Chuyen de KSHS

Các bài tập về hàm số đề thi năm 1997.
Câu 1: Cho hàm số
1
22
2
+
++
=
mx
mxx
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1
2. Viết phơng trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị ( ở phần 1. ) từ điểm A ( 6,4 )
3. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Hãy viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm
cực đại và điểm cực tiểu.
Câu 2. Cho hàm số:
46)1(
2223
+=
xmxmxy
1. Tìm điểm cố định của họ đờng cong.
2. Với m = 1:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Chỉ rõ giao điểm đồ thị với trục hoành.
b. Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong, biết rằng tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ.
Câu 3: Cho hàm số:
( )
23
3
+==
mxxxfy
với m là tham số nhận mọi giá trị thực

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 1
b. Xác định các giá của m để bất phơng trình:
3
1
)(
x
xf

đợc thoả mãn với mọi x 1
Câu 4. Cho hàm số:
2
42
2
+
+
=
x
mmxx
y
( 1 ), m là tham số
1. Tìm các điểm mà đồ thị hàm số ( 1 ) đi qua với mọi giá trị của m
2. Xác định m để hàm số ( 1 ) có cực đại và cực tiểu. Tìm quỹ tích của cực đại của đồ thị
khi m thay đổi.
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) cuả hàm số ( 1 ) ứng với m = -1.
Câu 5. Cho hàm số:
1
32

+
=

x
mxx
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
2. Biện luận theo tham số a và số nghiệm của phơng trình
0log
1
232
2
1
2
=+

+
a
x
xx
3. Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng (3; +)
Câu 6. Cho hàm số:
( )
23
3
+==
mxxxfy
với m là tham số nhận mọi giá trị thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 1.
b. Xác định các giá trị của m để bất phơng trình:
( )
3
1

xf
đợc thoả mãn với mọi
1

x
.
Câu 7 : Cho hàm số: y = ( 2 x
2
)
2
( 1 )
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( 1 )
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( 1 ) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(
0,4 ).
Câu 8. Cho hàm số:
22
)2()2(
+=
xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
1
x
4
-4x
2
+ 4 m = 0
Câu 9. Cho hàm số : y = x
3

+ 1 k( x+ 1 ) ( 1 )
1. Tìm k để đồ thị của hàm số ( 1 ) tiếp xúc với trục hoành.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số ( 1 ) tại giao điểm của nó với trục tung.
Tìm k để tiếp tuyến đó chắn trên trục toạ độ một tam giác có diện tích bầng 8.
Câu 10. Cho hàm số:
mx
mxmmx
y

+
=
12)2(
22
( 1 )
Với m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)khi m = - 1. Từ đó hãy suy ra đồ thịhàm số
1
1
2
1
+
+
=
x
xx
y
2. Tìm giá trị của m để hàm số ( 1 ) có cực trị. Chứng minh rằng với m tìm đợc trên đồ thị
hàm số ( 1 ) luôn tìm đợc hai điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm đó vuông góc nhau.
Câu 11. Cho hàm số : y = x
3

+ m(x
2
1 ) 1 ( C )
1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C)luôn luôn đi qua 2 điểm cố định. Xác định toạ độ 2 điểm đó.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(C)khi m=-1.Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn.
Câu 12. Cho hàm số:
mx
mmxmmx
y

+++
=
22
)1(
( 1 )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. Từ đồ thị đã vẽ suy ra đồ thị
1
2
2

+
=
x
x
y
b. Tìm x
0
để với mọi m 0 tiếp tuyến của đồ thị ( 1 ) tại điểm có hoành độ x
0
song song một đòng

thẳng cố định. Tìm hệ số góc của đờng thẳng cố định ấy.
Câu 13. Cho hàm số : y = x
3
+ 3x
2
+ ( m + 1 ) x + 4m
1. Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -1, 1 )
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số tơng ứng với m = -1
Câu 14 ( 2 điểm ). Cho hàm số:
( )
121
24
+=
mmxxmy
với m là tham số
1. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt.
2. Xác định m để hàm số có đúng một cực trị.
Câu 15.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
( )
122
24
+=
xxy
b. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho
AB = BC = CD.
Câu 16. Cho hàm số:
mx
mmxx
y

++
=
22
2
1. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến với mọi x > 1.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2
3. Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình:
a
x
xx
=

+
1
32
2
Câu 17. Cho hàm số:
3
13


=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho khi
20

x
Câu 18. Cho hàm số:
)(68
24
Cxxy
+=
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( C ).
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết rầng tiếp tuyến đi qua M( 0,6 ).
3. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
058
24
=+ mxx
Câu 19. Cho hàm số:
( )
mx
mxm
y

+
=
22
1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 1.
2. Trong trờng hợp tổng quát chứng minh rằng với mọi giá trị
0

m
, tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số luôn tiếp xúc với một paraol cố định. Hãy chỉ rõ phơng trình của parabol ấy.

Câu 20. Cho hàm số:
( )
( )
1
1
11

+++
=
x
mxmx
y
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
b. Chứng minh rằng khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số (1) không
phụ thuộc vào tham số m.
Câu 21. Cho hàm số:
( )
( )
xaax
xa
y 23
3
1
3
++

=
1. Tìm điều kiện của tham số a để hàm số:
a. Luôn luôn đồng biến.
b. Có đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với
2
1
=
a
rồi từ đó suy ra đồ thị hàm số:
2
5
2
3
6
23
++=
xx
x
Câu 22. Xét hàm số với tham số a:
1
3
2
+
++
=
x
axx
y
1. Với những giá trị nào của tham số a thì đồ thị của hàm số nêu trên có tiếp tuyến vuông góc đờng
phân giác của góc thứ nhất của hệ trục toạ độ ? Chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số có điểm cực
đại và điểm cực tiểu.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ứng với a = 3.
Câu 23. Cho hàm số:

1
23

+
=
x
x
y
3
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm những điểm nằm trên đồ thị có toạ độ là những số nguyên.
c. Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại điểm nào mà tại đó tiếp tuyến với đồ thị đi qua giao
điểm của 2 đờng tiệm cận.
Câu 24. Cho hàm số:
( )
1
2
2
2

++
=
x
xx
y
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của ( 1 )
2. Từ đồ thị của ( 1 ) suy ra đồ thị của
2
2
2

++
=
x
xx
y
và đồ thị của
2
2
2

++
=
x
xx
y
Câu 25.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
1
22
2

+
=
x
xx
y
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số:
2
1

cossin
2
+=
xxy
Câu 26. Cho hàm số:
( ) ( )
)(2212
23
Cmxmxmmxy
+=
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m =1.
b. Với giá trị nào của m thì hàm số luôn đồng biến.
c. Chứng minh rằng với mọi đờng cong của họ ( Cm ) đều tiếp xúc với nhau.
Câu 27. Cho hàm số:
32
3 xxy
=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
Câu 28. Cho hàm số:
x
xx
y
1
2
+
=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Tìm số k lớn nhất để bất phơng trình sau đợc nghiệm đúng với mọi
Rx

( )
2cossin2sincossin
++
xxxxxk
Câu 29. Cho hàm số:
( )
1
2
mx
mmxx
y

+
=

0

m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( 1 ) khi m = -1.
2. Xác định các giá trị của m để hàm số ( 1 ):
a. Có cực đại và cực tiểu.
b. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau.
Câu 30. Cho hàm số:
( ) ( )
1532
23
+++=
mxxxmy
Trong đó m là số thực

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( 1 ), ứng với m = 0.
2. Tìm các giá trị của m sao cho hàm số ( 1 ) có cực đại và cực tiểu.
Câu 31. Xét hàm số với tham số a:
13122
23
+=
xaxxy
1. Với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm
này cách đều trục tung ?.
4
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với a = 3.
Câu 32.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
1
32
2
+
+
=
x
xx
y
Các bài tập về hàm số năm 1998.
Câu 1. Cho hàm số:
1
22
2
+
++
=
x

xx
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Tìm điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành bằng hai lần
khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.
Câu 2. Cho hàm số:
2
1cos2sin
2
+
++
=
x
xx
y

a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi:
2


=
b. Trong trờng hợp tổng quát, xác định phơng trình tiệm cận xiên của đồ thị. Tính khoảng cách từ
gốc toạ độ đến tiệm cận xiên.
c. Hãy xác định giá trị của

để khoảng cách trên là lớn nhất.
Câu 3. Cho hàm số:
)1(
1
12

2

+
=
x
xx
y
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( 1 ).
2. Viết phơng trình các tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( 1 ) sao cho các tiếp tuyến đó vuông góc với
đờng tiệm cân xiên của đồ thị hàm số ( 1 ). Chứng tỏ rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp
tuyến bị chắn bởi hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số ( 1 ). Vẽ các tiếp tuyến đó trên đồ thị đã xét
ở phần (1.)
Câu 4( 2,5 điểm ). Cho hàm số
)1(
1
2
+
++
=
mx
mxmx
y
, với m là tham số lấy mọi giá trị thực.
1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ( 1 ) đồng biến trong khoảng
).;0(
+
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số ( 1 ) với m = 1.
3. Tìm số tiếp tuyến có thể có với đồ thị ( C ) đi qua mỗi điểm của đồ thị ( C ).
Câu 5. Cho hàm số:
)1(

1
12
2
+
++
=
x
xx
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số ( 1 )
và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1cos
1coscos2
2
+
++
=
x
xx
A
Câu 6. Cho hàm số:
1
2

+
=
x
mmxx

y

1. Khảo sát sự bến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị không
đổi.
Câu 7.
5
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2
63
2

+
=
x
xx
y
2. Viết phơng trình parabol đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số ( C ) và tiếp xúc
với đờng thẳng y = - 4.
Câu 8.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
2
33
2

+
=
x
xx
y

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:
2
33
2

+
=
x
xx
y
Câu 9. Cho hàm số:
1
2

=
x
x
y
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phơng trình của parabol đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và tiếp xúc
với đờng thẳng
2
1
=
y
.
c. Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
Câu 10. Cho hàm số:
( )
1

2
14
2
+
++
+
x
xx
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số ( 1 ).
2. Tìm các giá trị của m để đờng thẳng ( d
m
):
mmxy
+=
2
cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt
thuộc cùng một nhánh của ( C ).
Câu 11. Cho hàm số:
1
1
2

+
=
x
xx
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm m để đờng thẳng y = -x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt. Khi đó chứng minh rằng hai

giao điểm đều thuộc một nhánh đồ thị.
3. Tìm những điểm trên đồ thị mà toạ độ của chúng đều là số nguyên.
Câu 12. Cho hàm số:
( ) ( )
1
13
2
mx
xx
xfy


==
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =1.
2. Với m = 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
( )
xyyxx
====
,0,1,0
3. Hãy xác định m để đồ thị hàm số (1) nhận điểm I có tung độ bằng 2 làm tâm đối xứng. Câu 13.
Cho hàm số:
1
1
2

+
=
x
xx
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2. Tính diện tích của hình giới hạn bởi ( C ) và đờng thẳng
1
2
1
=
xy
Câu 14. Cho hàm số:
1
1

+
=
x
x
y
6
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có diện
tích không đổi.
3. Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đờng tiệm cận một tam giác
có chu vi bé nhất.
Câu 15.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( x ) của hàm số:
2
12
+
+
=
x

x
y
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( x ), trục hoành và đờng thẳng x = 1.
b. Tìm những giá trị của t để phơng trình:
t
x
x
=
+
+
2sin
1sin2
có đúng hai nghiệm thuộc khoảng
],0[

.
Câu 16. Cho hàm số:
1
1

+
=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới đồ thị ở
phần ( 1. )
Câu 17. Cho hàm số:
mxxxxf

++=
93)(
23
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 6.
2. Với những giá trị nào của m thì phơng trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt
Câu 18. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
2
3
+=
xxy
Câu 19. Cho hàm số:
mmxmmxxy 3)1(33
3223
+++=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0.
2. Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu; đồng thời chứng
minh rằng khi m thay đổi, các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn luôn chạy trên hai đ-
ờng thẳng cố định.
Câu 20. Cho họ đờng cong:
)(3)1(2
1
23
dtgmxmmxxy

++++=
và họ parabol
mmxy
+=
2
2

( d
2
)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của ( d
1
) khi m = -1 và
4


=
b. Hãy xác định giá trị của

để hai họ đờng cong ( d
1
) và (d
2
) luôn đi qua một điểm cố định A.
c. Với giá trị

vừa tìm đợc, hãy xác định m để đờng cong (d
1
) tiếp xúc với đờng cong (d
2
) tại điểm
B không trùng với điểm A.
Câu 21. Cho hàm số:
)()1(
2
mmxxxy
++=

trong đó m là tham số.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị m = - 2.
2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với trục hoành. Xác định toạ độ của
tiếp điểm trong mỗi trờng hợp tìm đợc.
Câu 22. Cho hàm số:
)1(13
23
++=
xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Đờng thẳng đi qua điểm A ( -3, 1 ) và có hệ số góc bằng k. Xác định k để đờng thẳng cắt đồ thị
(1) tại ba điểm khác nhau.
7
3. Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình:
axx
=++
1)1(31
2
3
Câu 23.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( G ) của hàm:
393
23
++=
xxxy
2. Chứng minh rằng trong số mọi tiếp tuyến của ( G ) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có h ệ số góc nhỏ
nhất.
Câu 24. Cho hàm số:
( )
)1(212

3
1
23
++=
mxmmxxy
1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số ( 1 ) ứng với m = 2.
2. Qua điểm
( )
3
4
,
9
4
A
kẻ đợc mấy tiếp tuyến tới đồ thị ( C ) ? Viết phơng trình của các tiếp
tuyến ấy.
3. Với giá trị của m thì hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( -2, 0 ).
Câu 25
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
)1(96
23
xxxy
+=
2. Xác định tất cả các giá trị của tham số thực m để đờng thẳng có phơng trình y = mx cắt đồ thị
của hàm số ( 1 ) tại ba điểm phân biệt: O( 0,0 ) và A và B. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi trung điểm
I của đoạn thẳng AB luôn luôn nằm trên một đờng thẳng song song với Oy.
Câu 26. Cho hàm số:
( )
2223
4142 mxmmxy

++=
với m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2. Tìm những giá trị của m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
Câu 27. 1. Cho hàm số:
( )
1
2
5
.6
2
9
23
=
xxxy
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( 1 ).
Câu 28. Cho hàm số:
11292
23
=+=
xxxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2. Viết phơng trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm A ( 0,1 ) đến đồ thị ( C ).
Câu 29. Cho hàm số:
)(1)1(6)12(32
23
Cmxmmxmxy
++++=
1. Tìm điểm cố định mà mọi đờng cong ( Cm ) cùng đi qua với mọi m.
2. Tìm giá trị của m để hàm số trên có cực đại, cực tiểu.

3. Tìm tập hợp của các điểm cực đại khi m thay đổi.
4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
Câu 30.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
63
23
=
xxy
2. Khi

thay đổi, hãy biện luận số nghiệm của phơng trình:
axx
=
63
23
Câu 31. Cho hàm số:
xxy 3
3
=
8