Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
ĐẶT KHÔNG CHỈNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ
CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU
CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH

Chuyên ngành: Toán học tính toán

Mã số: 62.46.30.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. GS.TS. Nguyễn Bường
2. TS. Nguyễn Công Điều

Hà Nội – 2014


Mửc lửc

M Ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chữỡng 1. Hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ t khổng chnh

6
15

1.1.

Khổng gian Hilbert v khổng gian Banach . . . . . . . . 15

1.2.

Phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1.

KhĂi niằm vã b i toĂn t chnh v khổng chnh 21

1.2.2.

Phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov cho phữỡng
trẳnh vợi toĂn tỷ liản tửc v õng yáu . . . . . . 22

1.2.3.

Phữỡng phĂp hiằu chnh Browder-Tikhonov cho
phữỡng trẳnh toĂn tỷ U ỡn iằu . . . . . . . 27

1.3.

Hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ t khổng chnh v phữỡng
phĂp hiằu chnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1.

B i toĂn dăn án hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ t
khổng chnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.2. Phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ phữỡng trẳnh vợi
toĂn tỷ liản tửc v õng yáu . . . . . . . . . . . 35
Chữỡng 2. Hiằu chnh cho hằ phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ liản
tửc v

õng yáu

2.1.

Phữỡng phĂp hiằu chnh vợi nhiạu vá phÊi . . . . . . . . 42

2.2.

42

Phữỡng phĂp hiằu chnh trong trữớng hủp nhiạu vá phÊi
v nhiạu toĂn tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1


2.3.
2.4.

Phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ phữỡng trẳnh vợi toĂn
tỷ tuyán tẵnh liản tửc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Mởt số kát quÊ tẵnh toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.4.1. Quy t-c dứng lp v kát quÊ tẵnh toĂn cho hằ
phữỡng trẳnh toĂn tỷ tuyán tẵnh . . . . . . . . .

65

2.4.2. Kát quÊ tẵnh toĂn cho hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ
phi tuyán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Chữỡng 3. Hiằu chnh tẳm nghiằm cho hằ phữỡng trẳnh phi
tuyán vợi toĂn tỷ U

ỡn iằu v liản tửc Lipschitz trản

khổng gian Banach
81
3.1. Phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ
U ỡn iằu v liản tửc Lipschitz trản khổng gian Banach 81
3.2.
3.3.

Nguyản lỵ tỹa ở lằch chồn tham số hiằu chnh . . . . .
Tốc ở hởi tử cừa nghiằm hiằu chnh . . . . . . . . . . .

89
97

3.4.

Mởt số kát quÊ tẵnh toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Kát luên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

T i liằu tham khÊo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

2


LI CAM

OAN

Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi dữợi
sỹ hữợng dăn cừa GS.TS. Nguyạn Bữớng v TS. Nguyạn Cổng iãu.
CĂc kát quÊ trẳnh b y trong luên Ăn l ho n to n trung thỹc v chữa
tứng ữủc cổng bố trong cĂc cổng trẳnh cừa ngữới khĂc.
Nghiản cựu sinh

Nguyạn

3

ẳnh Dụng


LI CM èN
Luên Ăn n y ữủc ho n th nh tÔi Viằn Cổng nghằ Thổng tin thuởc
Viằn H n lƠm Khoa hồc v Cổng nghằ Viằt Nam dữợi sỹ hữợng dăn
cừa GS.TS. Nguyạn Bữớng v TS. Nguyạn Cổng iãu. TĂc giÊ xin b y tọ
lỏng biát ỡn tợi cĂc thƯy cổ giĂo thuởc Viằn Cổng nghằ Thổng tin Â
tÔo iãu kiằn v giúp ù tĂc giÊ trong quĂ trẳnh hồc têp v l m luên Ăn tÔi
Viằn, c biằt tĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c tợi GS. Nguyạn
Bữớng v TS. Nguyạn Cổng iãu, nhỳng ngữới thƯy  tên tẳnh hữợng dăn

v cung cĐp nhiãu t i liằu cƯn thiát tĂc giÊ cõ th ho n th nh luên Ăn úng
thới hÔn.
TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc thƯy cổ giĂo thuởc Ôi hồc ThĂi
Nguyản v Ban o tÔo - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo iãu kiằn tốt nhĐt cho
tĂc giÊ trong thới gian l m nghiản cựu sinh.
Xin chƠn th nh cÊm ỡn anh ch em nghiản cựu sinh v bÔn b ỗng
nghiằp  trao ời, ởng viản v khẵch lằ tĂc giÊ trong quĂ trẳnh hồc têp,
nghiản cựu v l m luên Ăn tÔi Viằn Cổng nghằ Thổng tin.
Nghiản cựu sinh

Nguyạn

4

ẳnh Dụng


MậT Sẩ Kị HIU V CH VIT TT

R

n

Khổng gian ècỡlit n-chiãu.
Khổng gian liản hủp cừa khổng gian Banach X.

X
A:Y

!X

ToĂn tỷ

ối ngău cừa toĂn tỷ A : X ! Y .

H

Khổng gian Hilbert.

I

ToĂn tỷ

D(A)

Miãn xĂc

R(A)

Miãn Ênh cừa toĂn tỷ A.

A1

ToĂn tỷ ngữủc cừa toĂn tỷ A.

0

ỡn v.

nh cừa toĂn tỷ A.

A (x)

Ôo h m Frchet cừa toĂn tỷ A tÔi

hx; yi

Tẵch vổ hữợng cừa x v y trong khổng gian Hilbert.

kxkX

Chuân cừa x trong khổng gian X.

X

(x; y)

a

b

im x.

Metric cừa x v y trong khổng gian X.
a tữỡng ữỡng vợi b.

C[a; b]

Khổng gian cĂc h m liản tửc trản oÔn [a; b].

;

Têp rộng.

xn * x

DÂy xn hởi tử yáu tợi x.

xn ! x

DÂy xn hởi mÔnh tợi x.
PhƯn tỷ khổng trong khổng gian Banach.

S(x ; r)

Hẳnh cƯu m tƠm x bĂn kẵnh r trong khổng gian Banach .

N (A)

Khổng gian khổng

5

im cừa toĂn tỷ A.


M

Ưu

Trong nhỳng b i toĂn nÊy sinh tứ thỹc tá, tỗn tÔi mởt lợp cĂc b i toĂn
m nghiằm khổng ờn nh theo nghắa mởt thay ời nhọ cừa dỳ liằu Ưu
v o s dăn án nhỳng thay ời lợn cừa dỳ liằu Ưu ra (nghiằm cừa b i toĂn),
thêm chẵ cỏn l m cho b i toĂn tr lản vổ nghiằm. Lợp cĂc
b i toĂn trản ữủc gồi l lợp b i toĂn khổng chẵnh qui hay b i toĂn t
khổng chnh.
KhĂi niằm b i toĂn t chnh ữủc Hadamard,J. [45] ữa ra khi nghiản cựu
vã Ênh hững cừa cĂc iãu kiằn biản lản nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh
elliptic cụng nhữ parabolic. Xt b i toĂn tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh

A(x) = f;

(1)

Ơy, A l toĂn tỷ tứ khổng gian metric X v o khổng gian metric Y .
Theo Hadamard b i toĂn (1) ữủc gồi l t chnh (chẵnh qui) náu cĂc
iãu kiằn sau

ữủc thọa mÂn:

1. Phữỡng trẳnh (1) cõ nghiằm x0 vợi mồi f 2 Y ;
2. Nghiằm x0 ữủc xĂc nh mởt cĂch duy nhĐt;
3. Nghiằm x0 phử thuởc liản tửc v o f.
Mởt thới gian d i ngữới ta nghắ rơng mồi b i toĂn t ra ãu thọa mÂn
cÊ ba iãu kiằn trản. Những thỹc tá ch ra rơng ỵ niằm õ sai lƯm.
6


NhĐt l khi mĂy tẵnh iằn tỷ ra ới, trong tẵnh toĂn cĂc b i toĂn thỹc tá
bơng mĂy tẵnh luổn xÊy ra quĂ trẳnh l m trỏn số. Chẵnh sỹ l m

trỏn õ dăn án nhỳng sai lằch Ăng k.
Náu ẵt nhĐt mởt trong ba iãu kiằn trản khổng ữủc thọa mÂn thẳ
b i toĂn (1) ữủc gồi l b i toĂn t khổng chnh. Do lợp b i toĂn t khổng
chnh cõ tƯm quan trồng trong ựng dửng thỹc tá, nản nõ Â thu hút sỹ
quan tƠm cừa nhiãu nh toĂn hồc nời tiáng trản thá giợi nhữ V. K.
Ivanov, M. M. Lavrentiev, A. N. Tikhonov...Mởt số nh toĂn hồc Viằt
Nam cụng i sƠu nghiản cựu v cõ nhiãu õng gõp cho lỵ thuyát cĂc b i
toĂn t khổng chnh nhữ: P. K. Anh, Ng. Bữớng, . N. H o,
.

. Trồng...

giÊi số b i toĂn

t khổng chnh, bữợc Ưu tiản Tikhonov

ữa vã

b i toĂn t chnh bơng cĂch giÊ thiát l nghiằm cƯn tẳm nơm v o trong
mởt têp compact lỗi M v Ênh A(M) = N, sao cho khi f xĐp x bi
f 2 N ta văn cõ nghiằm x thọa mÂn Ax 2 N. Do số liằu xĐp x l số liằu
khổng chẵnh xĂc, nản cõ th xĐp x f lÔi khổng nơm v o têp A(M).
Khi õ, phữỡng trẳnh A(x) = f khổng cõ nghiằm theo nghắa thổng
thữớng. kh-c phửc tẳnh trÔng n y, Ivanov,V.K. (xem [51], [52]) Â ữa
ra khĂi niằm tỹa nghiằm cho phữỡng trẳnh (1). Theo Ivanov phƯn tỷ
x~ 2 M l m cỹc tiu phiám h m inf
x2M

Y (A(x);

f) ữủc gồi l tỹa nghiằm

cừa (1) trản têp M, trong trữớng hủp M l têp compact cừa X, thẳ vợi
mồi f 2 Y bao giớ cụng tỗn tÔi tỹa nghiằm. Náu f 2 A(M) thẳ tỹa
nghiằm chẵnh l nghiằm thổng thữớng. Tỹa nghiằm cụng nhữ
nghiằm thổng thữớng cõ th khổng duy nhĐt.
Trữớng hủp vá phÊi phữỡng trẳnh (1) thay ời khổng nơm trong A(M)
7


cụng ữủc Lavrentiev, M.M. [60] nghiản cựu. Tữ tững phữỡng phĂp m
Lavrentiev ã xuĐt l thay phữỡng trẳnh (1) bơng phữỡng trẳnh xĐp
x giÊi ữủc vợi mồi vá phÊi v nghiằm cừa phữỡng trẳnh xĐp x phử
thuởc liản tửc v o vá phÊi.
Nôm 1963, Tikhonov, A. N. (xem [75], [76], [77]) ữa ra mởt hữợng
mợi giÊi quyát b i toĂn (1), õ l viằc cỹc tiu hõa phiám h m phử thuởc
tham số
2

(2)

M [x; f ] = (A(x); f ) + (x);

Ơy l phiám h m ờn nh trản khổng gian metric X, l tham số hiằu
chnh phử thuởc , = ( ) ữủc chồn sao cho khi ! 0, ta cõ
im cỹc tiu x cừa phiám h m (2) hởi tử án nghiằm cừa

()!0v

b i toĂn (1).

ối vợi b i toĂn (1), khi A : H ! H l mởt toĂn tỷ liản tửc v

õng

yáu, Engl, H.W. [42] Â xt dÔng cử th cừa (2) l
2
2
M [x; f ] = kAx f k + kxk

(3)

v chựng minh ữủc b i toĂn (3) cõ nghiằm phử thuởc liản tửc v o f
v hởi tử vã nghiằm cừa (1) khi f ! f.
Trong trữớng hủp A l toĂn tỷ ỡn iằu v hemi liản tửc tứ khổng gian
Bannach X v o X , Alber,Ya.I.[5] Â xƠy dỹng phữỡng phĂp hiằu chnh
Tikhonov dỹa v o viằc giÊi phữỡng trẳnh
s

(4)

A(x) + U (x) = f ;
s

s

Ơy, U l toĂn tỷ ối ngău tờng quĂt cừa X, tực l U : X ! X , thọa mÂn
iãu kiằn
s

s

s

hU (x); xi = kxkkU (x)k; kU (x)k = kxk
8

s 1

;s

2:


Trong v i nôm gƯn

Ơy, do nhu cƯu thỹc tá ngữới ta

 xt m rởng

b i toĂn (1) cho mởt hồ hỳu hÔn phữỡng trẳnh t khổng chnh (xem
[22], [39], [46]), tực l tẳm nghiằm x0, sao cho
Aj(x0) = fj; j = 1; 2; :::; N;

(5)

Ơy, Aj : X ! Yj, X v Yj l cĂc khổng gian Hilbert. Hằ phữỡng trẳnh
(5) cõ th ữa vã mởt phữỡng trẳnh
A(x) = f;

(6)

Ơy, A : X ! Y xĂc nh bi A(x) = (A1(x); A2(x); :::; AN (x)); Y := Y1 Y2
::: YN v f = (f1; f2; :::; fN ): Cõ th coi (6) nhữ l trữớng hủp riảng cừa (5)
khi N = 1. Tuy nhiản, (5) cõ lủi hỡn (6) chộ
(5) ã cêp riảng r tứng tẵnh chĐt cừa (A j; fj), cỏn (6) cho ta tẵnh chĐt
chung cừa (Aj; fj) v nghiằm cừa (6) phÊi thọa mÂn cĂc tồa ở giống
nhau.
Nôm 2007, Haltmeier,M. [46] Â ữa ra phữỡng phĂp lp cÊi tián
Landweber - Kaczmarz tẳm nghiằm hiằu chnh lp cho hằ (5) khi fj
ữủc xĐp x bi fj j , kfj j

fjk

j;

j = 1; 2; ::; N, bao gỗm phữỡng

phĂp lp xoay vỏng Landweber - Kaczmarz (lLK) v phữỡng phĂp lp
nhúng Landweber - Kaczmarz (eLK) ỗng thới ữủc ựng dửng hiằu
chnh cho mởt số b i toĂn nhữ b i toĂn ngữủc ối vợi thiát b bĂn dăn, b i
toĂn chửp c-t lợp bơng nhiằt...
Nôm 2008, Hein,T. [48] Â ữa ra phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ
phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ liản tửc v õng yáu dỹa trản b i toĂn cỹc tiu
phiám h m ờn nh khổng Ơm v nỷa liản tửc dữợi yáu
min J(x) : kA (x)
xD

fj k

j

f

j

2

9

; j = 1; ::; N g :
j

(7)


0

Dỹa trản khoÊng cĂch Bregman D(x ; x 0) := J(x ) J(x0) hJ (x0); x x0i,
Hein  ữa ra cĂc kát quÊ vã tốc ở hởi tử cừa nghiằm hiằu chnh x vã
nghiằm x0 cừa hằ khi bờ sung iãu kiằn nguỗn lản tĐt cÊ cĂc toĂn tỷ A j;
j = 1; 2; :::; N.
Nôm 2011, Cezaro,A.D. [38] Â ữa ra phữỡng phĂp lp cÊi tián
Tikhonov vợi cĂc toĂn tỷ Aj liản tửc, khÊ vi Frchet trản miãn õng yáu
Dj, bao gỗm phữỡng phĂp lp Tikhonov - Kaczmarz (iTK) v phữỡng
phĂp lp xoay vỏng Tikhonov - Kaczmarz (L - iTK). Phữỡng phĂp n y
ữủc xƠy dỹng dỹa trản cỡ s cừa phữỡng phĂp lp LevenbergMarquardt-Kaczmarz [15] v phữỡng phĂp lp cÊi tián Landweber Kaczmarz [46].
CĂch tiáp cên theo phữỡng phĂp lp xoay vỏng v phữỡng phĂp ữa vã
khổng gian tẵch thỹc hiằn rĐt phực tÔp khi N lợn. Cử th, khi xt sỹ
hởi tử cừa nghiằm hiằu chnh vã nghiằm cừa hằ cụng nhữ Ănh giĂ tốc
ở hởi tử cừa nghiằm hiằu chnh theo cĂc cĂch tiáp cên n y ỏi họi phÊi

thọa mÂn ba iãu kiằn t lản tứng toĂn tỷ Aj, bao gỗm iãu kiằn khÊ
vi Frchet vợi cĂc Ôo h m Frchet giợi nởi ãu trong lƠn cên nghiằm cừa
(5), iãu kiằn nõn tiáp tuyán cửc bở v iãu kiằn nguỗn trản nghiằm cừa
(5) (xem [38]). Vẳ vêy, viằc nợi lọng cĂc iãu kiằn lản cĂc toĂn tỷ l mởt
trong cĂc mửc tiảu cừa luên Ăn. Cử th, liằu cõ th xƠy dỹng ữủc
phữỡng phĂp hiằu chnh khĂc m sỹ hởi tử cụng nhữ Ănh giĂ tốc ở hởi
tử cừa nghiằm hiằu chnh ch cƯn dỹa v o iãu kiằn cừa mởt toĂn tỷ
hay khổng?
Trong trữớng hủp Aj l cĂc dữợi vi phƠn cừa cĂc phiám h m lỗi trản
khổng gian Banach X, Buong,Ng. [22] Â xƠy dỹng phữỡng phĂp hiằu
10


chnh dỹa v o viằc giÊi phữỡng trẳnh
N
X

j

j=1

1

=0<

Ơy, U(x) l toĂn tỷ

h

U(x) = ;

A j(x) +

j < j+1

(8)

< 1; j = 2; ::; N

1;

ối ngău chuân t-c tứ X v o X , tực l U(x) =

2

U (x):
Khi Aj : H ! H l cĂc toĂn tỷ ỡn iằu v h-liản tửc, Buong,Ng.,
Thuy,Ng.T.T. [34] Â ã xuĐt phữỡng phĂp hiằu chnh lp bêc khổng
tẳm nghiằm xĐp x cho b i toĂn
(9)

Aj(x) = ; j = 1; 2; :::; N;
j
(k)
k Aj(x )

bơng sỡ ỗ lp
x(k+1) = x(k)k

+

N+1
k

(x

(k)

x)

!

N

;

(10)

X
j=1

Ơy, xĐp x Ưu x

(0)

v x l phƯn tỷ trong khổng gian H v k, k l cĂc dÂy

số dữỡng.
Hằ (9) cụng ữủc Anh,Ph.K., Chung,C.V. [7] xt án khi A j : H ! H cõ
tẵnh chĐt ngữủc ỡn iằu mÔnh bơng phữỡng phĂp hiằu chnh lp song

song. CĂc kát quÊ Ôt ữủc cừa phữỡng phĂp cho nghiằm hiằu chnh
hởi tử vã nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt.
Mởt cƠu họi t ra l , khi Aj l cĂc toĂn tỷ U ỡn iằu liằu cõ th xƠy dỹng
ữủc cĂc phữỡng phĂp hiằu chnh giống nhữ (8) hay khổng?
Trong luên Ăn n y, chúng tổi ã cêp án hai vĐn ã nảu trản. Cử th, ối
vợi vĐn ã thự nhĐt, chúng tổi ữa ra phữỡng phĂp hiằu chnh
N

Xj
=1

A (x)
kj

f

j

2

k + kk

!

x x
11

2

min;

X

(11)


m tốc ở hởi tử cừa nghiằm hiằu chnh ữủc Ănh giĂ ch dỹa trản iãu
kiằn cừa mởt toĂn tỷ A1. Trong trữớng hủp cĂc toĂn tỷ Aj : X ! X
l U ỡn iằu v liản tửc Lipschitz trản khổng gian Banach phÊn xÔ v lỗi
cht cõ chuân khÊ vi GƠteaux ãu, chúng tổi ữa ra phữỡng phĂp
hiằu chnh hằ phữỡng trẳnh (5) dỹa v o viằc giÊi phữỡng trẳnh
X

A1(x) +

~

N

j

(Aj(x) fj ) + (x x ) = f1

(12)

=2

vữa ra cĂch chồn tham số = ( ), Ơy, ~ 2 (0; 1) l hơng số cố nh.
Theo phữỡng phĂp n y, tốc ở hởi tử cừa nghiằm hiằu chnh ữủc Ănh
giĂ m ch cƯn dỹa v o iãu kiằn t lản mởt toĂn tỷ A1.
CĂc kát quÊ Ôt ữủc trong luên Ăn n y l kát quÊ trong quĂ trẳnh hồc

têp v nghiản cựu tÔi Viằn Cổng nghằ Thổng tin - Viằn H n lƠm Khoa
hồc v Cổng nghằ Viằt Nam. Ngo i phƯn m Ưu, kát luên v t i liằu tham
khÊo, cĂc kát quÊ nghiản cựu ữủc trẳnh b y th nh ba chữỡng. Chữỡng
1 trẳnh b y cĂc khĂi niằm cỡ bÊn vã khổng gian Hilbert
v khổng gian Banach, vã b i toĂn t khổng chnh, tứ õ giợi thiằu
phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov cho phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ liản tửc

v õng yáu v phữỡng phĂp hiằu chnh Browder-Tikhonov cho phữỡng
trẳnh vợi toĂn tỷ U ỡn iằu. Trản cỡ s hiằu chnh cho phữỡng trẳnh,
chữỡng n y cỏn giợi thiằu b i toĂn dăn án hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ t
khổng chnh v cĂc phữỡng phĂp hiằu chnh. Chữỡng 2 giợi thiằu cĂc
kát quÊ Ôt ữủc khi xƠy dỹng phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ phữỡng
trẳnh vợi cĂc toĂn tỷ cõ tẵnh chĐt liản tửc v õng yáu, ỗng thới cĂc kát
quÊ số ữủc thỹc hiằn nhơm khng nh tẵnh úng -n cừa phữỡng
phĂp. Cuối cũng, chữỡng 3 trẳnh b y phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ
phữỡng trẳnh phi tuyán ối vợi toĂn tỷ U ỡn iằu v liản tửc Lipschitz trản
12


khổng gian Banach phÊn xÔ v lỗi cht cõ chuân khÊ vi GƠteaux
ãu.
CĂc cổng trẳnh  cổng bố cõ liản quan án luên Ăn:
[1] Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization for a Common
Solu-tion of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int. Journal
of Math. Analysis, 3(34), 1693 - 1699.
[2] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common
solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded
mappings, Ap-plied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788.
[3] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common
solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded

mappings with perturbative data, Thainguyen University Journal of
Science and Tech-nology, 83(7), 73 - 79.
[4] Buong,Ng.,

Dung,N.D.

(2012),

Convergence

Rates

in

Regularization for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative
Data, Applied Math-ematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310.
[5] Buong,Ng., Dung,N.D. (2013), Regularization for a common
solution of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving
Lipschitz continuous and accretive mappings on Banach spaces, K
yáu Hởi thÊo Quốc gia lƯn thự XV vã mởt số vĐn ã chồn lồc cừa Cổng
nghằ Thổng tin v Truyãn thổng, H Nởi, 3-4/12/2012.
[6] Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized parameter choice in
reg-ularization for a common solution of a finite system of ill-posed
equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings,
Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiziki, 54(3), 397 - 406.


13

CĂc kát quÊ cừa luên Ăn  ữủc bĂo cĂo tÔi:
- Hởi thÊo Tối ữu v Tẵnh toĂn khoa hồc lƯn thự VIII, Ba vẳ, 2022/4/2010.
- Hởi thÊo Quốc gia lƯn thự XIII vã mởt số vĐn ã chồn lồc cừa
Cổng nghằ Thổng tin v Truyãn thổng, "CĂc cổng nghằ tẵnh toĂn
hiằn Ôi", Hững Yản, 19-20/8/2010.
- Hởi ngh khoa hồc k niằm 35 nôm ng y th nh lêp Viằn Cổng
nghằ Thổng tin - Viằn H n lƠm Khoa hồc v Cổng nghằ Viằt Nam, H
Nởi, 26/12/2011.
- Hởi thÊo Quốc gia lƯn thự XV vã mởt số vĐn ã chồn lồc cừa Cổng

nghằ Thổng tin v Truyãn thổng, H Nởi, 3-4/12/2012.
- Hởi thÊo Tối ữu v Tẵnh toĂn khoa hồc lƯn thự XI, Ba vẳ, 2427/4/2013.
- Ôi hởi ToĂn hồc Viằt Nam lƯn thự VIII, Nha Trang, 10-14/08/2013.
- CĂc buời Seminar khoa hồc cừa Phỏng Thống kả - Tẵnh toĂn v
ựng dửng, Viằn Cổng nghằ Thổng tin - Viằn H n lƠm Khoa hồc v
Cổng nghằ Viằt Nam.

14


Chữỡng 1
Hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ

t khổng

chnh
Chữỡng n y gỗm ba mửc. Mửc 1.1 trẳnh b y cĂc khĂi niằm cỡ bÊn
trong khổng gian Hilbert v khổng gian Banach. Mửc 1.2 giợi thiằu
khĂi niằm b i toĂn t khổng chnh v phữỡng phĂp hiằu chnh
Tikhonov cho phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ liản tửc v õng yáu cũng vợi

phữỡng phĂp hiằu chnh Browder-Tikhonov cho phữỡng trẳnh vợi toĂn
tỷ U ỡn iằu. Trong mửc 1.3, chúng tổi giợi thiằu hằ phữỡng trẳnh t
khổng chnh, cĂc b i toĂn dăn vã hằ phữỡng trẳnh t khổng chnh v
mởt số phữỡng phĂp hiằu chnh cho hằ b i toĂn n y.

1.1.

Khổng gian Hilbert v khổng gian Banach

Trong mửc n y, chúng tổi nh-c lÔi mởt số khĂi niằm ữủc sỷ dửng
trong cĂc chữỡng sau (xem [3], [6], [18], [21], [44], [49], [53], [64]).
nh nghắa 1.1 Khổng gian tuyán tẵnh X ữủc gồi l khổng gian tiãn
Hilbert hay cỏn gồi l khổng gian cõ tẵch vổ hữợng, náu trản X xĂc
nh mởt h m thỹc hai bián, kỵ hiằu l hx; yi v ữủc gồi l tẵch vổ hữợng
cừa x v y náu thọa mÂn iãu kiằn sau:
Vợi mồi x; y 2 X; hx; yi = hy; xi;
Vợi mồi x; y; z 2 X; hx + y; zi = hx; zi + hy; zi;
15


Vợi mồi x; y 2 X v số thỹc
Vợi mồi x 2 X; hx; xi
Vợi h m kxk = hx; xi

bĐt ký h x; yi =

hx; yi;

0 v hx; xi = 0 khi v ch khi x = 0.
1=2

thẳ X tr th nh mởt khổng gian nh

chuân. Khổng gian vợi tẵch vổ hữợng Ưy ừ ữủc gồi l khổng gian
Hilbert. Khổng gian nh chuân X ữủc gồi l khổng gian Banach, náu
nõ l khổng gian ừ.
Cho x v y thuởc khổng gian tẵch vổ hữợng X, khi õ ta cõ cĂc quy
t-c sau:
BĐt ng thực tam giĂc: kx + yk kxk + kyk;
BĐt ng thực Cauchy - Schwarz: jhx; yij kxkkyk;
2

2

2

2

Quy t-c hẳnh bẳnh h nh: kx + yk + kx yk = 2kxk + 2kyk .
nh nghắa 1.2 Trong khổng gian Banach X, toĂn tỷ a tr U : X !
X

2 ữủc gồi l toĂn tỷ ối ngău chuân t-c náu
U(x) = fu(x) 2 X : hx; u(x)i = kxkku(x)k; ku(x)k = kxkg:
nh nghắa 1.3 ToĂn tỷ A : X ! X ữủc gồi l
U ỡn iằu trản X, náu tỗn tÔi u(x y) 2 U(x y) sao cho hA(x) A(y); u(x
y)i 0 vợi 8x; y 2 X.
U ỡn iằu mÔnh trản X vợi hơng số , náu tỗn tÔi mởt hơng số > 0
sao cho
hA(x)

A(y); u(x

y)i

16

kx

2

yk ; 8x; y 2 X:


Ngữủc U ỡn iằu mÔnh vợi hơng số trản X, náu tỗn tÔi mởt hơng số
dữỡng sao cho
hA(x)

A(y); u(x

y)i

kA(x)

2

A(y)k ; 8x; y 2 X;

m U ỡn iằu trong X, náu A l U ỡn iằu v R(A+ I) = X,
8 > 0.

Liản tửc Lipschitz trản X, náu
kA(x)

A(y)k

Lkx

yk; 8x; y 2 X;

Ơy, L l hơng số dữỡng. Khi L = 1 thẳ A ữủc gồi l toĂn tỷ khổng gi
Ân. Dạ thĐy, náu A l toĂn tỷ ngữủc U ỡn iằu mÔnh vợi hơng số
thẳ A l liản tửc Lipschitz vợi hơng số 1= .
nh nghắa 1.4 (xem [18]) ToĂn tỷ T ữủc gồi l giÊ co cht trản khổng
gian Banach X, náu tỗn tÔi 2 [0; 1) sao cho vợi mồi x; y 2 X ta cõ

hT x T y; u(x

y)i

2

kx

yk

kx

T )y; u(x

y)i

k(I

y

2

(T x

T y)k ;

hay cõ th viát dữợi dÔng
h(I
Do õ, I

T )x

(I

T l ngữủc U

T )x

ỡn iằu mÔnh vợi hơng số

T ữủc gồi l giÊ co. Náu T l giÊ co, thẳ A := I
v ngữủc lÔi, náu A l U

(I

ỡn

iằu thẳ T = I

2

T )yk :

. Náu

Tl U

= 0, thẳ

ỡn

A l giÊ co.

nh nghắa 1.5 Cho X l khổng gian tuyán tẵnh nh chuân v
S(0; 1) := fx 2 X : kxk = 1g :
17

iằu,


Khổng gian X ữủc gồi l cõ chuân khÊ vi GƠteaux, náu giợi hÔn

limkx + tyk

kxk

t

t!0

tỗn tÔi vợi mồi x; y 2 S(0; 1). Khổng gian X cõ chuân khÊ vi GƠteaux
ãu náu giợi hÔn trản hởi tử ãu vợi mồi x 2 S(0; 1). Khổng gian X ữủc
gồi l lỗi cht náu 8x; y 2 S(0; 1) vợi x 6= y, ta cõ
k(1

)x + yk < 1; 8

2 (0; 1):

nh nghắa 1.6 Têp S trong khổng gian Banach X ữủc gồi l mởt
têp lỗi, náu vợi mồi x; y 2 S thẳ f x + (1 )y : 2 [0; 1]g S. Náu S l têp lỗi
õng v S 6= ; thẳ 8x 2 X tỗn tÔi duy nhĐt mởt phƯn tỷ x 2 S sao cho
kx

x k = inf kx

yk:

y2S

nh nghắa 1.7 Phiám h m '(x) vợi x 2 X ữủc gồi l lỗi, náu
'( x + (1

)y)

'(x) + (1

)'(y); 8

2 [0; 1]; x; y 2 X:
1

nh nghắa 1.8 (xem [3]) Cho khổng gian Banach ` vợi (a1; a2; :::)
1

2 ` v chuân kak1 = supi2N jaij v l phiám h m tuyán tẵnh liản tửc trản
1

` . Kỵ hiằu k(ak) := ((a1; a2; :::)), khi õ ữủc gồi l giợi hÔn Banach náu
1

thọa mÂn k k = k(1) = 1 v k(ak+1) = k(ak) vợi (a1; a2; :::) 2 ` .
Vợi giợi hÔn Banach

, ta cõ

lim inf ak

k(ak)

k!1

lim sup ak
k!1

1

1

1

vợi mồi (a1; a2; :::) 2 ` . Náu a = (a1; a2; :::) 2 ` ; b = (b1; b2; :::) 2 ` v
ak ! c (ak bk ! 0, khi k ! 1), ta cõ k(ak) = (a) = c ( k(ak) =
k(bk)).
18


nh nghắa 1.9 Cho X l
khổng gian Banach, toĂn tỷ A vợi miãn xĂc
X v miãn Ênh R(A) nơm trong X .
nh D(A)
ToĂn tỷ A ữủc gồi l
D(A). A

ỡn iằu náu hA(x) A(y); x yi 0; 8x; y 2

ữủc gồi l

ỡn

iằu cht náu dĐu bơng ch Ôt ữủc khi

x = y.
ToĂn tỷ A ữủc gồi l d- ỡn iằu, náu tỗn tÔi mởt h m khổng Ơm d(t),
khổng giÊm vợi t 0, d(0) = 0 v thọa mÂn tẵnh chĐt 8x; y 2 D(A)

hA(x)

A(y); x

yi

(d (kxk)

d (kyk)) (kxk

kyk) :

ToĂn tỷ A ữủc gồi l ỡn iằu ãu, náu tỗn tÔi mởt h m khổng Ơm (t),
khổng giÊm vợi t 0, (0) = 0 v
hA(x)

A(y); x

yi

(kx

yk) ; 8x; y 2 D(A):

2

Náu (t) = cAt ; cA > 0 thẳ toĂn tỷ A ữủc gồi l toĂn tỷ ỡn iằu mÔnh.

ToĂn tỷ A ữủc gồi l cõ tẵnh chĐt bực, náu

lim
x

+

k k!

nh nghắa 1.10 Cho X; Y l
X ! Y ữủc gồi l

hA(x); xi
1
k k

=+

x

:
1

hai khổng gian Banach. ToĂn tỷ A :

khÊ vi Frchet tÔi im x 2 X, náu tỗn tÔi toĂn tỷ

tuyán tẵnh liản tửc T : X ! Y sao cho
lim

kA(x + h) A(x) T (h)k

khk!0

khk

T ữủc gồi l Ôo h m Frchet cừa A tÔi x v
19

= 0;
0

kỵ hiằu A (x).


nh nghắa 1.11 Cho X l khổng gian Banach bĐt ký, @' ữủc gồi
dữợi vi phƠn cừa h m ' v

l ữủc xĂc nh bi

@'(x) = fx 2 X : '(y)

'(x)

hx ; y

xi ; 8y 2 Xg :

Ta cõ mối liản hằ giỳa tẵnh lỗi ãu cừa mởt phiám h m v tẵnh ỡn iằu
ãu cừa dữợi vi phƠn cừa nõ nhữ sau:
Náu ' l mởt phiám h m lỗi ãu xĂc nh trản khổng gian Banach phÊn
xÔ X thẳ @' l mởt toĂn tỷ ỡn iằu ãu. Náu D(') X thẳ @' cỏn l mởt toĂn

tỷ h-liản tửc tÔi mồi im x 2 X , tực l :
lim@'(x + ty) = @'(x); 8x; y 2 X:
t!0

Ơy cụng l khĂi niằm vã tẵnh h-liản tửc cho mởt toĂn tỷ A bĐt ký.
nh nghắa 1.12 Trong khổng gian Banach X, dÂy fx ng ữủc gồi l mởt
dÂy cỹc tiu hõa cho b i toĂn: Tẳm x0 2 X sao cho f(x0) = inf f(x),
x2X

náu limn!1f(xn) = f(x0).

iãu n y tữỡng

8" > 0 9N(") : 8n > N("); f(x0)

ữỡng vợi
"

f(xn) f(x0) + ":

nh nghắa 1.13 Trong khổng gian Banach X, dÂy fx ng X ữủc gồi l
hởi tử yáu tợi x 2 X, náu vợi mồi x 2 X ta cõ
lim hxn; x i = hx; x i :

n!1

DÂy hởi tử yáu ữủc kỵ hiằu: xn * x khi n ! 1. fxng X ữủc gồi l hởi tử
mÔnh tợi x 2 X náu nõ hởi tử theo chuân, tực l kxn xk ! 0 khi n ! 1.

nh nghắa 1.14 Phiám h m '(x) xĂc nh trản khổng gian Banach X

ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi yáu tÔi im x0, náu 8 fxng : xn * x0 )
20


'(x0) lim inf '(xn). Phiám h m '(x) ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi yáu, náu nõ
nỷa liản tửc dữợi yáu tÔi mồi im trong miãn xĂc nh cừa nõ.

Trản Ơy l cĂc khĂi niằm,
mửc

nh nghắa

ữủc sỷ dửng trong cĂc

v cĂc chữỡng sau. Mửc tiáp theo, chúng tổi trẳnh b y cĂc phữỡng
phĂp hiằu chnh cho phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ cõ tẵnh chĐt liản tửc v
õng yáu, toĂn tỷ cõ tẵnh chĐt U ỡn iằu.

1.2.

Phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov

1.2.1.

KhĂi niằm vã b i toĂn

t chnh v khổng chnh

KhĂi niằm B i toĂn t chnh ữủc Hadamard,J. (xem [45], [65]) ữa ra
khi nghiản cựu vã Ênh hững cừa cĂc iãu kiằn biản lản nghiằm cừa cĂc

phữỡng trẳnh eliptic cụng nhữ parabolic.
Xt b i toĂn Cauchy
@ 2un

+

@2un

ối vợi phữỡng trẳnh Laplace
= 0; 1 < x < 1; 0 < y; @x2 @y2

2

un(x; 0) = n sin nx;

1 < x < 1;
1
@un (x; 0) = n sin nx; 1 < x < 1:
@y
2 ny
B i toĂn n y cõ nghiằm duy nhĐt l
un(x; y) = n e sin nx, b i
toĂn n y ta dạ thĐy un(x; 0);

@u

@yn

(x; 0) ! 0 khi n ! 1, trong khi õ un(x;

y) ! 1 khi n ! 1 vợi mồi y > 0.
Viằc tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh toĂn tỷ
Ax = f; f 2 Y

21

(1.1)


cụng phÊi dỹa v o dỳ kiằn ban Ưu f, cõ nghắa l x = R(f). Ta s coi
nghiằm cụng nhữ cĂc dỳ kiằn õ l nhỳng phƯn tỷ thuởc khổng gian
X v Y vợi cĂc ở o tữỡng ựng l

X

(x1; x2) v

Y

(f1; f2), x1; x2 2

X; f1; f2 2 Y .
GiÊ sỷ Â cõ mởt khĂi niằm thá n o l nghiằm cừa mởt b i toĂn. Khi õ,
b i toĂn tẳm nghiằm x = R(f) ữủc gồi l ờn nh trản cp khổng gian
(X; Y ), náu vợi mội số " > 0 cõ th tẳm ữủc mởt số (") > 0, sao cho tứ
Y

(f1; f2) (") cho ta X (x1; x2) ", Ơy
x1 = R(f1); x2 = R(f2); x1; x2 2 X; f1; f2 2 Y:

B i toĂn tẳm nghiằm x 2 X theo dỳ kiằn f 2 Y ữủc gồi l b i toĂn t
chnh trản cp khổng gian metric (X; Y ), náu cõ:
1. Vợi mồi f 2 Y tỗn tÔi nghiằm x 2 X;
2. Nghiằm x ữủc xĂc nh mởt cĂch duy nhĐt;
3. B i toĂn tẳm nghiằm ờn nh trản cp khổng gian (X; Y ).
Náu ẵt nhĐt mởt trong ba iãu kiằn trản khổng thọa mÂn thẳ b i
toĂn ữủc gồi l b i toĂn t khổng chnh, ổi khi cỏn gồi l b i toĂn khổng
chẵnh quy, hay b i toĂn thiát lêp khổng úng -n.
1.2.2.

Phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov cho phữỡng trẳnh vợi toĂn
tỷ liản tửc v õng yáu

Phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov cho phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ
tuyán tẵnh liản tửc (xem [1])

22