình ( 3) .
Tương tự, bộ ba số
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn
số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là

1


tham số.

II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không
làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu
thức luôn có giá trị khác 0.
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép
cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

3. Phương trình hệ quả
f ( x) = g( x)
Nếu mọi nghiệm của phương trình
đều là nghiệm của phương
f ( x) = g1 ( x)
f ( x) = g1 ( x)
trình 1
thì phương trình 1
được gọi là phương trình hệ
f ( x) = g( x) .
quả của phương trình
Ta viết
f ( x) = g( x) Þ f1 ( x) = g1 ( x) .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của
phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
2x
3
- 5= 2
2
x
+
1

x
+1 là
Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ¹ 1.
B. x ¹ - 1.
C. x ¹ ±1.
D. x Î ¡ .
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1+ x - 2 = x - 3 là
A. x > 3.
B. x ³ 2.
C. x ³ 1.
D. x ³ 3.
x- 2 +

x2 + 5

=0
7- x
Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình
là
A. x ³ 2.
B. x < 7.
C. 2 £ x £ 7.
D. 2 £ x < 7.
1
+ x2 - 1 = 0
x
Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình
là
x

³
0.
A.
B. x > 0.
2
C. x > 0 và x - 1³ 0.

2
D. x ³ 0 và x - 1> 0.

x2
Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình

x- 2

=

8
x - 2 là

2


A. x ¹ 2.

B. x ³ 2.

C. x < 2.
D. x > 2.
1

= x +3
2
x
- 4
Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình
là:
x
³
3
A.
và x ¹ ±2.
B. x ¹ ±2.
D. x ³ - 3.

C. x >- 3 và x ¹ ±2.

x2 - 4 =

1
x - 2 là

Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ³ 2 hoặc x £ - 2.
B. x ³ 2 hoặc x <- 2.
C. x > 2 hoặc x <- 2.
D. x > 2 hoặc x £ - 2.

x+
Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình

1
2x + 4

là

3
x£ .
x
>2,
x
¹
0
2
B.
và

A. x >- 2 và x ¹ 0.
3
x< .
2
C. x >- 2 và

D. x ¹ - 2 và x ¹ 0.

x + 2Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình

1
x+2

=

4- 3x
x +1

là

4
x< .
3
B. x >- 2 và

A. x > - 2 và x ¹ - 1.
C. x >- 2, x ¹ - 1 và

3- 2x
x

=

x£

4
.
3

D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1.

2x +1
=0
Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình x + 3x

là
1
1
x³ - .
x³ 2
2 và x ¹ - 3.
A.
B.
1
x³ 2 và x ¹ 0.
C.
D. x ¹ - 3 và x ¹ 0.
2

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A, B, C đều đúng.
2
Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 4 = 0 ?

A.
C.

( 2+ x) ( - x2 + 2x +1) = 0.
x2 - 3 = 1.

B.

( x - 2) ( x2 + 3x + 2) = 0.

2
D. x - 4x + 4 = 0.

2
Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 3x = 0 ?

3


2

x2 +

1
1
= 3x +
.
x- 3
x- 3

A. x + x - 2 = 3x + x - 2.

B.

2
C. x x - 3 = 3x x - 3.

2
2
2
D. x + x +1 = 3x + x +1.

( x2 +1) ( x – 1) ( x +1) = 0 . Phương trình nào sau đây
Câu 14. Cho phương trình
tương đương với phương trình đã cho ?
2
( x – 1) ( x+1) = 0.
A. x- 1= 0.
B. x+1= 0.
C. x +1= 0.
D.
Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình
1
x+ =1
x
?
2
A. x + x = - 1.

B.

2x - 1 + 2x +1 = 0.

C. x x- 5 = 0.
D. 7+ 6x - 1 = - 18.
Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2

2
A. 3x + x - 2 = x Û 3x = x -

x - 2. B.

x - 1 = 3x Û x - 1= 9x2.

2x - 3
2

2

C. 3x + x - 2 = x + x - 2 Û 3x = x . D.
Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

x2 +1= 0 Û

x - 1 = 2 1- x Û x - 1= 0.
2

x- 1

2

= x - 1 Û 2x - 3 = ( x - 1) .

B.

x- 1

x- 1

= 0.

2

2
x - 2 = x +1 Û ( x - 2) = ( x +1) .
C.
D. x = 1 Û x = 1.
Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

A. x + x - 1 = 1+ x - 1 và x = 1.
B. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
x( x + 2) = x
x ( x + 2) = x
C.
và x + 2 = 1.
D.
và x + 2 = 1.
Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

x x +1
A. 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1.

B.

x +1

=0

và x = 0.

2

x +1= ( 2- x) .
C. x +1 = 2- x và
D. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
Câu 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương
trình sau:
2

2
x + 2 = ( x - 1) .
A. x +1= x - 2x và

B. 3x x +1 = 8 3- x và 6x x +1 = 16 3- x.
2
2
C. x 3- 2x + x = x + x và x 3- 2x = x.

2
D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4x .
Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương
đương:
3
2
2x2 + mx - 2 = 0 ( 1) và 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x - 4 = 0 ( 2) .

4

1
m= .
2
A. m= 2.
B. m= 3.
C.
D. m= - 2.
m
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để cặp phương trình sau tương
đương:

mx2 - 2( m- 1) x + m- 2 = 0 ( 1)

và

( m- 2) x2 - 3x + m2 - 15 = 0 ( 2) .

A. m= - 5.
B. m= - 5; m= 4.
C. m= 4.
Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai?
x( x - 1)
A.
C.

x - 2 = 1Þ x - 2 = 1.

3x - 2 = x - 3 Þ 8x2 - 4x - 5 = 0.

D. m= 5.

= 1Þ x = 1.

B.

x- 1

D.

x - 3 = 9- 2x Þ 3x - 12 = 0.

2
Câu 24. Cho phương trình 2x - x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương
trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho?
x
2x = 0.
3
1- x
A.
B. 4x - x = 0.

( 2x

2

2

- x) +( x - 5) = 0.
2

3
2
D. 2x + x - x = 0.
x( x - 2)
=3
x( x - 2) = 3( x - 2) ( 1)
Câu 25. Cho hai phương trình:
và x - 2
định nào sau đây là đúng?

C.

( 2)

. Khẳng

( 1) là hệ quả của phương trình ( 2) .
( 1) và ( 2) là hai phương trình tương đương.
B. Phương trình
( 2) là hệ quả của phương trình ( 1) .
C. Phương trình
A. Phương trình

D. Cả A, B, C đều sai.
Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Câu 26. Tập nghiệm của phương trình
A.

S = { 0} .

B. S = Æ.

Câu 27. Phương trình
A. 0.
Câu 28. Phương trình
A. 0.

x2 - 2x = 2x - x2 là:
C.

x( x2 - 1) x - 1 = 0

S = { 0;2} .

D.

S = { 2} .

có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

- x2 + 6x - 9 + x3 = 27 có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

D. 3.

D. 3.

2

Câu 29. Phương trình
A. 0.

( x - 3) ( 5- 3x) + 2x = 3x - 5 + 4
B. 1.

có bao nhiêu nghiệm?
C. 2.
D. 3.

Câu 30. Phương trình x + x - 1 = 1- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.

5

D. 3.


Câu 31. Phương trình
A. 0.

2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

Câu 32. Phương trình
A. 0.

x3 - 4x2 + 5x - 2 + x = 2- x có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Câu 33. Phương trình
A. 0.

x+

(x

2

Câu 34. Phương trình
A. 0.

(x

2

Câu 35. Phương trình
A. 0.

BAØI
2.

1
2x - 1
=
x - 1 x - 1 có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

D. 3.

D. 3.

- 3x + 2) x - 3 = 0

có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

D. 3.

- x - 2) x +1 = 0

có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

D. 3.

PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ
PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC

HAI

I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất
Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng
sau

ax + b = 0

( 1)

Hệ số

Kết luận
b

b¹ 0

( 1) có nghiệm duy nhất x = - a
( 1) vô nghiệm

b= 0

( 1) nghiệm đúng với mọi x

a¹ 0

a= 0

Khi a¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai
Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong
bảng sau

ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)

( 2)

D = b2 - 4ac

Kết luận

D >0

( 2) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 =

D =0

( 2) có nghiệm kép x = - 2a

b

6

- b± D
2a


( 2) vô nghiệm

D <0

3. Định lí Vi–ét
ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
Nếu phương trình bậc hai
có hai nghiệm x1, x2 thì
b
c
x1 + x2 = - ,
x1x2 = .
a
a
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là
các nghiệm của phương trình

x2 - Sx + P = 0.
II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc
bậc hai.
Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định
nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt
đối.
x - 3 = 2x +1. ( 3)
Ví dụ 1. Giải phương trình
Giải
Cách 1

( 3) trở thành x - 3 = 2x +1. Từ đó x = - 4.
a) Nếu x ³ 3 thì phương trình
Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại.
2

( 3) trở thành - x + 3 = 2x +1. Từ đó x = 3.
b) Nếu x < 3 thì phương trình
Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.
2
x= .
3
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là
Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình
hệ quả
2

( 3) Þ ( x - 3) = ( 2x +1)

( 3) ta đưa tới phương trình

2

Þ x2 - 6x + 9 = 4x2 + 4x +1
Þ 3x2 +10x - 8 = 0.
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = - 4 và

2
x= .
3
2

( 3) chỉ có nghiệm là x = 3.
Thử lại ta thấy phương trình
2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình
phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu
căn.

7


2x - 3 = x - 2. ( 4)

Ví dụ 2. Giải phương trình

Giải.
3
x³ .
4)
(
2
Điều kiện của phương trình
là
( 4) ta đưa tới phương trình hệ quả
Bình phương hai vế của phương trình
( 4) Þ 2x - 3 = x2 - 4x + 4

Þ x2 - 6x +7 = 0.
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3+ 2 và x = 3- 2. Cả hai giá trị
( 4) , nhưng khi thay vào phương

này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình
( 4) thì giá trị x = 3- 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị
trình
x = 3+ 2 là nghiệm (hai vế cùng bằng 2 +1 ).
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình

( 4) là x = 3+ 2.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 4) x = 3m+ 6 vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2.
C. m= ±2.
D. m= - 2.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m= 0
vô nghiệm.
+
m= { 0} .
A. mÎ Æ.
B.
C. mÎ ¡ .
D. mÎ ¡ .
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 5m+ 6) x = m2 - 2m vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2.
C. m= 3.
D. m= 6.

2

( m+1) x +1= ( 7m- 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực
Câu 4. Cho phương trình
của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2; m= 3.
C. m= 2.
D. m= 3.
y = ( m+1) x2 + 3m2 x + m
y = ( m+1) x2 +12x + 2
Câu 5. Cho hai hàm số
và
. Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt
nhau.
A. m= 2.
B. m= - 2.
C. m= ±2.
D. m= 1.
m
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình

( 2m- 4) x = m- 2 có nghiệm duy nhất.
A. m= - 1.

B. m= 2.

C. m¹ - 1.

D. m¹ 2.

[- 10;10] để
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

8


( m - 9) x = 3m( m- 3)
2

phương trình
A. 2.

có nghiệm duy nhất ?
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[- 5;10] để phương trình ( m+1) x = ( 3m2 - 1) x + m- 1 có nghiệm duy nhất.
Tổng các phần tử trong S bằng:
A. 15.
B.
Câu 9. Tìm tất cả
( m2 + m) x = m+1 có
A. m= - 1.
B.

16.

C. 39.
D. 40.
m
các giá trị thực của tham số
để phương trình
nghiệm duy nhất x = 1.
m¹ 0.
C. m¹ - 1.

D. m= 1.

2

y = ( 3m+ 7) x + m
y = ( m+1) x - 2
Câu 10. Cho hai hàm số
và
. Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.
A. m¹ - 2.
B. m¹ - 3.
C. m¹ - 2; m¹ 3.
D. m= - 2; m= 3.
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 1) x = m- 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ .
A. m= 1.
B. m= ±1.
C. m= - 1.
D. m= 0.

2
Câu 12. Cho phương trình m x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 2.

C. m¹ - 2 và m¹ 2. D. mÎ ¡ .

B. m¹ - 2.

( m – 3m+ 2) x + m2 + 4m+ 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị
Câu 13. Cho phương trình
thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x
thuộc ¡ .
A. m= - 2.
B. m= - 5.
C. m= 1.
D. Không tồn tại.
2

( m2 - 2m) x = m2 - 3m+ 2. Tìm tất cả các giá trị thực
Câu 14. Cho phương trình
của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 0.
B. m= 2.
C. m¹ 0; m¹ 2.
D. m¹ 0.
y = ( 3m2 - 1) x + m
y = ( m+1) x +1
Câu 15. Cho hai hàm số
và

. Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau.
2
2
m= 1; m= - .
m¹ - .
3
3
A.
B. m¹ 1 và
C. m= 1.

m= -

2
.
3

D.
Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 16. Phương trình ax + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
ïìï a ¹ 0
ïìï a = 0
.
í
í
ï
ï b¹ 0
D =0

A. a= 0.
B. ïî
hoặc ïî

9


ïìï a ¹ 0
.
í
ïïî D = 0

C. a = b = c = 0.
D.
Câu 17. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
2
2
A. x + 4x + 2 = 0.
B. 2x - 5x - 7 = 0.
2
3
C. - 3x + 5x - 2 = 0.
D. x - 1= 0.
2
Câu 18. Nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0 có thể xem là hoành độ giao
điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?
2
2
A. y = x và y = - 7x +12.
B. y = x và y = - 7x - 12.

2
C. y = x và y = 7x +12.

2
D. y = x và y = 7x - 12.

[- 10;10]
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn
2
để phương trình x - x + m= 0 vô nghiệm?
A. 9.

B. 10.

C. 20.

D. 21.

( m+1) x - 2mx + m- 2 = 0 vô nghiệm khi:
Câu 20. Phương trình
A. m£ - 2.
B. m<- 2.
C. m> 2.
D. m³ 2.
2x( kx - 4) - x2 + 6 = 0
Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình
vô nghiệm là?
A. k = - 1.
B. k = 1.
C. k = 2.

D. k = 3.
2

( m– 2) x2 + 2x – 1= 0 có nghiệm kép khi:
Câu 22. Phương trình
A. m= 1; m= 2. B. m= 1.
C. m= 2.
D. m= - 1.
2
Câu 23. Phương trình mx + 6 = 4x + 3m có nghiệm duy nhất khi:
A. mÎ Æ.
B. m= 0.
C. mÎ ¡ .
D. m¹ 0.

Câu 24. Phương trình

mx2 – 2( m+1) x + m+1= 0

có nghiệm duy nhất khi:
m
=
0;
m=- 1.
C.
D. m= 1.
( m+1) x2 – 6( m+1) x + 2m+ 3 = 0 có nghiệm kép khi:
Câu 25. Phương trình
6
6

6
m= - 1; m= m= - .
m= .
7
7
7
A. m= - 1.
B.
C.
D.
A. m= 0.

B. m= - 1.

2( x2 - 1) = x( mx +1)
Câu 26. Phương trình
có nghiệm duy nhất khi:
17
17
m= .
m= 2; m= .
8
8
m=
2.
A.
B.
C.
D. m= - 1.
Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

( m- 2) x2 - 2x +1- 2m= 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S
bằng:
5
7
9
.
.
.
A. 2
B. 3.
C. 2
D. 2

10


Câu 28. Phương trình
A. m>- 8.

B.

( m- 1) x2 + 6x - 1= 0 có hai nghiệm phân biệt khi:
m>-

5
.
4

C. m>- 8; m¹ 1.

D.

m>-

5
; m¹ 1.
4

[- 5;5]
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn
mx2 - 2( m+ 2) x + m- 1= 0
để phương trình
có hai nghiệm phân biệt.
5.
6.
A.
B.
C. 9.
D. 10.
Câu 30. Phương trình

( m2 + 2) x2 +( m- 2) x -

3= 0

có hai nghiệm phân biệt khi:
A. 0 < m< 2.
B. m> 2.
C. mÎ ¡ .
D. m£ 2.

Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc
( P ) : y = ( m– 1) x2 + 2mx + 3m– 1.
với parabol
A. m= 1.
B. m= - 1.
C. m= 0.
D. m= 2.
2
Câu 32. Phương trình x + m= 0 có nghiệm khi:
A. m> 0.
B. m< 0.
C. m£ 0.

D. m³ 0.

Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc
[- 20;20] để phương trình x2 - 2mx +144 = 0 có nghiệm. Tổng của các phần tử
trong S bằng:
A. 21.
B. 18.
C. 1.
D. 0.
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số
2
y = - x2 - 2x + 3
và y = x - m có điểm chung.
A.

m= -

7
.
2

B.

m<-

7
.
2

C.

m>-

7
.
2

D.

( m- 1) x + 3x - 1= 0 có nghiệm khi:
Câu 35. Phương trình
5
5
5
m³ - .
m£ - .
m= - .

4
4
4
A.
B.
C.

m³ -

7
.
2

2

5
m= .
4
D.

[- 10;10] để
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
2
phương trình mx - mx +1= 0 có nghiệm.
A. 17.

B. 18.

C. 20.

D. 21.

2
Câu 37. Biết rằng phương trình x - 4x + m+1= 0 có một nghiệm bằng 3 .
Nghiệm còn lại của phương trình bằng:
A. - 1.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
m
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình

3x2 - ( m+ 2) x + m- 1= 0
ïì 5 ïü
mÎ í ;7ý.
ïîï 2 ïþ
ï
A.

có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.
ìï
1ïü
ïì 2ïü
ïì 3 ïü
mÎ í - 2;- ý.
mÎ í 0; ý.
mÎ í - ;1ý.
ïîï
ïþ

ï
ï
ïîï 4 ïþ
2
5
ï
ï
ï
îï
þ
B.
C.
D.

11


Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3x2 - 2( m+1) x + 3m- 5= 0
có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại.
A. m= 7.
B. m= 3.
C. m= 3; m= 7.
D. mÎ Æ.
Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( x - 1) ( x2 - 4mx - 4) = 0
ba nghiệm phân biệt.
3
3
m¹ .

m¹ - .
4
4
A. mÎ ¡ .
B. m¹ 0.
C.
D.
Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
Câu 41. Phương trình
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
khi và chỉ khi:
ìïï D ³ 0
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïìï D > 0
.
.
.
.
í
í
í
í
ïïî P > 0
ïïî P > 0
ïïî S > 0
ï S <0
A.

B.
C.
D. ïî
ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
Câu 42. Phương trình
có hai nghiệm âm phân biệt khi và
chỉ khi:
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïï
ïï
í P > 0.
í P > 0.
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïï
ïï
.
.
í
í
ï P >0
ïS>0
ï S>0
ï S <0
A. ïî
B. ïî
C. ïî
D. ïî
Câu 43. Phương trình

và chỉ khi:

ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)

có hai nghiệm dương phân biệt khi

ìï D > 0
ìï D > 0
ïï
ïï
ïí P > 0.
ïí P > 0.
ìïï D > 0
ìïï D > 0
ïï
ïï
.
.
í
í
ï P >0
ïS>0
ï S>0
ï S <0
A. ïî
B. ïî
C. ïî
D. ïî
ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
Câu 44. Phương trình

có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ
khi:
ïìï D > 0
ïìï D > 0
.
.
í
í
ïïî S < 0
ï S>0
A.
B. ïî
C. P < 0.
D. P > 0.
2
Câu 45. Phương trình x - mx +1= 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi:
A. m<- 2.

B. m> 2.

C. m³ - 2.

D. m¹ 0.
[- 5;5] để phương
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc
2
2
trình x + 4mx + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt?
A. 5.
B. 6.

C. 10.
D. 11.
m
Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
mx2 + x + m= 0 có hai nghiệm âm phân biệt là:

æ1 ö
æ 1 1ö
æ 1ö
mÎ ç
.
mÎ ç
.
mÎ ç
÷
÷
÷
ç- ;0÷
ç- ; ÷
ç0; ÷
÷
÷
÷.
ç
ç
ç
mÎ ( 0;2) .
è
ø

è
ø
è 2ø
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

12


[- 2;6] để phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.

Tổng các phần tử trong S bằng:
A. - 3.

B. 2.
C. 18.
D. 21.
Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
x2 - 2( m+1) x + m2 - 1= 0
có hai nghiệm dương phân biệt là:
æ1
ö
mÎ ç
- ;+¥ ÷

÷.
ç
÷
ç
mÎ ( - 1;1) .
mÎ ( 1; +¥ ) .
mÎ ( - ¥ ; - 1) .
è
ø
2
A.
B.
C.
D.

( m- 1) x2 + 3x - 1= 0 có hai nghiệm trái dấu khi:
Câu 50. Phương trình
A. m> 1.
B. m< 1.
C. m³ 1.
D. m£ 1.
Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
x2 - ( 2m+1) x + m2 + 2 = 0 m
Câu 51. Giả sử phương trình
(
là tham số) có hai
P
=
3

x
x
5
x
+
x
(
)
x
,
x
1 2
1
2
nghiệm là 1 2 . Tính giá trị biểu thức
theo m.
2
A. P = 3m - 10m+ 6.

2
B. P = 3m +10m- 5.

2
C. P = 3m - 10m+1.

2
D. P = 3m +10m+1.

2
Câu 52. Giả sử phương trình x - 3x- m= 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là

2
2
x1, x2 . Tính giá trị biểu thức P = x1 ( 1- x2 ) + x2 ( 1- x1 ) theo m.
A. P = - m+ 9.
B. P = 5m+ 9.
C. P = m+ 9.
D. P = - 5m+ 9.
2
Câu 53. Giả sử phương trình 2x - 4ax - 1= 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị
T = x1 - x2 .
của biểu thức

A.

T =

4a2 + 2
.
3

2

B. T = 4a + 2.

C.

T =

a2 + 8
.

2

D.

T =

a2 + 8
.
4

2

Câu 54. Cho phương trình x + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các
nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng
A.

4q+1.

B.

4q- 1.

C.

-

4q+1.

D. q+1.

x2 - ( 2m+1) x + m2 +1= 0 m
Câu 55. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
(
x1x2
P=
x1 + x2
m
là tham số). Tìm giá trị nguyên của
sao cho biểu thức
có
giá trị nguyên.
A. m= - 2.
B. m= - 1.
C. m= 1.
D. m= 2.
x2 - 2( m+1) x + m2 + 2 = 0
Câu 56. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
(
m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1x2 - 2( x1 + x2 ) - 6 đạt giá trị nhỏ
nhất.

13


1
m= .
2
A.

B. m= 1.

C. m= 2.

D. m= - 12.

2
Câu 57. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x + 2mx + m - 2 = 0 ( m là
P = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 .
tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức
2

1
Pmax = .
2
A.

25
9
Pmax = .
Pmax = .
P
=
2.
max
4
4
B.
C.
D.
x1, x2

Câu
58.
Gọi
là
hai
nghiệm
của
phương
trình
x2 - 2( m- 1) x + 2m2 - 3m+1= 0 m
P
(
là tham số). Tìm giá trị lớn nhất max của
P = x1 + x2 + x1x2 .
biểu thức
9
9
1
Pmax = .
Pmax = .
Pmax = .
P
=
1.
8
16
4
A.
B. max
C.

D.
2
Câu 59. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m- 1= 0 ( m là tham
số). Tìm m để biểu thức
1
m= .
2
A.

P=

2x1x2 + 3
x12 + x22 + 2( x1x2 +1)

đạt giá trị lớn nhất.

C. m= 2.

5
m= .
2
D.

B. m= 1.

2
Câu 60. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m- 1= 0 ( m là tham
2x1x2 + 3
P= 2
.

2
x
+
x
P
1
2 + 2( x1x2 +1)
min
số). Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức

A. Pmin = - 2.

B.

Pmin = -

1
.
2

C. Pmin = 0.

D. Pmin = 1.

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 61. Nếu m¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x + mx + n = 0 thì

tổng m+ n bằng:

A.

-

1
.
2

1
.
C. 2

B. - 1.

D. 1.

2
Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x + px + q = 0 là lập phương các
2
nghiệm của phương trình x + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

3

3
A. p+ q = m .

3
B. p = m + 3mn.

2

3
C. p = m - 3mn.

D.

2

æ
mö
p
÷
ç
÷
ç
÷ = q.
ç
èn ø

Câu 63. Cho hai phương trình x - 2mx +1= 0 và x - 2x + m= 0. Có hai giá trị
của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm
của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó.

14


A.

S =-

5
.
4

B. S = 1.

C.

S =-

1
.
4

1
S= .
4
D.

2

2
Câu 64. Cho hai phương trình x - mx + 2 = 0 và x + 2x - m= 0 . Có bao nhiêu
giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của
phương trình kia có tổng là 3 ?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của
2
phương trình x + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình
x2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu thức S = a + b+ c + d.
A. S = - 2.

B. S = 0.

C.

S=

- 1+ 5
.
2

D. S = 2.

Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
3
3x
2x +
=
x - 1 x - 1 là:
Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình

ì 3ü
ì 3ü
S = ïí 1; ïý.
S = ïí ïý.
S = {1} .
S = ¡ \ {1} .
ïîï 2ïþ
ïîï 2ïþ
ï
ï
A.
B.
C.
D.
x2 - 5x
x- 2

Câu 67. Tập nghiệm của phương trình
A.

S = {1;4} .

B.

S = {1} .

4

=-

x - 2 là:

C. S = Æ.

D.

S = { 4} .

2x2 - 10x
= x- 3
2
Câu 68. Phương trình x - 5x
có bao nhiêu nghiệm?
0.
A.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
10
50
1=
x
2
x
+
3
2
x
(

) ( x + 3) .
x
Câu 69. Gọi 0 là nghiệm của phương trình
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

x0 Î ( - 5;- 3) .

B.

x0 Î [- 3;- 1.
]

C.

x0 Î ( - 1;4) .

( m2 +1) x Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình
m¹ 0 là:

ì m+1ü
ïý.
S = ïí
ïîï m2 ïþ
ï
A.

B. S = Æ.

D.

1

x +1

=1

trong trường hợp

ì 2ü
S = ïí 2 ïý.
ïîï m ïþ
ï
D.

C. S = ¡ .

( 2m2 + 3) x + 6m
Câu 71. Tập nghiệm S của phương trình

x0 Î [ 4;+¥ ) .

x

=3

15

khi m¹ 0 là:

ïì 3 ïü
S = í - ý.
ï
îïï mïþ
B.

A. S = Æ.

C. S = ¡ .

D.

S = ¡ \ { 0} .

x2 + mx + 2
=1
x2 - 1
Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình
vô
nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2mx - 1
=3
Câu 73. Phương trình x +1
có nghiệm duy nhất khi:

A.

m¹

3
.
2

B. m¹ 0.

C. m¹ 0 và

m¹

3
.
2

D.

m¹ -

1
3
m¹ .
2 và
2

[- 3;5]
Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

x- m x- 2
=
để phương trình x +1 x - 1 có nghiệm.
Tổng các phần tử trong tập S bằng:
A. - 1.
B. 8.

C. 9.

D. 10.
[1;20] để
Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
x +1
m
x +3
+
=
2
x
2
4
x
x
+ 2 có nghiệm.
phương trình
A. 4.

B. 18.
C. 19.
D. 20.

3x - 2 = 3- 2x
Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình
là:
S = { - 1;1} .
S = { - 1} .
S = {1} .
{ 0} .
A.
B.
C.
D. S =
2x - 4 - 2x + 4 = 0
Câu 77. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
2x - 1 = x - 3
Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình
là:
ìï 4ü
ì
ü
4
S = í ïý.
S = ïí - 2; ïý.
S = { - 2} .
ïî 3ïïþ
3ïïþ

S
=
Æ
.
ï
ïïî
A.
B.
C.
D.
Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình
A. - 12.
B. - 6.
C. 6.

x2 + 5x + 4 = x + 4

bằng:
12.
D.

x2 - 4x - 5 = 4x - 17
là hai nghiệm của phương trình
2
. Tính giá trị biểu thức P = x1 + x2.
A. P = 16.
B. P = 58.
C. P = 28.
D. P = 22.
x - 2 = 3x - 5

Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình
là:
Câu 80. Gọi

x1, x2 ( x1 < x2 )

16


ïì 3 7ïü
S = í ; ý.
ïï
îïï 2 4þ

ïì 3 7ïü
S = í - ; ý.
ï
îïï 2 4ïþ
B.

ïì 7 3ïü
ïì 7 3ïü
S = í - ;- ý.
S = í - ; ý.
ï
ïï
îïï 4 2ïþ
îïï 4 2þ
A.
C.

D.
x +2 = 2 x- 2
Câu 82. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
2
20
1
.
.
.
3
6.
A. 2
B.
C.
D. 3
2x +1 = x2 - 3x - 4
Câu 83. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
2x - 4 + x - 1 = 0
Câu 84. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.

Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình
5
.
6.
A.
B. 2

2x - 5 + 2x2 - 7x + 5 = 0

bằng:

7
.
C. 2

3
.
D. 2

2

( x +1) - 3 x +1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
Câu 86. Phương trình
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình
A. 0.
B. 1.

4x( x - 1) = 2x - 1 +1

bằng:

C. 2.

D. - 2.

3 x + 2ax = - 1
Câu 88. Với giá trị nào của a thì phương trình
có nghiệm duy
nhất?
3
- 3
3
- 3
- 3
3
a> .
a<
.
a ¹ Ùa ¹
.
a<
Ú a> .
2
2
2
2

2
2
A.
B.
C.
D.
x +1= x2 + m
Câu 89. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
có
nghiệm duy nhất.
A. m= 0.
B. m= 1.
C. m= - 1.
D. Không có m.

[- 5;5] để
Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
mx + 2x - 1 = x - 1
phương trình
có đúng hai nghiệm phân biệt?
8.
A.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Câu 91. Tập nghiệm S của phương trình
A.

S = { 6;2} .

B.

S = { 2} .

C.

Câu 92. Tập nghiệm S của phương trình
A.

S = { 0;2} .

B.

S = { 2} .

C.

2x - 3 = x - 3 là:
S = { 6} .

D. S = Æ.

x2 - 4 = x - 2 là:
S = { 0} .

Câu 93. Tổng các nghiệm của phương trình
A. 0. B. 1.
C. 2.
D. 3.

D. S = Æ.

( x - 2) 2x + 7 = x2 - 4 bằng:

17


x2 - 4x - 2
x- 2
Câu 94. Phương trình
A. 1.
B. 2.

2- x +

= x- 2
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
C. 3.
D. 5.

4

=2
2- x + 3
Câu 95. Phương trình
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

m
Câu 96. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số
để phương trình
2
2
2
ỉx ÷
ư 2x
ç
÷+
+ m= 0
ç
÷
÷
ç
èx - 1ø x - 1
có đúng bốn nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vơ số.
Câu 97. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
ỉ2 1 ÷
ư
ỉ 1÷
ư
ç
- 2mç
+1= 0
çx + 2 ÷

çx + ÷
÷
÷
ç
ç
è
è xø
x ø
có nghiệm.

ỉ 3 3ư
é3
ư
mỴ ç
- ; ÷
.
mỴ ê ;+¥ ÷
÷
÷
ç
÷
÷.
ç
ê
è
ø
ø
4 4
ë4
A.

B.
ỉ
ỉ
ư
3ù
3ù é3
mỴ ç
- ¥ ;- ú.
mỴ ç
- ¥ ;- úÈ ê ;+¥ ÷
÷
ç
ç
÷.
ç
ç
è
è
ø
4ú
4ú
û
û ê
ë4
C.
D.
Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
ỉ 2ư
4
x2 + 2 - 4ç

x- ÷
÷+ m- 1= 0
ç
÷
ç
è xø
x
có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.
A. m<- 8.
B. - 8 < m< 1.
C. 0 < m< 1.
D. m£ - 8.
Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

( x2 + 2x + 4)
A.

2

– 2m( x2 + 2x + 4) + 4m– 1 = 0

mỴ ( 3;4) .

B.

{

có đúng hai nghiệm.

(

mỴ - ¥ ;2-

) (

)

3 È 2+ 3;+¥ .

}

mỴ ( 4;+¥ ) È 2+ 3 .
C.
D. mỴ ¡ .
Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
x2 + 2mx + 2m x + m + m2 + 3- 2m= 0
có nghiệm.
é3
ư
mỴ ( ¥ ;- 3] È ê ;+¥ ÷
÷
÷.
mỴ ( ¥ ;- 3] È [1;+¥ ) .
ê
ø
ë2
A.
B.

C.

mỴ [1;+¥ ) .

BÀI
3.

é3
mỴ ê ;+¥
ê2
ë
D.

ư
÷
.
÷
÷
ø

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

I – ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
18


BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là
ax + by = c
( 1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.
CHÚ Ý
a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c¹ 0 thì phương trình
( x ;y )
này vô nghiệm, còn nếu c= 0 thì mọi cặp số 0 0 đều là nghiệm.
b) Khi b¹ 0, phương trình ax + by = c trở thành
y=-

a
c
x+
b
b

( 2)

( x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình ( 1) khi và chỉ khi điểm
Cặp số
M ( x0 ; y0 )
( 2) .
thuộc đường thẳng
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn
luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình
( 1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
của phương trình
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

ïìï a1x + b1y = c1
í
ïïî a2 x + b2 y = c2

( 3)

Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

( x ;y )
Nếu cặp số 0 0 đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì
( x0; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình ( 3) .
( 3) là tìm tập nghiệm của nó.
II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
Giải hệ phương trình

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
ax + by + cz = d,
trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời
bằng 0.
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
ïìï a1x + b1 y + c1z = d1
ïï
( 4)
í a2 x + b2 y + c2z = d2
ïï
ïïî a3x + b3 y + c3z = d3
Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.
Mỗi bộ ba số

( x0; y0 ; z0 ) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là
19


một nghiệm của hệ phương trình

( 4) .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

ïìï x + y + z = 11
ïï
í 2x - y + z = 5
ïï
ï 3x + 2y + z = 24
Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình ïî
là:
A.
C.

( x; y; z) = ( 5;3;3) .
( x; y; z) = ( 2;4;5) .

B.
D.

( x; y; z) = ( 4;5;2) .
( x; y; z) = ( 3;5;3) .

ìï x + 2y = 1
ïï
ïí y + 2z = 2
ïï
ï z + 2x = 3
Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình ïî
là:
ìï x = 0
ïï
ïí y = 1.
ïï
ï z =1
A. ïî

ìï x = 1
ïï
ïí y = 1.
ïï
ï z=0
B. ïî

ìï x = 1
ïï
ïí y = 1.
ïï
ï z =1
C. ïî

ìï x = 1
ïï

ïí y = 0.
ïï
ï z =1
D. ïî

( x; y; z) = ( 2;- 1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?
Câu 3. Bộ
ìï x + 3y- 2z =- 3
ìï 2x - y - z = 1
ïï
ïï
ïí 2x - y + z = 6 .
ïí 2x + 6y- 4z =- 6.
ïï
ïï
ïïî 5x - 2y- 3z = 9
ï x + 2y = 5
A.
B. ïî
ìï 3x - y- z = 1
ïìï x + y + z = - 2
ïï
ïï
ïí x + y + z = 2 .
í 2x - y + z = 6 .
ïï
ïï
ïïî x - y- z = 0
ï 10x - 4y - z = 2
C.

D. ïî
( x; y; z) = ( 1; 0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?
Câu 4. Bộ
ìï 2x + 3y + 6z - 10 = 0
ìï x + 7y - z = - 2
ïï
ïï
ïí x + y + z = - 5
ïí - 5x + y + z = 1.
.
ïï
ïï
ï y + 4z = - 17
ï x - y + 2z = 0
A. ïî
B. ïî
ìï 2x - y- z = 1
ìï x + 2y + z =- 2
ïï
ïï
ïí x + y + z = 2 .
ïí x - y + z = 4 .
ïï
ïï
ï - x + y- z = - 2
ï - x - 4y - z = 5
C. ïî
D. ïî
ìï 3x + y- 3z = 1
ïï

ïí x - y + 2z = 2
ïï
ï - x + 2y + 2z = 3
x0 ; yo ; z0 )
(
Câu 5. Gọi
là nghiệm của hệ phương trình ïî
. Tính giá
P = x02 + y02 + z02.
trị của biểu thức
A. P = 1.

B. P = 2.

C. P = 3.

D. P = 14.

20


ïìï x + y + z = 11
ïï
í 2x - y + z = 5
ïï
ï 3x + 2y + z = 24
( x ; y ;z )
Câu 6. Gọi 0 o 0 là nghiệm của hệ phương trình ïî
. Tính giá
trị của biểu thức P = x0 y0 z0.

A. P = - 40.

D. P = - 1200.
ìï 2x + 3y + 4 = 0
ïï
ïí 3x + y- 1= 0
ïï
ï 2mx + 5y- m= 0
Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình ïî
có
duy nhất một nghiệm.
A.

m=

10
.
3

B. P = 40.

B. m= 10.

C. P = 1200.

C. m= - 10.

D.

m= -

10
.
3

ìï mx + y = 1
ïï
ïí my + z = 1
ïï
ï x + mz = 1
m
Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số
để hệ phương trình ïî
vô
nghiệm.
A. m= - 1.
B. m= 0.
C. m= 1.
D. m= 1.
Câu 9. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy
điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe
chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng
bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến
chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ?
A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7,5
B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5
C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5

và xe 3 tấn chở hai
tấn.

tấn.
tấn.

D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7,5 tấn.
Câu 10. Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động
trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi
em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C
trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và
375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?
A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em.
B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em.
C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em.
D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
21


3
BAỉI
1.

PHệễNG TRèNH - HE PHệễNG
TRèNH
ẹAẽI CệễNG VE PHệễNG TRèNH

2
Cõu 1. Chn D. Vỡ x +1ạ 0 vi mi x ẻ Ă .
ỡù x - 1 0 ỡù x 1
ùù

ù
ùớ x - 2 0 ùùớ x 2 x 3.
ùù
ù
ùợù x - 3 0 ùùợù x 3
Cõu 2. Phng trỡnh xỏc nh khi
Chn D.
ỡùù x - 2 0 ỡùù x 2
ớ
2 Ê x < 7.
ớ
ù 7- x > 0 ùợù x < 7
Cõu 3. Phng trỡnh xỏc nh khi ợù
Chn D.
ỡù x > 0
ùớ
ù x2 - 1 0
Cõu 4. Phng trỡnh xỏc nh khi ùợ
. Chn C.
x
2
>
0

x > 2 . Chn D.
Cõu 5. Phng trỡnh xỏc nh khi
ùỡù x2 - 4 ạ 0 ùùỡ x ạ 2
ớ
ớ
ùợù x + 3 0

ùợù x - 3
Cõu 6. Phng trỡnh xỏc nh khi
. Chn A.
ỡù ộx 2
ỡù x2 - 4 0 ùù ờ
ộx > 2
ùớ
ùớ ờ
xÊ - 2 ờ
ở
ờ
ùợù x - 2 ạ 0
ù
ởx Ê - 2
ùùợù x ạ 2
Cõu 7. Phng trỡnh xỏc nh khi
. Chn D.
ỡ x >- 2
ỡù 2x + 4 > 0 ùùù
ùù
ùớ 3- 2x 0 ớùù x Ê 3
ùù
ùù
2
ùùợ x ạ 0
ùù
x
ạ
0
ùợ

Cõu 8. Phng trỡnh xỏc nh khi
. Chn B.
ỡù x >- 2
ùù
ùỡù x + 2 > 0
ù
4
ùù
ớ 4- 3x 0 ớù x Ê
ùù
ùù
3
ùù
ùùợ x +1ạ 0
x
ạ
1
ùợ
Cõu 9. Phng trỡnh xỏc nh khi
. Chn C.
ỡù
ùù x >- 1
ùù
1
2 ùỡù
ỡù 2x +1 0
ù
ù x ùớ

x

ạ
0

2
ớ
ớ
ùợù x2 + 3x ạ 0 ùù
ù
ùù x ạ - 3 ợùù x ạ 0
ùù
ùợ
Cõu 10. Phng trỡnh xỏc nh khi
. Chn C.
Cõu 11. Chn C.
2
Cõu 12. Ta cú x - 4 = 0 x = 2 .

22


S = { - 2;2}
Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là 0
.
Xét các đáp án:
éx + 2 = 0
Û
( 2+ x) ( - x2 + 2x +1) = 0 Û ê
ê- x2 + 2x +1= 0
ë
 Đáp án A. Ta có

{

}

S1 = - 2;1-

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

2;1+ 2 ¹ S0

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

.

éx = 2
ê
êx =- 1
ê
êx =- 2
ë
.

éx - 2 = 0
Û
( x - 2) ( x + 3x + 2) = 0 Û ê
êx2 + 3x + 2 = 0
ë
2

 Đáp án B. Ta có

éx = - 2
ê
êx = 1± 2
ê
ë
.

S2 = { - 2;- 1;2} ¹ S0

.

x2 - 3 = 1 Û x2 - 3 = 1 Û x = ±2 .

 Đáp án C. Ta có

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

S3 = { - 2;2} = S0

. Chọn C.

2

 Đáp án D. Ta có x - 4x + 4 = 0 Û x = 2 .
Do đó, tập nghiệm của phương trình là
éx = 0
x2 - 3x = 0 Û ê
êx = 3

ë
Câu 13. Ta có
.

S4 = { 2} ¹ S0

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là
Xét các đáp án:

.

S0 = { 0;3}

ìï x - 2 ³ 0
x + x - 2 = 3x + x - 2 Û ïí 2
Û
ïîï x - 3x = 0
2

 Đáp án A. Ta có

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

x2 +
 Đáp án B. Ta có

1
1
= 3x +
Û

x- 3
x- 3

Do đó, tập nghiệm của phương trình là
2

x
 Đáp án C. Ta có

S1 = { 3} ¹ S0

ìï x ³ 2
ïï
ïí éx = 0 Û x = 3
ïê
ïïîï ê
ëx = 3
.

.

ïìï x - 3 ¹ 0
Û x=0
í 2
ïïî x - 3x = 0

.

S2 = { 0} ¹ S0

.
ïìï x - 3 ³ 0
ï 2
x - 3x = 0 Û
x - 3 = 3x x - 3 Û ïí é
ïï ê
ïï ê
ë x- 3 = 0
îê

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

.

S3 = { 3} ¹ S0

ìï x ³ 3
ïï
íï éx = 0 Û x = 3
ïï ê
ïïî ê
ëx = 3
.

.

éx = 0
x2 + x2 +1 = 3x + x2 +1 Û x2 = 3x Û ê
êx = 3
ë

 Đáp án D. Ta có
.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

S4 = { 0;3} = S0

. Chọn D.

23


Câu 14. Ta có
D.

( x2 +1) ( x – 1) ( x +1) = 0 Û ( x - 1) ( x +1) = 0
x+

Câu 15. Ta có

1
=1Û
x

2
(vì x +1> 0, " x Î ¡ . Chọn

ïìï x ¹ 0
í 2
ïïî x - x +1= 0

(vô nghiệm). Do đó, tập nghiệm của
S
=
Æ
0
phương trình đã cho là
.
Xét các đáp án:
ïìï x2 ³ 0
¾¾
® x2 + x ³ 0
í
ïï x ³ 0
2
 Đáp án A. Ta có î
. Do đó, phương trình x + x =- 1
vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S1 = Æ= S0 .
ìï 2x - 1 = 0
2x - 1 + 2x +1 = 0 Û ïí
ïï 2x +1 = 0
î
 Đáp án B. Ta có
(vô nghiệm). Do đó,
2x - 1 + 2x +1 = 0
phương trình
vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là
S2 = Æ= S0 .
ïìï x - 5 ³ 0
ï

x x - 5 = 0 Û ïí ïìï x = 0
Û x=5
ïï í
ïï ïîï x - 5 = 0
î
 Đáp án C. Ta có
. Do đó, phương trình
x x- 5 = 0 có tập nghiệm là S3 = { 5} ¹ S0 . Chọn C.
® 7+ 6x - 1 ³ 7 >- 18 . Do đó, phương trình
 Đáp án D. Ta có 6x - 1 ³ 0 ¾¾
7+ 6x - 1 = - 18 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S4 = Æ= S0 .

Câu 16. Chọn A.
2
Câu 17. Chọn D. Vì x = 1 Û x = ±1.
Câu 18. Xét các đáp án:
 Đáp án A. Ta có
ìï x ³ 1
x + x - 1 = 1+ x - 1 Û ïí
Û x = 1¾¾
® x + x - 1 = 1+ x - 1 Û x = 1
ïïî x = 1

.

Chọn

A.
ìï x - 2 ³ 0
x + x - 2 = 1+ x - 2 Û ïí

Û xÎ Æ
ïïî x = 1
 Đáp án B. Ta có
.

Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương
đương.
ïìï x ³ 0
ï
x ( x + 2) = x Û ïí éx = 0
Û x=0
ïï ê
ê
ïïî ëx + 2 = 0
x + 2 =1Û x = - 1

 Đáp án C. Ta có
. Do đó,
và x+ 2 = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.

24

x ( x + 2) = x


éx = 0
x( x + 2) = x Û ê
êx = - 1
ë
x + 2 = 1Û x = - 1

 Đáp án D. Ta có
. Do đó,
không phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 19. Xét các đáp án:

 Đáp án A. Ta có

x( x + 2) = x

và x+ 2 = 1

ì
ìï x - 3³ 0 ïïï x ³ 3
2x + x - 3 = 1+ x - 3 Û ïí
Û í
Û xÎ Æ
ïïî 2x = 1
ïï x = 1
ïî
2
1
2x = 1 Û x =
2
.

Do đó, 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1 không phải là cặp phương trình tương
đương.
ïì x +1> 0
= 0 Û ïí

Û
ïîï x = 0
x +1

x x +1

 Đáp án B. Ta có
x x +1
x +1

ïìï x >- 1
Û x=0
í
ïîï x = 0

.

=0

và x = 0 là cặp phương trình tương đương. Chọn B.
Đáp
án
C.
Ta
ïìï x £ 2
ïìï 2- x ³ 0
5- 13
ï
x +1 = 2- x Û í
Û í

Û x=
ïï x +1= ( 2- x) 2 ïï x = 5± 13
2
î
ïïî
2

Do đó,


2

x +1= ( 2- x) Û x2 - 5x + 3 = 0 Û x =
Do đó,
đương.

5± 13
2

x +1 = 2- x và x +1= ( 2- x)

có

.

2

không phải là cặp phương trình tương

ìï x - 2 ³ 0

x + x - 2 = 1+ x - 2 Û ïí
Û xÎ Æ
ïïî x = 1
 Đáp án D. Ta có
.

Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương
đương.
Câu 20. Chọn D.

ìï 2x ³ 0
x + 2 = 2x Û ïí
Û
ïîï x + 2 = 4x2

Ta có
Do đó,
đương.

x + 2 = 4x2 Û x =

ïìï x ³ 0
1+ 33
ï
Û x=
í
ïï x = 1± 33
8
ïïî
8

1± 33
8

.

x + 2 = 2x và x + 2 = 4x

2

không phải là cặp phương trình tương

25