DE THI NAM DINH

Đề thi tuyển sinh năm 2007 2008
Bài 1 : Cho biểu thức P =








+
++








+
3x
4x2x
x.
2x
5
1
với x

0 và x

4
1/ Rút gọn P.
2/ Tìm x để P > 1
Bài 2 : Cho phơng trình x
2
2(m + 1)x + m 4 = 0 (1), (m là tham số).
1/ Giải phơng trình (1) với m = -5.
2/ Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m.
3/ Tìm m để
21
xx

đạt GTNN (x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần
2/).
Bài 3 : Cho (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không
đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt
ME, MF với đờng tròn (O), (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB;
các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF vơi các đờng thẳng OM và OH.
1/ Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn.
2/ Chứng minh : OH.OI = OK.OM
3/ Chứng minh IA, IB là các tiếp tuyến của (O).
Bài 4 : Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn : x

2
+ 2y
2
+ 2xy 5x 5y = -6 để x +
y là số nguyên.
Hớng dẫn
Bài 1 : 1/ P =
2x
4x


. 2/ P = 1 khi 0

x < 4.
Bài 2 :1/ Khi m = -5, ta có pt x
2
+ 8x - 9 = 0

x
1
= 1, x
2
= -9.
2/ Có


= [-(m + 1)]
2
1.(m 4) = m
2

+ 2m + 1 m + 4 = m
2
+ m + 5 = (m +
2
1
)
2
+
4
19
>0

PT luôn có 2 n
o
p/b với mọi m.
3/ N
o
của pt là x
1
= m +
5mm
2
++
, x
2
= m -
5mm
2
++
5mmm5mmmxx

22
21
++++++=
=
5mm2
2
++
= 2
5mm
2
++
Có m
2
+ m + 5 = (m +
2
1
)
2
+
4
19



4
19


5mm
2

++


2
19

2
5mm
2
++

19
.
Vậy GTNN của
21
xx

là
19
khi m = -1.
Bài 3 :
K
O
A
M
I
B
E
F
H

1/ 5 điểm M, E, O, H, F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính MO.
2/

OHM ~

OKI (g.g)

OI
OM
OK
OH
=


OH.OI = OM.OK
3/ Có

MEO ~

EKO (g.g)

OK
OE
OE
MO
=


MO.OK = OE
2

Mà OE = OA nên MO.OK = OA
2


OK
OA
OA
MO
=



MOA ~

AOK (c.g.c)


OMA =

OAK. Mà

OMA =

OIK (cmt)



OAK =

OIK

Tứ giác IAKO nt (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp )



OAI =

OKI = 90
0
(2 góc nt cùng chắn cung OI của (IAKO))

OA

IA

IA là tt của (O).
Lại có

OAI =

OBI = 90
0


IB là tt của (O).
Bài 4 : x
2
+ 2y
2
+ 2xy 5x 5y = -6 (1)

Cách 1 : Đặt x + y = t (t

Z)

y = t x

y
2
= t
2
2xt + x
2
ta đợc pt :
x
2
+2(t
2
2tx + x
2
) +2x(t x) 5x 5(t x) + 6 = 0.

x
2
+2t
2
4tx + 2x
2
+ 2xt 2x
2
5x 5t + 5x + 6 = 0

x
2
- 2xt + 2t
2
5t + 6 = 0 (*)
Có
'

= (-t)
2
-1.(2t
2
5t + 6) = t
2
2t
2
+ 5t 6 = -t
2
+ 5t 6
Để (1) có n
o
(x; y) thì (*) có n
o
x.
Để (*) có n
o
x thì
'

0 hay -t
2
+ 5t 6

0

t
2
- 5t + 6

0

(t - 3)(t - 2)

0

2

t

3

pt (*) có n
o
x
1, 2
= t

6t5t

2
+
Mà t

Z nên t

{3; 2}.
- Với t = 3 thì x = 3

y = 0.
- Với t = 2 thì x = 2

y = 0.
Vậy với (x = 3; y = 0), (x = 2; y = 0) thì x
2
+ 2y
2
+ 2xy 5x 5y = -6 và x + y là số
nguyên.
Cách 2 : x
2
+ 2y
2
+ 2xy 5x 5y = -6

(x + y)
2
5(x + y) + 6 + y
2
= 0,

(x + y 3)(x + y 2) + y
2
= 0.
- Nếu y = 0 thì



=
=
02x
03x






=
=
2x
3x
- Nếu y

0 thì y
2


0, khi đó :
(x + y 3)(x + y 2) + y

2
= 0

(x + y 3)(x + y 2) < 0












<+
>+



>+
<+
02yx
03yx
02yx
03yx

<+
>+



>+
<+
2yx
3yx
2yx
3yx





<+<
líôV
3yx2

Vì x + y

Z nên không có số nguyên nào thoả mãn lớn hơn 2 và nhỏ hơn 3. Do đó không
có cặp số (x; y) nào thoả mãn 2 < x + y < 3.
Vậy với (x = 2; y = 0), (x = 3; y = 0) thì x
2
+ 2y
2
+ 2xy 5x 5y = -6 và x + y là số
nguyên.