KINH TẾ LƯỢNG - Chương 4: Tự tương quan

Chương 4: Tự tương quan
(Autocorrelation)

Bản chất và nguyên nhân của hiện tượng
tự tương quan

Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi có tự
tương quan

Ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất
khi có tự tương quan

Hậu quả của việc sử dụng phương pháp
OLS khi có tự tương quan

Phát hiện tự tương quan

Các biện pháp khắc phục

Bản chất và nguyên nhân của hiện tượng
tự tương quan
1. Tự tương quan là gì ?
Trong mô hình hồi qui tuyến tính cổ điển, ta giả
định rằng không có tương quan giữa các
sai số ngẫu nhiên u
i
, nghĩa là:
cov(u
i
, u

j
) = 0 (i ≠ j)
Nói một cách khác, mô hình cổ điển giả định
rằng sai số ứng với quan sát nào đó không
bị ảnh hưởng bởi sai số ứng với một quan
sát khác.

Bản chất và nguyên nhân của hiện
tượng tự tương quan

Tuy nhiên trong thực tế có thể xảy ra hiện tượng mà
sai số của các quan sát lại phụ thuộc nhau, nghĩa
là:
cov(u
i
, u
j
) ≠ 0 (i ≠ j)
Khi đó xảy ra hiện tượng tự tương quan.

Sự tương quan xảy ra đối với những quan sát
“cắt ngang” đgl “tự tương quan không
gian”.

Sự tương quan xảy ra đối với những quan sát
“chuổi thời gian” đgl “tự tương quan thời
gian”.

•
•

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
t
(a)
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•

t
(b)
•
••
•
•
•
•
•
••
••
•
• •
t
(c)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
t
(d)
•

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
t
(e)
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
u
i
, e
i

u
i
, e
i
u
i
, e
i
u
i
, e
i
u
i
, e
i

2. Nguyên nhân của tự tương quan

Quán tính: mang tính chu kỳ, VD: các chuổi số liệu
thời gian về: GDP, chỉ số giá, sản lượng, thất
nghiệp, …

Sai lệch do lập mô hình: bỏ sót biến, dạng hàm sai.

Hiện tượng mạng nhện: phản ứng của cung của
nông sản đối với giá thường có một khoảng trễ
về thời gian: Q
St
=

β
1
+
β
2
P
t-1
+ u
t

Độ trễ: một hộ chi tiêu nhiều trong khoảng thời
gian t có thể do chi tiêu ít trong giai đoạn t-1
C
t
=
β
1
+
β
2
I
t
+
β
3
C
t-1
+ u
t


Hiệu chỉnh số liệu: do việc “làm trơn” số liệu →
loại bỏ những quan sát “gai góc”.

…

Bản chất (tt)

Dạng mô hình sai
































q
MC

Ước lượng OLS khi có tự tương quan

Giả sử tất cả các giả định đối với mô hình
hồi qui tuyến tính cổ điển đều thoả mãn trừ
giả định không tương quan giữa các sai số
ngẫu nhiên u
t
.

và không còn là ước lượng hiệu quả
nữa, do đó nó không còn là ước lượng
không chệch tốt nhất.
^
1
β
2
β
ˆ

Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi
có tự tương quan

Xét mô hình với số liệu chuổi thời gian:
Y
t
= β
1
+ β
2
X
t
+ u
t

Ta giả thuyết: u
t
được tạo ra theo cách sau:
u
t
= ρu
t-1
+ e
t
(-1 < ρ < 1) (*)
ρ: hệ số tự tương quan;
e
t
: sai số ngẫu nhiên, thỏa mãn những giả định

của OLS (e
t
còn đgl sai số trắng):
E(e
t
) = 0; Var(e
t
) = σ
ε
2
; Cov(e
t
, e
t+s
) = 0
(*): phương trình tự hồi quy bậc nhất Markov, ký hiệu:
AR(1)

Nếu u
t
= ρ
1
u
t-1
+ ρ
2
u
t-2
+ e
t

: tự hồi quy bậc hai: AR(2)

Ước lượng bình phương nhỏ nhất
khi có tự tương quan

Với mô hình AR(1), ta có thể chứng minh được:

Nếu ρ=0, thì phương sai sai số của AR(1) bằng phương sai sai số của OLS.

Nếu sự tương quan giữa các u
t
và u
t-1
rất nhỏ, thì phương sai sai số của AR(1) cũng bằng phương sai sai số của OLS.

Vậy nếu ρ tương đối lớn, các ước lượng của β vẫn không chệch nhưng không còn hiệu quả nữa nên chúng không là “BLUE”.

Ước lượng tuyến tính không chệch tốt
nhất khi có tự tương quan

Ước lượng bình phương tổng quát (GLS) của β
1
phối
hợp được tham số tự tương quan ρ vào công thức
ước lượng. Đó chính là lý do vì sao ước lượng bình
phương nhỏ nhất tổng quát là ước lượng tuyến tính
không chệch tốt nhất.
và

Ước lượng tuyến tính không chệch tốt

nhất khi có tự tương quan

C và D là các nhân tố điều chỉnh, có
thể được bỏ qua trong phân tích thực
tế.

Khi ρ = 0, không có thông tin bổ sung cần
được xem xét và vì vậy cả hai hàm ước
lượng GLS và OLS là như nhau.

Hậu quả của việc sử dụng OLS khi có
tự tương quan
1. Các ước lượng OLS vẫn là các ước lượng
tuyến tính, không chệch, nhưng chúng
không phải là ước lượng hiệu quả nữa.
2. Phương sai ước lượng được của các ước
lượng OLS thường là chệch. Kiểm định t
và F không còn tin cậy nữa.

Ví dụ

Giả sử hãy xem xét khoảng tin cậy
95% từ các ước lượng OLS[AR(1)] và
GLS, giả sử giá trị đúng của β
2
= 0.

Xem xét một giá trị ước lượng cụ thể
của β
2

, chẳng hạn b
2
.

Chúng ta chấp nhận giả thuyết H
0
: β
2
=
0, nếu dùng khoảng tin cậy OLS;
nhưng bác bỏ H
0
, nếu dùng khoảng tin
cậy GLS.

Ví dụ

Hậu quả của việc sử dụng OLS khi có
tự tương quan
3. = RSS/df là ước lượng chệch của σ
2
và trong
một số trường hợp là chệch về phía dưới
(underestimate).
4. Giá trị ước lượng R
2
có thể bị ước lượng cao
hơn (overestimate) và không tin cậy khi dùng
để thay thế cho giá trị thực của R
2

.
5. Phương sai và sai số chuẩn của các giá trị dự
báo không được tin cậy (không hiệu quả).
2
σ
ˆ

Phát hiện tự tương quan
1. Phương pháp đồ thị
2. Kiểm định d của Durbin – Watson
3. Kiểm định χ
2
về tính độc lập của các phần
dư

Phương pháp đồ thị

Giả định về sự tự tương quan liên quan đến
các giá trị u
t
của tổng thể, tuy nhiên, các
giá trị này không thể quan sát được.

Ta quan sát e
t
, hình ảnh của e
t
có thể cung
cấp những gợi ý về sự tự tương quan.


Ta có thể chạy OLS cho mô hình gốc và thu
thập e
t
từ đó. Vẽ đường e
t
theo thời gian và
quan sát.

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
t
(a)
•
•

•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
t
(b)
•
••
•
•
•
•
•
••
••
•
• •
t
(c)
•
•
•
•
•

•
•
•
•
•
•
•
t
(d)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
t
(e) Không có tự tương quan
•
•
•
•

•
•
•
• •
•
•
1. PP đồ thịe
t
e
t
e
t
e
t
e
t

Phát hiện tự tương quan
2. Kiểm định d của Durbin – Watson
Thống kê d. Durbin – Watson được định nghĩa như sau:
d là tỷ số giữa tổng bình phương của chênh lệch giữa
2 sai số liên tiếp với RSS
Do Σe
t
2
và Σe
t-1
2
chỉ khác nhau có một quan sát, nên ta
có thể xem chúng bằng nhau. d có thể được viết

lại:
∑
∑ ∑ ∑
∑
∑
−−
=
=
−
−+
=
−
=
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
t
tttt
n
t
t
n

t
tt
e
eeee
e
)ee(
d








−=
∑
∑
−
2
1
12
t
tt
e
ee
d