Chủ đề: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CUỐN SÁCH
Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN IV: ĐẠO HÀM

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

C¸c Em häc sinh h·y tham gia häc tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm "
Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách.

1


Phần IV: Đạo hàm

chủ đề 1

tính đạo hàm bằng định nghĩa
I. Kiến thức cơ bản
Bài toán 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xO, bằng định nghĩa.
phơng pháp chung

Chúng ta lựa chọn một trọng hai cách trình bày sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bớc sau:
Bíc 1: T¹i x0 cho x mét sè gia ∆x, ta lần lợt có:
ã y = f(x + x) f(xO);
y
ã
x
y
Bớc 2: Tìm lim
.
x 0 x
Cách 2: Ta có:
f'(xO) = lim

x →x 0

f( x ) − f ( x 0 )
x x0
1
tại điểm x00.
x

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số f(x) =

Giải
Hàm số y =

1
xác định trong một lân cận của x00. Ta có:

x

f( x ) − f ( x 0 )
f'(xO) = lim
=
x →x 0
x − x0

1 1
−
x x0 =
lim
x→ x0 x − x0

lim ( −

x →x 0

1
) = −
x.x 0

1
2 .
x0
VÝ dô 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số :

 1 − cos x
khi x ≠ 0


f(x) = 
x
 0
khi x = 0

tại điểm x0 = 0.

Giải.
Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 = 0. Ta cã:
f'(0) = lim

x →0

2

f( x ) − f( 0 )
1 − cos x
lim
= lim
= x →0
2
x →0
x −0
x

2 sin 2
x
4 
2

x
2

2

=

1
.
2


Chủ đề 1: Tình đạo hàm bằng định nghĩa

Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số :

 2 1
 x sin khi x ≠ 0
f(x) =
x
0
khi x = 0

tại điểm x0 = 0.

Giải.
Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 = 0. Ta cã:
f( x ) − f( 0 )
1
f'(0) = lim

= lim x. sin .
x→0
x
x →0
x −0
Ta cã:
1. Víi mäi x0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có:
|xsin

1
1
| |x| |x| xsin
|x|.
x
x

lim
lim
2. Mặt khác x 0 ( − |x|) = x →0 |x| = 0.
1
= 0.
x

Suy ra: lim x. sin
x→0

VËy: f'(0) = 0.
VÝ dô 4: Cho hµm sè :

 1− 1− x

khi x ≠ 0

f(x) =
x
1 /2
khi x = 0

CMR f(x) liên tục tại x = 0.
Tính đạo hàm, nếu có, của f(x) tại ®iĨm x = 0.

a.
b.

Gi¶i.
a. Ta cã:

lim f(x) = lim 1 − 1 − x
x →0
x →0
x

1

= lim
x →0

1 − (1 − x )
x( 1 + 1 − x )

= lim

x 0

1
= f(0).
2
1+ 1x
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 0.
b. Ta cã:
=

f'(0)

lim

x →0

=

f( x ) − f( 0 )
x →0
x −0
lim

=

1− 1−x 1
−
x
2
lim

x →0
x

=

2 −x −2 1−x
2x2
3


Phần IV: Đạo hàm

lim
= x 0

1
2( 2 x + 2 1 x )

=

1
.
8

Bài toán 2. Cho hàm số

f1(x ) khi x < x0
f(x) =
.


 f2 (x ) khi x x 0
Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x0.
phơng pháp chung

Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0.
Bớc 2: (Đạo hàm bên trái) Tính

f'( x 0 ) = lim−

x→x 0

f( x ) − f( x 0 )
.
x x0

Bớc 3: (Đạo hàm bên phải) TÝnh
+
f'( x 0 ) = lim+

x→x 0

f( x ) − f( x 0 )
.
x x0


+
Bớc 4: Đánh giá hoặc gi¶i f'( x 0 ) = f'( x 0 ), tõ ®ã ®a ra lêi kÕt ln.

VÝ dơ 5: Dïng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

ex
khi x ≥ 0
y = f(x) = 
 x 2 + x + 1 khi x < 0
tại điểm x0 = 0.
Giải
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0.
f'(0 − ) = lim

x →0 −



f ( x ) − f( 0 )
x 2 + x + 1 e0
= lim
= 1.
x 0
x
x 0

Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0.
f'(0 + ) = lim

x →0 +

f( x ) − f( 0 )

e x − e0
= lim+
= 1.
x→ 0
x
x −0

NhËn xÐt r»ng f'(0 − ) = f'(0 + ) = 1.
VËy hµm sè y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 = 0 vµ f'(0) = 1.
VÝ dơ 6: Cho hµm sè :

4

(1)


Chủ đề 1: Tình đạo hàm bằng định nghĩa

x 2 khi x ≤ 1
f(x) = 
.
 ax + b khi x > 1
Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1.
Giải.
Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trớc hết f(x) phải liên tục tại x =
1, do đó:

lim f(x) = lim+ f(x) = f(1) ⇔ a + b = 1 b = 1 a
x 1

x 1



(1)
Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x = 1.
f'(1 − ) = lim

x →1 −



f ( x ) − f( 1 )
x2 − 1
= lim−
= 2.
x 1
x 1
x 1

Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x = 1.
f( x ) f( 1 )
ax + b − 1
f'(1 + ) = lim
= lim+
= lim+
+
x→ 1
x→ 1
x −1

x −1
x →1

ax + 1 − a − 1
= a.
x −1
Hµm sè y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1
f'(1 ) = f'(1 + ) ⇔ a = 2.
(2)
Thay (2) vào (1), ta đợc b = 1.
Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nÕu vµ chØ nÕu a = 2, b =
− 1.
Bài toán 3. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a, b), bằng định nghĩa.
phơng pháp chung

Chóng ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bíc 1: TÝnh ∆y = f(x + ∆x) − f(x),
∆y
LËp tû sè
.
∆x
∆y
Bíc 2: Tìm lim
.
x 0 x
Cần lu ý rằng trong các phép tính này, điểm x coi nh cố định còn x th×
tiÕn tíi 0.

5

Phần IV: Đạo hàm

Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hµm sè y = f(x) = x trong (0, + ).
Giải
Hàm số y = x xác định trong một lân cận của điểm x>0. Ta lần lợt có:
y = f(x + ∆x) − f(x) = x + ∆x − x
x + ∆x − x
1
∆y
x + ∆x − x
⇒
=
=
=
.
∆x( x + ∆x + x )
x + ∆x + x
∆x
∆x
1
1
∆y
lim
Do ®ã: lim
= ∆x →0
=
.
∆x →0 ∆x
x + ∆x + x

2 x
1
VËy hµm số y = x có f'(x) =
.
2 x
Bài toán 4. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b], bằng định nghĩa.
phơng pháp chung

Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trong khoảng (a, b)
Bớc 2: Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm a.
Bớc 3: Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm b.

II.Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (ĐHGT 1994): Dùng định nghĩa tính đạo hµm cđa hµm sè :

 sin 2 x
khi x ≠ 0

f(x) = x
0
khi x = 0


tại x0 = 0.

bài giải

Nhận xét hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0, bëi:
2

lim f(x) = lim sin x = lim ( sin x .sinx) = 0 = f(0).
x →0
x →0
x →0
x
x
2
f( x ) − f( 0 )
lim sin x = 1.
= x 0
x 0
x 0
x2

Ta có: f'(0) = lim

Bài 2 (ĐH HuÕ − 2000): Cho hµm sè :

 2 1
 x sin khi x ≠ 0
f(x) = 
.
x
 0
khi x = 0
a. Tính đạo hàm của f tại mỗi xR.
b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x = 0.
6

Chủ đề 1: Tình đạo hàm bằng định nghĩa

bài giải

a.

Tính đạo hàm của f tại mỗi xR.
1
1
Với x0, ta cã f' = 2xsin
− cos
.
x
x
 Víi x = 0, ta cã :

f( x ) − f( 0 )
1
lim
= x →0 x.sin
= 0. (lêi gi¶i trong vÝ dơ 3)
x
x →0
x −0

f'(0) = lim
VËy:

f'(x) =

1
1

2 x sin − cos khi x ≠ 0

.
x
x

0
khi x = 0


b.

Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x0 = 0.
1
Nhận xét rằng hàm số cos
không có giới hạn khi x0 (lời giải tơng tự
x
ví dụ 3 chủ đề 3 phần I)
f'(x) không có giới hạn khi x0 f' không liên tục tại x = 0.
Bài 3. (Đề 111): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số : f(x) =

x
tại điểm x0 = 0.
1+|x|

bài giải

Viết lại hàm số dới dạng:

x
 1 + x khi x ≥ 0
f(x) = 
.
x

khi x < 0
1 x
Hàm số f(x) xác định trong mét l©n cËn cđa x0 = 0. Ta cã:
 Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0.

x
f ( x ) − f( 0 )
1
lim−
f'(0 ) = lim
=
= lim−
= 1.
−
x →0 1 − x
x →0 1 x
x 0
x 0
x

Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0.

x
f( x ) f( 0 )
1
lim+
f'(0 ) = lim
=
= lim+
= 1.
+
x→ 0 1 + x
x→ 0 1 + x
x −0
x →0
x
+

NhËn xÐt r»ng f'(0 − ) = f'(0 + ) = 1.
VËy hµm sè y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 = 0 vµ f'(0) = 1.

Chó ý. Chóng ta cã thĨ tÝnh mét c¸ch trùc tiÕp, nh sau:

7


Phần IV: Đạo hàm

x

1
f( x ) f( 0 )
lim 1+ | x | = lim
f'(0) = lim
= x →0
x 0 1+| x | = 1.
x 0
x 0
x
Bài 4. (ĐHHH 97): CMR hµm sè y =

x 2 − 2|x + 3|
liên tục tại x = 3 những không có đạo
3x 1

hàm tại điểm ấy.
bài giải

Viết lại hàm số díi d¹ng:

 x2 − 2x − 6
1
khi − 3 ≤ x ≠

 3x − 1
3.
f(x) = 
2
 x + 2x + 6
 3x − 1 khi x < − 3


9
x 2 − 2|x + 3|
Ta cã: xlim3 f( x ) = xlim3
=
= f( 3)


10
3x 1
Do đó hàm số liên tục tại x = 3.

8


Chủ đề 1: Tình đạo hàm bằng định nghĩa

Mặt khác:
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = − 3.
f'( − 3 − ) =

lim −

x →−3

f( x ) f( 3 )
13
=
.
100

x +3

Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 3.
f( x ) − f( −3 )
53
f'( − 3 + ) = lim
=
.
+
100
x +3
x →−3
NhËn xÐt r»ng f'( − 3 − )≠f'( 3 + ).
Vậy, hàm số không có đạo hàm tại x = 3.


Bài 5. (Đề 67): Cho hµm sè :

 (x + a)e − bx khi x < 0
f(x) = 
.
2
 ax + bx + 1 khi x 0
Xác định a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
bài giải

Để hàm số có đạo hàm tại x = 0, trớc hết f(x) phải liên tục tại x = 0, do đó:

lim f(x) = lim+ f(x) = f(0) ⇔ a = 1
x →0

x →0

(1)
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0.



f'(0 − ) =
e −bx −


lim−

x →0

=

−bx
−1
lim− ( x + 1)e

x →0

x

=

lim (

x →0 −

e −bx − 1
.b ) = 1 b
bx
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0.
f'(0 + ) = lim

x →0 +

b.

f( x ) − f ( 0 )
x −0

f( x ) − f( 0 )
x 2 + bx + 1 − 1
= lim+
= lim+ (x + b) =
x→ 0
x→ 0
x
x 0

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại ®iĨm x = 0, nÕu vµ chØ nÕu:
f'(0 − ) = f'(0 + ) ⇔ 1 − b = b ⇔ b = 1/2.
VËy hµm sè y = f(x) cã đạo hàm tại điểm x = 0, nếu và chỉ nếu a = 1, b =

1
.

2
Bài 6. (Đề 87): Cho hµm sè
f(x) =

 p cos x + q sin x khi x ≤ 0
.

khi x > 0
 px + q + 1

Chøng tá r»ng víi mäi c¸ch chän p, q hàm f(x) không thể có đạo hàm tại điểm x = 0.
9


Phần IV: Đạo hàm

bài giải

đó:

Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0 f(x) phải liên tơc t¹i x = 0, do

lim f(x) = lim+ f(x) = f(0) ⇔ p = q + 1 ⇔ q = p 1
x 0

x 0

(1)
Khi đó hàm số f(x) cã d¹ng:

f(x) =



 p cos x + (p − 1) sin x khi x ≤ 0

khi x > 0
 px + p

Đạo hàm bên trái của hàm số tại ®iÓm x0 = 0.
f ( x ) − f( 0 )
p cos x + ( p − 1) sin x − p
f'(0 − ) = lim
= lim−
x →0
x
x −0
x →0 −
( p − 1) sin x
( p − 1) sin x − p( 1 − cos x )
= lim−
= lim− [
−
x →0
x →0
x
x

2 px sin 2

x
2 ] = p − 1.

4.( x / 2 ) 2

Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0.
f( x ) f( 0 )
px + p − p
lim
f'(0 + ) = lim
= lim+
= ∆x → 0 + p = p.
+
x→ 0
x
x 0
x 0
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại ®iĨm x = 0, nÕu vµ chØ nÕu:
f'(0 − ) = f'(0 + ) ⇔ p = p − 1 vô nghiệm.
Vậy mọi cách chọn p, q hàm f(x) không thể có đạo hàm tại điểm x = 0.


Bài 7. (ĐHY 98): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số : y = log20x.
bài giải

Cho x một số gia ∆x, ta cã:

x + ∆x
=
x

∆x

∆y
log 20
x + ∆x
∆y = f(x + ∆x) − f(x) = log20
⇒
=
x
∆x

1
.
x ln 20

∆x
)
x .
∆x
x

ln( 1 +

Do đó:

y
1
1
=
y' =

.
x 0 x
x ln 20
x ln 20
lim

Bài 8. (ĐHY 2000): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hµm sè : y = 2000x.
10


Chủ đề 1: Tình đạo hàm bằng định nghĩa

bài giải

Cho x mét sè gia ∆x, ta cã:
∆y = f(x + ∆x) − f(x) = 2000x + ∆x − 2000x
∆y
2000 x +∆x − 2000 x
2000 ∆x − 1
⇒
=
= 2000x.
= 2000x.ln2000.
∆x
∆x
∆x
e ∆x ln 2000 − 1
∆x. ln 2000
Do ®ã:
∆y

lim
= 2000x.ln2000 ⇒ y' = 2000x.ln2000.
x 0 x

III. Bài tập đề nghị
Bài tập 1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm x0:
a. f(x) = x2 4x + 3 víi x0 = 1.
2x − 3
c. f(x) =
víi x0 = 3.
1
x −1
b. f(x) =
víi x0 = 2.
x −1
d. f(x) = 3 x + 4 víi x0 = − 1.
Bµi tập 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đây:
c. f(x) = xsinx
1
b. f(x) = x 2 + 1
a. f(x) = 2

x +1

Bµi tËp 3.
vµ x>0
Bµi tập 4.

a.

b.

Tính đạo hàm của hàm số y =

n

x trong đó n là số nguyên dơng

Dùng định nghĩa tính đạo hµm cđa

 x 2 cos(1 /x ) khi x ≠ 0
y = f(x) = 
t¹i x = 0.
khi x = 0
 0
 1 − cos 2x
khi x ≠ 0

(§HGT − 1997): f(x) = 
t¹i x = 0.
x
 0
khi x = 0
0

Bµi tËp 5. Cho hµm sè y = |x − 1|. CMR hàm số liên tục tại x = 1 nhng
không có đạo hàm tại điểm này.
Bài tập 6. Cho hàm f xác định bởi:

f(x) =

x+ 4 2

khi x ≠ 0
.
 x
 1/4
khi x = 0


a. CMR hµm số f(x) liên tục tại x = 0.
11


Phần IV: Đạo hàm

b. Tìm đạo hàm, nếu có, của f tại x = 0.
Bài tập 7. Cho hàm số f xác định bởi:

f(x) =

tgx
khi x 0

.
x
1 khi x = 0


a. CMR f liên tục tại x = 0.

b. Tìm đạo hàm, nếu có, của f tại x = 0.
Bài tập 8. Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm tại điểm x = 1

 x 2
khi x ≤ 1
f(x) = 
.
2
 − x + ax + b khi x > 1
Bài tập 9.

(ĐHGT 2000): Tìm a để hàm số sau có đạo hàm tại x0 = 0.

(x + 1)e x khi x > 0
f(x) = 
 − x 2 − ax + 1 khi x ≤ 0
Bµi tËp 10. (HVKTMM 1999): Tìm a để hàm số sau có đạo hàm t¹i x0 = 0.

 ex
khi x ≥ 0
f(x) = 
 x 2 + ax + 1 khi x < 0
Bµi tập 11. Cho hàm số y = sinx.
a. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 0.
b. Viết phơng trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x0 = 0.
Bài tập 12. Cho hàm số y = |x2 + 4x + 3|.
a. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 1.
b. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 3.

12